2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案)
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.方程6)5)(2()4)(1(33=-++-+x x x x 的实数解的个数为( )
A .0
B .1
C .2
D .大于2
2.正2007边形P 被它的一些不在P 内部相交的对角线分割成若干个区域,每个区域都是三角形,则锐角三角形的个数为( )
A .0
B .1
C .大于1
D .与分割的方法有关
3.已知关于参数a (0>a )的二次函数a
a a x a ax y 4141312
22+-
-+-+=(R x ∈)的最小值是关于a 的函数)(a f ,则)(a f 的最小值为( )
A .-2
B .64137-
C .4
1
- D .以上结果都不对 4.已知b a ,为正整数,b a ≤,实数y x ,满足)(4b y a x y x +++=+,若y x +的最大值为40,则满
足条件的数对),(b a 的数目为( )
A .1
B .3
C .5
D .7
5.定义区间),(d c ,),[d c ,],(d c ,],[d c 的长度均为c d -,其中c d >.已知实数b a >,则满足
11
1≥-+-b
x a x 的x 构成的区间的长度之和为( ) A .1 B .b a - C .b a + D .2 6.过四面体ABCD 的顶点D 作半径为1的球,该球与四面体ABCD 的外接球相切于点D ,且与平面ABC
相切.若32=AD , 45=∠=∠CAD BAD ,
60=∠BAC ,则四面体ABCD 的外接球的半径r 为( )
A .2
B .22
C .3
D .32 二、填空题(每小题9分,共54分)
7.若关于y x ,的方程组?
??=+=+1012
2y x by ax 有解,且所有的解都是整数,则有序数对),(b a 的数目为______________.
8.方程200732
2
=+y x 的所有正整数解为_____________.
9.若D 是边长为1的正三角形ABC 的边BC 上的点,ABC ?与ACD ?的内切圆半径分别为1r ,2r ,若
5
3
21=
+r r ,则满足条件的点D 有两个,分别设21,D D ,则21,D D 之间的距离为_______________.
10.方程1])
9(9)4(4)1(1[32)9)(4)(1()9)(4)(1(3
3
333333=++++++++++++---x x x x x x x x x x x x 的不同非零整数解的个数为_____________.
11.设集合},,,,{54321a a a a a A =,},,,,{2
52
42
32
22
1a a a a a B =,其中54321,,,,a a a a a 是五个不同的正整数,54321a a a a a <<<<,},{41a a B A = ,1041=+a a ,若B A 中所有元素的和为246,则满足条件的集合A 的个数为_____________.
12.在平面直角坐标系中定义两点),(11y x P ,),(22y x Q 之间的交通距离为
||||),(2121y y x x Q P d -+-=.若),(y x C 到点)3,1(A ,)9,6(B 的交通距离相等,其中实数y x ,满足
100≤≤x ,100≤≤y ,则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为________.
三、论述题(每小题20分,共60分)
13.已知ABC ?的外心为O ,
90<∠A ,P 为OBC ?的外接圆上且在ABC ?内部的任意一点,以OA 为直径的圆分别与AB ,AC 交于点E D ,,OE OD ,分别与PC PB ,或其延长线交于点G F ,,求证G F A ,,三点共线.
14.已知数列}{n a (0≥n )满足00=a ,11=a ,对于所有正整数n ,有1120072-++=n n n a a a ,求使得n a |2008成立的最小正整数n .
15.排成一排的10名学生生日的月份均不相同,有n 名教师,依次挑选这些学生参加n 个兴趣小组,每个学生恰被一名教师挑选,且保持学生的排序不变,每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐渐增加或逐渐减少的(挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少),每名教师尽可能多选学生.对于学生所有可能的排序,求n 的最小值.
