第一章 三角函数
一、选择题
1.已知 α 为第三象限角,则 2
α
所在的象限是( ). A .第一或第二象限 B .第二或第三象限 C .第一或第三象限
D .第二或第四象限
2.若sin θcos θ>0,则θ在( ). A .第一、二象限 B .第一、三象限 C .第一、四象限
D .第二、四象限
3.sin
3π4cos 6π5tan ??? ??3π4-=( ). A .-
4
3
3
B .
4
3
3 C .-
4
3 D .
4
3 4.已知tan θ+θtan 1
=2,则sin θ+cos θ等于( ). A .2
B .2
C .-2
D .±2
5.已知sin x +cos x =51
(0≤x <π),则tan x 的值等于( ). A .-
4
3
B .-
3
4 C .
4
3 D .
3
4 6.已知sin α >sin β,那么下列命题成立的是( ). A .若α,β 是第一象限角,则cos α >cos β B .若α,β 是第二象限角,则tan α >tan β C .若α,β 是第三象限角,则cos α >cos β D .若α,β 是第四象限角,则tan α >tan β 7.已知集合A ={α|α=2k π±3π2,k ∈Z },B ={β|β=4k π±3
π2,k ∈Z },C = {γ|γ=k π±
3
π
2,k ∈Z },则这三个集合之间的关系为( ). A .A ?B ?C
B .B ?A ?C
C .C ?A ?B
D .B ?C ?A
8.已知cos (α+β)=1,sin α=31
,则sin β 的值是( ).
A .3
1
B .-3
1
C .
3
2
2 D .-
3
2
2 9.在(0,2π)内,使sin x >cos x 成立的x 取值范围为( ).
A .??? ??2π ,4π∪??? ?
?4π5 ,π
B .??
?
??π ,4π
C .??
? ??4π5 ,4π
D .??? ??π ,4π∪??? ?
?23π ,4π5
10.把函数y =sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3
π
个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
2
1
倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( ). A .y =sin ??? ?
?
3π - 2x ,x ∈R
B .y =sin ??
?
??6π + 2x ,x ∈R
C .y =sin ??? ?
?
3π + 2x ,x ∈R
D .y =sin ??? ?
?
32π + 2x ,x ∈R
二、填空题
11.函数f (x )=sin 2 x +3tan x 在区间??
?
???3π4π ,上的最大值是 . 12.已知sin α=
552,2
π
≤α≤π,则tan α= . 13.若sin ??? ??α + 2π=53,则sin ??
?
??α - 2π= .
14.若将函数y =tan ??? ??4π + x ω(ω>0)的图象向右平移6π个单位长度后,与函数y =tan ??? ?
?
6π + x ω的图
象重合,则ω的最小值为 .
15.已知函数f (x )=
21(sin x +cos x )-2
1
|sin x -cos x |,则f (x )的值域是 . 16.关于函数f (x )=4sin ??? ?
?
3π + 2x ,x ∈R ,有下列命题:
①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos ??? ?
?
6π - 2x ;
②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数; ③函数y =f (x )的图象关于点(-
6
π
,0)对称; ④函数y =f (x )的图象关于直线x =-6
π
对称. 其中正确的是______________.
三、解答题
17.求函数f (x )=lgsin x +1cos 2-x 的定义域.
18.化简:
(1))-()+(-)++()
+()-(-)++(-αααααα????180cos cos 180tan 360tan sin 180sin ;
(2))
-()+()-()++(πcos πsin πsin πsin n n n n αααα(n ∈Z ).
19.求函数y =sin ??? ?
?
6π - 2x 的图象的对称中心和对称轴方程.
20.(1)设函数f (x )=x
a
x sin sin +(0<x <π),如果 a >0,函数f (x )是否存在最大值和最小值,如果存
在请写出最大(小)值;
(2)已知k <0,求函数y =sin 2 x +k (cos x -1)的最小值.
参考答案
一、选择题 1.D
解析:2k π+π<α<2k π+23π,k ∈Z ?k π+2π<2
α<k π+43
π,k ∈Z .
2.B
解析:∵ sin θcos θ>0,∴ sin θ,cos θ同号.
当sin θ>0,cos θ>0时,θ在第一象限;当sin θ<0,cos θ<0时,θ在第三象限. 3.A
解析:原式=??
?
??-??? ??-??? ?
?
-3πtan 6πcos 3πsin =-433. 4.D 解析:tan θ+
θtan 1=θθcos sin +θ
θsin cos =θθcos sin 1=2,sin θ cos θ=21
.
(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=2.sin θ+cos θ=±2. 5.B
解析:由 得25cos 2 x -5cos x -12=0.
解得cos x =
54或-5
3. 又 0≤x <π,∴ sin x >0. 若cos x =
5
4,则sin x +cos x ≠51,
∴ cos x =-53,sin x =5
4,∴ tan x =-34
.
