高等数学_习题集
《高等数学（经济数学1）》课程习题集
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习题
【说明】：本课程《高等数学（经济数学1）》（编号为01014）共有单选题,填空题1,计算题等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。
一、单选题
1. 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称（ ）
A 、函数
B 、初等函数
C 、基本初等函数
D 、复合函数
2. 设,0
,0,)(???≥+<=x x a x e x f x 当a=（ ）时，)(x f 在),(+∞∞-上连续
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
3. 由函数2x u e y u ==，复合而成的函数为（ ）
A 、2
x e y = B 、2
x e x = C 、2
x xe y = D 、x e y =
4. 函数f(x)的定义域为[1，3]，则函数f(lnx)的定义域为（ ）
A 、],[3e e
B 、]3,[e
C 、[1，3]
D 、],1[3e
5. 函数x y x y z 2222-+=的间断点是（ ）A 、{}
02),(2=-x y y x B 、2
1
=x C 、0=x D 、2=y
6. 不等式15<-x 的区间表示法是（ ）A 、(-4,6) B 、(4,6) C 、(5,6) D 、(-4,8)
7. 求323
lim 3
x x x →-=-（ ）A 、３ B 、２ C 、５ D 、－５
8. 求=++→43lim 20
x x x （ ）
A 、１
B 、２
C 、３
D 、４
9. 若f(x)的定义域为[0，1]，则
)(2x f 的定义域为（ ）
A 、[-1,1]
B 、（-1,1）
C 、[０,1]
D 、[-1,０]
10. 求=+-→t e t t 1lim
2（ ）A 、21(1)e -+ B 、211(1)2e + C 、)11(212+-e D 、11
(1)2e
-+
11. 求0sin lim
x x
x
ω→=（ ）A 、０ B 、１ C 、2ω D 、ω
12. 求=-∞→x x x )1
1(lim （ ）A 、e
1 B 、１ C 、０ D 、e
13. 求=-+→x x x 11lim
（ ）A 、１ B 、12 C 、13 D 、1
4
14. 已知x
x
x f +-=
11)(，求)0(f ＝（ ）A 、１ B 、２ C 、３ D 、４ 15. 求29)(x x f -=的定义域（ ）A 、[-1,1] B 、（-1,1） C 、[-3,3] D 、（-3,3）
16. 求函数y =的定义域（ ）A 、[1,2] B 、（1,2）C 、[-1,2] D 、（-1,2） 17. 判断函数53)(2+=x x f 的奇偶性（ ）A 、奇函数 B 、偶函数C 、奇偶函数D 、非奇非偶函数
18. 求13+=x y 的反函数（ ）A 、113y x =
+ B 、113y x =- C 、13
x y +=
D 、31
-=x y
19. 求极限lim )x x →+∞的结果是（ ）A 、0 B 、1
2
C 、∞
D 、不存在
20. 极限01lim 23x x →+的结果是（ ）。A 、0 B 、不存在 C 、15 D 、1
2
21. 设x x y sin ?=，则y '=（ ）
A 、)cos 2sin (
x x x x + B 、)sin 2cos (x x x x + C 、)cos 2sin (x x x x - D 、)sin 2cos (x x
x x - 22. 设4)52(+=x y ,则y '=（ ）A 、34(25)x + B 、3)52(8+x C 、44(25)x + D 、48(25)x + 23. 设t e
t
y sin =则y ''=（ ）A 、2sin t e t -- B 、2sin t e t - C 、2cos t e t - D 、t e t cos 2-- 24. =--→1
1lim
3
1x x x （ ）A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
25. 设)()2)(1()(n x x x x x f ---=K , 则)()1(x f n +=（ ）A 、)!1(+n B 、1n + C 、0 D 、1 26. 曲线x y sin 2
+=
π
在0=x 处的切线轴与x 正向的夹角为：
（ ） A 、
2π B 、3π C 、4
π D 、5π
27. 设x e a y x x 2
3-+=，则dx dy =（ ）
A 、21ln 3x e a a x x ++
B 、22ln x e a a x x ++
C 、22ln 3x e a a x x -+
D 、22
ln 3x e a a x x ++
28. 如果函数)(x f 在区间I 上的导数（ ），那么)(x f 在区间I 上是一个常数.
A 、恒为常数
B 、可能为常数
C 、恒为零
D 、可能为常数
29. 设)13(2+-=x x e y x ,则
=x dx
dy =（ ）A 、0 B 、-1 C 、-2 D 、-3
30. 设n n n n n a x a x a x a x x f +++++=---12211)(K (n a a a ,,,21K 都是常数)，则)(n y =（ ）
A 、0
B 、!n
C 、n a
D 、1a
31. 假定)(0x f '存在，按照导数的定义观察A h
h x f h x f h =--+→)
()(lim
000
极限，指出A =（ ）
A 、)(20x f '
B 、)(0x f '
C 、)(20x f '-
D 、)(0x f '-
32. 已知物体的运动规律为2t s =(米)，则该物体在2=t 秒时的速度为（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
33. 求函数21
x
y =的导数（ ）
A 、31x
- B 、32x C 、32
x - D 、31x
34. 求曲线x y =在点)1,1(处的切线方程（ ）
A 、20y x -=
B 、20y x +=
C 、210y x -+=
D 、012=--x y
35. 求函数x x y e 2=的导数（ ）
A 、'e x y x =
B 、'e (1)x y x x =+
C 、)2(e 'x x y x +=
D 、2'e x y x =
36. 求函数x y 3sin =的导数（ ）
A 、2'3sin cos y x x =
B 、2'sin cos y x x =
C 、2'3sin y x =
D 、3'3sin cos y x x =
37. 求曲线1ln =+y xy 在点)1,1(M 处的切线方程（ ）
A 、20x y +=
B 、032=-+y x
C 、230x y ++=
D 、220x y +-=
38. 求函数323210y x x =+-的二阶导数（ ）
A 、18y x ''=
B 、64y x ''=+
C 、418+=''x y
D 、294y x x ''=+
39. 求函数x x y sin =的二阶导数（ ）
A 、''2cos sin y x x x =+
B 、''cos sin y x x x =-
C 、''cos sin y x x x =+
D 、''2cos sin y x x x =-
40. 求函数x y 3=的n 阶导数（ ）
A 、()3n x y =
B 、()3ln 3n x y =
C 、()0n y =
D 、n x n y )3(ln 3)(=
41. 若函数)(x f y =在0x x =可导，则它在点0x 处到得极值的必要条件为：（ ）
A 、0)(0='x f
B 、0)(0≠'x f
C 、0)(0>'x f
D 、0)(0<'x f
42. 求=→x
x x 1
sin
lim 20（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
43. 求3
5)
3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→的值为（ ）A 、1 B 、51 C 、52 D 、53
44. 求x
x x )
1ln(lim 0+→的值为：（ ）A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
45. 求=→x x x 3sin 2sin lim
0（ ）A 、31 B 、32
C 、2
3 D 、1
46. 求=?
→x
dt t x
x 0
20
cos lim
（ ）A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
47. 极值反映的是函数的（ ）性质.A 、 单调 B 、一般 C 、全部 D 、局部
48. 罗尔定理与拉格朗日定理之间的关系是（ ）A 、没有关系B 、前者与后者一样，只是表达形式不同
C 、前者是后者的特殊情形,加)()(b f a f =即可
D 、后者是前者的特殊情形 49. 求x
x x x --→201
e lim （ ）A 、0 B 、1 C 、-1 D 、2
50. 求bx ax x sin sin lim
0→（ ）A 、0 B 、b a C 、b
a
D 、1
51. 最值可（ ）处取得。
A 、区间端点及极值点
B 、区间端点
C 、极值点
D 、无法确定
52.