参考答案
一、选择题(每小题6分,共36分)
16=的实数解的个数为( )。
()0A ()1B ()2C ()D 大于2
答 选A 。
设a b ==336,6a b a b +=+=,因此221a b ab +-=,从而可
得353ab =
,因此,a b 是方程2
35603t t -+
=的两个实根,判别式3203
?=-<,无解,所以选A 。 2.正2007边形P 被它的一些不在P 内部相交的对角线分割成若干个区域,每个区域都是三角形,则
锐角三角形的个数为( )。
()0A ()1B ()C 大于1 ()D 与分割的方法有关
答 选B 。
只有包含正2007边形中心O 的三角形是锐角三角形,所以只有一个,选B 。
3.已知关于参数()0a a >的二次函数()2
2
11344y ax a a x R a
=+--
+∈的最小值是关于a 的函数()f a ,则()f a 的最小值为( )
。 ()2A - ()13764B -
()1
4
C - ()
D 以上结果都不对 答 选A 。
当2x a
=-时,y 的最小值为()2
11144f a a a =--,其中01a <≤。因为对称轴为118a =,所
以当1a =时()f a 的最小值为2-,选A 。
4.已知,a b 为正整数,a b ≤,实数,x y 满足4x y +=,若x y +的最大值为40,
则满足条件的数对(),a b 的数目为( )。
()1A ()3B ()5C ()7D 。
答 选C 。
因为()(
)2
2
2
2u v u v
+≤+,所以4x y +=≤,
于是有
()()()
2
3232
0x y
x y a b +-+-+≤,因此16x y +≤+。由于
1640+=,得10a b +=,其中x y +的最大值当()1402x b a =
-+,()1
402
y a b =-+时取到。又因为a b ≤,所以满足条件的数对(),a b 的数目为5,选C 。
5.定义区间()[)(][],,,,,,,c d c d c d c d 的长度均为d c -,其中d c >。已知实数a b >,则满足
111x a x b
+≥--的x 构成的区间的长度之和为( )。 ()1A ()B a b - ()C a b + ()2D
答 选D 。 原不等式等价于
()
()()
21x a b x a x b -+≥--。
当x a >或x b <时,原不等式等价于()()220x a b x a b ab -+++++≤。设
()()()2
2f x x a b x a b a b =
-+++++,则()()0,0f a a f b a b =-<=->。设()0f x =的两个根分
别为()1212,x x x x <,则满足()0f x ≤的x 构成的区间为(]2,a x ,区间的长度为2x a -。
当b x a <<时,同理可得满足()0f x ≥的x 构成的区间为(]1,b x ,区间的长度为1x b -。
由韦达定理,122x x a b +=++,所以满足条件的x 构成的区间的长度之和为
()2122x a x b a b a b -+-=++--=,所以选D 。
6.过四面体ABCD 的顶点D 作半径为1的球,该球与四面体ABCD 的外接球相切于点D ,且与平面
ABC 相切。若45,60AD BAD CAD BAC =∠=∠=?∠=?,则四面体ABCD 的外接球的半径r 为
( )。
()
2A ()B ()3C ()D 答 选C 。
过D 作平面ABC 的垂线,垂足为H ,作DE AB ⊥,垂足为E ,DF AC ⊥,垂足为F ,则
,HE AB HF AC ⊥⊥,且有cos 45AE AF AD ==?。由于AEH AFH ? ,则30HAE ∠=?,
cos30AE
AH =
=?
2DH ==,因此DH 为半径为1的球的直径,从而四面体ABCD 的
外接球的球心O 在DH 的延长线上,于是有()(2
2
2
2r r =-+,解得3r =。
二、填空题(每小题9分,共54分)
7.若关于,x y 的方程组22
1,
10ax by x y +=??+=?
