数学物理方程-第三章分离变量法2

第三章 贝塞尔函数

对两个自变量的情形，在第二章中比较系统地介绍了分离变量法的基本思想

以及求解偏微分方程定解问题的主要步骤. 本章讨论多于两个自变量的情形，其求解过程和两个自变量情形基本相同，区别仅在于特征值问题的求解要用到一类特殊函数—贝塞尔（Bessel ）函数.

本章前两节围绕一类特征值问题的求解，比较系统地介绍二阶常微分方程的幂级数解法，以及Bessel 函数的一些基本性质. 第三节介绍多于两个自变量情形的分离变量法.

§3?1 二阶线性常微分方程的幂级数解法

3.1.1 常系数线性方程的基解组 在高等数学中，同学们已学过常微分方程的一些求解方法. 对于常系数线性常微分方程，只要求出特征方程的根，就很容易写出齐次方程的基解组，由此可得齐次方程通解表达式.

例1.1 求解下列齐次微分方程 (1) '''320y y y -+=.

(2) '''4130y y y ++=. (3) '''440y y y ++=.

解 (1) 特征方程为

2320λλ-+=，

特征根为121,2,λλ== 故基解组为 2{, }x x e e . （2）特征方程为

24130λλ++=，

特征根为1223, 23i i λλ=-+=--，是一对共轭复数，基解组为(23)(23){, }i x i x e e -+--， 这两个解为复值函数. 为得到实值函数的基解组，利用齐次微分方程解的线性性质得

2(23)(23)1

cos3 (+ )2x i x i x e x e e --+--=，

2(23)(23)1

sin 3 ( )2x i x i x e x e e i --+--=-，

这两个实值函数22cos3, sin3x x e x e x --也是方程（2）的解,由此得方程（2）的基解组为 22{cos3, sin3}x x e x e x --. （3）特征方程为

2440λλ++=，

特征根为12 2λλ==-，即2λ=-是二重特征根. 此时，由特征根2λ=-只能写出微分方程（3）的一个解为2x e -.为求方程（3）另一个与解2x e -线性无关的解， 要用到求解微分方程的摄动方法[4]，即0ε?>，考虑齐次方程

'''(4)(42)0y y y εε++++=， （1.1）

（1.1）称为方程（3）的摄动方程. 易得（1.1）的特征根为122, 2λλε=-=--, 由此可得（1.1）的基解组为2(2){, }x x e e ε---. 利用齐次微分方程解的线性性质可得：0ε?>，

(2)221()()()

x x x

x e e e y x e

εεεεε-------==--， （1.2） 仍是（1.1）的解. 当ε趋于零时，方程（1.1）趋向于（3）中的方程. 可以证明[4]，（1.1）的解关于参数ε是连续的，即当ε趋于零时，（1.2）中的()y x ε也趋向于（3）中方程的一个解. 利用罗比塔法则可得

2220

01()lim lim ()(1)

x x

x

x x e x e e

e xe εεεεε-----→→--==--，

此即微分方程（3）的另一个与解2x e -线性无关的解. 因此方程（3）的基解组为

22{, }x x e xe --.

例1.2 求解下列齐次微分方程

(1) (3)'''0y y y y -+-=. (2) (6)(4)''220y y y y --+=.

（3）(5)(3)'8160y y y ++=. 解 （1）特征方程为 3210λλλ-+-=，

因式分解为

2(1)(1)0λλ-+=,

特征根为123 1, , i i λλλ===-，故基解组为 {, cos , sin }x e x x . （2）特征方程为

642220λλλ--+=，

因式分解为

222(2)(1)(1)0λλλ--+=,

由此可得特征根为1,23,45,6 1, , i λλλ=±=±=，故基解组为

{, cos , sin , ,}x x e e x x e -.

（3）特征方程为 538160λλλ++=，

因式分解为

22(4)0λλ+=,

特征根为123 0, 2, 2,i i λλλ===-而2λ和3λ都是该特征方程的二重根，由此可得 方程（3）的基解组为 {1, cos 2, sin 2, cos 2, sin 2}x x x x x x .

3.1.2 变系数线性方程的幂级数解法 对于变系数线性常微分方程，要求出齐次方程的基解组绝非易事. 若方程为二阶，可用待定系数法求出某种级数形式的基解组或一个非零解. 有关这方面的理论和方法已比较成熟，有兴趣的同学可查阅参考文献[4].下面，我们不加证明地给出本门课程中要用到的两个主要结果，作为今后求解一些特征值问题的理论基础.

定理 1.1 [4] 考虑下面二阶变系数线性常微分方程

'''()()0y p x y q x ++=， （1.3） 如果(),()p x q x 在0x 的邻域00(){ }B x x R x x δδ=∈-<解析，即在该邻域可展成 Taylor 级数，则方程（1.3）有如下形式的解析解

00()()k k k y x a x x ∞

==-∑， （1.4）

其中 (0)k a k ≥可由待定系数法求出.

定理 1.2 [4] 考虑下面二阶变系数线性常微分方程

'''()()0y p x y q x ++=， （1.5） 如果200()(), ()()x x p x x x q x --在0x 的邻域00(){ }B x x R x x δδ=∈-<解析，即0x 最多为()p x 和()q x 的一阶和二阶极点. 则在该去心邻域0{ 0}x R x x ε∈<-<，

方程（1.5）有如下形式的级数解 00

()()

()

k

k

k y x x x a x x ρ

∞

==--∑， （1.6）

其中00a ≠，R ρ∈. ρ， (0)k a k ≥可由待定系数法求出.

下面应用定理1.1求解一些变系数线性常微分方程，而定理1.2的应用则放

在下节.

例1.3 求解下列方程

（1）'''0y xy y ++=. （2）''(sin )0y x y +=.

