2019高三数学(理科)二轮专题复习训练：专题强化练十一

2019高三数学（理科）二轮专题复习训练：专题强化练

十一

一、选择题

1．(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m∥n”是“m∥α”的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析：若m?α，n?α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m?α，n?α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面．故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．

答案：A

2．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )

A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD

C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC

解析：如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1.

又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，

所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.

答案：C

3．(2018·河南开封一模)在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是( ) A．若a∥α，b∥α，则a∥b

B．若a?α，b?β，α⊥β，则a⊥b

C．若a∥α，a∥b，则b∥α

D．若α∥β，a?α，则a∥β

解析：对于A，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故A是假命题；

对于B，设α∩β＝m，a，b均与m平行，则a∥b，故B是假命题；

对于C，b∥α或b在平面α内，故C是假命题；

对于D，若α∥β，a?α，则a与β没有公共点，则a∥β，故D是真命题．

答案：D

4．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )

A. B. C. D.

7 2

解析：因为CD∥AB，所以∠BAE即为异面直线AE与CD所成的角．设正方体的棱长为2，则BE＝.

因为AB⊥平面BB1C1C，

所以AB⊥BE.

在Rt△ABE中，tan ∠BAE＝＝.

所以异面直线AE与CD所成角的正切值为.

答案：C

5．(2018·长沙雅礼中学联考)对于四面体A-BCD，有以下命题：①若AB＝AC＝AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；②若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心；③四面体A-BCD 的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体A-BCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为.其中正确的命题序号是( ) A．①③ B．③④ C．①②③ D．①③④

解析：①正确，若AB＝AC＝AD，则AB，AC，AD在底面的射影相等，即与底面所成角相等；

②不正确，如图1，点A在平面BCD的射影为点O，连接BO，CO，可得BO⊥CD，CO⊥BD，所以点O是△BCD的垂心；

③正确，如图2，若AB⊥平面BCD，∠BCD＝90°，则四面体A-BCD 的四个面均为直角三角形；

④正确，设正四面体的内切球的半径为r，棱长为1，高为，根据等体积公式×S×＝×4×S×r，解得r＝，那么内切球的表面积S＝4

πr2＝.

故正确的命题是①③④.

答案：D

二、填空题

6.如图，在空间四边形ABCD中，点M∈AB，点N∈AD，若＝，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．

解析：由＝，得MN∥BD.

而BD?平面BDC，MN?平面BDC，

所以MN∥平面BDC.

答案：平行

7．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号)．

①AC⊥BE；

②B1E∥平面ABCD；

③三棱锥E-ABC的体积为定值；

④直线B1E⊥直线BC1.

解析：因AC⊥平面BDD1B1，故①正确；因B1D1∥平面ABCD，故②正确；记正方体的体积为V，则VE-ABC＝V，为定值，故③正确；B1E 与BC1不垂直，故④错误．

答案：①②③

8．直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长都为1，AB＝BC＝1，且直线AB 与平面BB1C1C所成的角为60°，则异面直线A1B，AC所成角的余弦值为________．

解析：由于ABC-A1B1C1为直三棱柱，则AB与平面BB1C1C所成的角即为∠ABC.

依题设，AB＝BC＝1，

∠ABC＝60°，则△ABC为正三角形．

由AC∥A1C1，知∠BA1C1为异面直线A1B与AC所成的角．

由于A1C1＝1，A1B＝，C1B＝.

由余弦定理得：cos ∠BA1C1＝

BA21＋A1C－BC

2BA1·A1C1

＝＝.

答案：

2 4

三、解答题

9．(2018·湖南益阳模拟)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝2BC，∠DA B＝∠ABP＝90°.

(1)求证：AD⊥平面PAB；[来源:学,科,网Z,X,X,K]

(2)求证：AB⊥PC；

(3)若点E在棱PD上，且CE∥平面PAB，求的值．(1)证明：因为∠DAB＝90°，[来源:Z§xx§https://www.sodocs.net/doc/d316427810.html,]

所以AD⊥AB.[来源:学|科|网Z|X|X|K]

因为平面PAB⊥平面ABCD，

且平面PAB∩平面ABCD＝AB，

所以AD⊥平面PAB.

(2)证明：由(1)知AD⊥AB，

因为AD∥BC，所以BC⊥AB.

又因为∠ABP＝90°，

所以PB⊥AB.

因为PB∩BC＝B，

所以AB⊥平面PBC，

因为PC?平面PBC，

所以AB⊥PC.

(3)解：过E作EF∥AD交PA于F，连接BF.如图所示．因为AD∥BC，所以EF∥BC.

所以E，F，B，C四点共面．

又因为CE∥平面PAB，

且CE?平面BCEF，平面BCEF∩平面PAB＝BF，

所以CE∥BF，

所以四边形BCEF为平行四边形，所以EF＝BC＝AD.

在△PAD中，因为EF∥AD，

所以＝＝，即＝.

10．(2018·北京卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．

(1)求证：PE⊥BC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(3)求证：EF∥平面PCD.

证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，

所以PE⊥AD.

因为底面ABCD为矩形，[来源:学科网ZXXK]

所以BC∥AD.

所以PE⊥BC.[来源:学科网]

(2)因为底面ABCD为矩形，

所以AB⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以AB⊥平面PAD.

所以AB⊥PD.

又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，

所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD，

所以平面PAB⊥平面PCD.

(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.

因为F，G分别为PB，PC的中点，

所以FG∥BC，FG＝BC.

因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，

所以DE∥BC，DE＝BC.

所以DE∥FG，DE＝FG.

所以四边形DEFG为平行四边形．

所以EF∥DG.

又因为EF?平面PCD，DG?平面PCD，

所以EF∥平面PCD.

11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为DC的中点，将△ADM 沿AM折起使平面ADM⊥平面ABCM.

(1)当AB＝2时，求三棱锥M-BCD的体积；

(2)求证：BM⊥AD.

(1)解：取AM的中点N，连接DN.如图所示．

因为在矩形ABCD中，M为DC的中点，AB＝2AD，

所以DM＝AD.

又N为AM的中点，

所以DN⊥AM.

又因为平面ADM⊥平面ABCM，

平面ADM∩平面ABCM＝AM，DN?平面ADM.

所以DN⊥平面ABCM.

因为AD＝1，所以DN＝.

又S△BCM＝·CM·CB＝.

所以V三棱锥M-BCD＝V三棱锥D-BCM＝S△BCM×DN＝.

(2)证明：由(1)可知，DN⊥平面ABCM.

又BM?平面ABCM，

所以BM⊥DN.

在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为DC中点，

所以△ADM，△BCM都是等腰直角三角形，且∠ADM＝90°，∠BCM ＝90°，

所以BM⊥AM.

又DN，AM?平面ADM，DN∩AM＝N，所以BM⊥平面ADM.

又AD?平面ADM，

所以BM⊥AD.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m