勾股定理的历史与证明

安溪六中校本课程之数学探秘

勾股定理史话

一、勾股定理的历史

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指

“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras公元前5727-公元前497?于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得

（Euclid,公元前330?公元前275）在巨著《几何原本》（第I卷，命题47）中给出一个很好的证明。（下图为欧几里得和他的证明图）

中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早

的一部数学著作一一《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识

的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据

呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形’矩’得到的一条直角边’勾’等于3,另一条直角边’股’等于4的时候，那么它的斜边’弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。《九章算术》系统地总结了

战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。中国古代的数学

家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由

4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为

ab/2;中间的小正方形边长为b-a，则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子：4x(ab/2) + (b-a) 2=c2

化简后便可得：

a+b2=c2

亦即：c= (a2+b2) (1/2)

他用几何图形的截、害9、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略有不同而已。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方

法，更具有科学创新的重大意义

、勾股定理的证明据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。

【证法1】（赵爽证明）

以a b为直角边（b>a）,以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角

三角形的面积等于；把这四个直角三角形拼成如图所示形状???? Rt △ DAH也Rt △ ABE,

??? / HDA = / EAB.

??? / HAD + / HAD = 90o,

??? / EAB + / HAD = 90o,

??? ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于C2.

EF = FG =GH =HE = b ―fdHEF = 90o

??? EFGH是一个边长为b—a的正方形，它的面积等于"-雄厂4x =扌

【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a b,斜边长为c,再

做三个边长分别为a b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b,所以面积相等.即

2 2

【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于工.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条

直线上.

Rt A AD 也Rt △ CBE,

??? / ADE = / BEC.

??? / AED + / ADE = 90o,

??? / AED + / BEC = 90Q

??? / DEC = 180o — 90o= 90o.

??? A DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于又??? / DAE = 90o, / EBC = 90Q

??? AD //

BC.

趣闻】：在1876 年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正

在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3 和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5 和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？” 伽菲尔德一时语塞，

无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4 月1 日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881 年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。

【证法4】（欧几里得证明）

做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C、B 三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL丄DE，交AB于点M，交DE于点L.

AF = AC , AB = AD，/ FAB = / GAD ,

△ FAB 也△ GAD

勾股定理的发现和证明-

勾股定理的发现和证明 中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示，我们 图1 直角三角形 用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得： 勾2+股2=弦2 亦即： a2+b2=c2

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。 在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为： 弦=（勾2+股2）(1/2) 亦即： c=（a2+b2）(1/2) 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a）2=c2 化简后便可得： a2+b2=c2 亦即： c=（a2+b2）(1/2)

勾股定理的证明及其应用2

2017年3月2 勾股定理的证明及其应用 2 P253P25P27?????木板能否过门问题学习内容：勾股定理的类应用梯子下移问题 特别推荐：“海螺图” （27页） 热身：观察以下几组勾股数，并寻找规律：① 3， 4， 5；② 5，12，13；③ 7，24，25； ④ 9，40，41；……请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： . 问题1：木板能否过门问题 例1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m ，宽2.2m 的薄木板能否从门框内通过？为什么？（236.25≈） 模仿1：有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的直径至少多长 (结果保留整数)． 问题2：梯子下移问题 例2：如图，一个3m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5m ，如 果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？（658.175.2≈） 解：可以看到，BD=OD —OB ，求BD ，可以先求OB ，OD 。 ∵ 在Rt AOB ?中，∠O =90° ∴ OB= . ∵在Rt COD ?中，∠O =90° ∴ OD= . ∴ BD= ， ∴ 梯子的顶端沿墙下滑0.5m ，梯子底端外移 . 模仿2：宝典B 本，第10页，第2题 2m B 木板 C A O B D

