曲线拟合_图文

MATLAB

中曲线拟合方法总结

鉴于最近遇到非线性函数拟合问题,本人对网上有关 matlab 多种类型的线性、非线性曲线拟合的方法进行了总结,希望对各位朋友有所帮助。

1. Matlab有一个功能强大的曲线拟合工具箱 cftool , 使用方便, 能实现多种类型的线性、非线性曲线拟合。下面简单介绍如何使用这个工具箱。

1.1 从 matlab 命令窗口到 cftool

可以直接在 matlab 命令行输入 cftool 命令即可进入 cftool 窗口。

》 cftool

输入命令回车后就得到一下界面

进行曲线拟合的时候,最基本的操作包括点击“data...”按钮和“fitting...”按钮。

1.2 data… . 按钮

首先,到命令窗口中为点击 "data..." 做好准备:

》

x=[8.0, 9.0, 10.0, 11.0, 12.0, 13.0, 14.0, 15.0, 16.0, 17.0, 18.0, 19.0, 20];

》 y=[0.6,0.62,0.64, 0.65, 0.66, 0.67, 0.68, 0.68, 0.69, 0.66, 0.65, 0.65,0.64]; 》

然后,点击“data...”按钮,选 x 横坐标和选 y 纵坐标变量:

1在弹出的 Data 窗口中,在 X Data 选项中选择 x, 在 Y Data中选择 y 。其中 X, Y 都是刚刚在命令行所准备的数据变量名。

2经过此步骤后点击“Create data set”按钮。这个时候 Data 对话框背后的对话框中已经有散点图了。然后点击 Data 中的 close 按钮 .

1.3 fiting … . 按钮

在正确设置 Data 对话框之后,在关闭 Data 对话框之后,就可以点击 fitting... 按钮了。会弹出这么一个对话框 :

1 在 Fitting 对话框中点击 Newfit 后在 Fitname 为此次曲线取名字:“cftool 曲线拟合”, 当有多条曲线需要同时绘制时,每次都需要点击 Newfit, 然后选择对应的Data set值即对应相应的数据变量就可以绘制多条曲线了。即同时拟合多条曲线。选择 data set。

2选择相应类型的曲线拟合(到其它地方粘贴过来的,点击 Type of fit 下拉菜单:

Custom Equations:用户自定义的函数类型

· Exponential:指数逼近,有 2种类型, a*exp(b*x 、 a*exp(b*x + c*exp(d*x

· Fourier:傅立叶逼近,有 7种类型,基础型是 a0 + a1*cos(x*w + b1*sin(x*w

· Gaussian:高斯逼近,有 8种类型,基础型是 a1*exp(c1-((x-b1/c1^2

· Interpolant:插值逼近,有 4种类型, linear 、 nearest neighbor 、 cubic spline 、shape-preserving · Polynomial:多形式逼近,有 9种类型, linear ~、 quadratic ~、 cubic ~、 4-9th degree ~

· Power:幂逼近,有 2种类型, a*x^b 、 a*x^b + c

· Rational:有理数逼近,分子、分母共有的类型是 linear ~、 quadratic ~、 cubic ~、 4-5th degree ~; 此外,分子还包括 constant 型

· Smoothing Spline:平滑逼近(翻译的不大恰当,不好意思

· Sum of Sin Functions:正弦曲线逼近,有 8种类型,基础型是 a1*sin(b1*x + c1

· Weibull:只有一种, a*b*x^(b-1*exp(-a*x^b

3最后再选择一种曲线拟合下的具体类型,点击 Apply 按钮就可以看见所拟合的曲线了。

如果发现曲线和数据点不是很“磨合”就需要重新选择曲线类型了。

上图是点击了应用按钮之后的状态,在 Results 中得来的就是拟合数据的曲线函数关系式。

点击 Appy 后的运行结果为:

1.4 CFTOOL 菜单使用

在上面显示的曲线拟合结果中, 可以明显的看见横坐标和纵坐标都不是从原点(0,0 开始设置的坐标。那么我们可以使用

Curve Fitting Tool 对话框中 Tools 菜单中的

Tools 中的各个选项的功能:

1 New Cunstom Equation:表示使用自定义的函数来模拟图中显示的散点数据的函数式子。

2 Legend:就是图中显示着“y vs.x cftool 曲线拟合”的那个框。

3 Grid :跟指令 grid 一样的功能,是曲线背景充满虚线框。

4 Axis Limit Control:设置横轴、纵轴坐标的范围。

2. matlab中直接使用曲线拟合工具:cftool. (不使用 cftool 的 GUI 界面

最基本的使用方法如下,假设我们需要拟合的点集存放在两个向量 X 和 Y 中,分别储存着各离散点的横坐标和纵坐标,则在 MATLAB 中直接键入命令 cftool(X,Y 就会弹出 Curve Fitting Tool的 GUI 界面, 点击界面上的 fitting 即可开始曲线拟合。