解（1）此题中(),()1p x x q x ==，它们都是R 上解析函数. 根据定理1.1，可设解为 0()k k k y x a x ∞

==∑. 将该级数求一阶和二阶导数并将(),'()y x y x 和''()y x 代

入到原方程中得

2

2

1

(1)0k k

k k

k k k k k k k a x

ka x a x ∞

∞∞

-===-++=∑∑∑，

或

2

(1)(2)0k

k

k k k k k k k k k a

x ka x a x ∞

∞∞

+===++++=∑∑∑，

令上式中(0)k x k ≥系数为零可得

2(1)(2)(1)0k k k k a k a +++++=，0k ≥， 此即

21

, 02

k k a a k k +=-≥+. （1.7） 由（1.7）易得

20211(1)(1), , 0(2)!!(21)!!k k

k k a a a a k k k +--==≥+.

将上面的结果代入到 0()k k k y x a x ∞

==∑得

22101000112(1)(1)()+

(2)!!(21)!!

()+ (),

k k

k k k k y x a x a x k k a y x a y x ∞

∞

+==--=+=∑∑

其中(2)!!k 表示(2)k 的半阶乘，其值为小于或等于2k 的一切偶正整数之乘积，而

(21)!!k +值为小于或等于(21)k +的一切奇正整数之乘积, 01,a a 为任意常数. 由

于1()y x 和2()y x 线性无关，故方程（1）的基解组为12{(), ()}y x y x .

（2） 此题中()0,()sin p x q x x ==，它们都是R 上的解析函数. 根据定理1.1，可设解为 0()k k k y x a x ∞

==∑. 将该级数及二阶导数代入到原方程中得

2

2

(1)sin 0k k k

k k k k k a x

x a x ∞

∞

-==-+=∑∑，

或

2

(1)(2)sin 0k

k k k k k k k a

x x a x ∞

∞

+==+++=∑∑. （1.8）

将()sin q x x =的Taylor 级数

21

0(1)sin (21)!

k k k x x k ∞

+=-=+∑，

代入到（1.8）中得

212000

(1)(1)(2)0(21)!k k

k k k k k k k k k a x x a x k ∞

∞

∞

++===-+++=+∑∑∑， 展开可得

23203140251

2(32)(43)(54)03!

a a a x a a x a a a x ++??++?+-

++?+???+???=， 由此可得

223041501110,

, , (1), ...3!345!

a a a a a a a ==-=-=-? 将上面的结果代入到 0

()k k k y x a x ∞

==∑ 得

35460101121111()(1)()

3!5!342356

()() ,y x a x x a x x x a y x a y x =-

++???+-+-???????=+ 其中01,a a 为任意常数，12 {(), ()}y x y x 为方程（2）的基解组.

例1.3 求解下面方程

2'''(1)2(1)0, 11x y xy y x αα--++=-<< （1.9）

其中α为非负实数.

解 此题中22

2(1)

(), ()11x p x q x x x

αα+=-

=--,这两个函数在区间(1,1)-，即1(0)B 内解析. 根据定理1.1，可设解为 0

()k k k y x a x ∞

==∑. 将该级数及一阶和二阶

导数代入到原方程中得

22

1

21

(1)(1)2(1)0k k k k k k k k k x k k a x

x ka x

a x αα∞

∞

∞

--===---++=∑∑∑，

或

20

(1)(2)(1)2(1)0k

k

k

k k k k k

k k k k k k a

x k ka x ka x a x αα∞

∞∞∞

+====++---++=∑∑∑∑. 令上式中(0)k x k ≥系数为零可得

2(1)(2)()(1)0, 0k k k k a k k a k αα++++-++=≥ 此即

2()(1)

, 0(1)(2)

k k k k a a k k k αα+-++=-

≥++ （1.10）

连续使用（1.10）可得: 0k ?≥,

2020(2)(22)(1)(3)(21)

(1) (2)!

k

k k k k a a c a k αααααα-???-+++???+-=-=，

211211(1)(3)(21)(2)(4)(2)

(1) (21)!

k

k k k k a a c a k αααααα++--???-+++???+=-=+.

将上面的结果代入到 0

()k k k y x a x ∞

==∑得

2210212101120

()+ ()+ (), k

k k k k k y x a c x a c x a y x a y x ∞∞

++====∑∑ （1.11）

其中01,a a 为任意常数，12 {(), ()}y x y x 为Legendre 方程的基解组.

注1 当α不等于整数时，（1.11）中1 ()y x 和2 ()y x 是两个无穷级数，它们在区间(1,1)-收敛，而在该区间两个端点发散到无穷大. 当α等于整数时，例如，

n α=，由上面( 0)k c k ≥的表达式易见：若n 为偶数，则20, 2k c k n =>；若n 为

奇数，则210, 21k c k n +=+>. 因此，当α为正整数n 时，1 ()y x 和2 ()y x 其中之一是一个n 次多项式.

§3?2贝塞尔函数

本节介绍一类特殊函数—贝塞尔（Bessel ）函数，为分离变量法的进一步应用作准备.

3．2.1 Γ函数 考虑广义积分10x x e dx α∞

--?，由广义积分敛散性判别法可得，当0>α时，该

广义积分收敛. 将此广义积分记为)(αΓ，即

10(),x x e dx αα∞

--Γ=? （2.1）

此函数称为Γ函数，它对任意的),0(∞∈α有定义且()0αΓ>.

)(αΓ具有如下性质

（1） 1)1(=Γ

，1

()2

Γ= （2.2）

（2） )()1(αααΓ=+Γ，0>α. （2.3） 下面给出（2.2）和（2.3）的证明.

00

(1)1x x x

x e dx e dx e ∞

∞

---∞

Γ===-=??.

(1)()x

x x e dx x d e ααα∞

∞

--Γ+==-??

00()x x x e e dx αα

∞

-∞-=-+?

110

0()x x x e dx x e dx αααααα∞∞

----=+==Γ??.

为求1

()2

Γ，令?∞-=02dx e I x ，并记{}

222,0,0),(R y x y x y x R ≤+≥≥=σ，利

用极坐标变换可得

2

2

2

2

2()

x y x

y I e dx e dy e dxdy ∞

∞

∞∞---+==???

?

222

/2()

lim lim R

R

x y r R R e

dxdy d e rdr πσθ-+-→∞

→∞

==???

?