6.D
解析:若 α,β 是第四象限角,且sin α>sin β,如图,利用单位圆中
的三角函数线确定α,β 的终边,故选D .
7.B
解析:这三个集合可以看作是由角±
3
π
2的终边每次分别旋转一周、两周和半周所得到的角的集合. ???
1=cos +sin 51
=cos +sin 22x x x x (第6题`)
8.B
解析:∵ cos (α+β)=1, ∴ α+β=2k π,k ∈Z . ∴ β=2k π-α.
∴ sin β=sin (2k π-α)=sin (-α)=-sin α=-31
.
9.C
解析:作出在(0,2π)区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横坐标4π
和4
5π,由图象可得答案.本题也可用单位圆来解.
10.C
解析:第一步得到函数y =sin ??? ?
?
+3πx 的图象,第二步得到函数y =sin ??? ?
?
+3π2x 的图象. 二、填空题 11.
4
15
. 解析:f (x )=sin 2 x +3tan x 在???
???3π4π ,
上是增函数,f (x )≤sin 23π+3tan 3π=415. 12.-2. 解析:由sin α=552,2
π
≤α≤π?cos α=-55,所以tan α=-2. 13.
5
3
. 解析:sin ??? ??α + 2π=53,即cos α=53,∴ sin ??
?
??α - 2π=cos α=53.
14.2
1.
解析:函数y =tan ??? ??
4π+x ω (ω>0)的图象向右平移6π个单位长度后得到函数
y =tan ????????? ?
?4π+6π-x ω=tan ??? ??
ωω6π-4π+x 的图象,则6π=4π-6πω+k π(k ∈Z ),
ω=6k +
21,又ω>0,所以当k =0时,ωmin =2
1. 15.???
??
?221 ,-. 解析:f (x )=
21(sin x +cos x )-21|sin x -cos x |=?
??)<()(x x x x x x cos sin sin cos ≥sin
cos
即 f (x )等价于min {sin x ,cos x },如图可知, f (x )max =f ??
?
??4π=22,f (x )min =f (π) =-1.
16.①③.
解析:① f (x )=4sin ??? ??+3π2x =4cos ??? ??--3π22π
x
=4cos ??? ?
?
+-6π2x
=4cos ??? ?
?
-6π2x .
② T =2
2π
=π,最小正周期为π.
③ 令 2x +
3π=k π,则当 k =0时,x =-6
π, ∴ 函数f (x )关于点??
? ?
?
0 6
π-,
对称. ④ 令 2x +3π=k π+2π,当 x =-6π
时,k =-2
1,与k ∈Z 矛盾. ∴ ①③正确. 三、解答题
17.{x |2k π<x ≤2k π+
4
π
,k ∈Z }. 解析:为使函数有意义必须且只需???
??-② 0 ≥1 cos 2① >0 sin x x
先在[0,2π)内考虑x 的取值,在单位圆中,做出三角函数线. 由①得x ∈(0,π),
由②得x ∈[0,
4
π]∪[47
π,2π].
二者的公共部分为x ∈???
??4π0,.
所以,函数f (x )的定义域为{x |2k π<x ≤2k π+
4
π
,k ∈Z }. (第15题)
(第17题)
18.(1)-1;(2) ±α
cos 2
. 解析:(1)原式=
αααααα cos cos tan tan sin sin -+--=-α
α
tan tan =-1.
(2)①当n =2k ,k ∈Z 时,原式=)-()+()-()++(π2 cos π2sin π2sin π2sin k k k k αααα=α cos 2
.
②当n =2k +1,k ∈Z 时,原式=
])+-([])++([])+-([]+)++([π12 cos π12sin π12sin π12sin k k k k αααα=-α
cos 2
.
19.对称中心坐标为???
??0 ,12π + 2
πk ;对称轴方程为x =
2πk +3π(k ∈Z ). 解析:∵ y =sin x 的对称中心是(k π,0),k ∈Z ,
∴ 令2x -
6π
=k π,得x =2
πk +12π. ∴ 所求的对称中心坐标为???
??0 ,12π + 2πk ,k ∈Z . 又 y =sin x 的图象的对称轴是x =k π+2
π
, ∴ 令2x -
6π=k π+2π,得x =2
πk +3π
. ∴ 所求的对称轴方程为x =
2
πk +3π
(k ∈Z ). 20.(1)有最小值无最大值,且最小值为1+a ; (2)0. 解析:(1) f (x )=
x a x sin sin +=1+x
a sin ,由0<x <π,得0<sin x ≤1,又a >0,所以当sin x =1时,
f (x )取最小值1+a ;此函数没有最大值.
(2)∵-1≤cos x ≤1,k <0, ∴ k (cos x -1)≥0, 又 sin 2 x ≥0,
∴ 当 cos x =1,即x =2k π(k ∈Z )时,f (x )=sin 2 x +k (cos x -1)有最小值f (x )min =0.