问题3 ： （1）我们知道，数轴上的点，有的表示有理数，有的表示无理数 （2）复习有理数的表示方法 在数轴上表示下列各数 2 — 2 1 9 4.5 0 画图： （3）思考：无理数如何表示？ 例3：在数轴上画出表示2的点. （小组画一画，议一议） 在数轴上找到点A ，使OA= ，作直线l 垂直于OA ，在l 上取点B ，使AB= ， 以原点O 为圆心，以OB 为半径作弧，弧与数轴的交点C 即为表示2的点. 画图： 模仿3：分组讨论，理解课本P27图17.1-10，利用勾股定理，在数轴上画出表示5,4,3,2,1的点。 五分钟测试 1、直角三角形中，有两边长分别是6和8，那么第三边长的平方为（ ） A 、10 B 、28 C 、100 D 、28或者100 2、在一个直角三角形中，两直角边之比为3﹕4，且斜边长10cm ，则该直角三角形面积（ ） A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、60cm 2 3、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理 数的边数是（ ） A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 4、 如图所示，在△ABC 中，三边a ,b ,c 的大小关系是（ ） A. a ＜b ＜c B. c ＜a ＜b C. c ＜b ＜a D. b ＜a ＜c 5、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边 长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2. A B C 第3题 第4题 第5题

勾股定理的证明方法探究

a2+c2=b2,c=b2-a2!=42-32!=!7(cm).二、忽视定理成立的条件例2在边长都是整数的△ABC 中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的长.误解:由“勾3股4弦5”知 AC=4cm,BC=3cm,AB>AC,∴AB=5cm.剖析:这种解法受“勾3股4弦5”思维定势的影响,见题中有BC=3,AC=4,就认为AB=5,而忘记了“勾3股4弦5”是在直角三角形的条件下才成立,而本题中没有指明是直角三角形,因此,只能用三角形三条边之间的关系来解。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 总之，在勾股定理探索的道路上，我们走向了数学殿堂。

我们都喜欢把日子过成一首诗，温婉，雅致；也喜欢把生活雕琢成一朵花，灿烂，美丽。可是，前行的道路有时会曲折迂回，让心迷茫无措。生活的上空有时会飘来一场风雨，淋湿了原本热情洋溢的心。 不是每一个人都能做自己想做的事情，也不是每一个人都能到达想去的远方。可是，既然选择了远方，便只有风雨兼程。也许生活会辜负你，但你不可以辜负生活。 匆匆忙忙地奔赴中，不仅要能在阳光下灿烂，也要能在风雨中奔跑！真正的幸福不是拥有多少财富，而是在前行中成就一个优秀的自己！ 生命没有输赢，只有值不值得。坚持做对的事情，就是值得。不辜负岁月，不辜负梦想，就是生活最美的样子。 北大才女陈更曾说过：“即使能力有限，也要全力以赴，即使输了，也要比从前更强，我一直都在与自己比，我要把最美好的自己，留在这终于相逢的决赛赛场。” 她用坚韧和执着给自己的人生添上了浓墨重彩的一笔。 我们都无法预测未来的日子是阳光明媚，还是风雨如晦，但前行路上点点滴滴的收获和惊喜，都是此生的感动和珍藏。 有些风景，如果不站在高处，你永远欣赏不到它的美丽；脚下有路，如果不启程，你永远无法揭晓远方的神秘。 我们踮起脚尖，是想离太阳更近一点儿；我们努力奔跑，是想到达远方欣赏最美的风景。 我们都在努力奔跑，我们都是追梦人！没有伞的时候，学会为自己撑伞；没有靠山的时候，学会自己屹立成一座伟岸的山！ 远方有多远？多久能达到？勇敢往前冲的人，全世界都会向他微笑。相信，只要启程，哪怕会走许多弯路，也会有到达的那一天。

勾股定理毕达哥拉斯定理及各种证明方法

勾股定理（毕达哥拉斯定理） 勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a 2+b 2=c 2的正整数组(a ,b ,c )。(3,4,5)就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理 命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 。 勾股定理的逆定理 命题2如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 【证法1】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每 个直角三角形的面积等于2 1ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB. ∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o， ∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o. ∴EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于. ∴ ∴. 【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b ，所以面积相等. 即，整理得. 【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC. ∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o. ∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于 .又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于

勾股定理的证明的方法

【】（） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三 个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上， B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHA E ≌ R t ΔEBF,

∴∠AHE = ∠BEF. ∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于()2b a+. ∴()2 2 2 1 4c ab b a+ ? = + . ∴2 2 2c b a= +. 【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 ab 2 1 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB.