2

2

2

lim

lim

()

44

4

R

r r R R R e

dr e

π

π

π

--→∞

→∞

==-=

?，

故有

2

4

π

π

=

=

I .

1/21/2001

()2()2

x x x e dx e d x ∞∞---Γ==??（令2/1x u =）

2

22u e du I ∞

-===?.

利用（2.2）和（2.3），请同学们证明以下两式:

!)1(n n =+Γ.

πn

n n 2

!

)!12()21(-=+Γ. 利用公式（2.3）可将)(αΓ的定义域由{ 0 }α>扩充为\{ 0 }R n Z n ∈≤. 如当10α-<<时定义(1)

()ααα

Γ+Γ=

，则)(αΓ在区间( 1,0 )-有定义. 类似地可定

义)(αΓ在区间( 2 , 1 )--上的值, 如此继续下去，便可将)(αΓ的定义域扩充到实轴上除去负整数的点集上.

注1 利用数学分析中关于含参变量广义积分的可微性结果[20]可得：)(αΓ在区间(0,)∞是一阶连续可导的，并且还可以通过积分号求导，即有

10'()ln x x x e dx αα∞

--Γ=??.

由)(αΓ的连续性易见 0

lim (1)(1)1αα+→Γ+=Γ=.在(1)

()ααα

Γ+Γ=

中令0α+→得

(1)

lim ()lim ααααα

++

→→Γ+Γ==+∞,即0α=是函数)(αΓ的无穷间断点. 结合)(αΓ在

负实轴的延拓方式,易见每个,1n n α=-≥也是函数)(αΓ的无穷间断点. 因此，习惯上就约定 (), 0.n n Γ-=+∞≥

注 2 利用在附注1中给出的'()αΓ的表达式可证[20]：存在唯一的实数

00α>使得0'()0αΓ=，且有00'()0, 0; '()0, .ααααααΓ<<<Γ><<∞ 因此，

)(αΓ在区间(0,)∞有唯一的极小值0()αΓ. 由于(1)(2)1,Γ=Γ=根据罗尔定理可

知0α介于1和2之间. 利用数值计算方法可以求出0α和0()αΓ的近似值为

001.4616321, ()min{()0}0.8856032αααα≈Γ=Γ>≈.

在附注1中已得到0

lim ()αα+→Γ=+∞. 由于!)1(n n =+Γ，)(αΓ在区间0(,)α∞单

调增，故有lim ()αα→∞

Γ=+∞. 结合附注2中的结果和)(αΓ在负实轴的延拓方式,

可得)(αΓ的示意图如下

3．2.2 Bessel 方程和Bessel 函数 设0≥r ，二阶线性常微分方程

0)(22'"2=-++y r x xy y x （2.4） 称为r 阶Bessel 方程.

方程两边同除以2

x ，相当于定理1.2中的2

21(),()1r p x q x x x

==-，它们满足该

定理的条件，故可用待定系数法求（2.4）具有级数形式的解，即令 ∑∑∞

=+∞

===0

)(n n n n n

n

x a x a

x

x y ρρ

，

00≠a （2.5） 其中ρ和)0(≥n a n 为待定常数. 将（2.5）代入到（2.4）中并整理可得

2

2

20

[()

]0n

n n n n n n r a x a x ρ∞

∞

+==+-+=∑∑.

比较上式两端n x 的系数得

220221222()0

[(1)]0 [()]0 , 2 .n n r a r a n r a a n ρρρ-?-=?

+-=??+-+=≥?

（2.6）

图3.1

由于00≠a ，故有022=-r ρ，r =1ρ，r -=2ρ. 首先取10r ρρ==≥，则由（2.6）可得

01=a ,

22

22

, 2()(2)

n n n a a a n n r n n r ρ--=-

=-≥+-+ 2 , 012≥=-k a k )

1(2 )22(22002r a

r a a +-=+-

=,

)

1)(2(221)( )2(2 )24(44

232240r r a r a

r a a ++?-=+-=+-

=, )

1)(2)(3(!321)( )3(32 )26(66

3

24460r r r a r a r a a +++?-=+?-=+-=, …

)1()1)((!21)( 2k

20

r r k r k k a a k

k +??????+-+?-=

)

1(!2)1(1)(20

k

r k k a r k ++Γ?+Γ-=.

如果选取)

1(21

0r a r

+Γ=

，则有 )

1(!221

1)(2k

2r k k a k r k ++Γ??-=.

将以上所得n a 代入到（2.5）中便得（2.4）的一个解为

k r x

r k k x x y 20k k 1)2

()1(!11)()2()(∑∞=++Γ-=,

此函数称为r 阶Bessel 函数, 通常用)(x J r 记此函数，即

20

1()()(1)()2!(1)2

r k

k

r k x x J x k k r ∞

==-Γ++∑. （2.7）

如果r 不为整数，取2r ρρ==-，利用（2.6）类似可得（2.4）的另一个解

为

2=01()()(1)()2!(1)2

r k k r k x x

J x k k r ∞--=-Γ-+∑, （2.8）

)(x J r -称为)(r -阶Bessel 函数.

当r 为正整数时，例如,1r l l =≥，取2r l ρ=-=-，此时（2.6）中第三个方程为 2(2)0, 2.n n n n l a a n --+=≥ 当2n l =时n a 的系数等于零，因而利用该方程确定系数n a 的过程失效. 当n 为正整数时，()n J x -的定义要利用（2.8）式. 当

,1r n n =≥时，注意到当01k n ≤≤-时(1)k n Γ-+=+∞, 所以（2.8）中幂级数部

分的系数当01k n ≤≤-时为零. 在（2.8）中代r n =就得到

k 2k=1()()(1)()2!(1)2

n k n n x x

J x k k n ∞--=-Γ-+∑.

总而言之，对每个实数r 上面都定义了r 阶Bessel 函数)(x J r ，并且)(x J r 和

)(x J r -都是r 阶Bessel 方程（2.4）的解.

