………○…………学校:___________姓………○…………绝密★启用前
山东省泰安市2018-2019学年高二下学期期末数学试题
试卷副标题
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷(选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1.已知复数(1)(2)z m m i =+--在复平面内对应的点在第一象限,则实数m 的取值范围是( ) A .(1,2)-
B .(1)-∞-,
C .(2,1)-
D .(2,)+∞
2.设函数y A ,函数3x y =的值域为B ,则A B =I ( ) A .(0,1)
B .(0,1]
C .[1,1]-
D .(0,)+∞
3.如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图,阴影部分表示喜欢理科的百分比,由图得到结论不正确的为( )
A .性别与是否喜欢理科有关
B .女生中喜欢理科的比为20%
C .男生不喜欢理科的比为60%
D .男生比女生喜欢理科的可能性大些 4.下列等式不正确的是( )
A .1m
m
m C C += B .121
m m m A A n A +--=
○…………外…○…………内…C .11m m n n A nA --=
D .1k k k
n n n
nC C kC +=+ 5.在某个物理实验中,测得变量x 和变量y 的几组数据,如下表:
则下列选项中对x ,y 最适合的拟合函数是( ) A .2y x =
B .21y x =-
C .22y x =-
D .2log y x =
6.已知函数5311
()453
f x x x =-+,当()f x 取得极值时,x 的值为( )
A .1,1,0-
B .1,1-
C .1,0-
D .0,1
7.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子,观察向上的点数,记“红骰子向上的点数小于4”为事件A ,“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B ,则(|)P B A =( )
A .
1
3
B .
16
C .
19
D .
112
8.某家具厂的原材料费支出x (单位:万元)与销售量y (单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为??6y
x b =+,则?b
为( ) A .10
B .12
C .20
D .5
9.函数2()1cos 1x
f x x e ??
=-
?+??
图象的大致形状是( ) A . B .
…………○………………○……C . D .
10.已知二项式2(*)n
x n N ?
∈ ?
的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是
2︰5,则3x 的系数为( ) A .14
B .14-
C .240
D .240-
11.已知函数4()f x x x =+
,()2x
g x a =+,若11,12x ???∈????
,2[2,3]x ?∈,使得12()()f x g x ≥,则实数a 的取值范围是( )
A .1a ≤
B .1a ≥
C .1a <
D .1a >
12.已知函数()f x '是偶函数()f x (x ∈R 且0x ≠)的导函数,(2)0f -=,当0x >时,()()0xf x f x '-<,则使不等式()0f x <成立的x 的取值范围是( ) A .(,2)(0,2)-∞-U B .(2,0)(0,2)-U C .(2,0)(2,)-+∞U D .(,2)(2,)-∞-+∞U
第II 卷(非选择题)
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题
13.1
51lg 2lg 222-??+- ???
=______. 14.已知X 的分布列如图所示,则
(1)()0.3E X =, (2)()0.583D X =,
(3)(1)0.4P X ==,其中正确的个数为________.
字的四位数,其中能被5整除的四位数共有________个.(用数字作答)
16.已知函数32()62f x ax x =-+,若函数()f x 存在唯一零点0x ,且00x <,则实数a 的取值范围是________. 三、解答题
17.已知复数1z 与21(2)8z i +-都是纯虚数,复数21z i =-,其中i 是虚数单位. (1)求复数1z ;
(2)若复数z 满足12
111
z z z =+,求z .
18.已知函数f (x )=ln
1
1
x x +-. (1)求函数f (x )的定义域,并判断函数f (x )的奇偶性; (2)对于x ∈[2,6],f (x )=ln
1
1
x x +->ln (1)(7)m x x --恒成立,求实数m 的取值范围.
19.已知2()(3)2ln f x a x x =-+,α∈R ,曲线()y f x =在点(1(1))f ,处的切线平分圆C :22(3)(2)2x y -+-=的周长. (1)求a 的值;
(2)讨论函数()y f x
=的图象与直线()y m m R =∈的交点个数.