函数y 在[0,6]上的最大值为（ ）A 、3 B 、4 C 、5 D 、6
53. 设)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有（ ）个根A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 54. 在]3,1[-上，函数21)(x x f -=满足拉格朗日中值定理,则=ξ（ ）A 、-1 B 、0 C 、1 D 、2 55. 求n
x x x
ln lim +∞→（ ）A 、0 B 、1 C 、n D 、不存在
56. 求5
lim
1
x x x →∞++（ ）。A 、0 B 、1 C 、-1 D 、不存在
57. 求x
x
x x sin e e lim 0-→- （ ）。A 、0 B 、2 C 、1 D 、3
58. 求2
3lim
x x e
x ∞
→ （ ）A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
59. 如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零，那么)(x f 在区间I 上是一个（ ）。
A 、常数
B 、恒为零
C 、有理数
D 、无理数
60. 求3(24)(5)(6)
lim
5n n n n n →∞+++的值为（ ）A 、1 B 、5
1 C 、5
2 D 、53
61. 一个已知的函数，有（ ）个原函数。A 、无穷多 B 、1 C 、2 D 、3
62. )(x f 的（ ）称为)(x f 的不定积分。A 、函数B 、全体原函数C 、原函数D 、基本函数 63. 若)(x f 在某区间上（ ），则在该区间上)(x f 的原函数一定存在。
A 、可导
B 、可、连续 D 、可积
64. 由)()('x f x F =可知，在积分曲线族C x F y +=)( )(是任意常数C 上横坐标相同的点处作切线，
这些切线彼此是（ ）的。A 、无规律 B 、存在 C 、相交 D 、平行
65. 求dx x
x ?+2
2
1（ ） A 、arctan x x - B 、C x x +-arctan C 、arctan x x + D 、arctan x x C ++
66. 求3sin xdx ?（ ）
A 、31cos cos 3x x +
B 、31cos cos 3x x c ++
C 、31cos cos 3x x -
D 、31cos cos 3
x x c -+
67. 求?+dx x x 2
3
9（ ） A 、
C x x ++-)9ln(29222 B 、229ln(9)22x x ++ C 、22
9ln(9)22x x C +++ D 、229ln(9)22
x x -+ 68. 求函数2x 的原函数为（ ）A 、313x C + B 、3x C + C 、213x C + D 、32
3
x C +
69. 求dx x ?sin =（ ）A 、cos x - B 、cos x C 、cos x C + D 、cos x C -+
70. 求2
1
1dx x =+?
（ ）A 、arctan x B 、arctan x - C 、arctan x C + D 、arctan x C -+ 71. 求dx x
?21
=（ ）A 、1x C --+ B 、1x -- C 、1x C -+ D 、1x -
72. 若?+-=C x e dx x f x sin 3)(，求)(x f =（ ）
A 、3cos x e x +
B 、3cos x e x -
C 、3cos x e x C -+
D 、3cos x e x C ++
73. 求dx x
x
?
=（ ）A 、1
22x B 、122x C + C 、122x C -+ D 、122x - 74. 求dx xe x ?2
2=（ ）A 、2x e B 、2x e - C 、2x e C -+ D 、2
x e C +
75. 求2
1
cos dx x
=?
（ ）A 、tan x B 、tan x C -+ C 、tan x C + D 、tan x - 76. 求x e dx =?（ ）A 、x e B 、x e - C 、x e C -+ D 、x e C +
77. 求x
a dx =?（ ）A 、ln x a a B 、
ln x a C a + C 、x
a C + D 、ln x a C a
-+ 78.
求=（ ）
A 、arcsin x C +
B 、arcsin x
C 、arcsin x -
D 、arcsin x C -+
79. 求()dF x =?（ ）
A 、()F x C +
B 、()F x
C 、()'F x C +
D 、()'F x
80. 求()dx x ?+75sin =（ ）
A 、
cos(57)5x C ++ B 、cos(57)
5
x C +-+ C 、cos(57)x C -++ D 、cos(57)x C ++ 81. 如果[]b a x f ,)(在上的最大值与最小值分别为M 与m ，则?b a
dx x f )(有如下估计式：（ ）
A 、M dx x f m b
a
≤≤
?
)( B 、Mb dx x f ma b
a
≤≤?)(
C 、)()()(a b M dx x f a b m b
a
-≤≤
-?
D 、b a a b M dx x f a b m b
a
<-≤≤-?,
)()()(
82. 求?=x
a dx x f dx d
))((
（ ）A 、a x - B 、)()(a f x f - C 、x a - D 、)()(x f a f - 83. 求?102dx x =（ ）A 、0 B 、1 C 、13 D 、1
4
84. 求()a
a
f x dx =?（ ）A 、0 B 、1 C 、()f a D 、2()f a
85. 求?21xdx =（ ）A 、0 B 、1 C 、12 D 、3
2
86. 求?+10)1(dx x =（ ）A 、0 B 、1 C 、12 D 、3
2
87. )(x f =?x
a
tdt t 23sin ，求)(x f '=（ ）
A 、)(x f '=x x 23sin
B 、)(x f '=223sin x x
C 、)(x f '=22sin x x
D 、)(x f '=32sin x x -
88. 求0
lim
→x 2
1
cos 2
x dt e x
t ?
-=（ ）A 、0 B 、1 C 、1
e D 、
12e
89. 求?b
a
dx x f )(=（ ）A 、)()(a F b F - B 、0 C 、1 D 、()()F a F b -
90. 求?b
a
dx 1=（ ）A 、b a - B 、0 C 、1 D 、a b -
91. 求=+?
9
4
)1(dx x x （ ）A 、0 B 、1 C 、1
456
D 、1453
92. 求?-x x d 11=（ ）A 、0 B 、1 C 、12 D 、1
4
93. 求
='?)d sin (d d 1x
t t t （ ）A 、0 B 、1 C 、sin t D 、sin t - 94. 求=?b
a x x f x d )(d d （ ）A 、0 B 、1 C 、()()f
b f a - D 、()()f a f b -
95. 求=?x
a
x t x d cos d d 2（ ）A 、0 B 、1 C 、2cos x D 、2cos t
96. 求x
t
t x x πcos 1d πsin lim
1
1
+?→=( )A 、0 B 、1 C 、
1π D 、1
π
- 97. 求?1
0100d x x =（ ）A 、0 B 、1 C 、
1100 D 、1101
98. 求?10
d e x x =（ ）A 、0 B 、1 C 、1e - D 、e 99. 求x x x d e )15(4
05?+=（ ）A 、2e B 、3e C 、4e D 、5e
100. 求?41
d x x =（ ）A 、23 B 、43 C 、83 D 、14
3
二、填空题1
101. 若225
1t t
t f +=??? ??,则__________)(=t f 。
102. 函数y=sin(ln2x)由 复合而成。
103. 若f(x)的定义域为[0，1]，则f(sinx)的定义域为 。
104. 若f(x)的定义域为[0，1]，则f(x+a) (a>0)的定义域为 。
105. 213
lim __________3
x x x →-=-。
106.