MATLAB 提供了各种曲线拟合方法,例如:Exponential, Fourier, Gaussing, Interpolant, Polynomial, Power, Rational, Smoothing Spline, Sum of Functions, Weibull 等, 当然, 也可以使用 Custom Equations. cftool 不仅可以绘制拟合后的曲线、给出拟合参数,还能给出拟合好坏的评价参数 (Goodness of fit如 SSE, R-square, RMSE等数据,非常好用。但是如果我们已经确定了拟合的方法,只需要对数据进行计算, 那么这种 GUI 的操作方式就不太适合了,比如在 m 文件中就不方便直接调用 cftool 。

MATLAB 已经给出了解决办法,可以在 cftool 中根据情况生成特定的 m 文件,让我们直接进行特定的曲线拟合并给出参数。具体方法在帮助文件的如下文档中" \ Curve Fitting Toolbox \ Generating M-files From Curve Fitting Tool " ,以下简单举例说明

(x1,y1为一曲线散点

x1=[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0];

y1=[0,5.98e-09,0.00000528,0.0003,0.0041,0.0235,0.071,0.1548,0.2597,0.3724];

cftool(X,Y;

点击 Fitting 选择一元高斯分布拟合 (gaussian,然后就会出现如下拟合图形:

然后在 Curve Fitting Tool窗口中点击 " \ File \ Generate M-file " 即可生成能直接曲线拟合的 m 函数文件,其中使用的拟合方法就是刚才使用的一元高斯分布拟合,文件中这条语句证明了这一点: ft_ = fittype('gauss1';

保存该 m 文件(默认叫做 createFit.m ,调用方法和通常的 m 文件一样,使用不同的 X 和 Y 值就能拟合出不同的曲线。但是,这种调用方法只能看到一个拟合出的图

曲线拟合的数值计算方法实验

曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过 实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i ，Y i )（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或 拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c 1，c 2 ，…c n )是一些待定参 数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在

曲线拟合的方法及过程

一、课程设计题目： 对于函数 x e x x f --=)( 从00=x 开始，取步长1.0=h 的20个数据点，求五次最小二乘拟合多项式 5522105)()()()(x x a x x a x x a a x P -++-+-+= 其中 ∑ ===19 95.020 i i x x 二、原理分析 （1）最小二乘法的提法 当数据量大且由实验提供时，不宜要求近似曲线）（x y φ=严格地经过所有数据点),(i i y x ，亦即不应要求拟合函数）（x ?在i x 处的偏差（又称残差） i i i y x -=)(φδ (i=1,2,…,m) 都严格的等于零，但是，为了使近似曲线能尽量反应所给数据点的变化趋势，要求偏差i δ适当的小还是必要的，达到这一目标的途径很多，例如，可以通过使最大偏差i δmax 最小来实现，也可以通过使偏差绝对值之和∑i i δ最小来实 现……，考虑到计算方便等因素，通常用使得偏差平方和∑i i 2δ最小（成为最小 二乘原则）来实现。 按最小二乘原则选择近似函数的方法称为最小二乘法。 用最小二乘法求近似函数的问题可以归结为：对于给定数据),(i i y x (i=1,2,…,m)，要求在某个函数类Φ中寻求一个函数）（x * ?，使 [][]2 1 )(2 1 * )()(mi n ∑∑=Φ∈=-=-m i i i x m i i i y x y x ??? （1-1） 其中）（x ?为函数类Φ中任意函数。 （1）确定函数类Φ，即确定）（x ?的形式。这不是一个单纯的数学问题，还与其他领域的一些专业知识有关。在数学上，通常的做法是将数据点),(i i y x 描

matlab曲线拟合实例

曲线拟合 求二次拟合多项式 解：（一）最小二乘法MA TLAB编程： function p=least_squar(x,y,n,w) if nargin<4 w=1 end if nargin<3 n=1 end m=length(y); X=ones(1,m) if m<=n error end for i=1:n X=[(x.^i);X] end A=X*diag(w)*X';b=X*(w.*y)';p=(A\b)' 输入： x=[1 3 5 6 7 8 9 10]; y=[10 5 2 1 1 2 3 4] p=least_squar(x,y,2) 运行得： p = 0.2763 -3.6800 13.4320 故所求多项式为：s(x)=13.432-3.68x+0.27632x （二）正交多项式拟合MATLAB编程： function p=least_squar2(x,y,n,w) if nargin<4 w=1; end if nargin<3 n=1; end m=length(x); X=ones(1,m); if m<=n error end for i=1:n X=[x.^i;X]; end A=zeros(1,n+1);

