大学本科理论力学课程第3章力矩与平面力偶理论

力矩和平面力偶系

第五节力矩和平面力偶系 一、力矩 1．力矩概念 力对刚体的移动效应取决于力的大小、方向和作用线；而力对刚体的转动效应则用力矩来度量。实践告诉我们，用扳手拧（转动）螺母时，见图7-18a，其转动效应取决于力F的大小、方向（扳手的旋向〕以及力F到转动中心O的距离h。 a) b) 图7-18 力矩概念 一般情况下，刚体在图示平面内受力F作用，见图7-18b，并绕某一点O转动，则点O称为矩心，矩心O到力F作用线的距离h称为力臂，乘积F·h并加上适当的正负号称为力对O点之矩，简称力矩，用符号M O（F）或M O表示。即 M O＝M O（F）＝±Fh （7-9） 力矩的正、负号规定如下：力使刚体绕矩心作逆时针方向转动时为正，反之为负。因此，力矩是一个与矩心位置有关的代数量。力矩的单位为N·m。 2．合力矩定理 设刚体受到一合力为F的平面力系F1，F2，…，F n的作用，在平面内任取一点O为矩心，由于合力与整个力系等效，所以合力对O点的矩一定等于各个分力对O点之矩的代数和（证明从略），这一结论称为合力矩定理。记为 M O（F）＝M O（F1）＋M O（F2）＋…＋M O（F n）＝ΣM O（F i）（7-10） 或M O＝M O l＋M O2＋…＋M O n＝ΣM Oi=ΣM O 例7-4图7-19所示为一渐开线（在平面上，一条动直线（发生线）沿着一个固定的圆（基圆）作纯滚动时，此动直线上一点的轨迹）直齿圆柱齿轮，其齿廓在分度圆上的P点处受到一法向力F n的作用，且已知F n＝1000N，分度圆直径d＝200mm，分度圆压力角(P点处的压力角)α＝20°，试求力F n对轮心O点之矩。

第3章力矩与力偶

第3章力矩与平面力偶系 教学提示：本章主要研究力矩、力偶和平面力偶系的理论。这都是有关力的转动效应的基本知识，在理论研究和工程实际应用中都有重要的意义。 教学要求：本章让学生掌握力矩、力偶和平面力偶系的概念，掌握力对点之矩的两种求解方法，即直接作力臂的方法与利用合力矩定理求解的方法，掌握平面力偶的性质及平面力偶系的合成与平衡条件，会利用平衡条件求解约束反力。 力对点之矩 1.力矩的概念 力不仅可以改变物体的移动状态，而且还能改变物体的转动状态。力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。以扳手旋转螺母为例，如图3－1所示，设螺母能绕点O转动。由经验可知，螺母能否旋动，不仅取决于作用在扳手上的力F的大小，而且还与点O到F的作用线的垂直距离d有关。因此，用F与d的乘积作为力F使螺母绕点O转动效应的量度。其中距离d称为F对O 点的力臂，点O称为矩心。由于转动有逆时针和顺时针两个转向，则力F对O 点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号，以符号m o(F)表示，记为 m o(F)＝±Fh（3－1）通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。 图 由图3－1可见，力F对O点之矩的大小，也可以用三角形OAB的面积的两倍表示，即 m o(F)＝±2ΔABC（3－2）在国际单位制中，力矩的单位是牛顿?米（N?m）或千牛顿?米（kN?m）。 由上述分析可得力矩的性质： （1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。力矩随矩

心的位置变化而变化。 （2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变，再次说明力是滑移矢量。 （3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 2.合力矩定理 定理：平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩等于所有各分力对同一点之矩的代数和。 m o(F R)＝m o(F1)＋m o(F2)＋…＋m o(F n) 即 m o(F R)＝Σm o(F)（3－3） 上式称为合力矩定理。合力矩定理建立了合力对点之矩与分力对同一点之矩的关系。这个定理也适用于有合力的其它力系。 例试计算图中力对A点之矩。 图 解本题有两种解法。 （1）由力矩的定义计算力F对A点之矩。 先求力臂d。由图中几何关系有： d=ADsinα=(AB-DB)sinα=(AB-BCctg)sinα=(a-bctgα)sinα=asinα-bcosα 所以 m A(F)=F?d=F(asinα-bcosα) （2）根据合力矩定理计算力F对A点之矩。 将力F在C点分解为两个正交的分力和，由合力矩定理可得 m A(F)= m A(F x)+ m A(F y)=－F x?b+ F y?a=－F(bcosα＋asinα) =F(asinα-bcosα) 本例两种解法的计算结果是相同的，当力臂不易确定时，用后一种方法较为简便。 力偶和力偶矩

