第九章 压杆稳定 习题解
[习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆,按图a 所示坐标系及挠度曲线形状,导出了临界应力公式2
2l
EI
P cr π=
。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形状
时,压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同,由此所得cr F 公式又是否相同。
解: 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关,与挠曲线的位置无关。
因为(b )图与(a )图具有相同的坐标系,所以它们的挠曲线微分方程相同,都是
)("x M EIw -=。(c )、(d)的坐标系相同,它们具有相同的挠曲线微分方程:)("x M EIw =,显然,这微分方程与(a )的微分方程不同。
临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关,与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此,以上四种情形的临界力具有相同的公式,即:2
2l
EI
P cr π=
。
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同,试问杆能承受的压力哪根最大,哪根最小(图f 所示杆在中间支承处不能转动)?
解:压杆能承受的临界压力为:2
2).(l EI
P cr μπ=。由这公式可知,对于材料和截面相同的压杆,
它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比,其中,μ为与约束情况有关的长
度系数。
(a )m l 551=?=μ (b )m l 9.477.0=?=μ (c )m l 5.495.0=?=μ (d )m l 422=?=μ (e )m l 881=?=μ
(f )m l 5.357.0=?=μ(下段);m l 5.255.0=?=μ(上段) 故图e 所示杆cr F 最小,图f 所示杆cr F 最大。
[习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接,但第一根杆(图a )的基础放在弹性地基上,第二根杆(图b )的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2
min
2)
.2(l EI P cr π=
?为什么?并由此判断压杆长因数μ是否可能大于2。
螺旋千斤顶(图c )的底座对丝杆(起顶杆)的稳定性有无影响?校核丝杆稳定性时,把它看作下端固定(固定于底座上)、上端自由、长度为l 的压杆是否偏于安全?
解:临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座,所以它们的临界力计算公式不同。(b)为一端固定,一端自由的情况,它的长度因素2=μ,其临界力为:2
min
2).2(l EI P cr π=
。但是,(a) 为一端弹簧支座,一端自由的情况,它的长度因素
2≠μ,因此,不能用2
min
2)
.2(l EI P cr π=
来计算临界力。
为了考察(a )情况下的临界力,我们不妨设下支座(B )的转动刚度l
EI
M
C 20
==?
,且无侧向位移,则:
)()("w F x M EIw cr -=-=δ
令
2k EI
F cr
=,得: δ22"k w k w =+ 微分方程的通解为:δ++=kx B kx A w cos sin kx Bk kx Ak w sin cos '
-=
由边界条件:0=x ,0=w ,C
F C M w cr δ?==
='
;l x =,δ=w 解得: Ck F A cr δ=
,δ-=B ,δδδ
δ+-=kl kl Ck
F cr cos sin 整理后得到稳定方程:20/tan ==
l
EI C
kl kl 用试算法得: 496.1=kl
故得到压杆的临界力:2
22
)1.2()496.1(l EI
l EI F cr π=
=。
因此,长度因素μ可以大于2。这与弹性支座的转动刚度C 有关,C 越小,则μ值越大。当0→C 时,∞→μ。
螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接,即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止。当轴向压力不是很大,或地面较滑时,底座与地面之间有相对滑动,此时,不能看作固定端;当轴向压力很大,或地面很粗糙时,底座与地面之间无相对滑动,此时,可以看作是固定端。因此,校核丝杆稳定性时,把它看作上端自由,下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。这种情况,2>μ,算出来的临界力比“把它看作下端固定(固定于底座上)、上端自由、长度为l 的压杆”算出来的临界力要小。譬如,设转动刚度l
EI
M
C 20
==
?