20.甲、乙两企业生产同一种型号零件,按规定该型号零件的质量指标值落在[4575),
内为优质品.从两个企业生产的零件中各随机抽出了500件,测量这些零件的质量指标值,得结果如下表: 甲企业:
乙企业:
(1)已知甲企业的500件零件质量指标值的样本方差2142s =,该企业生产的零件质量指标值X 服从正态分布(
)2
,N μσ
,其中μ近似为质量指标值的样本平均数x (注:求
x 时,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),2σ近似为样本方差2s ,试根据企
业的抽样数据,估计所生产的零件中,质量指标值不低于71.92的产品的概率.(精确到
0.001)
(2)由以上统计数据完成下面22?列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个企业生产的零件的质量有差异. 附:
11.92, 参考公式:若()2
~,X N
μσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,
(22)0.9544P X μσμσ-<<+=,3309().974P X μσμσ-<<+=;
22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -
=++++
21.甲、乙两人进行象棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为34
,乙获胜的概率为1
4,
各局比赛结果相互独立.
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;
(2)用X 表示比赛决出胜负时的总局数,求随机变量X 的分布列和均值. 22.已知函数1()x f x e -=,()ln()g x x a =+. (1)若(),0
()(1),0
x g x x h x xf x x ->?=?
+,当0a =时,求函数()h x 的极值.
(2)当1a ≤时,证明:()()f x g x >.
参考答案
1.A 【解析】 【分析】
由实部虚部均大于0联立不等式组求解. 【详解】
解:Q 复数(1)(2)z m m i =+--在复平面内对应的点在第一象限,
∴()1020m m +>??-->?
,解得12m -<<.
∴实数m 的取值范围是(1,2)-.
故选:A . 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查不等式组的解法,是基础题. 2.B 【解析】 【分析】
根据二次根式的性质求出A ,再结合指数函数的性质求出B ,取交集即可. 【详解】 210x -Q …,
11x ∴-剟,
解得:[1A =-,1] 而3x
y =单调递增, 故值域:()0,B ∈+∞,
(]0,1A B =∴=I ,
故选:B . 【点睛】
本题考查定义域值域的求法,考查交集等基本知识,是基础题 3.C
【解析】 【分析】
本题为对等高条形图,题目较简单,逐一排除选项,注意阴影部分位于上半部分即可. 【详解】
解:由图可知,女生喜欢理科的占20%,故B 正确;
男生喜欢理科的占60%,所以男生不軎欢理科的比为40%,故C 不正确;同时男生比女生喜欢理科的可能性大些,故D 正确; 由此得到性别与喜欢理科有关,故A 正确. 故选:C . 【点睛】
本题考查等高条形图等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题. 4.A 【解析】 【分析】
根据排列组合数公式依次对选项,整理变形,分析可得答案. 【详解】
A ,根据组合数公式,1
1!1(1)!1!()!1(1)!()!1
m
m n n n m n m C m n m n m n m n +++++=
=?=?-++-+e,A 不正确;
B ,
()()()()()()()()()()
1211121121121m m n n n n n n n m n n n n m n n n n A m A +++---+----+==----+K K K ,
()()()2121111m n n n A n n n m --=---+L 故12111m m m n n n A A n A +-+--= B 正确;
C ,()()()11121m m
n n n n n n m nA A --=---+=K 故 C 正确;
D ,()()()()()()()1
1111k k k k n n n n n k n k n n n k n n n k n k nC kC C C +-=-=---+=--+-=L L 故
D 正确; 故选:A . 【点睛】
本题考查排列组合数公式的计算,要牢记公式,并进行区别,属于基础题.
5.D 【解析】 【分析】
根据所给数据,代入各函数,计算验证可得结论. 【详解】
解:根据0.50x =,0.99y =-,代入计算,可以排除A ; 根据 2.01x =,0.98y =,代入计算,可以排除B 、D ; 将各数据代入检验,函数2log y x =最接近,可知满足题意 故选:D . 【点睛】
本题考查了函数关系式的确定,考查学生的计算能力,属于基础题. 6.B 【解析】 【分析】
先求导,令其等于0,再考虑在0x =两侧有无单调性的改变即可 【详解】
解:()
4222
()10f x x x x x '=-=-=,
0,1,1x ∴=-,()f x 的单调递增区间为()--1∞,和()1+¥,,
减区间为()-11,,在0x =两侧()f x '
符号一致,故没有单调性的改变,舍去, 1,1x ∴=-
故选:B. 【点睛】
本题主要考查函数在某点取得极值的性质:若函数在取得极值0()0f x ?'=.反之结论不成立,即函数有0()0f x '=,函数在该点不一定是极值点,(还得加上在两侧有单调性的改变),属基础题. 7.B 【解析】 【分析】
(|)P B A 为抛掷两颗骰子,红骰子的点数小于4同时两骰子的点数之和等于7的概率,利用
公式()()
(|)=n AB P B A n A 求解即可.
