一中高二年级期末考试数学试卷(理科)
一、选择题(每小题5分,共50分) 1.抛物线22x y
=的焦点到准线的距离为
( )
A.1
B.
12 C. 1
4
D. 18
2.双曲线
2
2
1
2
x y -=的渐近线方程为
( )
A.
2y x =± B. y = C. 2y x =±
D. 12
y x =± 3. 直线0x y a -+=与圆222x y +=相切,则a 的值为 ( )
A.
B. 2± B. ± D. 4±
4. 三角形ABC 中, 90,3,1B AB BC ∠===,以边AB 所在直线为旋转轴,其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A. π B. 2π C. 3π .D. 3
π
5. 已知直线,m n 和平面βα,满足,,m n m ααβ⊥⊥⊥,则 ( )
.A n β⊥ ,//.βn B 或β?n .//C n α或α?n .D n α⊥
6. 设a R ∈,则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线2:(1)40l x a y +++=平行的( )
A .充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
7. 已知点(,)
P x y在椭圆221
4
x
y
+=上,则22
3
2
4
x x y
+-的最大值为()
A. 2-
B. -1
C. 2
D.7
8. 方程()
22
1lg10
x x y
-+-=所表示的曲线的图形是()
9. 记动点P是棱长为1的正方体
1111
-
ABCD A B C D的对角线1
BD上一点,记1
1
D P
D B
λ
=.当APC
∠为钝角时,则λ的取值围为( )
A. (0,1)
B. 1(,1)
3
C. 1
(0,)
3
D. (1,3)
10. 过双曲线)0
,0
(1
2
2
2
2
>
>
=
-b
a
b
y
a
x的左焦点
)0,
(c
F-作圆2
2
2a
y
x=
+的切线,切点为E,延长FE交抛物线cx
y4
2=于点P,若E为线段FP的中点,则双曲线的离心率为()
A.5 B.
2
5 C.1
5+ D.
2
1
5+
二、填空题(每小题5分,共25分)
11. 已知向量(1,2,3)
a=,(1,,0)
b x
=,且a b
⊥,则x=。
12. 双曲线22
2
1(0)
x
y a
a
-=>的右焦点到它的渐近线的距离为。
13. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是 .
14. 过抛物线24y x =焦点的直线与抛物线交于,A B 两点,8AB =,则线
段AB 的中点横坐标为 。
15. 椭圆22
1169
x y +=的左右焦点分别为12,F F ,过焦点1F 的直线交该椭圆
于,A B 两点,若2ABF 的切圆面积为π,,A B 两点的坐标分别为
1122(,),(,)x y x y ,则12y y -的值为 。
三、解答题(共75分)
16. 如图,已知四棱锥P ABCD -的底面是正方形,PA ⊥底面ABCD ,且PA AD =,点M 、N 分别为侧棱PD 、PC 的中点 (1)求证:CD ∥平面AMN ; (2)求证:AM ⊥平面PCD .
17. 已知抛物线C :22y px =的焦点为圆22230x y x +--=的圆心,直线
1
:(2)2
l y x =
-与C 交于不同的两点,A B . (1) 求C 的方程; (2) 求弦长||AB 。
18.已知椭圆2
2:14
x C y +=,左右焦点分别为12,F F ,
(1)若C 上一点P 满足1290F PF ∠=,求12F PF ?的面积;
(2)直线l 交C 于点,A B ,线段AB 的中点为1(1,)2
,求直线l 的方程。
19. 如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB AD ==,12AA =,M 是棱1CC 上一点,
(1)若M 为CC 1的中点,求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值;
(2)是否存在这样的M ,使得平面ABM ⊥平面A 1B 1M ,若存在,求出CM 的值;若不存在,请说明理由。
20. 已知离心率为3的椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点()2,1M ,O 为坐
标原点,平行于OM 的直线l 交椭圆于C 不同的两点,A B 。
(1)求椭圆的C 方程。
(2)证明:若直线,MA MB 的斜率分别为1k 、2k ,求证:1k +2k =0。
21. 设双曲线C :12
22
=-y x 的左、右顶点分别为A 1、A 2,垂直于x
轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点,P Q 。
(1)若直线m 与x 轴正半轴的交点为T ,且121=?Q A P A ,求点T 的坐标;
(2)求直线A 1P 与直线A 2Q 的交点M 的轨迹E 的方程; (3)过点F (1,0)作直线l 与(Ⅱ)中的轨迹E 交于不同的两点A 、B ,设FB FA λ=,若||],1,2[TB TA +--∈求λ(T 为(1)中的点)的取值围。
数 学 试 题 卷(理科)
1—10ACBAC ADDBD
11. 12
- 12.1 13. 21) 14.3 15.
87
16. (1)证明
:
M
、N 分别为侧棱PD 、PC 的中点,
∴CD MN
CD AMN CD AMN MN AMN ??
??????
面面面 (2)
PA AD AM PD M PD =?
?⊥??
为中点
PA CD CD DA CD PAD CD AM PA AD A AM PAD ⊥?
???
⊥???
?⊥???=?????
面,又PD CD D ?=,AM ∴⊥平面PCD 17. 解:(1) 22(1)4x y -+=,圆心(1,0),
1,22
p
p ==,所以C 的方程为24y x =。
(2)21
(2)2
4y y x
x ???=-=??,消去y ,22040x x -+=,
2||AB x =-==。
18. 解:(1)由第一定义,1224PF PF a +==,即
2
2
1212216PF PF PF PF ++=
由勾股定理,22
212(2)12PF PF c +==,所以122PF PF =,
12121
12
F PF S PF PF ?=
=. (2)设1122(,),(,)A x y B x y ,满足22
1114x y +=,222214
x y +=,两式作差12121212()()
()()04x x x x y y y y +-++-=,将122x x +=,121y y +=代入,得
1212()()02x x y y -+-=,可得121212AB y y k x x -==--,直线方程为:1
12
y x =-+。
19. 解:(1)∵C 1D 1∥A 1B 1
∴
∠B 1A 1M 即为直线A 1M 和C 1D 1所成的角