x →= 。
107. 0sin 2lim
__________sin x x
x
→=。
108. 若225
1t t
t f +=??? ??,则__________)1(2=+t f 。
109. 函数y=sin(lnx)由 复合而成。
110. 203
lim __________3
x x x →-=-。
111. 设)(x f 在0x x =处可导，即)(0x f '存在，则_________)
()(lim
000=?-?+→?x
x f x x f x 。
112. 设)(x f 在0x x =处可导，即)(0x f '存在， _________)
()(lim 000=?-?-→?x
x f x x f x 。
113. 设2)(x x f =,则[]=')(x f f 。 114. 设2)(x x f =,则[]=')(x f f 。
115. 曲线x e y =在点)1,0(处的切线方程为 。
116. 设()y x =,则它的导数为
dy
dx
= 。 117. 设21()y x x =,则它的导数为dy
dx
= 。
118. 设()y x =
,则它的导数为
dy
dx
= 。 119. 设1
11x x y a e x =+-，则dx
dy = 。
120. 设2tan sec 1y x x =++,则y '= 。
121. 函数4)(x x f =在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理，则ξ= 。
122. 306(sin )
lim
x x x x →-= 。 123. 函数212x x
y +=在区间[-1,1]上单调 。
124. 函数2
12x
x
y +=在 上单调减。 125. 函数7186223---=x x x y 单调区间为 。 126. 函数2332x x y -= (41≤≤-x )的最大值为 。 127. 函数2332x x y -= (41≤≤-x )的最小值为 。 128. 曲线上 的点，称作曲线的拐点。
129. 函数2100x y -=在[0,8]上的最大值为 。 130. 函数2100x y -=在[0,8]上的最小值为 。 131. 21
sin dx x
=?
。
132. ()kf x dx =? ，其中k 为常数。 133. ()()()f x g x dx ±=? 。 134. dx x ?2tan = 。
135. dx x ?
-523
= 。 136. dx x ?-723
= 。
137. dx x
a ?+2
21
= 。 138. 一个已知的函数，有无穷多个原函数，其中任意两个的差是一个 。
139. 22
a
dx a x
+?= 。 140. 若?++-=C x x dx x f )32ln(2)(，求f (x ) = 。 141. 如果积分区间
[]b a ,被点
C 分成[a,c]与[c,b]，则定积分的可加性为
?
=b
a
dx x f )( 。
142. 函数3y x =在(,)-∞∞是单调 的。
143. b a >，我们规定?b
a dx x f )(与?a
b
dx x f )(的关系是 。
144. 积分中值公式 ?=b
a
dx x f )()(),)((b a a b f ≤≤-ξξ的几何意义是 。
145. 广义积分?
+∞
1p x dx
当 时收敛。 146. 广义积分?+∞1p x
dx
当 时发散。 147. 广义积分?10q x dx
当 时收敛。
148. 广义积分?10q x
dx
当 时发散。
149. =+?3
3
1
2
1x dx
。 150. 广义积分?∞
-x
dt t f )(的几何意义是 。
三、计算题
151. 讨论函数????
???≤>+=-0,
0,])1([)(21
1
1
x e x e
x x f x x 当当, 在处点0=x 的连续性。 152. 利用极限存在准则证明数列222,22,2+++，…的极限存在，并求出该极限值。 153. 证明任一定义在区间)0(),(>-a a a 上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和。
154. 求数列极限222111lim (1)(2)()n n n n n →∞??
+++??+++?
?L 。 155. 讨论函数,1
()1,12
x x f x x ≠??
=?=??在1x =处的连续性。
156. 考察函数
??
???>+=<-=0
100
01
)(x x x x x x f 在点0=x 处的连续性。 157. 考察函数
???
??
?
?-=-≠+-=2
42
24)(2x x x x x f
在点2-=x 处的连续性。
158. 判断函数x x x f +=22)(的奇偶性。
159. 判断函数2
e e )(x
x x f -=-的奇偶性。
160. 求13+=x y 的反函数，并画出它们的图像。
161. 一曲线通过点)3,(2e ，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程 。 162. 证明：双曲线2a xy =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a 。
163. 小船从河边点0处出发驶向对岸(两岸为平行直线)。设船速为a,船行方向始终与河岸垂直,设河
宽为h,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k).求小船的航行路线（注：取0为原点,河岸朝顺水方向为x 轴, y 轴指向对岸）。
164. 证明函数sin(arcsin )y m x =满足关系式：22
22(1)0d y dy
x x m y d x dx
--+=。
165. 设x x y x sin 4252-+=，求导数'y 。 166. 设x x x y ln sin =，求导数'y 。 167. 求函数)132(cos 323++=x x y 的导数。 168. 设x x x f ln )(2=，求)2(f '''。 169. 设),ln(a x y +=求()n y 。 170. 求函数x y sin ln =的导数。 171. 求函数x
x y
54
2-
=(0 2 ) 2(sin ln lim x x x -→ ππ 。 174. 求曲线x e y arctan =的拐点及凹凸区间。 175. 求? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 22 02 2 )(lim 。 176. 由2x y =,0=y ,a x =(0>a )围成一曲边三角形OAB ，在曲线弧OB 上求一点),(00y x ，使得过 此点所作曲线2x y =的切线与OA ，OB 围成的三角形MAN 面积最大。 177. 求证10 1)cos 1(lim 2 50 20 2 1= -? +→x dt t x x 。 178. 求曲线4321y x x =-+的拐点及凹凸区间。 179. 求sin 0 lim x x x →+。 180. 求函数22ln )(x x x f -=的单调区间。 181. 求? ) ln(ln ln x x x dx 。 182. 求3 2 7x dx x +?。 183. 求?-+x x e e dx 。 184. 求?++dx xe x x x ) 1(1 。 185. 求? +dx x x x 4sin 1cos sin 。 186. 已知x x sin 是)(x f 的原函数，求?dx x xf )('。 187. 求积分? +x dx 21。 188. 计算3 2 5x dx x +?。 189. 计算22x x dx e e -+? 。 190. 求3sin xdx ?。 答案 一、单选题 1. C 2. B 3. A 4. A 5. A 6. B 7. D 8. B 9. A 10. C 11. D 12. A 13. B 14. A 15. C 16. A 17. B 18. D 19. B 20. D 21. A 22. B 23. D 24. C 25. A 26. C 27. D 28. C 29. C 30. B 31. A 32. D 33. C 34. D 35. C 36. A 37. B 38. C 39. D 40. D 41. A 42. A 43. B 44. A 45. B 46. B 47. D 48. C 49. C 50. B 51. A 52. D 53. C 54. C 55. A 56. B 57. B 58. A 59. A 60. C 61. A 62. B 63. C 64. D 65. B 66. D 67. A 68. A 69. D 70. C 71. A 72. B 73. B 74. D 75. C 76. D 77. B 78. A 79. A 80. B 81. D 82. B 83. C 84. A 85. D 86. D 87. A 88. D 89. A 90. A 91. C 92. A 93. A 94. A 95. C 96. D 97. D 98. C 99. D 100. D 二、填空题1 101. 2 2 5t t + 102. x v v u u y 2,ln ,sin === 103. [πππ+k k 2,2] 104. ]1,[a a -- 105. 1 106. 4 107. 2 108. 2 22) 1(2 )1(5++ +t t 109. sin ,ln ,y u u v v x === 110. 1 111. )(0x f ' 112. )(0x f '- 113. 24x 114. 22x 115. 01=+-y x 116. 