有解,且所有的解都是整数,则有序数对(),a b 的数目为 。
答 32。
因为2
2
10x y +=的整数解为
()()()()()()()()1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1--------,
所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条,过这八个点的切线有8条,每条直线确定了唯一的有序数对(),a b ,所以有序数对(),a b 的数目为32。
8.方程2232007x y +=的所有正整数解为 。
答 42,9x y ==。
因为()()20,1m o d 3,2007
0m o d 3a ≡≡,所以()
0m o d 3
x ≡。设13x x =,类似的可得 ()
0mod3y ≡。设13y y =,则原方程化为22113223x y +=,11x ≤<,即1114x ≤≤。因为
()2231mod3≡,
所以()11mod3x ≡±。又因为()2233mod4≡,所以1x 为偶数,于是{}12,4,8,10,14x ∈,经验证,1114,3x y ==,所以42,9x y ==。
或由11y ≤≤
118y ≤≤,又因为1y 为奇数,所以经验证113,14y x ==。 9.若D 是边长为1的正三角形ABC 的边BC 上的点,ABD ?与ACD ?的内切圆半径分别为12,r r ,若
12r r +=
,则满足条件的点D 有两个,分别设为12,D D ,则12,D D 之间的距离为 。
答
5
设BD x =,由余弦定理得AD =
。一方面,122
ABD S x ?=
,另一方面,
(
11
12
ABD S x r ?=
++,解
得
11r x =
+。同理可得
22r x =
-。从而有123r r +=-。当12x =时,12r r +有最大值,且
12r r <+≤12r r +=,所以2
190100x x -+=。设两个根分别为
12,x x ,则125
x x -=
=
。
10.方程()()()()()()()()()33333333
149214911493149x x x x x x x x x x x x ??
---++++++= ? ?++++++??
的不同非零整数解的个数为 。
答 4。
利用()()
3322
a b a b a ab b +=+-+,原方程
()()()()()()()()()33333
333
1492149111101493149x x x x x x x x x x x x ??---+++++-+-+-= ? ?++++++??
等价于
()()()()()()322249490149149x x x x x x x x x x x ??+-++= ? ?++++++??
。 方程两端同除x ,整理后得()
42
982883850x x x x --+=。再同除x ,得
()()2
2
2316240x x --+=。
即()()2
2
67
6550x x x
x +---=,从而有
()()()()715110x x x x +-+-=。
经验证12347,1,5,11x x x x =-==-=均是原方程的根,所以原方程共有4个整数根。
11.设集合{}{}
22222
1234512345,,,,,,,,,A a a a a a B a a a a a ==,其中12345,,,,a a a a a 是五个不同的正整
数,{}123451414,,,10a a a a a A B a a a a <<<<=+= ,若A B 中所有元素的和为246,则满足条件的集合A 的个数为 。
答 2。
因为211a a =,所以141,9a a ==。由于B 中有9,因此A 中有3。若33a =,则22a =,于是
255146a a +=,无正整数解。若23a =,由于51011a ≤≤,所以225a a ≠,于是223355152a a a a +++=。
又因为34a ≥,当510a =时,36a =;当511a =时,34a =,因此满足条件的A 共有2个,分别为
{}{}1,3,4,9,11,1,3,6,9,10。
12.在平面直角坐标系中定义两点()()1122,,,P x y Q x y 之间的交通距离为
()1212,d P Q x x y y =-+-。若(),C x y 到点()()
1,3,6,9A B 的交通距离相等,其中实数,x y 满足010,010x y ≤≤≤≤,则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为 。
答 )
5
1。
由条件得1369x y x y -+-=-+-。 当1,9x y ≤≥时,无解; 当16,9x y ≤≤≥时,无解; 当6,9x y ≥≥时,无解;
