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2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案)

2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案)
2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案)

2007年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含详细答案)

一、选择题(每小题6分,共36分)

1.方程6)5)(2()4)(1(33=-++-+x x x x 的实数解的个数为( )

A .0

B .1

C .2

D .大于2

2.正2007边形P 被它的一些不在P 内部相交的对角线分割成若干个区域,每个区域都是三角形,则锐角三角形的个数为( )

A .0

B .1

C .大于1

D .与分割的方法有关

3.已知关于参数a (0>a )的二次函数a

a a x a ax y 4141312

22+-

-+-+=(R x ∈)的最小值是关于a 的函数)(a f ,则)(a f 的最小值为( )

A .-2

B .64137-

C .4

1

- D .以上结果都不对 4.已知b a ,为正整数,b a ≤,实数y x ,满足)(4b y a x y x +++=+,若y x +的最大值为40,则满

足条件的数对),(b a 的数目为( )

A .1

B .3

C .5

D .7

5.定义区间),(d c ,),[d c ,],(d c ,],[d c 的长度均为c d -,其中c d >.已知实数b a >,则满足

11

1≥-+-b

x a x 的x 构成的区间的长度之和为( ) A .1 B .b a - C .b a + D .2 6.过四面体ABCD 的顶点D 作半径为1的球,该球与四面体ABCD 的外接球相切于点D ,且与平面ABC

相切.若32=AD , 45=∠=∠CAD BAD ,

60=∠BAC ,则四面体ABCD 的外接球的半径r 为( )

A .2

B .22

C .3

D .32 二、填空题(每小题9分,共54分)

7.若关于y x ,的方程组?

??=+=+1012

2y x by ax 有解,且所有的解都是整数,则有序数对),(b a 的数目为______________.

8.方程200732

2

=+y x 的所有正整数解为_____________.

9.若D 是边长为1的正三角形ABC 的边BC 上的点,ABC ?与ACD ?的内切圆半径分别为1r ,2r ,若

5

3

21=

+r r ,则满足条件的点D 有两个,分别设21,D D ,则21,D D 之间的距离为_______________.

10.方程1])

9(9)4(4)1(1[32)9)(4)(1()9)(4)(1(3

3

333333=++++++++++++---x x x x x x x x x x x x 的不同非零整数解的个数为_____________.

11.设集合},,,,{54321a a a a a A =,},,,,{2

52

42

32

22

1a a a a a B =,其中54321,,,,a a a a a 是五个不同的正整数,54321a a a a a <<<<,},{41a a B A = ,1041=+a a ,若B A 中所有元素的和为246,则满足条件的集合A 的个数为_____________.

12.在平面直角坐标系中定义两点),(11y x P ,),(22y x Q 之间的交通距离为

||||),(2121y y x x Q P d -+-=.若),(y x C 到点)3,1(A ,)9,6(B 的交通距离相等,其中实数y x ,满足

100≤≤x ,100≤≤y ,则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为________.

三、论述题(每小题20分,共60分)

13.已知ABC ?的外心为O ,

90<∠A ,P 为OBC ?的外接圆上且在ABC ?内部的任意一点,以OA 为直径的圆分别与AB ,AC 交于点E D ,,OE OD ,分别与PC PB ,或其延长线交于点G F ,,求证G F A ,,三点共线.

14.已知数列}{n a (0≥n )满足00=a ,11=a ,对于所有正整数n ,有1120072-++=n n n a a a ,求使得n a |2008成立的最小正整数n .

15.排成一排的10名学生生日的月份均不相同,有n 名教师,依次挑选这些学生参加n 个兴趣小组,每个学生恰被一名教师挑选,且保持学生的排序不变,每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐渐增加或逐渐减少的(挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少),每名教师尽可能多选学生.对于学生所有可能的排序,求n 的最小值.

参考答案

一、选择题(每小题6分,共36分)

16=的实数解的个数为( )。

()0A ()1B ()2C ()D 大于2

答 选A 。

设a b ==336,6a b a b +=+=,因此221a b ab +-=,从而可

得353ab =

,因此,a b 是方程2

35603t t -+

=的两个实根,判别式3203

?=-<,无解,所以选A 。 2.正2007边形P 被它的一些不在P 内部相交的对角线分割成若干个区域,每个区域都是三角形,则

锐角三角形的个数为( )。

()0A ()1B ()C 大于1 ()D 与分割的方法有关

答 选B 。

只有包含正2007边形中心O 的三角形是锐角三角形,所以只有一个,选B 。

3.已知关于参数()0a a >的二次函数()2

2

11344y ax a a x R a

=+--

+∈的最小值是关于a 的函数()f a ,则()f a 的最小值为( )

。 ()2A - ()13764B -

()1

4

C - ()

D 以上结果都不对 答 选A 。

当2x a

=-时,y 的最小值为()2

11144f a a a =--,其中01a <≤。因为对称轴为118a =,所

以当1a =时()f a 的最小值为2-,选A 。

4.已知,a b 为正整数,a b ≤,实数,x y 满足4x y +=,若x y +的最大值为40,

则满足条件的数对(),a b 的数目为( )。

()1A ()3B ()5C ()7D 。

答 选C 。

因为()(

)2

2

2

2u v u v

+≤+,所以4x y +=≤,

于是有

()()()