1323x - 117. 32 x - 118. 5616x - 119. 2111ln x x a a e x ++ 120. )tan sec 2(sec x x x + 121. 3 4 15 122. 1 123. 增加 124. ),1[],1,(+∞--∞ 125. ),3[],1,(+∞--∞单调增加,]3,1[-单调减少 126. 最大值80)4(=y 127. 最小值5)1(-=-y 128. 凹凸部分的分界点 129. 10 130. 6 131. cot x C -+ 132. ()k f x dx ? 133. ()()f x dx g x dx ±?? 134. tan x x C -+ 135. 3ln 255x C --+ 136. 3ln(27)7x C --+ 137. 1arctan x C a a + 138. 常数 139. arctan x C a + 140. 3 24 1+-x 141. ??+b c c a dx x f dx x f )()( 142. 增加 143. ?b a dx x f )( ?-=a b dx x f )( 144. 曲边梯形各部分面积的代数和等于)(ξf 与b-a 为邻边的矩形面积 145. 1p > 146. 1p ≤ 147. 1q < 148. 1q ≥ 149. 6 π 150. 过点x 平等于y 轴的直线左边,曲线)(x f y =和x 轴所围图形的面积 三、计算题 151. 因为：1 1 00(1)lim ()lim[ ]x x x x x f x e →→+= （2分） 1 1 (1)ln[] lim x x x e x e +→= 2 ln(1)0 lim x x x x e +-→= （4分） 10110 20lim x x x e -+→= 210(1)0 2 0lim x x e - +→= （6分） 12 (0) e f -== （8分） 所以在x=0处连续。 （10分） 152. 证：设2 222Λ +++=n x ，因为1+ 分），221<= x ， 22221≤+<+=-n n x x ， （4分）根据单调有界函数极限存在准则知n n x ∞ →lim 存在（8分） ,21n n x x +=+Θ,22 1n n x x +=+),2(lim lim 21n n n n x x +=∞ →+∞ →,22A A +=解得：A=2和A=-1（舍去） ，所以2lim =∞ →n x x .（10分） 153. 证：设f(x)为区间（-a,a ）上任意函数， 因为：2) ()(2)()()(x f x f x f x f x f --+ -+= （6分） 可以证明：2 ) ()(x f x f -+为偶函数 （8分） 2 ) ()(x f x f --为奇函数 从而命题得证。 （10分） 154. 设222 111 (1)(2)()n z n n n n = +++ +++L （2分） 则有 2221111 n z n n n n <+++=L （4分） 222 1111()()()4n z n n n n n n n > +++=+++L （6分） 即对任意自然数n ，有 11 4n z n n << （8分） 而 1lim 0n n →∞=，1 lim 04n n →∞=，由极限存在准则I ，可知 lim 0n n z →∞ =。 （10分） 155. 1 1 lim ()lim 1x x f x x →→==（4分） 但1 (1)2 f = ，所以 1 lim ()(1)x f x f →≠（8分） 因此，点1x =是函数()f x 的间断点。 156. 虽然在点0=x 处)(x f 有定义，且0)0(=f ，但是在0=x 处，有 1)1(lim )(lim 0 0-=-=-- →→x x f x x ，1)1(lim )(lim 0 =+=++→→x x f x x （5分） 即)(x f 在0=x 处左、右极限都存在但不相等，所以)(x f 在0=x 处不连续，为跳跃间断点（第一类），如图所示．（10分） 图 157. 虽然在点2-=x 处)(x f 有定义，4)2(=-f ，且在2-=x 处函数的极限存在，即 4)2(lim 24 lim )(lim 2 222-=-=+-=-→-→-→x x x x f x x x （5分） 但)2()(lim 2 -≠-→f x f x ，所以在2-=x 处不连续．但如果我们重新定义在2-=x 处的值为4)2(-=-f ，那么 在2-=x 处就连续了，这种间断点为可去间断点（第一类），如图所示。（10分） 158. 因为?? ?-≠-=-+-=-) () (2)()(2)(22x f x f x x x x x f （5分），所以x x x f +=22)(既不是奇函数，也不是 偶函数。（10分） 159. 因为)(2e e 2e e )()()(x f x f x x x x -=--=-=-----（5分） ，所以2 e e )(x x x f -=-是奇函数。（10分） 160. 由13+=x y 得到31-=y x （5分），然后交换x 和y ，得3 1 -=x y 为13+=x y 的反函数。（10 分） 161. 设所求曲线方程为)(x f y = （2分） 根据题设有x y 1 '= 当2e x =时y=3 （5分） 所以C x x dx y +== ?ln （7分） 代入2e x =，y=3解得C=1 （9分） 所以该曲线方程为1ln +=x y （10分） 162. 证明： 设),(00y x 为双曲线2 a xy =上任意点（3分），而在),(00y x 点的导数为20 2 '0 x a y -=，所以切线方程 为：)(020 2 0x x x a y y --=-（6分），那么切线与x 轴的交点为)0,(02020x a y x +，与y 轴的交点为 ),0(00 2 y x a +（8分） 所以切线与两坐标构成的三角形的面积为 22222 220200000202020222)2(21))((21a a a a a a y x y x y x a x a y x A =++=++=++=（10分） 163. 设所求曲线上坐标为（x,y ） 那么a dt dy =,)(y h ky dt dx -= （2分） 两式相除得微分方程 ) (y h ky a dx dy -= 0|0==x y （4分） 分离变量积分? ?= -dx k a dy y h y )( 得：C x k a y hy +=-3232 （6分） 代入初始条件0|0==x y ，得C=0 （8分） 则所求航线曲线为)3 12(3 2y y h a k x -= （10分） 164. 证明： cos(arcsin dy m x dx =（3分） 22222 22sin(arcsin )cos(arcsin 111d y m m x m x d x x m y x dy x x dx =-+-=- + --（7分） 所以 2222211d y m y x dy d x x x dx =-+-- 上式两边同乘以210x -≠，移项即得 22 22(1)0d y dy x x m y d x dx --+= （10分） 165. )'(sin 4)'2()'(5'2x x y x -+= （3分） x x x cos 42ln 225-+?= （6分） x x x cos 42ln 210-+= （10分） 166. )'(ln sin ln )'(sin ln sin )'('x x x x x x x x x y ++= （3分） x x x x x x x x 1 sin ln cos ln sin 1? ++?= （6分） x x x x x x sin ln cos ln sin ++= （10分） 167. )]'132)[cos(132(cos 3'32322++++=x x x x y （2分） )'132)](132sin()[132(cos 33232322++++-++=x x x x x x （4分） )3322)](132sin()[132(cos 3232322x x x x x x ?+?++-++= （7分） )132sin()132(cos )94(3323222+++++-=x x x x x x （10分） 168. x x x x f +='ln 2)( （3分） 3ln 2)(+=''x x f （6分） x x f 2 )(= ''' （9分） 1)2(='''f （10分） 169. ,1 'a x y += （2分） ,)(1 )(2 "a x y +? -= （4分） ,) (1 ) 2)(1(3 "'a x y +--= （6分） ,)(11 ) 3)(2)(1(4 ) 4(a x y +---= （8分） 归纳的得到 .) ()! 1()1()][ln(1 )(n n n a x n a x +--=+- （10分） 170. x x x x x x x y cot sin cos )(cos sin 1)'(sin sin 1'==== （10分） 171. 054 2'2=+ =x x y (5分) 解得：x=-3 （6分） 而0)3(108 2)3(''3 >-- =-f （8分） 所心3-=x 时函数有最小值f(-3)=27. （10分） 172. 设所求点为（x,y ）,那么目标函数为5 )162(),(2 2 2 -+++=y x y x y x s （2分） 而 0)162(5 2 2=-++=??y x x x s ，0)162(542=-++=??y x y y s （4分） 可解得：58= x ，5 16 =y （6分） 由于最小值存在，而只有一个驻点)516 ,58(，所以在)5 16,58(点时到0,0==y x 及0162=-+y x 三直线 的距离平方之和为最小。 （10分） 173. 22 )2(sin ln lim x x x -→ ππ ) 2(4lim 2 x ctgx x --=→ππ （6分） 8 sin 1 lim 22 0x x - =→ π （8分） 8 1 -= （10分） 174. 因为x e y arctan =的定义域为),(+∞-∞ （2分） 而2 arctan 1'x e y x += 2 2arctan 22 arctan ) 1()2()1(1''x x e x x e y x x +-++= （4分） 另0'=y 无解，0''=y 可解得 1 = x （6分） 所以拐点为),21(2 1arctan e ,在]21,(-∞内是凹的,在),2 1[+∞内是凸的.（10分） 175. 由罗必达法则 2 2 2 20 () lim x t x x t e dt e dt →+∞ ?? 2 2 2 022lim x x t x x e e dt e ∞∞ →+∞ =? （5分） 2 2 2lim x t x x e dt e →+∞ =? （6分） 2 2 2lim 2x x x e xe ∞∞ →+∞ = （8分） 1 lim x x →+∞= =0 （10分） 176. 在2x y =过),(00y x 的切线方程为)(2000x x x y y -=- （2分） 当y=0时代入切线方程有2 22002 00000x x x x x y x x =-=-= 所以M 点的坐标为)0,2 ( x M （4分） 当x=a 时代入切线方程有2 002x ax y -= 所以N 点的坐标为)2,(2 0x ax a N - （5分） 从而三角形MAN 的面积为)2)(2 (21)() 20000x ax x a x S --= 0220304 x a ax x +-= （其中 a x ≤≤00） （6分） 当024 3'202 0=+-= a ax x S 解得：3 20a x = 和 a x 20=（舍去） （8分） 所以在3 20a x =时三角形MAN 面积最大，即)94, 32(),(200a a y x = （10分） 177. 由罗必达法则 2 32 1 0250 20 2 5 )cos 1(21lim )cos 1(lim 2 1x x x x dt t x x x -=--+→+→? （5分） 205cos 1lim x x x -=+→ （6分） x x x 10sin lim 00 0+→= （8分） 101 = （10分） 178. 因为4321y x x =-+的定义域为),(+∞-∞ （2分） 而32'46y x x =- ''12(1)y x x =- （6分） 解方程0''=y 可解得120,1x x == （10分） 179. 这是00型的未定式，设sin x y x =，两边取对数得 sin ln ln ln sin ln csc x x y x x x x === （3分） 当0x →+时，上式右端的分子分母都趋于无穷大，所以，可先用罗比塔法则计算0 lim ln x y →+。（5分） lim ln x y →+=00000 1 ln sin tan lim lim lim csc csc cot sin lim lim tan 0 x x x x x x x x x x x x x x x x ∞ ∞ →+→+→+→+→+-==-=-= （8分） 又因ln y y e =，所以 0lim ln sin ln 00 lim lim lim 1x y x y x x x x y e e e →+→+→+→+===== （10分） 高等数学基本知识点 一、函数与极限 1、集合的概念 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 ⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 2、函数 ⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 ⑵、函数相等 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简单性态 ⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1 【高等数学基础】形成性考核册答案 【高等数学基础】形考作业1答案： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2 ()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3 ()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。 故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称 偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称 故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =，所以为偶函数 2018年福建省专升本公共基础课(大学英语、高等数学)考试大纲 福建省高校专升本统一招生考试 大学英语水平测试大纲 （非英语专业） 一、总则 国家教育部高教司在“关于印发《高职高专教育英语课程教学基本要求》（试行）的通知”[(2000)57号文件]中指出，高职高专教育以培养学生实际运用语言能力为目标，突出教学内容的实用性和针对性；针对目前高职高专学生入学水平参差不齐的情况，实行统一要求、分级指导的原则。《高职高专教育英语课程教学基本要求》（以下简称《基本要求》）对英语教学提出了应达到的合格要求，把教学和测试分为A、B两级。B级是过渡要求，A级是标准要求。 福建省高职高专升本科英语水平测试根据《基本要求》的精神，参照福建省教育厅组织编写的《英语基础教程》（高职高专版）系列教材的教学内容，全面考核《基本要求》中所提出的各项目标。《基本要求》中指出：高职高专教育英语课程的教学目的是，经过180-220学时的教学，使学生掌握一定的英语基础知识技能，具有一定的听、说、读、写、译的能力，从而借助词典阅读和翻译有关英语业务资料，在涉外交际的日常活动中进行简单的口头和书面交流，并为今后进一步提高英语的交际能力打下基础。为此，这项考试主要考核学生运用语言的能力，同时也考核学生对语法结构和词语用法的掌握程度。 本考试是一种标准化考试。考试范围主要是《基本要求》中所规定的A级要求。为保证试卷的信度和效度，试卷采用主观题与客观题相结合的形式，能较全面地考核学生有关语言的基础知识和运用语言的能力。考试每年组织一次，由省教育厅组织实施。 二、考试内容 本考试包括五个部分：听力理解（暂不考）、阅读理解、词语用法与语法结构、完形填空或英译汉、短文写作。全部题目按顺序统一编号。 第一部分：听力理解（暂不考）（PartⅠ: 高数（一）的预备知识 第一部份 代数部份 （一）、基础知识： 1．自然数：0和正整数（由计数产生的）。 2．绝对值：a a a ?=?-? 00a a ≥∠ 3．乘法公式 （a+b ）(a-b)=a 2-b 2 (a ±b)2=a2±2ab+b 2 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) a 3+ b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) 4.一元二次方程 （1）标准形式：a 2+bx+c=0 (2)解的判定：2240,40,0,b ac b ac ??=-?? ?=-=????? 有两个不同的实数根有两个相同的实数根无实数根 （3）一元二次根和系数的关系：（在简化二次方程中） 标准形式：x 2 +px+q=0 设X1、X2为x2+p(x)+q=0的两个根，则； 1212p q x x x x +=-?? ?=? （4）十字相乘法： （二）指数和对数 1．零指数与负指数：0(1)0,1;1(2)n n a a x x -?≠=? ?=?? 则 2．根式与分数指数： （1 ） 1 n a = （2 ） m n a = 3．指数的运算（a>0,b>0,(x,y) ∈R ）; (1)x y x y a a a +?= (2)()m n m n a a ?= (3)x y x y a a a -÷= (4)()n n n a b a b ?=? 4．对数：设,x a N X N =则称为以a 为底的对数, 记作：log a n =X, lnX ，lgX; 5．对数的性质 (1)log a M ·N=log a M+log a N (2) log log log a a M M N N =- (3) log log x a a N x N =? (4)换底公式： log log log a b a N N b = （5） log ln ,aN x a N e x =?= （三）不等式 1．不等式组的解法： （1）分别解出两个不等式，例2153241 X X X X -<-??->-? （2）求交集 2、绝对值不等式 （1）; X a a X a ≤?-≤ ≤ （2）;X a X a X a ≥?≥≤- 或 3、1元2次不等式的解法： （1）标准形式：2 00ax bx c ++≥≤（或） （2）解法：0 0122????? 