【详解】
解:由题意,(|)P B A 为抛掷两颗骰子,红骰子的点数小于4时两骰子的点数之和等于7的概率.
Q 抛掷两颗骰子,红骰子的点数小于4,基本事件有1863=?个,红骰子的点数小于4
时两骰子的点数之和等于7,基本事件有3个,分别为(1,6),(2,5),(3,4), 1
(|)1836
P B A ∴=
=. 故选:B . 【点睛】
本题考查条件概率的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 8.C 【解析】 【分析】
由给定的表格可知5x =,50y =,代入??6y
x b =+,可得?b . 【详解】
解:由给定的表格可知5x =,50y =, 代入??6y
x b =+,可得?20b =. 故选:C . 【点睛】
本题考查线性回归方程,考查学生的计算能力,属于基础题. 9.B 【解析】 【分析】
判断函数()f x 的奇偶性,可排除A 、C ,再判断函数()f x 在区间0,2π?
?
??
?
上函数值与0的大小,即可得出答案. 【详解】
解:因为21()1cos cos 11x x x e f x x x e e ??-??
=-= ? ?++????
, 所以()()111()cos cos cos 111x x x
x x x
e e e
f x x x x f x e e e --??----=-===- ?+++??
, 所以函数()f x 是奇函数,可排除A 、C ;
又当0,2x π??
∈ ???
,()0f x <,可排除D ;
故选:B. 【点睛】
本题考查函数表达式判断函数图像,属于中档题. 10.C 【解析】 【分析】
由二项展开式的通项公式为()
12r
n r
r
r n T C x -+?= ?
及展开式中第2项与第3项的二项式
系数之比是2︰5可得:6n =,令展开式通项中x 的指数为3,即可求得2r =,问题得解. 【详解】
二项展开式的第1r +项的通项公式为()
12r
n r
r
r n T C x -+?= ?
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5,可得:1
2
:2:5n n C C =. 解得:6n =.
所以()
()3
662
16221r
r n r
r r
r r r n T C x C x
---+?==- ?
令3
632
r -
=,解得:2r =, 所以3x 的系数为()2
262
621240C --=
故选C 【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式,考查了方程思想及计算能力,还考查了分析能力,
属于中档题. 11.A 【解析】 【分析】
由题意可转化为1min 2min ()()f x g x ≥,利用导数分别研究两个函数最小值,求解即可. 【详解】
解:当11,12x ??
∈????时,由()4f x x x
=+得,
()f x '=224
x x
-,
当11,12x ??
∈????
时()0f x '<,
()f x ∴在1,12??????
单调递减, ()15f ∴=是函数的最小值,
当[]22,3x ∈时,()2x
g x a =+为增函数,
()24g a ∴=+是函数的最小值,
又因为11,12x ???∈????
,都[]22,3x ?∈,使得()()12f x g x ≥,可得()f x 在11,12x ??
∈????的最小
值不小于()g x 在[]22,3x ∈的最小值, 即54a ≥+,解得:1a ≤, 故选:A . 【点睛】
本题考查指数函数和对勾函数的图像及性质,考查利用导数研究单调性问题的应用,属于基础题. 12.D 【解析】 【分析】 构造函数()
()f x g x x
=
,利用导数得到,()g x 在(0,)+∞是增函数,再根据()f x 为偶函数,
根据(2)0f -=,解得()0f x <的解集. 【详解】 解:令()
()f x g x x
=, 2
()()
()xf x f x g x x '-∴'=
,
0x Q >时,()()0xf x f x '-<, 0x ∴>时,()0g x '<,
()g x ∴在(0,)+∞上是减函数,()f x Q 是偶函数
(2)(2)0f f -==∴ g ∴(2)(2)02
f ==,
当02x <<,
()g x g >(2)0=,即()0f x >,
当2x >时,()g x g <(2)0=,即()0f x <,
()f x Q 是偶函数, ∴当2x <-,()0f x <,
故不等式()0f x <的解集是(,2)(2,)-∞-+∞U , 故选:D . 【点睛】
本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性,考查了构造函数及数形结合的思想.解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决,属于中档题. 13.1- 【解析】 【详解】 试题分析:15155
lg
2lg 2()lg lg 42lg(4)2lg1021212222
-+-=+-=?-=-=-=-. 考点:对数的运算. 14.1 【解析】
由分布列先求出a ,再利用公式计算()E X 和()D X 即可. 【详解】 解:由题意知:
10.20.30.5a =--=,即()10.5P X ==;
()10.200.310.50.3E X ∴=-?+?+?=
()()()()222
0.210.30.300.30.510.3D X =?--+?-+?-
0.380.0270.2450.652=++=
综上,故(1)正确,(2)(3)错误,正确的个数是1. 故答案为:1. 【点睛】
本题考查了离散型随机变量的期望和方差,属于基础题. 15.198 【解析】 【分析】
题目要求得到能被5整除的数字,注意0和5 的排列,分三种情况进行讨论,四位数中包含5和0的情况,四位数中包含5,不含0的情况,四位数中包含0,不含5的情况,根据分步计数原理得到结果. 【详解】
解:①四位数中包含5和0的情况:
311312
3322()90C C A A A +=g g g .