当1,39x y ≤≤≤时,8.5y =,线段长为1。
当16,39x y ≤≤≤≤时,9.5x y +=,线段长为 当6,39x y ≥≤≤时 3.5y =,线段长为4。 当1,3x y ≤≤时,无解。 当16,3x y ≤≤≤时,无解。 当6,3x y ≥≤时,无解。
综上所述,点C 的轨迹构成的线段的长之和为)
145
1+=。
三、论述题(每小题20分,共60分) 13.已知ABC ?的外心为O ,90A ∠,P 为OBC ?的外接圆上且在ABC ?内部的任意一点,以OA 为直径的圆分别与,AB AC 交于点,D E , ,OD OE 分别与,PB PC 或其延长线交于点,F G ,求证,,A F G 三点共线。
证明 连AG ,与BP 交于点F ',由于O E A E ⊥,因此G A C ?是等腰三角形,所以G A C G C A ∠=∠,2BAC BOC BPC BAC GCA PBA ∠=∠=∠=∠+∠+∠,于是可得PBA BAG ∠=∠,从而有F '在AB 的中垂线上。由于OD AD ⊥,F 在AB 的中垂线上,于是有F F '=,即,,A F G 三点共线。
14.已知数列{}()0n a n ≥满足010,1a a ==,对于所有正整数n ,有1122007n n n a a a +-=+,求使得
2008n a 成立的最小正整数n 。
解法一 设2008m =,1122007n n n a a a +-=+的特征方程为2
220070λλ--=,特征根为1
结合
010,1a a ==,得
(()
11n
n
n a =-。由二项式定理得
()
22
00
1
k k
n n
k
k k
n n n
k k
a C m C m
==
??
=--?
?
∑∑。
当n为奇数时,
31
13222
n n
n n
n n n n n
a C C m C m C m
--
-
=++++
;
当n为偶数时,
42
1331
22
n n
n n
n n n n n
a C C m C m C m
--
--
=++++
。
于是1
n n
m a m C
?,即2008n,所以满足条件的最小正整数为2008。
解法二下面都是在模2008意义下的
n
a,则
11
2
n n n
a a a
+-
≡-,即
11
n n n n
a a a a
+-
-≡-,因此数列{}n a
在模2008意义下具有等差数列的特点。又因为
01
0,1
a a
==,所以
n
a n
≡。于是有2008n,因此满足条件的最小正整数为2008。
15.排成一排的10名学生生日的月份均不相同,有n名教师,依次挑选这些学生参加n个兴趣小组,每个学生恰被一名教师挑选,且保持学生的排序不变,每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐渐增加或逐渐减少的(挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少的),每名教师尽可能多选学生,对于学生所有可能的排序,求n的最小值。
解n的最小值为4。
若3
n≤,不妨假设这10名学生生日的月份分别为1,2,,10
,当学生按生日排序为4,3,2,1,7,6,5,9,8,10时,存在一名教师至少要挑选前四名学生中的两名,由于这两名学生生日的月份是逐渐减少的,且后六名学生生日的月份均大于前四名学生生日的月份,因此这名教师不可能再挑选后六名学生;在余下的不超过两名教师中,一定存在一名教师至少要挑选第五名至第七名学生中的两名,同理,这名教师不可能再挑选后三名学生;余下的不超过一名教师也不可能挑选后三名学生,矛盾。
下面先证明:对于互不相同的有序实数列
12
,,,
m
a a a
,当5
m≥时,一定存在三个数()
,,
i j k
a a a i j k
<<满足
i j k
a a a
<<或
i j k
a a a
>>。
设最大数和最小数分别为,
s t
a a,不妨假设s t<。若1
s t
+<,则
1
,,
s s t
a a a
+
满足
1
s s t
a a a
+
>>;
1
s t
+=,因为5
m≥,所以要么在
1
,
s s
a a
+
的前面,要么在
1
,
s s
a a
+
的后面至少有两个数,不妨假设在
1
,
s s
a a
+
的后面有两个数
23
,
s s
a a
++
,从而
23
s s s
a a a
++
>>与
123
s s s
a a a
+++
<<中一定有一个成立。
引用上面的结论,当4
n=时,第一名教师至少可以挑选三名学生;若余下的学生大于等于5名,则第二名教师也至少可以挑选三名学生;这时剩下的学生的数目不超过4名,可以被两名教师全部挑选,因此,n的最小值为4。