A(1,n+1)=1; a=zeros(1,n+1); z=zeros(1,n+1); for i=1:n phi=A(i,:)*X;t=sum(w.*phi.*phi); b=-sum(w.*phi.*x.*phi)/t a(i)=sum(w.*y.*phi)/t; if i==1 c=0;else c=-t/t1; end t1=t for j=1:n z(j)=A(i,j+1); end z(n+1)=0 if i==1 z=z+b*A(i,:); else z=z+b*A(i,:)+c*A(i-1,:); end A=[A;z]; end phi=A(n+1,:)*X;t=sum(w.*phi.*phi); a(n+1)=sum(w.*y.*phi)/t; p=a*A; 输入： x=[1 3 5 6 7 8 9 10]; y=[10 5 2 1 1 2 3 4]; p=least_squar2(x,y,2) 运行得： b = -6.1250 t1 = 8 z = 0 1 0 b = -4.9328 t1 = 64.8750 z = 1.0000 -6.1250 0 p = 0.2763 -3.6800 13.4320 故所求多项式为：s(x)=13.432-3.68x+0.27632x

曲线拟合最小二乘法c++程序

课题八曲线拟合的最小二乘法 实验目标： 在某冶炼过程中，通过实验检测得到含碳量与时间关系的数据如下，试求含碳量y与时间t #include #include<> using namespace std; int Array(double ***Arr, int n){ double **p; int i; p=(double **)malloc(n*sizeof(double *)); if(!p)return 0; for(i=0;i>n; cout<<"请输o入¨节¨2点ì值|ì（ê?§Xi）ê：êo"<>X[i]; } cout<<"请输o入¨节¨2点ì函?￥数oy值|ì（ê?§Yi）ê：êo"<>Y[i]; } if(!Array(&A,3)) cout<<"内¨2存?分¤配失o?ì败?¨1！ê"; else { for(i=0;i<3;i++){ for(j=0;j<3;j++){ A[i][j]=0; } } for(i=0;i

matlab曲线拟合2010a演示

2010a版本曲线拟合工具箱 一、单一变量的曲线逼近 Matlab有一个功能强大的曲线拟合工具箱cftool ，使用方便，能实现多种类型的线性、非线性曲线拟合。下面结合我使用的Matlab R2007b 来简单介绍如何使用这个工具箱。 假设我们要拟合的函数形式是y=A*x*x + B*x, 且A>0,B>0。 1、在主命令输入数据： x=233.8:0.5:238.8; y=[235.148 235.218 235.287 235.357 235.383 235.419 235.456 235.49 235.503 235.508 235.536]; 2、启动曲线拟合工具箱 cftool(x,y) 3、进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool” 如图 （1）利用X data和Y data的下拉菜单读入数据x,y，可在Fit name修改数据集名，这时会自动画出数据集的曲线图；

（2）在红色区域选择拟合曲线类型 工具箱提供的拟合类型有： ?Custom Equations：用户自定义的函数类型 ?Exponential：指数逼近，有2种类型，a*exp(b*x) 、a*exp(b*x) + c*exp(d*x) ?Fourier：傅立叶逼近，有7种类型，基础型是a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w) ?Gaussian：高斯逼近，有8种类型，基础型是a1*exp(-((x-b1)/c1)^2) ?Interpolant：插值逼近，有4种类型，linear、nearest neighbor、cubicspline、shape-preserving ?Polynomial：多形式逼近，有9种类型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree~ ?Power：幂逼近，有2种类型，a*x^b 、a*x^b + c ?Rational：有理数逼近，分子、分母共有的类型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree~；此外，分子还包括constant型 ?Smoothing Spline：平滑逼近（翻译的不大恰当，不好意思） ?Sum of Sin Functions：正弦曲线逼近，有8种类型，基础型是a1*sin(b1*x + c1) ?Weibull：只有一种，a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b) 在results一栏看结果

第三章_曲线拟合算法的研究汇总

第三章 曲线拟合算法的研究 3.1 引言 随着航空、汽车等现代工业与计算机技术的发展，圆锥曲线与列表点曲线已经成为形状数学描述的常用方法，得到了广泛的应用。为了满足激光切割加工任务的需要，自动编程系统集成了多种曲线拟合算法，这样利用现有的激光切割机，即可实现特殊曲线的插补功能，极大地丰富系统的插补能力，满足复杂的生产要求。 3.2 圆锥曲线拟合算法的研究 在经济型数控系统中，对于圆锥曲线即平面二次曲线的加工是数控加工中经常遇到的问题，随着数控加工对圆锥曲线插补的需求，近年来有关各种圆锥曲线的插补算法应运而生[26]。常用的解决方法是先用低次的有理参数曲线拟合或将其离散，再用直线、圆弧逼近，然后才能进行数控加工[28]。本章从一个新的视角利用双圆弧方法，提出先对圆锥曲线进行标准化处理，再用双圆弧拟合逼近，然后再进行数控加工。这样的优点是：圆弧样条的等距曲线还是圆弧；双圆弧样条能达到C 1连续，基本上能满足要求；所有数控系统都具有直线插补和圆弧插补功能，无需增加额外负担。 由于工程应用不同，对曲线拟合的要求也不同。有的只要求拟合曲线光滑，有的要求光顺[9-10]。本章中开发的软件要求是：支持多种常用圆锥曲线的拟合；拟合曲线要求光滑；拟合曲线与函数曲线间的误差应控制在允许的范围之内，且拟合圆弧段数较少。 本章提出的对圆锥曲线的插补，是建立在对平面任意二次曲线可以进行分类的基础上，先将二次曲线进行分类，然后对各类曲线分别进行双圆弧拟合，这样就可以直接利用数控系统的圆弧插补功能进行插补。 3.2.1 圆锥曲线的一般理论[9] 在平面直角坐标系中，二元二次方程所表示的曲线称为二次曲线。其中系数A 、B 、 C 、 D 、 E 、 F 为实常数，且A 、B 、C 不同时为零。 022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (3.1) 式（3.1）称为圆锥曲线的隐式方程。令 AC B 42-=? （3.2） 称上式为二元二次方程（3.1）的判别式。 0

