高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数课后导练北师大版4讲解

3.3 二倍角的正弦、余弦和正切

课后导练

基础达标

1.若角α满足条件sin2α<0,cos α-sin α<0,则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：??

?<>????<

?<-<.

0cos ,

0sin ,sin cos ,0cos sin ,0sin cos ,02sin ααααααααα ∴α在第二象限.

答案：B

2.sin15°sin30°sin75°的值等于（ ） A.

43 B.8

3

C.81

D.41

解析：原式=sin15°·sin30°·cos15° =

21sin 2

30°=8

1. 答案：C

3.若tanx=2，则tan2(x-4

π

)等于（ ） A.34 B.34- C.43 D.4

3- 解析:tan(2x-2π)=-tan(2

π-2x)=-cot2x=x 2tan 1

-，

而tan2x=

34

4122-=-?, ∴原式=4

3

.

答案：C 4.已知sin

2α=54，cos 2

α=53

-，则角α所在的象限是（ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 解析:sin α=2sin

2α·cos 2α=2524-<0,cos α=cos 22α-sin 22

α=257-<0.

答案：C

5.(2006全国高考卷Ⅱ,理2) 函数y=sin2xcos2x 的最小正周期是（ ） A.2π B.4π C.4π D.2

π 解析：化简，得y=

2

1

sin4x,

∴T=

2

π

.故选D. 答案：D

6.cos

5

πcos 52π的值为___________.

解析：cos 5

πcos 52π=

5

sin

254sin

215sin 252cos 52sin 5sin 252cos 52cos 5sin 2πππππππππ===41. 答案：4

1

7.已知sin α=cos2α,α∈(0,2

π

),则sin2α=_________.

解析：∵sin α=1-2sin 2

α,即2sin 2

α+sin α-1=0, ∴sin α=-1或sin α=2

1. 又∵α∈(0,

2π),∴sin α=21,α=6

π.

∴cos α=

2

3

. ∴sin2α=2×

21×23=2

3. 答案：

2

3 8.求sin10°·sin30°·sin50°·sin70°的值.

解析：原式=

21·cos80°·cos40°·cos20°?

?20sin 220sin 2 =41·cos80°·cos40°·??20sin 240sin 2 =16

1

20sin 16160sin 20sin 80sin 80cos 81=??=?????

. 9.求证：ααα2sin 2cos 112sin +++=2

1

(tan α+1).

证明：左=s αα

ααααααααααααcos 2cos sin )

sin (cos cos 2)cos (sin cos sin 2cos 2cos sin 2sin 22

22+=++=?+++ =

2

1

(tan α+1)=右边. 10.已知cos(α+

4π)=53,2π≤α<23π，求cos(2α+4

π)的值.

解析：cos(2α+

4π)=cos2αcos 4π-sin2αsin 4

π =

2

2

(cos2α-sin2α). ∵2π≤α<23π,∴43π≤α+4π<47π47π.

又∵cos(α+4π)>0,∴23π<α+4π<4

7π

.

∴sin(α+

4π)=5

4)4(cos 12

-=+--πα. ∴cos2α=sin(2α+2π)=2sin(α+4π)cos(α+4

π)=2524

-,

sin2α=-cos(2π+2α)=1-2cos 2

(α+4π)=25

7.

∴原式=

22×(2524--257)=50

231-.

综合运用

11.已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=5

3

,那么cos2β的值为（ ） A.257 B.2518 C.257- D.25

18- 解析：由已知可得sin ［(α-β)-α］=5

3

,

即sin β=5

3

-.

则cos2β=1-2sin 2

β=1-2×25

7259=. 答案：A 12.若α∈［25π,2

7

π］,则ααsin 1sin 1-++的值为（ ） A.2cos

2α B.-2cos 2α C.2sin 2α D.-2sin 2α

解析：∵25π≤α≤2

7π

，

∴45π≤2α≤47π.

∴cos 2α≥sin 2

α.

如右图所示，在单位圆中

当

45π≤2α≤47π时，|sin 2α|≥|cos 2

α|, ∴sin

2α+cos 2

α

≤0, ∴22)2

sin 2(cos )2cos 2(sin

sin 1sin 1α

ααα

αα-++=-++

=-(sin

2α+cos 2α)+(cos 2α-sin 2α)=-2sin 2

α

. 答案：D

13.若sin （2

π+α）=53

,则cos2α=____________-.

解析：sin(2

π+α)=cos α=53

.

cos2α=2cos 2

α-1=25

7-.

答案：25

7

-

14.已知α为锐角，且sin αcos α=21,则ααcos 11

sin 11+++=__________.

解析：α为锐角，且由sin αcos α=21?sin2α=1?2α=2π?α=4

π

,

∴原式=4-22. 答案：4-22

15.已知sin 2

2α+sin2αcos α-cos2α=1,α∈(0,

2

π

)，求sin α,tan α. 解析：由题意知4sin 2

αcos 2

α+2sin αcos 2

α-2cos 2

α=0，

即2cos 2

α(2sin α-1)(sin α+1)=0.

又α∈(0,2

π),∴sin α+1≠0,cos 2

α≠0. 由2sin α-1=0，得sin α=2

1

,

∴α=

6π.tan α=3

3. 拓展探究

16.已知f （x ）=x

x x 2cos 4

sin 5cos 624-+，求f （x ）的定义域，判定它的奇偶性并求其值域.

解析：（1）∵cos2x≠0，∴2x≠k π+2

π

，k∈Z . ∴其定义域为{x|x≠

2πk +4

π

，k∈Z }，即定义域关于原点对称. （2）f （-x ）=)

2cos(4

)(sin 5)(cos 624x x x ---+-=f （x ），则y=f （x ）对于定义域内任意自变量

恒成立.故y=f （x ）为偶函数.

（3）f （x ）=1

cos 2)1cos 3)(1cos 2(sin cos 1cos 5cos 62

222224---=-+-x x x x x x x =3cos 2

x-1. {x|x≠

2πk +4

π

，k∈Z }. 其值域为{y|-1≤y≤2且y≠

2

1}.