记)(x J r 表达式中幂级数部分的系数为k a ，直接计算可得

22

21

(1)!(2)2lim

lim lim 4(1)(1),!(1)2k k k

k k k k a k k r k k r a k k r +→∞

→∞→∞++Γ++==+++=∞Γ++ 即)(x J r 表达式中幂级数部分的收敛半径为无穷大, 类似可证)(x J r -表达式中幂级数部分的收敛半径也为无穷大. 因此，)(x J r 和)(x J r -中幂级数部分是两个

在实轴R 上的解析函数. 注意到()2

r x 在0x =右连续而r x

-)2(在0=x 的邻域无界，

故当0r >不等于整数时，)(x J r 和)(x J r -是线性无关的，它们构成（2.4）的一个基解组.

当(1)r n n =≥时，直接计算可得

21()()(1)()2!(1)2

n k k n k n x x

J x k k n ∞--==-Γ-+∑（令j n k =-）

2201()(1)()2()!(1)2

n j n n j j x x n j j ∞-++==-+Γ+∑

201(1)()(1)()2!(1)2

n

n j j j x x

j j n ∞==--Γ++∑

)()1(x J n n -=, （2.9） 即)(x J n -和)(x J n 是线性相关，须另找（2.4）的一个与)(x J n 线性无关的解.

注3 利用数学分析中函数項无穷级数的可微性结果[19]可证：当0r >不等于整数时，)(x J r 和)(x J r -中无穷级数部分作为参数r 的函数是可导的. 由于函数

()2

r x 和r x

-)2(当0x >时关于r 也是可导的，所以)(x J r 和)(x J r -当0x >时关于r 是

可导的,且对任意给定的非负整数n ，lim ()r

r n J x r +→??和lim ()r r n J x r

+-→??存在. 在例1.1中方程（3）的求解中，我们已使用过摄动方法求出该方程的基解

组. 下面再使用此方法求当r n =时，n 阶Bessel 方程另一个与)(x J n 线性无关的解.

对于任意的非负整数n ，选取r 满足1n r n <<+，即r 不是整数，这时)(x J r 和)(x J r -是（2.4）的两个线性无关的解. 利用齐次方程解的线性性质可知

)

sin()

()cos()()(ππr x J r x J x N r r r --=

也是（2.4）的解. 当r 趋向于n 时，)(x N r 中分子分母均趋向于零，即)(x N r 是未定式. 利用罗必塔法则并结合附注3中的结果可得

(())cos()sin()()(())lim ()lim cos()

r r r r r n r n J x r r J x J x r r N x r πππππ++

-→→??

--??= 1

[lim ()(1)lim ()]n r r r n

r n J x J x r

r π

+

+-→→??

=--??.

.

若记此极限为)(x N n ，则进一步还可证明[2]：)(x N n 也是（2.4）当r n =时的一

个解且与()n J x 线性无关，0

lim ().n x N x +

→=∞ 因此, 当r n =为非负整数时，)(x J n 和)(x N n 是

（2.4）的二个线性无关的解，它们构成（2.4）的一个基解组. 通常称)(x N n 为第二类Bessel 函数或Neumann 函数.

注4 贝塞尔函数在数学物理方程中有许多应用，它不仅可用来求解贝塞尔方程（2.4），还可通过变量代换求解其它的方程, 而这些方程在求解与Laplace 算子相关的定解问题中发挥着很大的作用. 本章练习题中的第13题中给出了一些例子，请同学们利用贝塞尔函数求出这些问题的解.

3．2.3 Bessel 函数的性质

整数阶Bessel 函数具有和三角函数x sin 和x cos 相类似性质，下面分别介绍. （1） 奇偶性： 在（2.7）中取n r =，并用x -代替x 得

)()1()(x J x J n n n --=

由此推出，当n 为奇数时，)(x J n 为奇函数；当n 为偶数时，)(x J n 为偶函数。 （2） 零点分布：0)(=x J n 的根称为)(x J n 的零点. 当0≥x 时，)(0x J 和)(1x J 的示意图如图2.1所示。

其中实线为)(0x J 的图形，虚线为)(1x J 的图形.

可以证明[2]：0)(=x J n 无复根，但有无穷多个实根，它们在x 轴上关于原点对称地分布着. 除0(0)0J ≠外，(0)0 (1)n J n =≥；0)(=x J n 的根，除0=x 可能是重根外，其余根全为单重根.

记0)(=x J n 的正根，即)(x J n 的正零点为)1()

(≥m n m μ. 进一步还可证明[2]：当∞→m 时，∞→)(n m μ，πμμ→-+)

()(1n m n m ；并且当∞→x 时，)(x J n 具有如下渐

近表达式

)1

()42c o s (2)(2/3x

O n x x x J n +--=

πππ 即)(x J n 是一个衰减振荡函数.

（3） 递推公式： 为计算简单起见，下面只给出整数阶Bessel 函数递推公

式的证明. 对于非整数阶Bessel 函数，所得结果仍成立. 由于幂级数在收敛域内

图2.1

可逐项求导，用n x 乘)(x J n 并对x 求导得

220

1(())(2(1)())!(1)2n n k k n n k d d x x J x dx dx k k n ∞+==-Γ++∑ 22102

(1)()!(1)2n

k

k n k k n x

k k n ∞

+-=+=-Γ++∑

2210

12

(1)()!()2

n

k

k n k x

k k n ∞

+-==-Γ+∑

121

1()(1)()2!()2n

n k k k x x x k k n ∞-==-Γ+∑

)(1x J x n n -=. （2.10） 类似地，用n x -乘)(x J n 并对x 求导得

1(())().n

n n n d x J x x J x dx

--+=- （2.11） 将（2.10）和（2.11）两式左端导数求出并整理得

)()()(1'

x xJ x xJ x nJ n n n -=+, )()()(1'

x xJ x xJ x nJ n n n +-=+-.

在上面两式中消去)(x J n 或)('

x J n 可得 )(2)()(11x J x

n

x J x J n n n =

++-. （2.12） )(2)()('

11x J x J x J n n n =-+-. （2.13） （2.12）和（2.13）便是整数阶Bessel 函数的递推函数公式.