2

3232

0x y

x y a b +-+-+≤,因此16x y +≤+。由于

1640+=,得10a b +=,其中x y +的最大值当()1402x b a =

-+,()1

402

y a b =-+时取到。又因为a b ≤,所以满足条件的数对(),a b 的数目为5,选C 。

5.定义区间()[)(][],,,,,,,c d c d c d c d 的长度均为d c -,其中d c >。已知实数a b >,则满足

111x a x b

+≥--的x 构成的区间的长度之和为( )。 ()1A ()B a b - ()C a b + ()2D

答 选D 。 原不等式等价于

()

()()

21x a b x a x b -+≥--。

当x a >或x b <时,原不等式等价于()()220x a b x a b ab -+++++≤。设

()()()2

2f x x a b x a b a b =

-+++++,则()()0,0f a a f b a b =-<=->。设()0f x =的两个根分

别为()1212,x x x x <,则满足()0f x ≤的x 构成的区间为(]2,a x ,区间的长度为2x a -。

当b x a <<时,同理可得满足()0f x ≥的x 构成的区间为(]1,b x ,区间的长度为1x b -。

由韦达定理,122x x a b +=++,所以满足条件的x 构成的区间的长度之和为

()2122x a x b a b a b -+-=++--=,所以选D 。

6.过四面体ABCD 的顶点D 作半径为1的球,该球与四面体ABCD 的外接球相切于点D ,且与平面

ABC 相切。若45,60AD BAD CAD BAC =∠=∠=?∠=?,则四面体ABCD 的外接球的半径r 为

( )。

()

2A ()B ()3C ()D 答 选C 。

过D 作平面ABC 的垂线,垂足为H ,作DE AB ⊥,垂足为E ,DF AC ⊥,垂足为F ,则

,HE AB HF AC ⊥⊥,且有cos 45AE AF AD ==?。由于AEH AFH ? ,则30HAE ∠=?,

cos30AE

AH =

=?

2DH ==,因此DH 为半径为1的球的直径,从而四面体ABCD 的

外接球的球心O 在DH 的延长线上,于是有()(2

2

2

2r r =-+,解得3r =。

二、填空题(每小题9分,共54分)

7.若关于,x y 的方程组22

1,

10ax by x y +=??+=?

有解,且所有的解都是整数,则有序数对(),a b 的数目为 。

答 32。

因为2

2

10x y +=的整数解为

()()()()()()()()1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1,1,3,3,1--------,

所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条,过这八个点的切线有8条,每条直线确定了唯一的有序数对(),a b ,所以有序数对(),a b 的数目为32。

8.方程2232007x y +=的所有正整数解为 。

答 42,9x y ==。

因为()()20,1m o d 3,2007

0m o d 3a ≡≡,所以()

0m o d 3

x ≡。设13x x =,类似的可得 ()

0mod3y ≡。设13y y =,则原方程化为22113223x y +=,11x ≤<,即1114x ≤≤。因为

()2231mod3≡,

所以()11mod3x ≡±。又因为()2233mod4≡,所以1x 为偶数,于是{}12,4,8,10,14x ∈,经验证,1114,3x y ==,所以42,9x y ==。

或由11y ≤≤

118y ≤≤,又因为1y 为奇数,所以经验证113,14y x ==。 9.若D 是边长为1的正三角形ABC 的边BC 上的点,ABD ?与ACD ?的内切圆半径分别为12,r r ,若

12r r +=

,则满足条件的点D 有两个,分别设为12,D D ,则12,D D 之间的距离为 。

5

设BD x =,由余弦定理得AD =

。一方面,122

ABD S x ?=

,另一方面,

(

11

12

ABD S x r ?=

++,解

11r x =

+。同理可得

22r x =

-。从而有123r r +=-。当12x =时,12r r +有最大值,且

12r r <+≤12r r +=,所以2

190100x x -+=。设两个根分别为

12,x x ,则125

x x -=

=

10.方程()()()()()()()()()33333333

149214911493149x x x x x x x x x x x x ??

---++++++= ? ?++++++??

的不同非零整数解的个数为 。

答 4。

利用()()

3322

a b a b a ab b +=+-+,原方程

()()()()()()()()()33333

333

1492149111101493149x x x x x x x x x x x x ??---+++++-+-+-= ? ?++++++??

等价于

()()()()()()322249490149149x x x x x x x x x x x ??+-++= ? ?++++++??