②四位数中包含5,不含0的情况:
12333354C C A =g g .
③四位数中包含0,不含5的情况:
21333354C C A =.
∴四位数总数为905454198++=.
故答案为:198.
本题是一个典型的排列问题,数字问题是排列中的一大类问题,条件变换多样,把排列问题包含在数字问题中,解题的关键是看清题目的实质,很多题目要分类讨论,要做到不重不漏,属于中档题. 16.(4,)+∞ 【解析】 【分析】
利用分类讨论思想的应用和分类讨论思想的应用求出a 的取值范围. 【详解】
解:Q 32()62f x ax x =-+
()2()31234f x ax x x ax '∴=-=-
当0a >时,由()0f x '>,解得0x <或4x a
>
, ()f x 在(-∞,0]上是增函数,且(1)6150f a a -=--+=--<,(0)10=>f ,所以()f x 在
(1,0)-上有零点,由题意知2432
()20f a a
=-
>,由216a >故4a <-或4a >,又0a >Q 4a ∴> .
当0a =时,2()26f x x =-解得x =有两个零点,不合题意. 当0a <时,()f x 增区间为4
[,0]a ,减区间为4,a ??-∞ ??
?和()0,∞+且(0)2f =,
当4
()0f a >时,则由单调性及极值可知,有唯一零点,但零点大于0,
当4
()0f a <时,则有三个零点,
∴4
()f a
无论正负都不合适.
所以(4,)a ∈+∞. 故答案为:(4,)+∞. 【点睛】
本题考查函数导数的应用,利用函数的导数求函数的单调区间和最值,函数的零点和方程的根的关系式的的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题型.
17.(1)12z i =-;(2)24
55
i -.
【解析】 【分析】
(1)利用纯虚数的定义设出1z 并表示21(2)8z i +-即可求解. (2)代入1z 和2z ,利用复数的四则运算求解即可. 【详解】
(1)设1()z bi b R =∈,则
()
2
2128(2)8z i bi i +-=+-
()24(48)b b i =-+-
由题意得240
480
b b ?-=?
-≠?. ∴2b =- ∴12z i =- (2)∵
12
111z z z =+ ∴1212(2)(1)
(2)(1)
z z i i z z z i i -?-=
=+-+- 2213i i --=-(22)(13)
(13)(13)i i i i --+=-+ 24
55
i =
- 【点睛】
本题考查复数的代数四则运算,纯虚数的概念等知识,是基础题 18.(1) (-∞,-1)∪(1,+∞),奇函数.(2) 0<m <7. 【解析】 【分析】 (1)解不等式
1
1
x x +->0,
即得函数的定义域.再利用奇偶函数的判定方法判断函数的奇偶性.(2)转化成以0<m <(x +1)(7-x )在x ∈[2,6]上恒成立.再求出函数的最小值得解. 【详解】
(1)由
1
1
x x +->0,解得x <-1或x >1, 所以函数f (x )的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞), 当x ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,
f (-x )=ln 11x x -+--=ln 11x x -+=ln 1
11x x -+?? ?-??