Boltzmann 函数曲线拟合的 Lisp 程序

Boltzmann 函数曲线拟合的Lisp 程序 1 原程序在计算机中，将以下原代码写入记事本中并保存文件名为“bzlm.lsp” (setq smx (lambda ( / k wi a1 a2 b1 b2 c1 c2 sx) (setq wi (mapcar '(lambda ( x / ) (expt 2.718282 (/ (- x m3) m4))) xi) k 0 a1 (apply '+ (mapcar '(lambda ( y / w) (setq w (nth k wi) k (1+ k)) (/ y (+ 1 w))) yi)) k 0 a2 (apply '+ (mapcar '(lambda ( y / w) (setq w (nth k wi) k (1+ k)) (/ (* y w) (+ 1 w))) yi)) b1 (apply '+ (mapcar '(lambda ( w / ) (/ 1 (expt (+ 1 w) 2))) wi)) b2 (apply '+ (mapcar '(lambda ( w / ) (/ w (expt (+ 1 w) 2))) wi)) c1 b2 c2 (apply '+ (mapcar '(lambda ( w / ) (expt (/ w (+ 1 w)) 2)) wi)) m1 (/ (- (* a1 c2) (* a2 c1)) (- (* b1 c2) (* b2 c1))) m2 (/ (- (* b1 a2) (* b2 a1)) (- (* b1 c2) (* b2 c1))) k 0 sx (apply '+ (mapcar '(lambda ( x / y w) (setq w (nth k wi) y (nth k yi) k (1+ k)) (expt (- y (+ (/ (- m1 m2) (+ 1 w)) m2)) 2)) xi)) ) (if (car s_min) (if (< sx (car s_min)) (setq s_min (list sx m1 m2 m3 m4)) nil) (setq s_min (list sx m1 m2 m3 m4))) ) ) (setq mmc (lambda (range / m1 m2 s_min m3 m4 rm3 rm4 tm4 q3 q4) (setq rm3 (abs range) rm4 rm3 q3 rm3 q4 rm4 m3 0 m4 0) (repeat 5 (setq rm3 (+ m3 q3) m3 (- m3 q3) rm4 (+ m4 q4) m4 (- m4 q4) tm4 m4 q3 (* q3 0.1) q4 (* q4 0.1)) (while (<= m3 rm3) (while (<= m4 rm4) (if (>= m4 1) (smx)) (setq m4 (+ m4 q4))) (setq m3 (+ m3 q3) m4 tm4) ) (setq m3 (nth 3 s_min) m4 (last s_min)) ) s_min ) ) (setq cy (lambda ( / m1 m2 m3 m4) (if sc (progn (setq m1 (nth 1 sc) m2 (nth 2 sc) m3 (nth 3 sc) m4 (nth 4 sc) yc (+ (/ (- m1 m2) (+ 1 (expt 2.718282 (/ (- xc m3) m4)))) m2) ) (set_tile "cy" (vl-princ-to-string yc)) )))) (setq cx (lambda ( / m1 m2 m3 m4 tm) (if sc (progn (setq m1 (nth 1 sc) m2 (nth 2 sc) m3 (nth 3 sc) m4 (nth 4 sc)) (if (and (< y m2) (> (setq tm (- (/ (- m1 m2) (- yc m2)) 1)) 0)) (progn (setq xc (+ m3 (* m4 (log tm))))

Matlab曲线拟合及工具箱简介

MATLAB曲线拟合 一、单一变量的曲线逼近 Matlab有一个功能强大的曲线拟合工具箱cftool ，使用方便，能实现多种类型的线性、非线性曲线拟合。下面结合我使用的Matlab R2007b 来简单介绍如何使用这个工具箱。 假设我们要拟合的函数形式是y=A*x*x + B*x, 且A>0,B>0 。 1、在命令行输入数据： 》x=[110.3323 148.7328 178.064 202.8258033 224.7105 244.5711 262.908 280.0447 296.204 311.5475]； 》y=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50]； 2、启动曲线拟合工具箱 》cftool 3、进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool” （1）点击“Data”按钮，弹出“Data”窗口； （2）利用X data和Y data的下拉菜单读入数据x,y，可修改数据集名“Data set name”，然后点击“Create data set”按钮，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，这时会自动画出数据集的曲线图； （3）点击“Fitting”按钮，弹出“Fitting”窗口； （4）点击“New fit”按钮，可修改拟合项目名称“Fit name”，通过“Data