,则: 1025.12
1.222
==弹簧固端
cr cr P P ,弹簧固端,1025.1cr cr P P =。因此,校核丝杆稳定性时,把它
看作下端固定(固定于底座上)、上端自由、长度为l 的压杆不是偏于安全,而是偏于危险。
[习题9-4] 试推导两端固定、弯曲刚度为EI ,长度为l 的等截面中心受压直杆的临界应力cr P 的欧拉公式。
[解]:设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时,两端的竖向反力为cr P ,水平反力为0,约束反力偶矩两端相等,用e M 表示,下标e 表示端部end 的意思。若取下截离体为研究对象,则e M 的转向为逆转。
e cr M x v P x M -=)()(
)()("x v P M x M EIv cr e -=-= e cr M x v P EIv =+)("
EI M x v EI P v e cr =+)("
,令EI P k cr =2
,则 EI
P k cr 12=
cr
e
P M k v k v 2
2"=+ 上述微分方程的通解为:
cr
e
P M kx B kx A v +
+=cos sin …………………………….(a) kx
Bk kx Ak v sin cos '-=
边界条件:① 0=x ;0=v : cr e P M B A +
+=0cos 0sin 0;cr
e P M
B -=。 ② 0=x 0'
=v :0sin 0cos 0Bk Ak -=;0=A 。
把A 、B 的值代入(a )得: )cos 1(kx P M v cr e -= kx k P M
v cr
e sin '?=
边界条件:③ L x =;0=v :)cos 1(0kL P M cr
e
-=
, 0cos 1=-kL ④ 0=x 0'
=v :kL k P M cr
e
sin 0?=
0sin =kL 以上两式均要求:πn kL 2=,,......)3,1,0(=n
其最小解是:π2=kL ,或L k π2=。故有:EI P L k cr =
=222
)5.0(π,因此: 2
2)
5.0(L EI
P cr π=
。
[习题9-5] 长m 5的10号工字钢,在温度为C 0
0时安装在两个固定支座之间,这时杆不受力。
已知钢的线膨胀系数1
07)(10125--?=C l α,GPa E 210=。试问当温度升高至多少度时,
杆将丧失稳定性? 解:
[习题9-6] 两根直径为d 的立柱,上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接,如图所示。试根据杆端的约束条件,分析在总压力F 作用下,立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状,分别写出对应的总压力F 之临界值的算式(按细长杆考虑),确定最小临界力
P的算式。
cr
解:在总压力F作用下,立柱微弯时可能有下列三种情况:
(a)每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳:
(b)两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳
失稳时整体在面内弯曲,则1,2两杆组成一组合截面。
(c)两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳
故面外失稳时cr P 最小:2
4
3128l
Ed P cr π=
。
[习题9-7] 图示结构ABCD 由三根直径均为d 的圆截面钢杆组成,在B 点铰支,而在A 点和C 点固定,D 为铰接点,
π10=d
l
。若结构由于杆件在平面ABCD 内弹性失稳而丧失承载能力,试确定作用于结点D 处的荷载F 的临界值。 解:杆DB 为两端铰支
,杆DA 及DC 为一端
铰支一端固定,选取 。此结构为超静定结构,当杆DB 失稳时结构仍能继续承载,直到杆AD 及DC 也失稳时整个结构才丧失承载能力,故
2
024
.36l EI =
[习题9-8] 图示铰接杆系ABC 由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆件在平面ABC 内失稳而引起毁坏,试确定荷载F 为最大时的θ角(假设2
0π
θ<<)。
解:要使设计合理,必使AB 杆与BC 杆同时失稳,
即:
θ
πcos 2
2,F l EI
P AB
AB cr ==
θ
πsin 2
2,F l EI
P BC
BC cr ==
βθθθ
22cot )(tan cos sin ===BC
AB l l F F
)arctan(cot 2βθ=
[习题9-9] 下端固定、上端铰支、长m l 4=的压杆,由两根10号槽钢焊接而成,如图所示,并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢,强度许用应力MPa 170][=σ,试求压杆的许可荷载。 解:查型钢表得:
m
[习题9-10] 如果杆分别由下列材料制成:
(1)比例极限MPa P 220=σ,弹性模量GPa E 190=的钢; (2)MPa P 490=σ,GPa E 215=,含镍3.5%的镍钢; (3)MPa P 20=σ,GPa E 11=的松木。 试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。 解:(1)
(2)
(3)
[习题9-11] 两端铰支、强度等级为TC13的木柱,截面为150mm ×150mm 的正方形,长度m l 5.3= ,强度许用应力MPa 10][=σ。试求木柱的许可荷载。 解:
由公式(9-12a ):
[习题9-12] 图示结构由钢曲杆AB 和强度等级为TC13的木杆BC 组成。已知结构所有的连接均为铰连接,在B 点处承受竖直荷载kN F 3.1=,木材的强度许用应力MPa 10][=σ。试校核BC 杆的稳定性。
解:把BC 杆切断,代之以轴力N ,则
0=∑A
M
01sin 1cos 13.1=?-?-?C N C N
C
C N cos sin 3
.1+=
8.05.122sin 2
2=+=
C
6
.05
.125.1cos 2
2
=+=C A
)(929.06
.08.03
.1kN N =+=
)(213333404012112433mm bh I =??==
)(547.1140
40213333
mm A
I i =?==
915.216547
.11105.213
>=??==i l
μλ
由公式(9—12b )得:
0597.05
.2162800
2800
2
2
==
=
λ? MPa st 597.0100597.0][][=?==σ?σ
MPa mm N A N 581.040409292
=?==
σ 因为st ][σσ<,所以压杆BC 稳定。
[习题9-13] 一支柱由4根mm mm mm 68080??的角钢组成(如图),并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支,柱长m l 6=,压力为
kN 450。若材料为Q235钢,强度许用应力MPa 170][=σ,试求支柱横截面边长a 的尺寸。 解:
(查表:
,
)
,查表得:
m 4
= mm
[习题9-14] 某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体,并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求,截面形式如图所示,材料为Q235钢,MPa 170][=σ。若按两端铰支考虑,试求杆所能承受的许可压力。
解:由型钢表查得 角钢:
得
查表:
故
[习题9-15] 图示结构中,BC 为圆截面杆,其直径mm d 80=;AC 边长mm a 70=的正方形截面杆。已知该结构的约束情况为A 端固定,B 、C 为球形铰。两杆的材料均为Q235钢,弹性模量GPa E 210=,可各自独立发生弯曲互不影响。若结构的稳定安全系数5.2=st n ,试求所能承受的许可压力。
解:BC 段为两端铰支,1
=μ
)(20096008014.364
1
64
444
mm d I =??=
=
π 2
24
2322
220002009600/1021014.3mm
mm mm N l EI
P cr ???==
π kN N 227.10401040227==
)(4165
.2227
.1040][kN n P F st cr BC ===
AB 杆为一端固定,一端铰支,7.0=μ
)(20008337012
1
12444mm a I =?==
kN N mm
mm mm N l EI P cr 4.939621.93940021002000833/1021014.3)(2
24
23222==???==μπ )(37676.3755
.24
.939][kN n P F st cr AC ≈===
故 kN F 376][=
[习题9-16] 图示一简单托架,其撑杆AB 为圆截面木杆,强度等级为TC15。若架上受集度为 的均布荷载作用,AB 两端为柱形铰,材料的强度许用应力
,
试求撑杆所需的直径d 。
解:取m m -以上部分为分离体,由
,有
设
,m
则
求出的
与所设
基本相符,故撑杆直径选用
m 。
[习题9-17] 图示结构中杆AC 与CD 均由Q235钢制成,C ,D 两处均为球铰。已知 mm ,
mm ,
mm ;
,
,
;
强度安全因数
,稳定安全因数
。试确定该结构的许可荷载。
解:(1)杆CD 受压力 3F F CD =
梁BC 中最大弯矩 3
2F M B =
(2)梁BC 中
(3)杆CD
(Q235钢的)100=P λ
=
(由梁力矩平衡得)