3．2.4 Bessel 方程的特征值问题

在第二章我们遇到的特征值问题，都是二阶线性微分算子2

2d A dx =-带有不

同边界条件下的特征值问题. 而2

2d A dx

=-相当于二阶线性微分算子()-?在一维

的情形. 当空间变量为二维时，在直角坐标系下,xx yy u u u ?=+. 在极坐标系下，直接计算可得

θθρρρρ

ρ

u u u u u yy xx 2

1

1

+

+

=+.

因此，二阶线性微分算子()-?在圆域上的特征值问题即为 02

11

()(,), 0, 02u u u u ρρρθθλρθρρθπρρ

-+

+

=<<≤≤. （2.14）

边界条件为0(,)0 u ρθ=（Dirichlet 边界条件)，或为0

(,)0 u ρρθρ

?

=?(Neumman

边界条件).

下面利用分离变量法求解（2.14）.令)()(),(θρθρΦ=R u 并将其代入到（2.14）中得

"'"2

1

1

()()()()()()()()R R R R ρθρθρθλρθρ

ρ

Φ+

Φ+

Φ=-Φ,

变形为

"'"2

1

1

[()()()]()()()R R R R ρρλρθρθρ

ρ+

+Φ=-

Φ,

此即

"'"

2

1

()()()

()

1

()

()

R R R R ρρλρθρ

μθρρ

+

+Φ-

==Φ,

故有

"()()0, 02()(2).

θμθθπ

θθπ?Φ+Φ=≤≤?Φ=Φ+? （2.15）

2"'2()()()()0R R R ρρρρλρμρ++-=. （2.16）

由第二章定理1.3知：（2.15）的特征值和特征函数分别为

2n n μ=，(){cos ,sin }, 0n n n n θθθΦ=≥.

将2n n μ=代入到（2.16）中便得

2"'22()()()()0R R n R ρρρρλρρ++-=, （2.17） 方程（2.17）结合一定边界条件便是Bessel 方程特征值问题.

考虑Dirichlet 边界条件下n 阶Bessel 方程特征值问题

2"'220()()()()0 , 0()0 , (0).

R R n R R R ρρρρλρρρρρ?++-=<

其中0ρ是一个正常数，n 为非负整数. λ为待定常数，称为(2.18)的特征值，而相应于λ的非零解称为（2.18）的特征函数.

对于Bessel 方程特征值问题（2.18），如下结论成立.

定理2.1 设n 为非负整数，)1()

(≥m n m μ为)(x J n 的第m 个正零点，即

0)(=x J n 的正根. 则（2.18）的特征值和特征函数分别为

20)

()(ρμλn m

m =, 1m ≥ （2.19）

)()(0

)(ρρμρn m

n m J R =, 1m ≥ （2.20）

特征函数系{}1)(≥m m R ρ关于权函数ρ是正交的，且有 ()02

'()2

0 0

()[()]2

n m k m n m R R d J ρρρρρρ

δ

μ=?

,. （2.21）

其中

1, 0, .

mk m k

m k δ=?=?

≠?

鉴于该定理证明方法在特征值问题中具有典型性，下面给出该定理的详细证明过程，也请同学们认真学习这一证明方法.

证明 由于证明过程比较长，以下分四步完成.为书写简单起见，在下面的证明中有时就略去自变量ρ将()R ρ简记为R ，'()R ρ简记为'R .

第一步 证明特征值非负. 将（2.18）中的方程两边除以ρ，并写成如下散度型的形式

2

(')'()0n R R ρλρρ

+-

=,

以R 乘上式，并对ρ在区间0[0,]ρ积分得

2

22

(')'0R R R d R d n

d ρρρρρλρρρρ

+-=?

?

?

,

2

2

22

000

(')|(')0o R R R R d R d n

d ρρρρρρρλρρρρ

-+-=???

.

若λ是（2.18）的特征值，则（2.18）相应于λ的解)(ρR 不恒等于零. 利用（2.18）中的边界条件0)(0=ρR 得

2

22

2

[(')]R R n

d R d ρρρ

ρ

λρρ

+=

?

?

,

由此可知：（2.18）的特征值0≥λ且当0n ≠时0λ>.

第二步 求解特征值问题. 当0,0n λ==时（2.18）中的方程为欧拉方程，解之可得

12()ln , R C C ρρ=+

利用边界条件0)(0=ρR ，+∞<)0(R 可得120,C C ==即0)(≡ρR . 因此，0=λ不是特征值，即一切特征值0>λ.

当0>λ时，对（2.18）中方程作自变量变换：ρλ=x ，方程成为n 阶Bessel 方程

22

22

2

()0d R d R x x x n R d x d x

++-= . 由于n 阶Bessel 方程的通解为

)()()(21x N C x J C x R n n +=,

故（2.18）中方程通解为

)()()(21ρλρλρn n N C J C R +=. （2.22） 由+∞<)0(R ，得02=C . 由0)(0=ρR 得

0)(01=ρλn J C ,

由于01≠C ，00>ρλ

0为()n J x 的正零点. 故有

)

(0n m

μρλ=, 1m ≥ 20

)

()(ρμλn m

m =, 1m ≥

将m λ代入到（2.22）中并略去非零常数1C 得

)()(0

)(ρρμρn m

n m J R = , 1m ≥.

m λ和)(ρm R 便是特征值问题（2.18）的特征值和特征函数.

第三步 证明特征函数系{}() 1m R m ρ≥关于权系数ρ的正交性. 设m k ≠，则

)(ρm R 和)(ρk R 分别满足如下两个方程

2

'

()'()0m

m m n R R ρλρρ

+-

=, （2.23）

2

'

()'()0k

k k n R R ρλρρ

+-=.

（2.24） 以k R 乘（2.23），m R 乘（2.24）并将两式相减得

'

'()'()'()0k m m k m k m k R R R R R R ρρλλρ-+-=,

或

''

()()'()'m k m k m k k m R R R R R R λλρρρ-=-.

