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伴随矩阵的性质及其应用
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伴随矩阵的性质及其应用
作者：张平平
来源：《教育教学论坛》2015年第36期
摘要：伴随矩阵在矩阵中占有重要地位，因此，总结伴随矩阵的性质及其相关应用对学习线性代数有很大帮助。本文就是带着这个目的出发，首先总结一下伴随矩阵的性质，然后用例子的形式来说明伴随矩阵的相关应用。
关键词：伴随矩阵；逆矩阵；行列式
中图分类号：O151.2 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）36-0195-02
设n阶方阵A=
a的行列式A的各个元素的代数余子式A所构成的如下矩阵：A=称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵。这个定义可以在文献[1]中找到。由伴随矩阵的定义及转置矩阵的定义，很
容易得到下面的性质：（A）=（A），其中，A表示矩阵A的转置矩阵。由于矩阵kA的（i，j）元的代数余子式为：
（-1）=
kA，因此，（kA）=kA.
由伴随矩阵的定义及矩阵的乘法运算马上有下面的性质成立：AA=AA=AE （1）
其中E为n阶单位矩阵。
若n阶方阵A是非奇异的，即A≠0，此时矩阵A是可逆的。由（1）得A=A=E
结合逆矩阵的定义，有A=，
即A=AA，其中A表示矩阵A的逆矩阵。
若n阶方阵A是非奇异的，此时矩阵A是可逆的，由（1）得A=A=E
由矩阵逆的定义知：（A）= （2）
同时对（1）两边同时取逆，根据逆矩阵的性质有：（A）A=
即有（A）= （3）
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