勾股定理逆定理八种证明方法

勾股定理逆定理八种证 明方法 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]

证法1 作四个的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF =90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 证法2 作两个的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C 三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC =90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 证法3 作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，

勾股定理种证明有图

勾股定理的9种证明（有图） 【证法1】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直 角三角形的面积等于ab 21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、 E 、B 三点在一条直线上，B 、 F 、C 三点在一条直线上，C 、 G 、D 三点在一条直线上. ∵Rt ΔHAE ≌Rt ΔEBF, ∴∠AHE=∠BEF. ∵∠AEH+∠AHE=90o, ∴∠AEH+∠BEF=90o. ∴∠HEF=180o ―90o=90o. ∴四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形.它的面积等于c2. ∵Rt ΔGDH ≌Rt ΔHAE, ∴∠HGD=∠EHA. ∵∠HGD+∠GHD=90o, ∴∠EHA+∠GHD=90o. 又∵∠GHE=90o, ∴∠DHA=90o+90o=180o. ∴ABCD 是一个边长为a+b 的正方形，它的面积等于()2 b a +. ∴()2 2214c ab b a +?=+.∴2 22c b a =+. 【证法2】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上.过C 作AC 的延长线交DF 于点P. ∵D 、E 、F 在一条直线上,且Rt ΔGEF ≌Rt ∴∠EGF=∠BED ， ∵∠EGF+∠GEF=90°， ∴∠BED+∠GEF=90°， ∴∠BEG=180o ―90o=90o. 又∵AB=BE=EG=GA=c ， ∴ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴∠ABC+∠CBE=90o.

∵Rt ΔABC ≌Rt ΔEBD, ∴∠ABC=∠EBD. ∴∠EBD+∠CBE=90o. 即∠CBD=90o. 又∵∠BDE=90o ，∠BCP=90o ， BC=BD=a. ∴BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则 ab S c 21 22?+=, ∴2 22c b a =+. 【证法3】（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P. 过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N. ∵∠BCA=90o ，QP ∥BC ， ∴∠MPC=90o ， ∵BM ⊥PQ ， ∴∠BMP=90o ， ∴BCPM 是一个矩形，即∠MBC=90o. ∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o ， ∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o ， ∴∠QBM=∠ABC ， 又∵∠BMP=90o ，∠BCA=90o ，BQ=BA=c ， ∴Rt ΔBMQ ≌Rt ΔBCA. 同理可证Rt ΔQNF ≌Rt ΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法4】（欧几里得证明） 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD.过C 作CL ⊥DE ， 交AB 于点M ，交DE 于点 L. ∵AF=AC ，AB=AD ，

勾股定理与几何证明答案(可编辑修改word版)