第三章 力矩 平面力偶系

第三章 力矩 平面力偶系 一、目的要求 1.能够熟练运算力对平面内一点的力矩。 2.深入理解力偶和力偶矩的概念，明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。 3.掌握平面力偶系的平衡条件，能计算在平面力偶系作用下物体的平衡问题。 二、主要内容 课前提问 1、在正交坐标轴上的投影与力沿这两个轴的分力有何区别？又有何关系？ 2、有人说："作用于刚体上的平面力系，若其力多边形自行封闭，则此刚体静止不动"。试问这种说法是否正确？为什么？ 3、力对点之矩矢、力偶矩矢三者各有什么特点？ 4、根据各物体系的结构和主动力，指出二力构件。 第一节 力对点之矩 （一）、力对点之矩 力对刚体的作用效应使刚体的运动状态（移动和转动） 改变，其中移动效应可以用力来度量，而转动部分则需要另一个物理量来表示，即力矩。 力矩用)(F o M 来表示，其中F 代表产生力矩之力，o 代表力矩的中心，即矩心，M 代表力矩，所以完整的意思是：力F 对点O 之矩。 ()OAB S Fh M ?±=±= 2F o

OAB S ?代表三角形OAB 的面积。 （二）、平面汇交力系的合力矩定理 力矩有如下特点： 1． 力矩不仅决定于力的大小，还和力臂有关。 2． 力矩不因为力沿作用线移动而发生改变。 3． 如果力的作用线通过矩心，力臂为零，它对矩心的力矩也等于零。 4． 互为平衡的两个力对同一点的力矩的代数和为零。 合力矩定理 平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。即 ()()∑= F R o o M M 有()yX xY M -= F o ，对于合力来说有：()∑ =-=n i i i i i X y Y x M 1 R o 。 例一：试计算图中力F 对点O 之矩。 例二、如图所示，圆的半径为r ，角α、β、γ 均为已知，力F 与圆共面，试求力F 对点A 的矩。 第二节 平面力偶系 （一）、力偶与力偶矩 由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶。力偶是由两个力 组成的特殊力系，它的作用只改变物体的转动状态。因此，需要引入力偶矩的概念。力偶矩的大小等于两个力产生矩的代数和。由于两个力的作用线相同，方向相反，力的大

力矩与平面力偶系

力矩与平面力偶系 2.2.1 力对点之矩(简称为力矩) 1.力对点之矩的概念 为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。 （F）来表示，即 力对点之矩用M O Mo(F) = ± Fd 一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。 Mo(F) = ± 2△OAB

力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。矩心不同，力矩不同。 规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。 力矩的单位是Nmm。 由力矩的定义可知： （1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。 （2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。 力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。 2.合力矩定理 设在物体上A点作用有平面汇交力系F 1、F 2 、---F n ，该力的合力F可由汇交力系 的合成求得。

计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则 --- 由上图可以看出，合力F对O点的矩为 据合力投影定理，有 F y=F1y+F2y+---+F ny 两边同乘以l，得 F y l=F1y l+F2y l+---+F ny l 即 M o(F)=M o(F1)+M o(F2)+---+M o(F n) 合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。

3 .力对点之矩的求法(力矩的求法) （1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。 注意：力臂d 是矩心到力 作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。 例2-3 如图所示，构件OBC 的O 端为铰链支座约束，力F 作用于C 点，其方向角为α，又知OB=l ，BC=h ，求力F 对O 点的力矩。 解 （1）利用力矩的定义进行求解

土木工程力学教案——力矩与平面力偶系

力矩与平面力偶系 第一节 力对点之矩 力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念。现以板手拧螺母为例来说明。如图3－1所示，在板手的A 点施加一力F ，将使板手和螺母一起绕螺钉中心O 转动，这就是说，力有使物体（扳手）产生转动的效应。实践经验表明，扳手的转动效果不仅与力F 的大小有关，而且还与点O 到力作用线的垂直距离d 有关。当d 保持不变时，力F 越大，转动越快。当力F 不变时，d 值越大，转动也越快。若改变力的作用方向，则扳手的转动方向就会发生改变，因此，我们用F 与d 的乘积再冠以适当的正负号来表示力F 使物体绕O 点转动的效应，并称为力F 对O 点之矩，简称力矩，以符号M O （F ）表示，即 d F F M ?±=)(O （3－1） O 点称为转动中心，简称矩心。矩心O 到力作用线的垂直距离d 称为力臂。 式中的正负号表示力矩的转向。通常规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。在平面力系中，力矩或为正值，或为负值，因此，力矩可视为代数量。 由图3－2可以看出，力对点之矩还可以用以矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的二倍来表示。即 面积OAB 2)(O ?±=F M （3－2） 显然，力矩在下列两种情况下等于零：（1）力等于零；（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。 力矩的单位是牛顿?米（N ?m ）或千牛顿?米（kN ?m ） 【例3－1】 分别计算图3－3所示的F 1、F 2对O 点的力矩。 【解】：由式（3－1），有 m kN 455.130)(m kN 530sin 110)(222O 111O ?-=?-=?-=?=? ??=?=d F F M d F F M 第二节 合力矩定理 图3-1