=-ln 11x x +-=-f (x ),
所以f (x )=ln
1
1
x x +-是奇函数. (2)由于x ∈[2,6]时, f (x )=ln
1
1
x x +->ln (1)(7)m x x --恒成立,
所以1
1
x x +->(1)(7)m x x -->0,
因为x ∈[2,6],所以0<m <(x +1)(7-x )在x ∈[2,6]上恒成立. 令g (x )=(x +1)(7-x )=-(x -3)2+16,x ∈[2,6],
由二次函数的性质可知,x ∈[2,3]时函数g (x )单调递增,x ∈[3,6]时函数g (x )单调递减, 即x ∈[2,6]时,g (x )min =g (6)=7, 所以0<m <7. 【点睛】
本题主要考查函数定义域的求法,考查对数函数的单调性和不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题. 19.(1)12
a =;(2)见解析. 【解析】 【分析】
(1)求得曲线()y f x =在点(1(1))f ,处的切线,根据题意可知圆C 的圆心在此切线上,可得a 的值.
(2)根据()0f x '=得出()f x 极值,结合单调区间和函数图像,分类讨论m 的值和交点个数。 【详解】
(1)2()(3)2ln f x a x x =-+,2()2(3)f x a x x
'=-+ ∴(1)4f a =,(1)24f a '=-,
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为4(24)(1)y a a x -=-- 由切线平分圆C :22(3)(2)2x y -+-=的周长可知圆心(3,2)在切线上, ∴24(24)(31)a a -=--, ∴12
a =
(2)由(1)知,2
1()(3)2ln (0)2
f x x x x =-+>
2(1)(2)()3x x f x x x x
'--=-+
=,令()0f x '=,解得1x=或2x = 当01x <<或2x >时,()0f x '>,故()f x 在(0,1),(2)+∞,上为增函数;当12 ()0f x '<,故()f x 在(1,2)上为减函数. 由此可知,()f x 在1x=处取得极大值(1)2f = 在2x =处取得极小值1 (2)2ln22 f =+ 大致图像如图: 当2m >或1 2ln 22 m <+时,()y f x =的图象与直线y m =有一个交点 当2m =或1 2ln 22 m = +时,()y f x =的图象与直线y m =有两个交点 当 1 2ln 222 m +<<时,()y f x =的图象与直线y m =有3个交点. 【点睛】 本题考查利用导数求切线,研究单调区间,考查数形结合思想求解交点个数问题,属于基础题. 20.(1)0.159;(2)列联表见解析,能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个企业生产的产品的质量有差异. 【解析】 【分析】 (1)计算甲企业的平均值,得出甲企业产品的质量指标值~(60,142)X N ,计算所求的概率值; (2)根据统计数据填写22?列联表,计算2K ,对照临界值表得出结论. 【详解】 (1)依据上述数据,甲厂产品质量指标值的平均值为: 1 (301040405011560165701208045905)500 x = ??+?+?+?+?+?+? 60=, 所以60μ=,2142σ=, 即甲企业生产的零件质量指标值X 服从正态分布(60,142)N , 又11.92σ=≈,则, (6011.926011.92)(48.0871.92)0.6826P X P X -<<+=<<=, 1(48.0871.92)10.6826 (71.92)0.15870.15922 P X P X -<<-= ==≈≥, 所以,甲企业零件质量指标值不低于71.92的产品的概率为0.159. (2)22?列联表: 计算2 2 1000(400140360100)8.7727.879760240500500 K ??-?= ≈>??? ∴能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个企业生产的产品的质量有差异. 【点睛】 本题主要考查了独立性检验与正态分布的特点及概率求解问题,是基础题. 21.(1)207256;(2)分布列见解析, 337 128 . 【解析】 【分析】 (1)根据概率的乘法公式,求出对应的概率,即可得到结论. (2)利用离散型随机变量分别求出对应的概率,即可求X 的分布列以及数学期望. 【详解】 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,k A 表示“第k 局甲获胜”,k B 表示“第k 局乙获胜”则()34k P A = ,()1 4 k P B =,1,2,3,4,5k =. (1)()()()121231234()P A P A A P B A A P A B A A =++ ()()()()()()()()()121231234P A P A P B P A P A P A P B P A P A =++ 2 2 2 313313207444444256?????? =+?+??= ? ? ??????? . (2)X 的所有可能取值为2,3,4,5. ()()()()()()121212125(2)8 P X P A A P B B P A P A P B P B ==+=+=, ()()123123(3)P X P B A A P A B B ==+ ()()()()()()123123316 P B P A P A P A P B P B =+= , ()()12341234(4)P X P A B A A P B A B B ==+ ()()()()()()()()1234123415 128 P A P B P A P A P B P A P B P B =+= ,