上式两边对ρ在区间0[0,]ρ积分得

000

''

000()()'()'m k m k m k k m R R d R R d R R d ρρρλλρρρρρρ-=-???， （2.25）

记（2.25）等号右边为I ，利用分部积分法得

''''

'

'0

()

()

m k m k k m m k I R R R R d R R R R d ρρρρρρρρρρ=--+?

?

''

000000()()()()0m k k m R R R R ρρρρρρ=-=.

注意到m k λλ≠，由（2.25）便得

()()0m k R R d ρρρρρ=?

， （2.26）

（2.26）便是)(ρm R 和)(ρk R 关于权函数ρ的正交性.

第四步 求出)(ρm R 关于权函数ρ的平方模.

记()

10

,n m

μαρ==并取α使得

11αα-<<. 直接验证可得：11()() , ()()n n R J R J ραρραρ==分别是如下两问题

的解

2"'2221111101()()()()0 , 0()0 , (0)R R n R R R ρρρραρρρρρ?++-=<

?? （2.27）

2"'2220()()()()0 , 0()0 , (0)R R n R R R ρρρραρρρρρ?++-=<

≠<+∞

?? （2.28） 类似于第一步，可将（2.27）和（2.28）中的方程化为如下形式

2

'211

1(())'()()0n R R ρραρρρ

+-

=， （2.29）

2

'2

(())'()()0n R R ρραρρρ

+-

=， （2.30）

用()R ρ和1()R ρ分别乘（2.29）和（2.30）两式并相减得

''221111()(())'()(())'()()()0R R R R R R ρρρρρρααρρρ-+-=，

在区间0(0,)ρ积分上式得

2

2

''1

1110

'0100()()()[()()()()]

=()()

R R d R R R R R R ρρααρρρρρρρρρρρρρ-=--?

'

01010()()n n J J ρααραρ=-. （2.31）

由（2.31）可得

'

010*******

()()

()() ,

n n J J R R d ρρααραρρρρραα=-? 在上式中令1αα→，由罗必塔法则可得

22

2'()2

01

000

()()[()]2n n m n

n m R d J d J ρρμρρρρρρρμρ==??. （2.32） 问题得证.

定理2.2 [2] 设)(ρf 在区间[]0,0ρ连续且具有分段连续的一阶导数，则在区间[]0,0ρ上，)(ρf 可按（2.20）给出的特征函数系{}()1m R m ρ≥展成如下的Fourier —Bessel 级数

()

110

()()()n m

m m m n m m f A R A J μρρρρ∞

∞

====∑∑， （2.33）

其中

()

2

'()

02

()()()n m

m n n n m A f J d J ρμρρρρρρμ=

????

?

)1(≥m （2.34）

展开式（2.33）称为()f ρ的Fourier —Bessel 级数，通常也叫()f ρ的广义Fourier 级数或简称为Fourier 级数，m A 称为)(ρf 关于特征函数系{}()1m R m ρ≥的Fourier 系数.

对于带有Neumann 边界条件Bessel 方程的特征值问题，也有下面类似于定理2.1和定理2.2的结果.

考虑Neumann 边界条件下n 阶Bessel 方程特征值问题

2"'220()()()()0 , 0'()0 , (0).

R R n R R R ρρρρλρρρρρ?++-=<

其中0ρ是一个正常数，n 为非负整数.

定理2.3* 设n 为非负整数，(1)m m α≥为'()n J x 的正零点，即'

()0n J x =的正

根. 则（2.35）的特征值和特征函数分别为 当1n ≥ 时，20

(

)m m αλρ=, 0()()m m n R J α

ρρρ=，1m ≥ （2.36）

当0n =时，000,()1;R λρ==20

(

)m m αλρ=, 00()(),m m R J α

ρρρ=1m ≥ （2.37）

特征函数系{}()1m R m ρ≥关于权函数ρ是正交的，且有

()0

2

2

20 2

()[1]()2

m k m k

n m m

n R R d J ρρρρρρδαα

=-

?

,. （2..38）

特征函数系{}()1m R m ρ≥也是完备的.

定理2.3的证明和定理2.1的证明完全类似，作为练习，请同学们自己完成. 定理2.3中特征函数系完备性证明可查阅参考文献[2].

3．2.5 圆域上Laplace 算子的特征值问题

利用定理2.1并结合特征值问题（2.15）可得如下结果 定理2.3*[2] 考虑圆域上拉普拉斯算子特征值问题

02011()(,), 0, 02(,)0, (0,), 02 .

u u u u u u ρρρθθλρθρρθπρρρθθθπ?

-++=<<≤≤

=<∞≤≤?

该问题的特征值和特征函数分别为

分离变量法

<<电磁场与电磁波>>读书报告 姓 名： 学 院： 学 号： 专 业： 题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩： 二〇一四年四月 Xxx 工程学院 电子工程类

一．引言 分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。 二．内容 1.分离变量法的特点： 分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法. 2.推导过程: 直角坐标系中的拉普拉斯方程： 222 222 0 x y z ??? ??? ++=??? 我们假设是三个函数的乘积,即

(,,)()()()x y z X x Y y Z z ?= 其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得 然后上式同时除以XYZ ，得 0X Y Z X Y Z '''''' ++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程： 即 α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。 由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系 当α2=0时，则 当α2 <0时，令α=jk x (k x 为正实数)，则 或 当α2 >0时，令α=k x ，则 或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。 3解题步骤 1,2λα =±00 ()X x a x b =+12()x x jk x jk x X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x =+12()x x k x k x X x d e d e -=+12() s x x X x c hk x c chk x =+

第三章行波法与积分变换法教学提纲

第三章行波法与积分变换法 」 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 J 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 」 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 作如下代换; X at, X at 利用复合函数求导法则可得 同理可得 2 a 2(￡ 代入(1)可得 =0o u(x,t) F( ) G( ) F(X at) G(X at) 这里F,G 为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 F(X ) G(X ) (X ), aF (X ) aG (X ) (X ). X 2 u -2 )(」 2 2」 2 u ~2 先对求积分，再对 求积分，可得u(X,t)d 的一般形式 § 3.1 一维波动方程的达朗贝尔 (D 'alembert )公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题: 2 u 下 u 2 2 u a 2 ， X (X), u 0, (1) (X ),- (2) 2 ■4), (3)

