人教版八年级数学上直角三角形.docx

初中数学试卷 桑水出品

直角三角形

知识导引

1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（3）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°。

2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、注意直角三角形的性质和判定之间的互逆关系。

4、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是45°，且两条直角边相等，等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。

典例精析

例1：已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=2

1BC ，则△ABC 底角的度数为（ ） A 、45° B 、75° C 、45°或75° D 、60°

例2：两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连结CD 。

（1）请找出图②中的全等三角形并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；

（2）试说明：CD ⊥BE 。

例3：如图所示，四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成，E 为斜边AC 的中点，则∠

BDE= 。

例3—1：如图，已知AD ⊥BD ，AC ⊥BC ，E 为AB 的中点，试判断DE 与CE 是否相等并说明理由。

例4：已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，试说明AE=AF 。

例5：如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，CE ⊥BD ，交其延长线于点E ，求证：CE=2

1BD 探究活动 例：小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线AC 剪开，得到两张三角形纸片（如

图2），其中∠ACB= ，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△DEF

纸片的直角顶点D 落在纸片△ABC 的斜边AC 上，直角边DF 落在AC

所在的直线上。

（1）若DE与BC相交于点G，取AG中点M，连接BM、DM，当△DEF纸片沿CA方向平移时（如图3），请你观察、测量BM、DM的长度，猜想并写出BM与DM的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）在（1）条件下，求出∠BMD的大小（用含α式子表），并说明当α=45°时，△BMD是什么三角形；（3）在图3的基础上，将△DEF绕点C逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时△CGD变成△CHD，同样取AH的中点M，连接BM、DM（如图4），请继续探究BM与DM的数量关系和∠BMD的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明α为何值时，△BMD为等边三角形．

学力训练

A组务实基础

1、下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角。它们的逆命题是真命题的个数为（）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）

A、 B、

C、 D、

3、如图，Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D。E、F分别是CD，AD上的点，且CE=AF。如果∠AED=62°，那么∠DBF=（）

A、62°

B、38°

C、28°

D、26°

（第3题图）（第4题图）（第5题图）

4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AC、AB的中点，连结DE、CE，则下列结论中不一定正确的是（）

A、DE∥BC

B、DE⊥AC

C、∠ACE=∠BCE

D、AE=CE

5、如图，将一副三角板叠放在一起且直角的顶点重合于点O，则∠AOB＋∠DOC＝度

6、如图，Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，如果∠A=30°，BD=1cm，那么∠BCD= ，BC= cm，AD= cm。

（第6题图）（第7题图）（第8题图）

7、如图所示，已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，垂足为点D，E为AC的中点，AD=DE=6cm，则∠ACD= ，AC= cm，∠DAC= ，△ADE是三角形。

8、如图所示，一根长a米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍的A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行，请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离（填“发生”或“不发生”）变化，理由是

9、如图，只剪两刀把一个直角三角形分割成三个直角三角形。（至少给出三种剪法，用铅笔作出分割线，只要有一条分割线不同，就视作不同的剪法）

10、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数。

11、如图，在直角三角形ABC中，CM是斜边AB上的中线，MN⊥AB，∠ACB的平分线CN交MN于点N，求证：CM=MN

12、（1）等腰直角△ABC和等腰直角△CDE的位置如图1所示，连结BE，并延长交AD于点F，试问：AD与BE之间有什么关系？证明你的结论。

（2）若保持其他条件不变，等腰直角△CDE绕C点旋转，位置如图2所示，试问：AD与BE之间的关系还存在吗？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。

B组瞄准中考

1、（枣庄中考）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于（）

A、315°

B、270°

C、180°

D、135°

（第1题图）（第2题图）（第3题图）

2、（潍坊中考）如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于点E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（）

A、AB=BF

B、AE=DE

C、AD=CD

D、∠ABE=∠DFE

3、（贵阳中考）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（）

A、3.5

B、4.2

C、5.8

D、7

4、（贵阳中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交于BC 的延长线于点F ，若∠F=30°，DE=1，则EF 的长是（ ）

A 、3

B 、2

C 、3

D 、1

（第4题图） （第5题图） （第6题图） （第7题图）

5、（威海中考）如图，a ∥b ，点A 在直线a 上，点C 在直线b 上，∠BAC=90°，AB=AC ，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）

A 、25°

B 、65°

C 、70°

D 、75°

6、（日照中考）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB 中，作内接正方形1111D C B A ；在等腰直角三角形11B OA 中，作内接正方形2222D C B A ，在等腰三角形22B OA 中，作内接正方形3333D C B A ；…；依次作下去，则第n 个正方形n n n n D C B A 的边长是（ ）

A 、131

-n B 、n 3

1 C 、131+n D 、231+n 7、（益阳中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，AD 是地边上的高，E 为AC 中点，则DE ＝

8、（内江中考）下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4

个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有 个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有 个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有 个。

（第8题图）

9、（珠海中考）如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，AM 是△ABC 外角∠CAE 的平分线。

（1）用尺规作图的方法，作∠ADC 的平分线DN 。（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）设DN 与AM 交于点F ，判断△ADF 的形状（只写结果）

10、（朝阳中考）如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且CD=CE ，连结DE 。

（1）线段BE 与AD 的数量关系是 ，位置关系是 ；

（2）如图2，当△CDE 绕点C 顺时针旋转一定角度α后，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。

11、（杭州中考）已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，点M 为CE 的中点。

（1）如图1，当点D ，E 分别在AC ，AB 上时，求证：△BMD 为等腰直角三角形；

（2）如图2，将图中的△ADE 绕点A 逆时针旋转45°，使点D 落在AB 上，此时问题（1）中的结论“△BMD 为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明。

12、（河北中考）如图1，△ABC 的边BC 在直线l 上，AC ⊥BC ，且AC=BC ，△EFP 的边FP 也在直线l 上，

边EF 与边AC 重合，且EF=FP 。

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP 沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ，猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将△EFP 沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ，你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

C 组 冲击金牌

1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，若∠B 与∠C 互余，则MN 与BC －AD 的关系是（ ）

A 、2MN ＜BC －AD

B 、2MN ＞B

C －AD

C 、2MN ＝BC －A

D D 、MN ＝2（BC －AD ）

2、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D ，E 分别在AC ，BC 边上运动，且保持AD=CE ，连结DE ，DF ，EF ，在此运动变化过程中，有下列五个结论：①△DFE 是等腰直角三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形；③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8，其中正确的结论是

3、如图所示的△ABC 是电子跳蚤游戏盘，AB=AC=BC=6，如果跳蚤开始时在BC 边的0P 处，20=BP ，跳蚤第一步从0P 跳到AC 边的1P （第1次

落点）处，且01CP CP =；第二步从1P 跳到AB 边的2P （第2次落点）处，且

12AP AP =；第三步从2P 跳到BC 边的3P （第3次落点）处，且

23BP BP =；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n 次落点为n P （n

为正整

数），则点2009P 与点2010P 之间的距离为 。

4、如图，在△ABC 外作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE ，且∠BAD=∠CAE=90°，AM 为△ABC 中BC 边上的中线，连结DE ，求证：DE=2AM 。

5、如图，△ABC 为等腰直角三角形，BC 是斜边，AD ∥BC ，BD 交AC 于点E ，且BD=BC ，求证：CE=CD 。

6、如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，BE ，CF 都是△ABC 的高，P 是BE 上一点，且BP=AC ，Q 是CF 延长线上一点且CQ=AB ，连结AP ，AQ ，QP ，试判断△APQ 的形状。