解对应的一元次方程 判解： 0a a ?? ???? ①若与不等式同号，解取根外； ②若与不等式异号，解取根内； ③若无根（＜），则a 与不等式同号； 例：（1）2560;x x -+≥ （2）2320;x x -+＜ （四）函数 1、正、反比例函数：y kx = ， 1 y x = 2、1元2次函数：2 y ax bx c =++ （a ≠0） 顶点：2424b ac b a a -（-,）； 对称轴：2b x a =- ； 最值：2 44ac b y a -=； 图像：（1）a ＞0,开口向上；（2）a ＜0,开口向下； 3、幂函数： n y x = （n=1,2,3）； 2012年10月高等教育自学考试《高等数学（一）》试题 课程代码：00020 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1．在区间),0(+∞内，下列函数无界的是（ B ）。 A ．x sin B ．x x sin C ．x x cos sin + D ．)2cos(+x 2．已知极限2 211lim e x bx x =?? ? ??+∞ →，则=b （ D ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设函数)(x f 二阶可导，则极限=?? ? ???-?-→?bx x x x f x x f )(')2('lim 000（ C ）。 A ．)(''0x f - B ．)(''0x f C ．)(''20x f - D ．)(''20x f 4．函数 C x F dx x f +=?)()(，则=?xdx x f cos )(sin （ C ）。 A ．C x x F +sin )(sin B ． C x x f +sin )(sin C ．C x F +)(sin D ．C x f +)(sin 5．函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则该函数在点),(00y x 处必（ A ）。 A ．有定义 B ．极限存在 C ．连续 D ．可微 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6．已知函数x x x f +=12)(，则复合函数=)]([x f f x x 314+。 7．极限()=?+∞→x x x 1 sin 1ln lim 0 。 8．某产品产量为q 时总成本2 200 1200)(q q C +=，则100=q 时的边际成本为 1 。 9．极限=-→x x x x ln 1 lim 1 1 。 10．设函数x x y +=1sin 的铅直渐近线为1-=x 。 11．已知直线l 与X 轴平行且与曲线x e x y -=相切，则切点坐标为 （0，-1） 。 12．函数)1ln()(2x x f +=在区间[-1，2]上最小值为 0 。 13．设函数? = Φx tdt t x 20 cos )(，则=Φ)('x x x 2cos 4。 14．求函数)arcsin(22y x z +=的定义域为122≤+y x 。 15．设函数)(2e x z +=，则 =??) 0,1(y z 4 。 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16．求极限x x x x sin 11lim 0--+→。 解：原极限x x x x x sin )11(2lim 0 -++=→ （3分） =1. （5分） 17．已知函数)(x f 可导，且)(sin )(,)0('x f x g a f ==，求)0('g 。 解：x x f x g cos )(sin ')('=， （3分） a f g ==)0(')0('。 （5分） 18．设函数)0(1>=x x y x ，求dy 。 19．设函数)(x f 在区间I 上二阶可导，且0)(''>x f ，判断曲线) (x f e y =在区间I 上的凹 凸性。 注册电气工程师执业资格考试基础考试大纲（供配电） 1、 高等数学 1.1 空间解析几何 1.1.1 向量代数 一、向量的概念 1、空间直角坐标系 空间两点),,(1111z y x M 与),,(2222z y x M 之间的距离 2、向量 既有大小又有方向的量称为向量。常用有向线段表示向量，其长度为向量的大小称为向量的模，其方向为向量的方向。用a 或a 表示。 模为1的向量称为单位向量。模为0的向量称为零向量，记作0，零向量的方向不定。和向量a 大小相同方向相反的向量称为向量a 的负向量，记作-a 。 设a =(a 1，a 2，a 3)， b =(b 1，b 2，b 3)是两个向量，有关向量有如下一些基本概念要掌握： （1）模 a =2 32221a a a （2）方向余弦 a a a a a a 321cos ,cos ,cos 且C os 2 +C os 2 +C os 2 =1。 （3）向量的加减法 a ± b =(a 1±b 1,a 2±b 2,a 3±b 3). (4)数乘向量 λa =（λa 1，λa 2，λa 3），其中λ为数量，λa 为与a 平行的向量。 （5）数量积 332211,cos b a b a b a b a b a b a ，两个向量的数量积是一个数. （6）向量积 3 21 321 b b b a a a k j i b a =(a 2b 3－a 3b 2，a 3b 1－a 1b 3，a 1b 2－a 2b 1)，两个向量的向量积是一个向量. b a b a b a b a b a b a b a ,,;)(;,sin 和成右手系. （7）两个向量平行或垂直的充分必要条件 b k a b a ∥或 0 b a b a ∥ 3．向量的坐标表达式 将向量的始点移到空间直角坐标系的原点O 。设向量的终点为M （x ，y ，z ），且Ox 轴、Oy 、Oz 轴正方向上的单位向量依次为i ，j ，k ，则 ,或记为 。称上述两种表达式 为向量的坐标表达式。 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A 注册电气工程师考试公共基础公式总结 高等数学 1. 两平面的交线的方向向量：z y x z y x b b b a a a k j i b a s =?= 2. 曲线C 绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为() 0,22=+±z x y f 3. ()???z A A z z A ??+??=?? 4. 22x z A ??=，y x z B ???=2，22y z C ??=，02>-B AC ，是极值点，02<-B AC ，不是极值点 5. 1sin lim 0=→x x x ，e x x x =?? ? ??+∞→11lim 6. ()111 -≠++= +?μμμμ C x dx x 7. C x x dx +=-?arcsin 12 8. C x xdx x dx +==?? tan sec cos 22 9. C x xdx x dx +-==??cot csc sin 22 10. C a a dx a x x +=?ln 11. x dx x 21=? 12. x dx x 1 12 -=? 13. () θθθθ2sin 241 cos 2+=?d 14. ()()θρρθρθρd d f dxdy y x f D D ????=sin ,cos , 15. 当 12 1 < 16. 椭圆抛物面方程z y x =+22，圆锥面方程 222z y x =+。 17. 平面曲线的弧长() dx y s b a ? +=2 /1，（直角坐标形式）。 18. 几何级数∑∞ =-1 1n n aq ，当1 高等数学基础形成性考核册 专业：建筑 学号： 姓名：牛萌 河北广播电视大学开放教育学院 （请按照顺序打印，并左侧装订） 高等数学基础形考作业1： 第1章 函数 第2章 极限与连续 （一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（ C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2 x y = D. ? ??≥<-=0,10 ,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1 sin D. 2)ln(+x ⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。 A. )()(lim 00 x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义 C. )()(lim 00 x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0 x f x f x x x x - +→→= [考研类试卷]考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编27 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 设I1=∫0π／4tanx／xdx，I2=x／tanxdx，则( ) （A）I1＞I2＞1。 （B）1＞I1＞I2。 （C）I2＞I1＞1。 （D）1＞I2＞I1。 2 设I=∫0π／4ln(sinx)dx，J=∫0π／4ln(cotx)dx，K=∫0π／4ln(cosx)ds，则I，J，K的大小关系为( ) （A）J＜I＜K。 （B）I＜K＜J。 （C）J＜I＜K。 （D）K＜I＜J。 3 设I k=∫0kπsinxdx(k=1，2，3)，则有( ) （A）I1＜I2＜I3。 （B）I3＜I2＜I1。 （C）I2＜I3＜I1。 （D）I2＜I1＜I3。 4 设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(－1)=1，f(0)=－1且f"(x)＞0，则( ) （A）∫－11f(x)dx＞0。 （B）∫－11f(x)dx＜0。 （C）∫－10f(x)dx＞∫01f(x)dx。 （D）∫－10f(x)dx＜∫01f(x)dx。 5 设m，n均是正整数，则反常积分∫01dx的收敛性( ) （A）仅与m的取值有关。 （B）仅与n的取值有关。 （C）与m，n的取值都有关。 （D）与m，n的取值都无关。 6 设函数f(x)=若反常积分∫1+∞f(x)dx收敛，则( ) （A）α＜－2。 （B）α＞2。 （C）－2＜α＜0。 （D）0＜α＜2。 二、填空题 7 设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f'(x)=2(x－1)，x∈[0，2]，则 f(7)=_______。 8 ∫－π／2π／2(x3+sin2x)cos2xdx=_______。 9 ∫01e－x sinnxdx=_______。 10 ∫2+∞=_______。 11 ∫1+∞=_______。 12 ∫01=_______。 13 广义积分∫0+∞=_______。 14 已知∫－∞+∞e k|x|dx=1，则k=_______。 15 设函数f(x)=λ＞0，则∫－∞+∞xf(x)dx=_______。 三、解答题 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16 设f(x)是区间[0，π／4]上的单调、可导函数，且满足∫0f(x)(t)dt=∫0t t dt，其中f－1是f的反函数，求f(x)。 17 计算不定积分∫ln(1+)dx(x＞0)。 18 (Ⅰ)比较∫01|lnt|[ln(1+t)]n dt与∫01|lnt|t n dt(n=1，2，…)的大小，说明理由；(Ⅱ)记 u n=∫01|lnt|[ln(1+t)]n dt(n=0，1，2，…)，求极限u n。 3.隐函数求导法 对方程0=),(y x F 两边关于自变量求导，将因变量的函数当复合函数对待，再解出y '则可。或使用公式：x y F dy dx F =- 【例题3-7】若)(x g y =由方程y e xy e +=确定，则(0)y '等于： (A)y y e - (B)y y x e -+ (C)0 （D)1e - 解：将0x =代入y e xy e +=，解得1y =。再对y e xy e +=两边关于x 求导得， 0y e y y xy ''?++=，将一0,1x y ==代入得，(0)10ey '+=，解得1(0)y e '=-。 应选D 。 如果用套公式的方法做，则(,),,y y x y F x y e xy e F y F e x =+-==+ x y y F dy y dx F e x =-=-+，11(0)0y e e '=-=-+。 4.参数方程求导法 设???==)()(t y t x ψ?，则()()dy t dx t ψ?'='，)(/))()((22t t t dt d dx y d ??ψ'''= 【例题3-8】已知2arctan ln(1) x t t y t =-??=+?，则1t dy dx =等于 A.1 B.1- C.2 D.12 解：222 2211dy t dy dt t dx t dx t dt t +===+，12t dy dx ==。答案：C 5.微分计算 dx x f dy )('= 【例题3-9】函数21x x y -=在x 处的微分是: (A)dx x 23 2)1(1 - (B)dx x 212- (C)xdx (D)dx x 2 11- 解:dx x dx y dy 23 2)1(1 -='=,故应选(A). 第三节 中值定理 1．罗尔定理：若函数)()(),(],[)(b f a f b a b a x f ＝内可导，上连续，在在，则存在 0)('),(=∈ξξf b a ，使。 2．拉格朗日中值定理（微分中值定理）若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则存在),,(b a ∈ξ使()()()f b f a f b a ξ-'=-,或()()()()f b f a f b a ξ'-=-。 如果,a x b x x ==+?，则有()()()y f x x f x f x ξ'?=+?-=?。 3．推论如果在区间I 上,0)('=x f 则在区间I 上()f x ≡常数 【例题3-10】设()(1)(2)f x x x x =--，则方程()0f x '=的实根个数是： A ．3 B.2 C.1 高高等数学基本知识点 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 即C U A＝｛x|x∈U，且x A｝。 集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题： 1、学校里开运动会，设A＝｛x|x是参加一百米跑的同学｝，B＝｛x|x是参加二百米跑的同学｝，C＝｛x|x是参加四百米跑的同学｝。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。⑴、A∪B；⑵、A∩B。 中国科学院大学 2013年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等数学（乙） 考生须知： 1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、选择题 (本题满分40分，每小题5分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。) （1）下列极限中不为0的是（ ）。 （A ） lim !n n e n →+∞ （B ） 11 lim sin ln(1) n n n n →+∞ + （C ） lim n （D ） sin lim n n n →+∞ （2） 24 sec 2tan lim 1cos 4x x x x π→ -+=（ ）。 （A ）0 （B ） 1 2 （C ）1 （D ）2 （3） 以下关于函数2 61(3) x y x =+ +的叙述正确的是（ ）。 （A ）函数图像有唯一渐近线 （B ）函数在(3,3)-上是单调减的 （C ）函数图像没有拐点 （D ） 3 2 是函数最大值 （4） 设L 是由曲线1(01)y x x +=≤≤，1(10)y x x -=-≤≤和0(11)y x =-≤≤依次 连接构成的曲线，方向为逆时针。则曲线积分22 ()2L x y dx xydy -+=? （ ）。 （A ）0 （B ） 23 （C ）4 3 （D ）83 科目名称：高等数学（乙） 第1页 共3页 （5）设函数21 (),(1,1)n n x f x x n ∞ ==∈-∑，则'()f x =（ ）。 （A ） 221x x -- （B ）221x x - （C ）221x x -+ （D ）2 21x x + （6）设()f x 是定义在整个实轴R 上的连续函数，下列说法正确的是（ ）。 （A ） 若()f x 是一个偶函数，则它的原函数是一个奇函数 （B ） 若()f x 是一个奇函数，则它的原函数是一个偶函数 （C ） 若()f x 是一个周期函数，则它的原函数也是一个周期函数 （D ） 若()f x 是一个单调函数，则它的原函数也是一个单调函数 （7）设D 是2 R 上包含原点的一个区域，(,)f x y 是定义在D 上的连续函数。如果极限 222001(,)lim 1(,)x y xy f x y x y f x y →→??+ ?++? ?存在且有限，则(0,0)f =（ ）。 (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 （8）过点(0,1,0)，并且与(1,0,0)，(1,1,0)，(1,0,2)-所确定的平面垂直的直线是（ ）。 （A ）111x y z == （B ）1101x y z -== - （C ） 1111x y z -==-- （D ）1101 x y z -== 二、(本题满分10分) 设函数()f x 在[,]a b 上存在二阶导数，连接点(,())A a f a 与点 高等数学基础归类复习 一、单项选择题 1-1下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)( C.3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1 )(2--=x x x g 1-⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对 称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称． A. x y = B. x 轴 C. y 轴 D. 坐标原点 .函数2 e e x x y -=-的图形关于（ A ）对称． (A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 1-⒊下列函数中为奇函数是（ B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 下列函数中为奇函数是（A ）． A. x x y -=3 B. x x e e y -+= C. )1ln(+=x y D. x x y sin = 下列函数中为偶函数的是（ D ）． A x x y sin )1(+= B x x y 2= C x x y cos = D )1ln(2x y += 2-1 下列极限存计算不正确的是（ D ）． A. 12lim 2 2 =+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0 =+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01 sin lim =∞→x x x 2-2当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． A. x x sin B. x 1 C. x x 1sin D. 2)ln(+x 当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C 1e -x D 2x x .