set”下拉菜单选择数据集，然后通过下拉菜单“Type of fit”选择拟合曲线的类型，工具箱提供的拟合类型有： Custom Equations：用户自定义的函数类型 Exponential：指数逼近，有2种类型，a*exp(b*x) 、a*exp(b*x) + c*exp(d*x) Fourier：傅立叶逼近，有7种类型，基础型是a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w) Gaussian：高斯逼近，有8种类型，基础型是a1*exp(-((x-b1)/c1)^2) Interpolant：插值逼近，有4种类型，linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving Polynomial：多形式逼近，有9种类型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~ Power：幂逼近，有2种类型，a*x^b 、a*x^b + c Rational：有理数逼近，分子、分母共有的类型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子还包括constant型Smoothing Spline：平滑逼近（翻译的不大恰当，不好意思） Sum of Sin Functions：正弦曲线逼近，有8种类型，基础型是 a1*sin(b1*x + c1) Weibull：只有一种，a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b) 选择好所需的拟合曲线类型及其子类型，并进行相关设置： ——如果是非自定义的类型，根据实际需要点击“Fit options”按钮，

曲线拟合算法

曲线拟合算法： 本人进行测试通过，完全正常使用。 #region splined private void splined(PointF[] temp, ref ArrayList splinedPt) { double x, y, t; double px, py; int q = 3; int phi; int kaw; int naw; int n = temp.Length; int add; phi = 5; naw = n; add = 5 * (naw + q - 1) + 1; for (t = -phi + 1.0; t < naw + phi; t = t + 0.2) { x = 0.0; y = 0.0; for (kaw = -2 * phi + 1; kaw < naw + 2 * phi; kaw++) { px = 0; py = 0; if (kaw < 1) { px = temp[0].X; py = temp[0].Y; } if (kaw > naw) { px = temp[naw - 1].X; py = temp[naw - 1].Y; } if (kaw > 0 && kaw <= naw) { px = temp[kaw - 1].X; py = temp[kaw - 1].Y; } x = x + nqt(q, t - kaw) * px; y = y + nqt(q, t - kaw) * py; } PointF Point1 = new PointF((float)x, (float)y); splinedPt.Add(Point1);

曲线拟合C语言程序

^ #include<> #include<> void nihe(); void gs(); void main() { int i,j,m,n; float o[50]; \ float x[50] , y[50] ,a[50][50]; printf("输入数据节点数 n = ",n); scanf("%d",&n); for( i=1;i<=n;i++) { printf(" i = %d\n",i); } printf("各节点的数据 x[i] \n"); 、 for(i=1;i<=n;i++) { printf("x[%d] = ",i); scanf("%f",&x[i]); } printf("各节点的数据 y[i] \n"); for(i=1;i<=n;i++) { ￥ printf("y[%d] = ",i); scanf("%f",&y[i]); } printf("\n"); printf("拟合的多项式次数 m = ", m); scanf("%d",&m); ￥ } void nihe(float x[50], float y[50], int m ,int n) { int i,j,k=0,c=1,w=1;

float f,a[50][50] , o[50];; ~ do { f=0; for(i=1;i<=n;i++) { f=f+pow( x[i] , k)*pow( x[i] , k); } … a[c][c]=f ; a[c+1][c-1]=f; a[c-1][c+1]=f; c++; k++; }while(k<=m); , k=1;c=1; do { f=0; for(i=1;i<=n;i++) { f=f+pow( x[i] , k); } * a[c+1][c]=f; a[c][c+1]=f; c++; k++; k++; }while(k<=m+1); ) k=0;c=1; do { f=0; for(i=1;i<=n;i++)

曲线拟合的最小二乘法讲解

实验三 函数逼近与曲线拟合 一、问题的提出： 函数逼近是指“对函数类A 中给定的函数)(x f ,记作A x f ∈)(,要求在另一类简的便于计算的函数类B 中求函数A x p ∈)(,使 )(x p 与)(x f 的误差在某中度量意义下最小”。函数类A 通常是区间],[b a 上的连续函数，记作],[b a C ,称为连续函数空间，而函数类B 通常为n 次多项式，有理函数或分段低次多项式等，函数逼近是数值分析的基础。主要内容有： （1）最佳一致逼近多项式 （2）最佳平方逼近多项式 （3）曲线拟合的最小二乘法 二、实验要求： 1、构造正交多项式； 2、构造最佳一致逼近； 3、构造最佳平方逼近多项式； 4、构造最小二乘法进行曲线拟合； 5、求出近似解析表达式，打印出逼近曲线与拟合曲线，且打印出其在数据点上的偏差； 6、探讨新的方法比较结果。 三、实验目的和意义: 1、学习并掌握正交多项式的MATLAB 编程； 2、学习并掌握最佳一致逼近的MATLAB 实验及精度比较；