由(3)第二式积分可得 1 X F(x) G(x) - 0 (t)dt C , a 0 利用(3)第一式可得 所以，我们有 1 1 x at u(x,t) [ (x at) (x at)] (t)dt 2 2a x at 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、 特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 AU xx 2BU xy CU yy DU x EU y Fu 0 称下常微分方程为其特征方程 A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0。 由前面讨论知道，直线x at 常数为波动方程对应特征方程的积分曲线， 称为特征线。已知，左行波F(x at)在特征线x at G 上取值为常数值F(CJ ， 右行波G(x at)在特征线x at C 2上取值为常数值G(C 2)，且这两个值随着特 征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换( 2)为特征 变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、 公式的物理意义 由 U(x,t) F (x at) G(x at) 其中F(x at)表示一个沿x 轴负方向传播的行波，G(x at)表示一个沿x 轴正方 向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。 四、 依赖区间、决定区域、影响区域 F(x) 1 2(X ) 2a (t)dt G(x) (x) 1 x 2a o (t)dt (4)

北邮数理方程课件第三章的分离变量法

第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><

其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得 00 A B Ae +=???-+=?? （8） 由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。 (2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+ 由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。 （3）当 02 >=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为 x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(212Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D

第二章 分离变量法(§2.1)

第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><

2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc

2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc

第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （1.1） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈， 则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此

第二章 分离变量法(§2.2,§2.3)

§2.2 有限杆上的热传导 定解问题：一均匀细杆，长为l ，两端坐标为l x x == ,0。杆的侧面绝热，且在端点0=x 处温度为零，而在l x = 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为)(x ?，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题： .0 ),(u 0, ,0hu ,0u 0, l,0 ,0002 2 2l x x t x u t x x u a t u t l x x ≤≤=>=+??=><<=??-??===? 仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤，设)()(),(t T x X t x u =，代入上面的方程可得 ?????=+=+?-==. 0)()(,0)()() ()()()( 2 ' '22'2 2'''x X x X t T a t T x T a x T x X x X βββ 从而可得通解 x B x A x X ββsin cos )(+= 由边界条件知 .0)()(,0)0('=+=l hX l X X 从而 ?? ???-=?=+=.tan 0sin cos , 0h l l h l A βββββ 令 αγ γαβγ=?- ==tan 1 ,hl l 上方程的解可以看作曲线γtan 1=y ，αγ=2y 交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根 ,,21n γγγ 于是得到特征值问题的无穷个特征值

1,2,3...) (n ,2 2 2== l n n γβ 及相应的特征函数 x B x X n n n βsin )(= 再由方程0)()(22'=+t T a t T β， 可得 t a n n n e A t T 2 2)(β-=， 从而我们得到满足边界条件的一组特解 x e C t x u n t a n n n ββsin ),(2 2-= 由于方程和边界条件是齐次的，所以 ∑∞ =-=1 sin ),(2 2n n t a n x e C t x u n ββ 仍满足此方程和边界条件。 下面研究一下其是否满足初始条件。 )(sin 1 x x C n n n ?β=∑∞ = 可以证明}{sin x n β在区域[0,l]上具有正交性，即 ?≠=l m n xdx x 0 n m ,0sin sin ββ 证明： ) )((sin cos cos sin ))((2)sin()()sin()( ) (2)sin()(2)sin( ))cos()(cos(2 1sin sin 00=+--- =+-+---+=++- --=--+- =??m n m n m n n m n m m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n l m n m n l m n l l l l l l l l dx x x xdx x ββββββββββββββββββββββββββββββββββββ 完成。 令 ?=l n n n xdx x L 0 ,sin sin ββ 于是， ?= l n n n xdx x L C 0 sin )(1β ?

高中数学解题方法之分离变量法(含标准答案)

分离变量法 分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围： 定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式 ()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式 ()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+=有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ） .0A a <.22B a -≤≤.2C a <.2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴

第三章-行波法与积分变换法Word版

第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知

). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。

高中数学解题方法之分离变量法(含答案)

七、分离变量法 分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围： 定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+= 有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ） .0A a < .22B a -≤≤ .2C a < .2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴

(整理)数学物理方程第二章分离变量法word版

第五讲补充常微分方程求解相关知识。

第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲） §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><

北邮数理方程课件 第三章 分离变量法

第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为

x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(21 2Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D 3 32 02)12(322)12(sin )2(2ππ+- =+-=?n l xdx l n lx x l C l n 故所求的解为 x l n t l a n n l t x u n 2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0 3 3 2 π ππ++?+- =∑∞ = 例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦 长为l ，被拨开的点在弦长的0 1 n (0n 为正整数)处，拨开距离为h ，试求解弦的振动，即求解定解问题

数学物理方程第三章行波法与积分变换法

第三章 行波法与积分变换法 (第十三讲 ) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ?? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 222222 22))((,ηηξξ ηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2222222 2ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对求积分，再对求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得

.2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题： ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解：其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2＝0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(， 从而可得 C x x G C x x F +=-=4 3)(4 9)3(2 2

数学物理方程第二篇分离变量法

第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2． 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵， A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为 Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或

第二章 分离变量法

第二章 分离变量法 §2.1 有界弦的自由振动 为了了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题。 讨论两端固定的弦的自由振动，归结求解下列定解问题： 22222000,0,0 (2.1)0,0,0 (2.2)(),(),0 (2.3)x x l t t u u a x l t t x u u t u u x x x l t ?ψ====???=<<>?????==>????==≤≤??? 这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。我们知道，在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件。这就启发我们，要解问题（2.1～2.3），先寻求齐次方程（2.1）的满足齐次边界条件（2.2）的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件（2.3）。 这种思想方法，还可以从物理模型得到启示。从物理学知道乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每种单音，振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间t ，即每个单音可以表示成

