上海高考数学试卷及答案
2019 年上海市高考数学试卷
2019.06.07
一. 填空题(本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)
1. 已知集合A=(」：,3)，B=(2,=)，则Af]B 二 __________
2. 已知z C，且满足=i，求z =
z _5 '
3. 已知向量；=(1,0,2) , =(2,1,0)，则a与b的夹角为_________
4. 已知二项式(2x 1)5，则展开式中含X2项的系数为___________
x _0
|
5. 已知x、y满足y丄0 ，求z = 2x_3y的最小值为_____________
x y乞2
3
6. 已知函数f (x)周期为1，且当0 ：：： x _1，f (x) = log2 x，则f (-)二
7. 若x,y ? R ?，且丄? 2y =3，则-的最大值为____________
x x
8. 已知数列6｝前n项和为S n，且满足S n a^2，则二 _______________
9. 过曲线y2 =4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2 =4x交于A、B，A在B上
T T
方，M为抛物线上一点，OM “OA ( -2)OB，则一__________________
10. 某三位数密码，每位数字可在0-9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰
有
两位数字相同的概率是 _____
2 2
11. 已知数列｛a n｝满足a n < a n 1 (n，N *)，若R(n ,可)(n 一3)均在双曲线—-1 1 上,
6 2
则n m|巳巳訂二 _______
2
12. 已知f(x)日丄-a|( x 1，a 0)，f(x)与x轴交点为A，若对于f (x)图像
x T
上任意一点P，在其图像上总存在另一点Q( P、Q异于A)，满足AP_ AQ，且
|AP| = | AQ|,贝U a = ________
二. 选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)
13. 已知直线方程2x-y 9=0的一个方向向量d可以是( )
A. (2,-1)
B. (2,1)
C. (-1,2)
D. (1,2)
14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,将该三角形分别绕其两个直角边旋转
得到的两个圆锥的体积之比为（）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
15. 已知.R，函数f（x）=（x-6）2si n（?，x），存在常数a R，使得f（x a）为偶函数，则?，的值可能为（）
A. -
B. -
C. -
D. -
2 3 4 5
16. 已知tan : tan 一：=tan（、.：I;），有下列两个结论：① 存在〉在第一象限，一：在第三象限;
② 存在：?在第二象限，1在第四象限；则（）
A.①②均正确
B. ①②均错误
C. ①对②错
D. ①错②对三?解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在长方体ABCD-ABQQ!中，M为BR上一点，已知BM = 2，CD = 3，AD = 4，
AA =5.
（1）求直线AC与平面ABCD的夹角；
（2）求点A到平面AMC的距离.
1
18. 已知f （x）二ax ，a R .
x+1
（1）当 a =1时，求不等式f（x） 1 ：：： f（x 1）的解集;
（2）若f（x）在［1,2］时有零点，求a的取值范围.
19. 如图，A-B-C为海岸线，AB为线段，BC为四分之一圆弧，BD= 39.2km,，BDC = 22，
CBD =68，- BDA =58 .
（1）求BC的长度；
（2）若AB =40km求D到海岸线A-B-C的最短距离.
（精确到0.001km）
2 2
20. 已知椭圆才才1，B、F2为左、右焦点，直线丨过F2交椭圆于A B两点.
（1）若直线丨垂直于x轴，求| AB| ；
（2）当? RAB =90时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；
（3）若直线AF!交y轴于M直线BF^ y轴于N,是否存在直线I，使得=§卅，
若存在，求出直线I的方程，若不存在，请说明理由.
21. 数列{a n} （n，N*）有100 项，Q-a，对任意［2,100］，存在a n=a「d，
「[1, n-1],若a k 与前n 项中某一项相等，则称a 具有性质P. (1) 若3 =1, d =2，求a 4所有可能的值；
(2) 若｛a n ｝不是等差数列，求证：数列｛a n ｝中存在某些项具有性质P ；
参考答案
.填空题
9
8 ；
法二：由丄=3-2y ，' =(3-2y) y = -2y 2+3y (。“肩)，求二次最值(丿也
x
x
2
x
(3)若｛a n ｝中恰有三项具有性质P,
这三项和为 c ， 请用a 、d 、c 表示a 1 a^ 亠色
00?
1. (2,3)
2.
5 -i ， z 」5 =5 -i
i
3.
arccoA ，
4. 40， 2
. a b
cos6 =彳 片=- 5
I ... x 2的系数为C ； 22 =40
|a| |b 「、、'5 *5 一5
5. 6.
线性规划作图，后求出边界点代入求最值，当
3 1 1 f (
2)= f(2)“也厂 _1
X =0，y =2 时，Z min _ _6
9
，法一：3」2y_2, 1
2y ，.红 8 x - x
7.
8. 31
16
由'a 二2 得:
S n 」a n 厂 2( n —2)
1 5
—(尹一辺
16
a n 1 =2甌(沦2)，.｛an ｝为等比数列，且
ai -1，
9. 3，依题意求得：A(1,2)，B(1,-2)，设 M 坐标为 M (x,y)， 有：(x,y) = (1,2) ( -2) (1,-2) =(2' -2,4)，带入 y 2 =4x 有：16=4(2 -2)， 即，=3
G 1。c l C 9 10.
益，法一：P = 103
27
二五(分子含义：选相同数字选位置选第三个数字)；
C 1 + P 3
27
法二：心一计二而(分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同)
11
.
，法一：由 +-专=1 得：a n=j 2(n^T)，二 P n ( n,j 2(自 T))，
2
(n 1) 酗+屮亍一1))，利用两点间距离公式求解极限：n im |p n p
n 卄彳爲；
2
1 2、3
兀 3 cos- 6 12. a 二 2
选择题
13. 选D,依题意：(2, —1)为直线的一个法向量，.??方向向量为(1,2)
1
4 1
2
14. 选 B ,依题意：V 1 22 1
, V 2
12 2 =?
3
3
3
3
15. 选C,法一：依次代入选项的值，检验 f(x a)的奇
偶性;
法二：f (x ? a) = (x ? a -6)2 sin 「.(x a)］，若 f (x ? a)为偶函数，贝U a = 6，且
sin 「'(x 6)］也为偶函数(偶函数
偶函数=偶函数)，6
k 二，当k=1时，?=一
2
4
1 1
16. 选D,取特殊值检验法：例如：令tan?--和tan ?---，求tan ：是否存在(考试中,
3 3
若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在) 三?解答题 17. (1)
; (2) 10.
4
3
1 1 18. (1) x (-2^1); (2)
2
6
19. (1) BC R 2BC =-^ BD sin22 ： 16.310km ； (2) 35.752km.
2
2 2
4 8 2
20. (1) 2、2; (2) A(0,2) , B (3，-3); (3) x_、3y-2=0.
3 3
法二(极限法)：当n T 闵时，RP*与渐近线平行, P n P n 1在X 轴投影为1，渐近线斜角二满
足: …P n Ri 1
21. (1) 3、5、7; (2)略；(3) 97a 4656d c.