二次函数与等腰三角形综合

专题：二次函数与三角形综合

1.与等腰三角形综合

例1 如图，抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在

x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是

等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

例2 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax-2经过点B．

（1）求点B的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角

边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2.与直角三角形综合

例3如图，已知直线

1

1

2

y x

=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线2

1

2

y x bx c

=++与直线交

于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；

（3）若点Q在抛物线上，且△CEQ为直角三角形，请直接写出Q的坐标；

（4）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM-MC|的值最大，求出点M的坐标．

例4如图（1），在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+8ax+16a+6经过点B（0，4）．（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为-4，连接BC、AC．求证：△ABC是等腰直角三角形；

（3）在（2）的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l，直线l与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C是直角三角形，若存在求出l的解析式，若不存在，请说明理由．

3.与相似三角形综合

例5已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，-2），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x的代数式表示）；

（3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、

E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标．

例6已知：如图，抛物线y=ax2+bx-2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OC=OA，△ABC的面积为2．（1）求抛物线的解析式；

（2）若平行于x轴的动直线DE从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y 轴、线段BC于点E、点D，同时动点P从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．当点P运动到点O时，直线DE与点P都停止运动．连接DP，设点P的运动时间为t秒．

①当t为何值时，

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ED OP

的值最小，并求出最小值；

②是否存在t的值，使以P，B，D为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

4.与全等三角形综合

例7 如图所示，抛物线2()y x m =--的顶点为A ，直线l ：33y x m =-

与y 轴的交点为B ，其中m ＞0．

(1)写出抛物线对称轴及顶点A 的坐标(用含m 的代数式表示)；

(2)证明点A 在直线l 上，并求∠OAB 的度数；

(3)动点Q 在抛物线对称轴上，抛物线上是否存在点P ，使以P ，Q ，A 为顶点的三角形与△OAB 全等？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在，说明理由．

【技巧】与等腰三角形，直角三角形综合

【技巧】与相似三角形，全等三角形综合

专题：二次函数与距离，角度的综合专题：二次函数与四边形，面积的综合