3、学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB 实验及精度比较； 4、掌握曲线拟合的最小二乘法； 5、最小二乘法也可用于求解超定线形代数方程组； 6、 探索拟合函数的选择与拟合精度之间的关系； 四、 算法步骤： 1、正交多项式序列的生成 {n ?（x ）}∞ 0：设n ?（x ）是],[b a 上首项系数a ≠n 0的n 次多项式，)(x ρ为],[b a 上权函数，如果多项式序列{n ?（x ）} ∞0 满足关系式???=>≠==?.,0,, 0)()()()(),(k j A k j x d x x x k k j b a k j ??ρ?? 则称多项式序列{n ?（x ）}∞ 0为在],[b a 上带权)(x ρ正交，称n ?（x ）为],[b a 上带权)(x ρ 的n 次正交多项式。 1）输入函数)(x ρ和数据b a ,; 2）分别求))(),(()),(,(x x x x j j j n ???的内积； 3）按公式①)()) (),(()) (,()(,1)(1 0x x x x x x x x j n j j j j n n n ??? ???∑-=- ==计算)(x n ?，生成正交多项式； 流程图： 开始

实验四 插值法与曲线拟合

计算方法实验报告 专业班级：医学信息工程一班姓名：陈小芳学号：201612203501002 实验成绩： 1．【实验题目】 插值法与曲线拟合 2．【实验目的】 3．【实验内容】 4. 【实验要求】

5. 【源程序（带注释）】 （1）拉格朗日插值 #include #include #include #include #include #define n 4 //插值节点的最大下标 main() { double x1[n+1]={0.4,0.55,0.65,0.8,0.9}; double y1[n+1]={0.4175,0.57815,0.69657,0.88811,1.02652}; double Lagrange(double x1[n+1],double y1[n+1],float t); int m,k;float x,y;float X;double z; printf("\n The number of the interpolation points is m ="); //输入插值点的个数 while(!scanf("%d",&m)) { fflush(stdin); printf("\n输入错误，请重新输入:\n"); printf("\n The number of the interpolation points is m ="); } for(k=1;k<=m;k++) { printf("\ninput X%d=",k); while(!scanf("%f",&X)) { fflush(stdin); printf("\n输入错误，请重新输入:\n"); printf("\ninput X%d=",k); } z=Lagrange(x1,y1,X); printf("P(%f)=%f\n",X,z); } getch(); return (0); } double Lagrange(double x[n+1],double y[n+1],float X) { int i,j;

数值计算_第6章 曲线拟合的最小二乘法

第6章曲线拟合的最小二乘法 6.1 拟合曲线 通过观察或测量得到一组离散数据序列，当所得数据比较准确时，可构造插值函数逼近客观存在的函数，构造的原则是要求插值函数通过这些数据点，即。此时，序列与 是相等的。 如果数据序列，含有不可避免的误差（或称“噪音”），如图6.1 所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所示，那么，只能要求所做逼近函数最优地靠近样点，即向量与的误差或距离最小。按与之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。 图6.1 含有“噪声”的数据 图6.2 一条直线公路与多个景点 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值的目标是要插值函数尽量靠近离散点；拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。 向量与之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如： 用各点误差绝对值的和表示： 用各点误差按模的最大值表示： 用各点误差的平方和表示： 或（6.1）

其中称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按 均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。 在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是统计学中估计回归参数的最基本方法。 关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。 在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。 例如，某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路，景点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列；设主干路为一条直线 ，即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差最小值而确定直线方程（见图6.2）。 6.2线性拟合和二次拟合函数 线性拟合 给定一组数据，做拟合直线，均方误差为 （6.2） 是二元函数，的极小值要满足 整理得到拟合曲线满足的方程：

