成都七中2021年自主招生考试-选择解析
6 成都七中 2021 年自主招生考试－选择题
数学(解析版-By:杰少)
一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题 5 分，共 60 分)
1.若 M = 5x 2
-12 xy +10 y 2
- 6x - 4 y +13 ( x 、y 为实数)，则 M 的值一定为( )
A.非负数
B.负数
C.正数
D.零
【答案】A
【解析】M ＝(2x －3y )2＋(x －3)2＋(y －2)2≥0，当 x ＝3，y ＝2 取等.
2.将一个棱长为 m ( m > 2 且 m 为正整数)的正方体木块的表面染上红色，然后切成m 3
个棱 长为1 的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的 12 倍，则m 等于( ) A.16
B.18
C. 26
D. 32
【答案】C
【解析】6(m －2)2＝12×12(m －2)，∴m ＝26.
3.已知6a 2 -100 a + 7 = 0,7b 2
-100 b + 6 = 0 ，且ab ≠ 1 ，则 a 的值为( )
b
A. 50
B. 6
C. 100
D. 7 3 7 7 6
【答案】D
【解析】a ，1
是方程 6x 2－100x ＋7＝0 的两根，∴
.
b
4.若a = , b = 2 + - a ，则 的值为( )
b
A. 1
B. 1
C.
1 D.
1 2
4
【答案】B 2 + 3
6 + 10
【解析】
，相乘平方差
.
5.满足 ab + a - b - 1 = 0 的整数对(a , b )共有( ) A. 4 个
B. 5 个
C. 6 个
D. 7 个
【答案】C
【解析】|ab |＋|a －b |＝1，∴
，或
，有 6 组解.
3
2 +
3 + 5
10
? 6.在凸四边形 ABCD 中，E 为 BC 边的中点，BD 与 AE 相交于点 O ，且 BO ＝DO ，AO ＝ 2EO ，则 S ?ACD : S ?ABD 的值为(
)
A.2:5
B.1:3
C.2:3
D.1:2
【答案】D
【解析】OE ∥CD ，∴S ＝S ＝2S ＝2S ＝S
＝1
S
，
∴S △ACD :S △ABD ＝1:2
△ACD △DOC △BDC △BOE △ABD
2
△ABD
7.从 1 到 2019 连续自然数的平方和12 + 22 + 32 +
+ 20192 的个位数字是( )
A.0
B.1
C.5
D.9
【答案】A 【解析】
i (i ＋1)(2i ＋1)
,当 n ＝2019 时，显然尾数为 0.
6
8.已知 x + y + z = 0 ，且 1
+ x + 1 1
+
y + 2 1 z + 3
= 0 ，则代数式(x + 1)2 + ( y + 2)2 + (z + 3)2 的值为 (
) A.3
B.14
C.16
D.36
【答案】D
【解析】此题我相信张涛老师应该还有印象吧，我第一次在群里接触他时，我们就讨论过类似的题，我说这种题可以直接口算秒杀:(x ＋1)＋(y ＋2)＋(z ＋3)＝6,∴ (x ＋1)2＋(y ＋2)2＋(z ＋3)2＝62＝36.
9.将一枚六个面编号为 1、2、3、4、5、6 的质地均匀的正方体骰子先后投两次，记第一次投
?ax + by = 2
掷的点数为 a ，第二次投掷出的点数为 b ，则使关于 x 、y 的方程组?2x + y = 3
，只有正数
解的概率为(
)
A. 1
12
【答案】B
B. 1
6
C. 5
18
D. 13
36
【解析】仅 a ＝1，b ＝1,2,3,4,5,6，满足题意.总共 6×6＝36 种情况，∴P ＝ 6
＝
36
1. 6
10.方程3a 2 - 8a - 3b - 1 = 0 ，当 a 取遍 0 到 5 的所有实数值时，则满足方程的整数 B 的个数是(
) A.12 个
B.13 个
C.14 个
D.15 个
【答案】C
【解析】3b ＝3a 2－8a －1,0≤a ≤5，∴
，∴count (b )＝(11＋2)＋1＝14.
11.若一个三角形的三边和为40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形的个数为( )
A.31 个
B.32 个
C.33 个
D.34 个
【答案】C
【解析】不妨设a≤b≤c，则40＝a＋b＋c≤3c,∴c≥14.
40＝a＋b＋c＞c＋c,∴c＜20,∴c≤19.∴14≤c≤19.再简单讨论a，b 即可，总共33 种情况.
12.若关于x的方程x2 +ax+b-3=0有实根，则a2 +(b-4)2 的最小值为( )
A.0
B.1
C.4
D.9
【答案】B
【解析】注意Δ＝a2－4(b－3)≥0，a2＋(b－4)2≥(b－2)2≥1，当a＝0，b＝3 取等号.
注意，此题容易错选A，显然a＝0，b＝2 不可能同时成立,a2 取最小的4(b－3) 时，有4(b－3)≥0 得到b≥3.