(,)()sin u x t A t x ω= 的形式，这种形式的特点是：u (x ,t )中的变量x 与t 被分离出来。 根据上面的分析，现在我们就试求方程（2.1）的分离变量形式 (,)()()u x t X x T t = 的非零解，并要求它满足齐次边界条件（2.2），式中X (x )，T （t ）分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数。 由(,)()()u x t X x T t =得 2222()(),()()u u X x T t X x T t x t ??''''==?? 代入方程（2.1）得 2()()()()X x T t a X x T t ''''= 或 2()()()() X x T t X x a T t ''''= 这个式子左端仅是x 的函数，右端仅是t 的函数，只有它们均为常数时才能相等。令此常数为-λ，则有 2()()()() X x T t X x a T t λ''''==- 这样我们得到两个常微分方程： 2()()0T t a T t λ''+= （2.4） ()()0X x X x λ''+= （2.5） 再利用边界条件（2.2），由于u (x ,t )＝X (x ) T （t ），故有 (0)()0,()()0X T t X l T t == 但T （t ）不恒等于零，因为如果T （t ）≡0，则u (x ,t )＝0，这种解称

数学物理方程-第三章分离变量法2

第三章 贝塞尔函数 对两个自变量的情形，在第二章中比较系统地介绍了分离变量法的基本思想 以及求解偏微分方程定解问题的主要步骤. 本章讨论多于两个自变量的情形，其求解过程和两个自变量情形基本相同，区别仅在于特征值问题的求解要用到一类特殊函数—贝塞尔（Bessel ）函数. 本章前两节围绕一类特征值问题的求解，比较系统地介绍二阶常微分方程的幂级数解法，以及Bessel 函数的一些基本性质. 第三节介绍多于两个自变量情形的分离变量法. §3?1 二阶线性常微分方程的幂级数解法 3.1.1 常系数线性方程的基解组 在高等数学中，同学们已学过常微分方程的一些求解方法. 对于常系数线性常微分方程，只要求出特征方程的根，就很容易写出齐次方程的基解组，由此可得齐次方程通解表达式. 例1.1 求解下列齐次微分方程 (1) '''320y y y -+=. (2) '''4130y y y ++=. (3) '''440y y y ++=. 解 (1) 特征方程为 2320λλ-+=， 特征根为121,2,λλ== 故基解组为 2{, }x x e e . （2）特征方程为 24130λλ++=， 特征根为1223, 23i i λλ=-+=--，是一对共轭复数，基解组为(23)(23){, }i x i x e e -+--， 这两个解为复值函数. 为得到实值函数的基解组，利用齐次微分方程解的线性性质得 2(23)(23)1 cos3 (+ )2x i x i x e x e e --+--=， 2(23)(23)1 sin 3 ( )2x i x i x e x e e i --+--=-， 这两个实值函数22cos3, sin3x x e x e x --也是方程（2）的解,由此得方程（2）的基解组为 22{cos3, sin3}x x e x e x --. （3）特征方程为 2440λλ++=，

分离变量法例题

分离变量法例题 例：两块半无限大接地平行于xz 平面的导体板，一块位于y = 0，另一块位于y = d ；平行板的有限端x = 0处被与之绝缘并保持常电势φ0的导体板封闭，如图所示。求导体板间的电势。 解：对于本问题，求解区域是x > 0的两平行板之间，区域内无电荷分布，因此电势满足拉普拉斯方程。区域的边界在y = 0、y = d 、x = 0、及x → ∞处。本问题实际是一个二维问题，即静电势与z 无关。因此，本定解问题： 20??= ( x > 0，0 < y < d ) (1) 0x ?→∞= (2) 00y ? == (x > 0) (3) 0y d ?== (x > 0) (4) 00x ??== (0 < y < d ) (5) (2)的条件是我们通常的选择。实际上(2)、(3)、(4)、(5)为边界条件。 因本问题为二维问题，(),x y ??=。(1)在直角坐标系中可写成： 2222 0x y ????+=?? 分离变量法的核心是将多维函数分解为多个一维函数的乘积。令 (,)()()x y X x Y y ?= 将其带入上式得： 2222d d 0d d X Y Y X x y += 将x 变量项和y 变量项整理为： 22221d 1d d d X Y X Y x y =- 上式坐标仅是x 的函数，而右边仅是y 的函数。这样，我们就将变量分离了。在上面的方程中，两半无限大接地平行导体板 y = d

对任意x 和y 成立，方程两边必等于常数。即： 222221d 1d d d X Y k X Y x y ==- (3-3-3) 式中k 为实数常数，称为分离常数。为什么我们将常数写为k 2而不是-k 2，后面我们将清楚这一点。上式可分为两个微分方程： 2221d d X k X x = 2221d d Y k Y y =- 我们知道上面的微分方程k 为非零时的解为： kx kx X Ae Be -=+ sin()cos()Y C ky D ky =+ 若k = 0，根据边界条件只能得出零解，因此，k 为非零值。式中A 、B 、C 、D 为积分常数，由边界条件确定。这样，我们得到： [][sin()cos()]kx kx Ae Be C ky D ky ?-=++ 由边界条件(2)，我们得到A = 0及k > 0。这就是为什么我们将常数写为k 2而不是-k 2的原因。它可使电势φ在x 方向单调地增加或单调地减少而不是振荡。由边界条件(3)，我们得到D = 0。而边界条件(4)给出： sin()0kd = 由此式及条件k > 0，我们得到： ,1,2,3,n k n d π==? 我们不取n = 0的原因是因为它给出的是零解。因此，我们得到对应n 值的电势解： (,)sin(),1,2,3,n x d n n n x y B e y n d ππ?-==? 其中C 已并入B n 。因拉普拉斯方程是线性方程，任何解的线性叠加也是方程的解。因此，我们将所有n 值的解叠加起来得到了更为一般的解： 1(,)sin()n x d n n n x y B e y d ππ?∞-==∑ 式中B n 为常数。此解满足边界条件(2)、(3)、(4)。由边界条件(5)， 我们有 01sin( )n n n B y d π?∞==∑ 上式是一在[0，d ]区间展开的正弦傅里叶级数，其系数B n 为：