。 方程两端同除x ,整理后得()

42

982883850x x x x --+=。再同除x ,得

()()2

2

2316240x x --+=。

即()()2

2

67

6550x x x

x +---=,从而有

()()()()715110x x x x +-+-=。

经验证12347,1,5,11x x x x =-==-=均是原方程的根,所以原方程共有4个整数根。

11.设集合{}{}

22222

1234512345,,,,,,,,,A a a a a a B a a a a a ==,其中12345,,,,a a a a a 是五个不同的正整

数,{}123451414,,,10a a a a a A B a a a a <<<<=+= ,若A B 中所有元素的和为246,则满足条件的集合A 的个数为 。

答 2。

因为211a a =,所以141,9a a ==。由于B 中有9,因此A 中有3。若33a =,则22a =,于是

255146a a +=,无正整数解。若23a =,由于51011a ≤≤,所以225a a ≠,于是223355152a a a a +++=。

又因为34a ≥,当510a =时,36a =;当511a =时,34a =,因此满足条件的A 共有2个,分别为

{}{}1,3,4,9,11,1,3,6,9,10。

12.在平面直角坐标系中定义两点()()1122,,,P x y Q x y 之间的交通距离为

()1212,d P Q x x y y =-+-。若(),C x y 到点()()

1,3,6,9A B 的交通距离相等,其中实数,x y 满足010,010x y ≤≤≤≤,则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为 。

答 )

5

1。

由条件得1369x y x y -+-=-+-。 当1,9x y ≤≥时,无解; 当16,9x y ≤≤≥时,无解; 当6,9x y ≥≥时,无解;

当1,39x y ≤≤≤时,8.5y =,线段长为1。

当16,39x y ≤≤≤≤时,9.5x y +=,线段长为 当6,39x y ≥≤≤时 3.5y =,线段长为4。 当1,3x y ≤≤时,无解。 当16,3x y ≤≤≤时,无解。 当6,3x y ≥≤时,无解。

综上所述,点C 的轨迹构成的线段的长之和为)

145

1+=。

三、论述题(每小题20分,共60分) 13.已知ABC ?的外心为O ,90A ∠

证明 连AG ,与BP 交于点F ',由于O E A E ⊥,因此G A C ?是等腰三角形,所以G A C G C A ∠=∠,2BAC BOC BPC BAC GCA PBA ∠=∠=∠=∠+∠+∠,于是可得PBA BAG ∠=∠,从而有F '在AB 的中垂线上。由于OD AD ⊥,F 在AB 的中垂线上,于是有F F '=,即,,A F G 三点共线。

14.已知数列{}()0n a n ≥满足010,1a a ==,对于所有正整数n ,有1122007n n n a a a +-=+,求使得

2008n a 成立的最小正整数n 。

解法一 设2008m =,1122007n n n a a a +-=+的特征方程为2

220070λλ--=,特征根为1

结合

010,1a a ==,得

(()

11n

n

n a =-。由二项式定理得

()

22

00

1

k k

n n

k

k k

n n n

k k

a C m C m

==

??

=--?

?

∑∑。

当n为奇数时,

31

13222

n n

n n

n n n n n

a C C m C m C m

--

-

=++++

当n为偶数时,

42

1331

22

n n

n n

n n n n n

a C C m C m C m

--

--

=++++

于是1

n n

m a m C

?,即2008n,所以满足条件的最小正整数为2008。

解法二下面都是在模2008意义下的

n

a,则

11

2

n n n

a a a

+-

≡-,即

11

n n n n

a a a a

+-

-≡-,因此数列{}n a

在模2008意义下具有等差数列的特点。又因为

01

0,1

a a

==,所以

n

a n

≡。于是有2008n,因此满足条件的最小正整数为2008。

15.排成一排的10名学生生日的月份均不相同,有n名教师,依次挑选这些学生参加n个兴趣小组,每个学生恰被一名教师挑选,且保持学生的排序不变,每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐渐增加或逐渐减少的(挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少的),每名教师尽可能多选学生,对于学生所有可能的排序,求n的最小值。

解n的最小值为4。

若3

n≤,不妨假设这10名学生生日的月份分别为1,2,,10

,当学生按生日排序为4,3,2,1,7,6,5,9,8,10时,存在一名教师至少要挑选前四名学生中的两名,由于这两名学生生日的月份是逐渐减少的,且后六名学生生日的月份均大于前四名学生生日的月份,因此这名教师不可能再挑选后六名学生;在余下的不超过两名教师中,一定存在一名教师至少要挑选第五名至第七名学生中的两名,同理,这名教师不可能再挑选后三名学生;余下的不超过一名教师也不可能挑选后三名学生,矛盾。

下面先证明:对于互不相同的有序实数列

12

,,,

m

a a a

,当5

m≥时,一定存在三个数()

,,

i j k

a a a i j k

<<满足

i j k

a a a

<<或

i j k

a a a

>>。

设最大数和最小数分别为,

s t

a a,不妨假设s t<。若1

s t

+<,则

1

,,

s s t

a a a

+

满足

1

s s t

a a a

+

>>;

1

s t

+=,因为5

m≥,所以要么在

1

,

s s

a a

+

的前面,要么在

1

,

s s

a a

+

的后面至少有两个数,不妨假设在

1

,

s s

a a

+

的后面有两个数

23

,

s s

a a

++

,从而

23

s s s

a a a

++

>>与

123

s s s

a a a

+++

<<中一定有一个成立。

引用上面的结论,当4

n=时,第一名教师至少可以挑选三名学生;若余下的学生大于等于5名,则第二名教师也至少可以挑选三名学生;这时剩下的学生的数目不超过4名,可以被两名教师全部挑选,因此,n的最小值为4。

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