当0→x 时，变量（D ）是无穷小量．A x 1 B x x sin C x 2 D )1ln(+x 下列变量中，是无穷小量的为（ B ） 2018年重庆专升本高等数学真题 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）、 1、 下列极限中正确的是（ ） A 、0lim x →12x =∞ B 、0lim x →12x =0 C 、0lim x →=sin 1x 0 D 、0lim x →sin x x =0 2、函数f （x ）={x-1 2-x (0≦x ≦1) (1﹤x ≦3) 在x=1处间断是因为（ ） A 、f （x ）在x=1处无定义 B 、1 lim x -→f （x ）不存在 C 、1lim x →f （x ）不存在 D 、1 lim x +→f （x ）不存在 3、y=ln （1+x ）在点（0,0）处的切线方程是（ ） A 、y=x+1 B 、y=x C 、y=x-1 D 、y=-x 4、在函数f （x ）在（a ，b ）内恒有f ′(x)﹥0 , f ″(x)﹤0，则曲线在（a ，b ）内（ ） A 、单增且上凸 B 、单减且上凸 C 、单增且下凸 D 、单减且下凸 5、微分方程y ′－y cotx=0的通解（ ） A 、y=sin c x B 、y= c sinx C 、y=cos c x D 、y=c cosx 6、n 元线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是（ ） A 、方程个数m ﹤n B 、方程个数m ﹥n C 、方程个数m=n D 、秩(A) ﹤n 二、判断题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 1、 若极限0lim x x →f （x ）和0lim x x →f （x ）g （x ）都存在，则0 lim x x →g （x ）必存在（ ） 2、 若0x 是函数f （x ）的极值点，则必有'()0f x = ( ) 3、4sin x xdx ππ-?=0 （ ） 4、设A 、B 为n 阶矩阵，则必有222()2A B A AB B +=++ ( ) 三、计算题（1-12题每题6分，13题8分，共80分） 1、 计算3x → 2、 计算57lim 53x x x x →∞+?? ?-?? 《简单的线性规划及其应用 课题： 简单的线性规划及其应用 一、教学目标： 1 ． 知识目标： 1 、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力； 2 、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力； 3 、会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题。 2 ． 能力目标 : 1 、了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可 行解、可行域和最优解等概念； 2 、理解线性规划问题的图解法； 3 、会利用图解法求线性目标函数的最优解； 4 、 让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验应用数 学的快乐。 3 ． 情感目标： 1 、 培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生 创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神； 2 、让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、 从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想 《高等数学》课程标准 一、课程描述 1、课程性质 数学是反映客观世界的科学，是对客观世界定性把握和定量描述，进而逐渐抽象概括形成 方法和理论，并且进行广泛应用的科学。数学是一种工具，也是一种文化。作为工具，数学应用于各门科学，可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，有助于人们收集、整理、描述信息、建立模型，进而解决问题；作为一种文化，数学一直是现代文化的主要力量，数学知识的学习过程，能培养人们形成理性和客观的生活态度与工作理念，使人们的思维习惯与语言表达趋于严密和精炼。 在高职院校中，《高等数学》课程是各专业一门必修的公共基础课。它将为今后学习专业基础课以及相关的专业课程打下必要的数学基础，为这些课程的提供必需的数学概念、理论、方法、运算技能和分析问题解决问题的能力素质。基于高职教育的特点，在高等数学的教学中必须遵循“以必需，够用为度”的原则，注重对学生基本运算能力和数学思维方式的训练，强调对基本数学概念的理解和应用，以努力提高学生的数学修养和素质。 在高等职业技术教育中，高等数学是一门必修的公共基础课。 2、课程的基本理念 （1）优化课程结构，适应高等职业教育人才培养模式 高等职业技术教育是以培养高等技术应用性专门人才为根本任务，以适应社会需要为目标，以培养技术应用能力为主线设计学生的知识、能力、素质结构和培养方案，毕业生应具有基础理论知识适度、技术应用能力强、知识面较宽、素质高等特点。因此，课程的教学内容体系应突出“应用”的主旨，从而与经济建设、科技进步和社会发展要求相适应，与人的全面发展需求相适应，与高等教育课程改革要求相衔接。 （2）以素质、能力培养为目标，充分体现课程的基础性、应用性和发展性 数学是一种普适性工具，在数据处理，表达计算、演绎推理等方面为其它学科提供了一种特有的语言、思想和方法，数学的基础性地位无可替代，更不能偏废。高等职业技术教育中，高等数学作为公共基础课程，应充分遵循“需有所学、学有所用”的原则，教学过程中应从素质、能力培养出发，开发学生的创新思维。 （3）以学生为中心，充分发挥学生的学习能动性 高等数学的学习内容应当根据实际需求进行调整，而内容的呈现也应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求，同时教学活动必须建立在学生的接受能力基础之上。而教师也不是被动的，应调动一切可行的手段，激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和和掌握数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，为学习和实践提供有效的知识工具和良好的思维素质。 （4）加强计算机与数学教学的整合，促进教学改革，提高教学质量 现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，加强计算机与数学教学的整合，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，把学生的学习活动整合到现实的、探索性的数学活动中去。 （5）构建本课程新的评价体系，考察学生的“输出”能力 评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，考察学生的实际能力，同时激励学生的学习和改进教师的教学。但以往的评价手段过于单一，不能全面反映学生的真实情况，而且评价的价值取向犹为偏颇。所以应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，也要关注学习的过程；要关注数学知识的掌握，也要关注数学知识的运用。总之，评价的结果优劣要经得起实践检验。 3、课程设计理念 依据课程的基本理念，根据不同系的不同专业，在内容的选择上，要从提高素质和加强应用的角度选择教材的内容，大胆取舍，以满足专业岗位的需求。针对不同专业的学生特点及专 高等数学 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。高等数学基本知识点大全
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p 时，级数收敛。 23. 一阶线性非齐次方程的通解为()()()?? ????+??=?-C dx e x Q e y dx x P dx x P 24. 一对共轭复根βαi r ±=2,1，通解为()x C x C e y x ββαsin cos 21+= 线性代数 若α，β，γ三线共面，则三条线的方向向量0=i h g f e d c b a 。 概率论 1. 当X 为连续型随机变量时，如果X 的概率密度函数为()x p ，那么规定X 的数学期望为 ()()dx x xp X E ?+∞ ∞ -=。 2. 当),(~2σμN X ，有()() 2 ,~σμa b a N b aX ++。 3. 正态分布()()2 2 221σμσ π-- = x e x p ，其μ=EX ，2σ=DX
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