1、曲线拟合及其应用综述

曲线拟合及其应用综述 摘要：本文首先分析了曲线拟合方法的背景及在各个领域中的应用，然后详细介绍了曲线拟合方法的基本原理及实现方法，并结合一个具体实例，分析了曲线拟合方法在柴油机故障诊断中的应用，最后对全文内容进行了总结，并对曲线拟合方法的发展进行了思考和展望。 关键词：曲线拟合最小二乘法故障模式识别柴油机故障诊断 1背景及应用 在科学技术的许多领域中，常常需要根据实际测试所得到的一系列数据，求出它们的函数关系。理论上讲，可以根据插值原则构造n 次多项式Pn(x)，使得Pn(x)在各测试点的数据正好通过实测点。可是, 在一般情况下，我们为了尽量反映实际情况而采集了很多样点，造成了插值多项式Pn(x)的次数很高，这不仅增大了计算量，而且影响了函数的逼近程度；再就是由于插值多项式经过每一实测样点，这样就会保留测量误差，从而影响逼近函数的精度，不易反映实际的函数关系。因此，我们一般根据已知实际测试样点，找出被测试量之间的函数关系，使得找出的近似函数曲线能够充分反映实际测试量之间的关系，这就是曲线拟合。 曲线拟合技术在图像处理、逆向工程、计算机辅助设计以及测试数据的处理显示及故障模式诊断等领域中都得到了广泛的应用。 2 基本原理 2.1 曲线拟合的定义 解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑结构确定数据关系的曲线拟合。 2.2 曲线拟合的方法 解决曲线拟合问题常用的方法有很多，总体上可以分为两大类：一类是有理论模型的曲线拟合，也就是由与数据的背景资料规律相适应的解析表达式约束的曲线拟合；另一类是无理论模型的曲线拟合，也就是由几何方法或神经网络的拓扑结构确定数据关系的曲线拟合。 2.2.1 有理论模型的曲线拟合 有理论模型的曲线拟合适用于处理有一定背景资料、规律性较强的拟合问题。通过实验或者观测得到的数据对（x i,y i）（i=1,2, …,n），可以用与背景资料规律相适应的解析表达式y=f(x,c)来反映x、y之间的依赖关系，y=f(x,c)称为拟合的理论模型，式中c=c0,c1,…c n是待定参数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的方法是最小二乘法。 2.2.1.1 线性模型的曲线拟合 线性模型中与背景资料相适应的解析表达式为： ε β β+ + =x y 1 （1） 式中，β0，β1未知参数，ε服从N(0，σ2)。 将n个实验点分别带入表达式（1）得到： i i i x yε β β+ + = 1 （2） 式中i=1,2,…n，ε1, ε2,…, εn相互独立并且服从N(0，σ2)。 根据最小二乘原理，拟合得到的参数应使曲线与试验点之间的误差的平方和达到最小，也就是使如下的目标函数达到最小： 2 1 1 ) ( i i n i i x y Jε β β- - - =∑ = （3） 将试验点数据点入之后，求目标函数的最大值问题就变成了求取使目标函数对待求参数的偏导数为零时的参数值问题，即： ) ( 2 1 1 = - - - - = ? ?∑ = i i n i i x y J ε β β β （4）

Excel里的曲线拟合工具-- XLFit

扩展Excel的功能 XLfit是一个可在Microsoft? Excel操作环境下使用的强大曲线拟合和数据分析工具。作为一款同类产品中绝无仅有的应用程序，Xlfit提供一系列可供选择的分析和计算工具，包括各种拟合和统计模型、增强结果的可视化处理和预览功能-- --一切都可在Excel环境下实现。 XLfit contains XLfit包含一个强大的统计引擎，能为用户生成线性和非线性曲线、平稳结果、统计分析、结果值权重，以及显示误差线。这款功能强大的Microsoft?Excel配套工具可为2D和3D图表提供快速地数据分析和关键的拟合信息功能。此外，您还可轻松导出绘制成图的数据，以用于外部演示文稿和文档。

视图效果更佳 全新版本的XLfit桌面能让用户全面查看可操作和分析的所有潜在拟合项目和工作表。 为什么选择XLfit？ ?与Excel的整合 它是一款同类产品中绝无仅有的应用程序，能够在Microsoft Excel环境下提供强大的曲线 拟合和统计分析功能。 ?交互式图表类型 通过使用可轻松访问的上下文相关菜单和即时预览更改来编辑图表，然后将其应用至工作 表中。 ?质量保证 独立验证，让用户对结果更有信心。 ?完善的数学工具箱 standard综合模型库（如PA2）将快速结果的生成、整体拟合、自动异常值的拒绝、敲入/ 敲出功能全部作为标准功能。 ?轻松迁移 XLfit的最新版本可与此前的Xlfit第4版本兼容，从而能够轻松实现单个或批量工作表迁移。

点击式编辑 Excel用户也将 发现，他们凭直觉就会使用Xlfit 了。XLfit 向导的三个步骤将自始 至终指导用户完成整个曲线拟合 过程，而完全交互式图表和拟合设 计器则让您可以立即编辑图表数 据和显示方式。 完全交互式预览 XLfit推出后，设计器界面 已经过重新设计，使访问 更轻松，操作更简易。在 将图表输出至工作表之 前，您可使用配备的预览 窗格来选择应用或放弃 图表编辑。对应用性能和 先前版本升级过程的改 进也增强了XLfit用户的 使用体验。 灵活的格式设置 全新XLfit图表设计器可让您 自定义图表外观的方方面面。 例如，您可以修改： ?图表背景和边框 ?轴的样式、刻度和原点 曲线样式和颜色