1、勾股定理与几何证明的综合问题练习一、利用勾股定理证明一些重要的几何定理 1、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是AB 边上的高. 证明：（1）CD2=AD ?BD （这个结果表明，利用勾股定理可以导出三角形相似的一系列结果） 1 1 1 （2）AC 2+ BC 2 = CD2 练习二、将勾股定理应用于四边形 1、四边形ABCD 的对角线为AC 和BD. （1）证明：若AC ⊥BD ，则AB2+CD2=AD2+BC 2； 2、一个四边形的顶点分别在一个边长为1 的正方形各边上，其边长依次为a、b、c、d. 求证： 2 ≤a2+b2+c2+d 2≤ 4 . 假设MNPQ 分别将正方形ABCD 的四个边分成了线段：m1 m2 n1 n2 p1 p2 q1 q2 ∵MNPQ 都在正方形ABCD 的四个边上，所以有四个直角三角形 ∴a2+b2+c2+d2=m12+m22+n12+n22+p12+p22+q12+q22∵m1+m2=正方形边长即为“1”（其他同理）∴a2+b2+c2+d2=m12+(1-m1)2+n12+(1-n1)2+p12+(1-p1)2+q12+(1-q1)2整理之后得到： a2+b2+c2+d2=2*(m1-/2)2+1/2+2*(n1-/2)2+1/2+2*(p1-/2)2+1/2+2*(q1-/2)2+1/2=2*[(m1-1/2)2+(n1-1/2)2+(p1-1/2)2+(q1-1/2)2] + 2 m1、n1、p1、q1 的长都是最大为1 最小为0 它们都等于1/2 时值最小，都等于1 时值最大那么a2+b2+c2+d2的最小值就是2，最大值就是4

勾股定理五种证明方法

勾股定理五种证明方法 【证法1】 做 8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 214214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【 证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角 形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点 在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +. ∴ ()2 2214c ab b a +?=+. ∴ 222c b a =+. 【证法3】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为

勾股定理16种证明方法

勾股定理的证明 【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A 、E 、 B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHA E ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BE F . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于(a +∴ ()2 2 21 4c ab b a +?=+. ∴ 2 22c b a =+. 【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角

勾股定理的证明和应用

第3章勾股定理知识结构： 勾股定理1.勾股定理 （1）直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方 （2）勾股定理的验证-------用拼图法,借助面积不变的关系来证明 （3）应用 1.在直角三角形中已知两边求第三边 2.在直角三角形中已知两边求第三边上的高 2.勾股定理 的逆定理 （1）如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角 三角形 （2）勾股数 1.满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为 勾股数 2.常见的勾股数 （1）3,4,5 （2）5,12,13 （3）8,15,17 3.应用 （1）勾股定理的简单应用 求几何体表面上两点间的最短距离 解决实际应用问题 （2）勾股定理逆定理的应用---------判定某个三角形是否为直角三角

形 勾股定理 一、求网格中图形的面积 求网格中图形的面积，通常用两种方法：“割”或“补”。 二、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 拓展延伸：（1）勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系，所以必须注意“在直角三角形中”这一前提。 （2）勾股定理主要用于求线段的长度，因此，遇到求线段的长度问题时，首先想到的是把所求线段转化为某一直角三角形的边，然后利用勾股定理求解。 三、勾股定理的验证 运用拼图的方式，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理。 勾股定理的逆定理 一、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a,b,c且a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 注意：（1）还没确定一个三角形是否为直角三角形时，不能说“斜边”“直角边”。 （2）不是所有的c都是斜边，要根据题意具体分析。当满足a2+b2=c2时，c是斜边，它所对的角是直角。 勾股定理与勾股定理的逆定理之间既有区别，又有联系，如下表所示：

勾股定理的证明方法

【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即 a^2+b^2+4*(ab/2)=c^2+4*(ab/2)， 整理得到：a^2+b^2=c^2。 【证法2】 以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF. ∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c^2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)^2. ∴(a+b)^2=c^2+4*(ab/2)，∴ a^2+b^2=c^2。

【证法3】 以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB. ∵∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c^2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)^2. ∴(b-a)^2+4*(ab/2)=c^2，∴ a^2+b^2=c^2。 【证法4】 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab/2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC.

勾股定理16种证明方法

v1.0 可编辑可修改 【证法1】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、 D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.

v1.0 可编辑可修改 ∴∠HGD = ∠EHA. ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于()2b a+. ∴()2 2 2 1 4c ab b a+ ? = + . ∴2 2 2c b a= +. 【证法3】（赵爽证明） 以a、b 为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 ab 2 1 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB. ∵∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于()2a b-. ∴ ()2 2 2 1 4c a b ab= - + ? .

勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法

勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。是的一个特例。约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。“”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a 2+b 2=c 2的正整数组(a ,b ,c )。(3,4,5)就是。也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理 命题1如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 。 勾股定理的逆定理 命题2如果的三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 【证法1】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每 个直角三角形的面积等于2 1ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB. ∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o， ∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o. ∴EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于. ∴ ∴. 【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b ，所以面积相等. 即，整理得. 【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC. ∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o. ∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于 .又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 ∴.∴.

运用勾股定理证明与计算

勾股定理 学习目标 掌握勾股定理，会用面积法证明勾股定理。 导学过程 一、 忆一忆 1、直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°（用几何语言表示） （1）两锐角之间的关系： （2）若D 为斜边中点，则斜边中线是 （3）若∠B=30°，则∠B 二、学一学 1、（1）、画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC （2）、再画一个两直角边为5和12的直角△ABC 问题：你是否发现23+24与25，25+212和213 命题1：如果直角三角形的两直角边分 么 。 三、合作探究： 方法1、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 求证： 222a b c += 证明：4S △+S 小正=S 大正 根据的等量关系：由此我们得出勾股定理 的内容是 b b

方法2、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、 ∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2＋b 2=c 2。 根据如图所示，利用面积法证明勾 股定理 四、练一练： 1、在Rt △ABC ，∠C=90° （1）已知a=b=5,求c 。（2）已知a=1,c=2, 求b 。（3）已知c=17,b=8, 求a 。 ⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 2、一个直角三角形的两边长分别为3cm 和4cm,则第三边的长为 。 3．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________． 4.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。 5.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A 、56 B 、48 C 、40 D 、32 6、已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高． 求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积． 7．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m ，高3m ，长20m ，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积. b c c a A E B 3m 4m 20m

(完整版)勾股定理解答证明题

《勾股定理》证明解答题练习 1、在ABC ?中，AC AB =，D 为BC 边上任一点，求证：DC BD AD AB ?=-2 2 2、已知：如图，在ABC Rt ?中，ο 90=∠C ，D 是AC 的中点，AB ED ⊥于E 求证：（1）2 2 2 43BD BC AB =+ （2）2 2 2 BC AE BE =- 3、如图，在ABC ?中，ο 90=∠C ，13=AB ，12=BC ，BC BD 2 1 = （1）AD 的长. （2）ABD ?的面积. 4、求边长为a 的等边三角形的高和面积 2 5、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠， 3 使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？ B C A C B B C

6、若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状. 7、已知：如图， ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A。 求：BD的长。（8分） 8、甲、乙两船同时从港口A出发，甲船一12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行。2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距40海里，问乙船的速度是每小时多少海里？9．如图所示，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，?求该四边形的面积． B C A D 10．如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积. 11．如图，某购物中心在会十.一间准备将高5 m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 5m 13m 8m 20m

勾股定理逆定理八种证明方法

证法1 作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点C作AC 的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 证法2 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 证法3 作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上，

勾股定理的证明方法

勾股定理的证明方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

勾股定理的证明方法 勾股定理是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．下面结合几种图形来进行证明。 一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1） 左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式 ，化简得。 在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂。 二、赵爽弦图的证法（图2） 第一种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的直

角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。 第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的 角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为的正方形“小洞”。 因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。 这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。 三、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3） 这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为 的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。

勾股定理16种经典证明方法

ab c ab b a 2 1421422 2 ?+=?++ 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2 . ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2 b a +.

∴ ()2 22 4c ab b a +?=+. ∴ 2 22c b a =+. 【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab 21 . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB . ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2 . ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2 a b -. ∴ ()2 2 214c a b ab =-+?. ∴ 2 22c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21 . 把这两个直角三 角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC . ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于2 21c .