曲线拟合——最小二乘法算法

曲线拟合——最小二乘法算法 一、目的和要求 1）了解最小二乘法的基本原理，熟悉最小二乘算法； 2）掌握最小二乘进行曲线拟合的编程，通过程序解决实际问题。 二、实习内容 1）最小二乘进行多项式拟合的编程实现。 2）用完成的程序解决实际问题。 三、算法 1）输入数据节点数n ，拟合的多项式次数m ，循环输入各节点的数据x j , y j (j=0,1,…,n-1) 2）由x j 求S ；由x j ,y j 求T ： S k = ∑-=10n j k j x ( k=0,1,2, … 2*m ) T k = ∑-=1 0n j k j j x y ( k=0,1,2,… m ) 3）由S 形成系数矩阵数组c i,j ：c[i][j]=S[i+j] (i=0,1,2,…m, j=0,1,2,…,m)；由T 形成系数矩阵增广部分c i,m+1：c[i][m+1]=T[i] (i=0,1,2,…m) 4）对线性方程组CA=T[或A C ]，用列主元高斯消去法求解系数矩阵A=(a 0,a 1,…,a m )T 四、实验步骤 1）完成最小二乘法进行曲线拟合的程序设计及录入、编辑； 2）完成程序的编译和链接，并进行修改； 3）用书上P105例2的例子对程序进行验证，并进行修改； 4）用完成的程序求解下面的实际问题。 5）完成实验报告。 五、实验结果 1. 经编译、链接及例子验证结果正确的源程序： #include #include #define Q 100 float CF(int,float); main() { int i,j,n1,n,p,k,q; float x[Q],y[Q],s[Q]={0},t[Q]={0},a[Q][Q]={0},l,sum=0; /*以下是最小二乘的程序*/ printf("input 数据组数n");

一种分段曲线拟合方法研究

一种分段曲线拟合方法研究 摘要：分段曲线拟合是一种常用的数据处理方法，但在分段点处往往不能满足连续与光滑.针对这一问题，本文给出了一种能使分段点处连续的方法.该方法首先利用分段曲线拟合对数据进行处理；然后在相邻两段曲线采用两点三次Hermite插值的方法，构造一条连结两条分段曲线的插值曲线，从而使分段点处满足一阶连续.最后通过几个实例表明该方法简单、实用、效果较好. 关键词：分段曲线拟合Hermite插值分段点连续 Study on A Method of Sub-Curve Fitting Abstract：Sub-curve fitting is a commonly used processing method of data, but at sub-points it often does not meet the continuation and smooth, in allusion to to solve this problem, this paper presents a way for making sub-point method continuous. Firstly, this method of sub-curve fitting deals with the data; and then uses the way of t wo points’ cubic Hermite interpolation in the adjacent, structures a interpolation curve that links the two sub-curves, so the sub-point meets first-order continuation; lastly, gives several examples shows that this method is simple, practical and effective. Key words:sub-curve fitting Hermite interpolation sub-point continuous

python曲线拟合原理代码

概念 最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的m个点,并不要求这条曲线精确地经过这些点，而是曲线y=f(x)的近似曲线y= φ(x)。 原理 [原理部分由个人根据互联网上的资料进行总结，希望对大家能有用] 给定数据点pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲线y= φ(x)。并且使得近似曲线与y=f(x)的偏差最小。近似曲线在点pi处的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。 常见的曲线拟合方法: 1.使偏差绝对值之和最小 2.使偏差绝对值最大的最小 3.使偏差平方和最小 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

推导过程： 1. 设拟合多项式为： 2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下： 3. 为了求得符合条件的a值，对等式右边求ai偏导数，因而我们得到了： ....... 4. 将等式左边进行一下化简，然后应该可以得到下面的等式： .......

5. 把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵： 6. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到: 7. 也就是说X*A=Y，那么A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。 实现 运行前提: 1. Python运行环境与编辑环境； 2. Matplotlib.pyplot图形库，可用于快速绘制2D图表，与matlab中的plot 命令类似，而且用法也基本相同。 代码: [python]view plain copy 1.# coding=utf-8 2. 3.'''''

4.作者:Jairus Chan 5.程序:多项式曲线拟合算法 6.''' 7.import matplotlib.pyplot as plt 8.import math 9.import numpy 10.import random 11. 12.fig = plt.figure() 13.ax = fig.add_subplot(111) 14. 15.#阶数为9阶 16.order=9 17. 18.#生成曲线上的各个点 19.x = numpy.arange(-1,1,0.02) 20.y = [((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2) for a in x] 21.#ax.plot(x,y,color='r',linestyle='-',marker='') 22.#,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5" 23. 24.#生成的曲线上的各个点偏移一下，并放入到xa,ya中去 25.i=0 26.xa=[] 27.ya=[] 28.for xx in x: 29. yy=y[i] 30. d=float(random.randint(60,140))/100 31.#ax.plot([xx*d],[yy*d],color='m',linestyle='',marker='.') 32. i+=1 33. xa.append(xx*d) 34. ya.append(yy*d) 35. 36.'''''for i in range(0,5): 37. xx=float(random.randint(-100,100))/100 38. yy=float(random.randint(-60,60))/100 39. xa.append(xx) 40. ya.append(yy)''' 41. 42.ax.plot(xa,ya,color='m',linestyle='',marker='.') 43. 44. 45.#进行曲线拟合 46.matA=[] 47.for i in range(0,order+1):