竞赛赛前辅导讲义(六年级竞赛班)

第一讲 计算综合

一、常见简算方法 1． 复习四则运算规则；

四则混合运算的顺序安排： 先算括号 => 再算乘除 => 最后算加减

所有的运算定律需要举例说明，最好让学生总结，学生来举例子，调动学生的积极

性。 2．运算律： (1) 加法交换律： 比如1+2+3 = 3+2+1； (2) 加法结合律： 比如1+(2+3)+4 = 1+2+(3+4)； (3) 乘法交换律： 比如1×2×3 = 3×2×1； (4) 乘法结合律： 比如1×(2×3)×4 = 1×2×(3×4)； (5) 乘法分配律： 比如1×(4±2) = 1×4±1×2； (6) 逆用乘法分配律：比如1×4±1×2 = 1×(4±2)；（又称提取公因式）

(7) 除法分配律： 比如(4±2)÷2 =4÷2±2÷2；

但是4÷（2+2）绝不等于4÷2+2÷2

被除数可以分配，除数不能分配；

3． 其他常用改变运算顺序的方法： (1) 带符号“搬家”： 平级运算中，数字可以带着运算符号“搬家”； 比如：1-1+3 = 1+3-1，1÷1×3 = 1×3÷1等等； (1) 添（去）括号： 在平级运算中，可以添上或者去掉括号，以在保证结果 不变的情况下改变原有的运算顺序，其法则是： 括号前，是加号，括号内，不变号； 括号前，是减号，括号内，要变号！ 括号前，是乘号，括号内，不变号； 括号前，是除号，括号内，要变号！ 4． 常见的简便运算： (1) 加减法凑整：如36+64，123+867等等； (1) 乘除法凑整：如125×8，25×4等等； (3) 乘除法凑特殊数：如3×37，7×11×13等等。 5．等差数列的求和公式，求项数公式 二、小数的计算

1．小数的运算法则：着重复习乘除法的运算法则。 2．简算方法：与整数基本相同。 三、分数的计算

对于基础比较差的班需要，如果分数的基本运算还不熟练，需要比较详细的讲明

分数的加减乘除法则；对于基础较好的可以多做一些混合运算的题目。

1． 分数的基本运算

复习分数基本概念：

分子/分母/分数线的概念，分数和除法的关系（

b a b

a

÷=） 复习同分母分数的加减法： 分母不变 => 分子相加/减

复习不同的分数表示形式：

真分数 => 假分数/带分数 => 假分数和带分数的互化 复习不同分母的分数加减法： 通分 => 同分母加减法 => 约分 复习分数的乘法： 将所有带分数化成假分数 => 约分 => 分子和分母分别相乘 => 约分 请特别注意先约分再计算，这样可以大大简化运算；

请老师示范：

5

4

433221???，如果先计算再约分是非常麻烦的； 此后我们还会遇到非常多这样的乘法，要时刻注意这一点。 分数和整数相乘：

把整数当成分子即可，如10可以写成

1

10。 复习分数的除法： 明确倒数的概念 取除数的倒数 => 将除号变为乘号 => 分数乘法

请老师示范：

35

14

107÷； 注意：除法是绝对不能约分的！约分应在变成乘法之后的一步进行。

分数和整数相除： 法则不变，关键要明确整数的倒数是什么。

请老师示范：

1410

7

÷。 分数的乘除法混合运算： 法则不变，全部变成乘法后再计算。

请老师示范：

5

1

12521107?÷。 分数的四则混合运算： 运算顺序和整数、小数一样，注意乘除法必须用假分数，加减法往往用带分数； 请老师示范：15

145112521)5121

(-?÷

+ 小数的计算

1. 3.17-

2.74+4.7+5.29-0.26+6.3=_____.

解答：

原式=(3.71+5.29)+(4.7+6.3)-(2.74+0.26)

=9+11-3 =17

2. 计算 0.888?125?73+999?3=_____. 解答：

原式=0.111?(8?125)?73+111?(9?3) =111?73+111?27 =111?(73+27) =111?100

=11100

3.计算 1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19=_____.

解答：

原式=1.1?(1+3+...+9)+1.01?(11+13+ (19)

=1.1?25+1.01?75

=103.25

4.计算 13.5?9.9+6.5?10.1=_____.

解答：

原式=13.5?(10-0.1)+6.5?(10+0.1)

=13.5?10-13.5?0.1+6.5?10+6.5?0.1

=135-1.35+65+0.65

=(135+65)-(1.35-0.65)

=200-0.7

=199.3

5.计算 0.035?935+0.035+3?0.035+0.07?61?0.5=_____

解答：35

6.计算11.8?43-860?0.09=_____.

解答：

原式=11.8?43-43?20?0.09

=11.8?43-43?1.8

=43?(11.8-1.8)

=43?10

=430

7.下面有两个小数:

a=0.00...0125 b=0.00 (08)

1996个0 2000个0

试求a+b, a-b, a?b, a÷b.

解答：

a+b,a的小数点后面有1998位,b的小数点后面有2000位,小数加法要求数位对齐,然后按整数的加法法则计算,所以

a+b=0.00...012508 = 0.00 (012508)

2000位 1996个0

a-,方法与a+b一样,数位对齐,还要注意退位和补零,因为

b

a=0.00…0125，b=0.00…08,由12500-8=12492，所以

1998位 2000位

a-b=0.00...12492=0.00 (012492)

a ?b ,a ?b 的小数点后面应该有1998+2000位,但125?8=1000,所以 a ?b =0.00...01000 = 0.00 (01)

位 3995个0

a ÷

b ,将a 、b 同时扩大100…0倍，得

2000个0

a ÷

b =12500÷8=1562.5

分数的计算

1.计算: 计算：2006

200620062007

÷＝ . 解答：

原式=20062007

20062006200620072006(20071)

÷=??+2007200620062008=??＝20072008

.

2．计算：

11111

1447710101320052008

+++++????? ＝ . .

解答： 原式＝111111111113447710101320052008?????????????-

+-+-+-++- ? ? ? ? ???????????????

＝1111111111(1)3447710101320052008?-+-+-+-++-

＝11

(1)32008?-

＝12007

32008?

＝669

2008

.

3.计算：

111111111111111111(1)()(1)()234523456234562345

+

+++?++++-+++++?+++＝ .

解答：

设111112345A ++++=，1111

2345

B +++= 原式＝11

()()66A B A B ?+-+?

＝ 11

66A B A A B B ?+?-?-?

＝ 11

66A B ?-?

＝ 1

()6A B ?-

＝ 1

6

4.计算：=+++++++496

124811241621311814121 . 解答：

原式??

? ??-+??? ??-++??? ??-+??? ??-+??? ??-

=124162162131131181414121211 ??

? ??-+??? ??-+4961248124811241

496

1311311811-++-= 16

3131187161231187?+=??? ??-?+=

16

1516187=+=. 5.计算：

=+

-

-

+

3

12113211 . 解答：

原式54251447587

458

73153116311631==?==-+=+--+

=

6.计算:=?+?+?

6

5

5161544151433141 . 解答：原式6

55660544550433440???? ??++???? ??++???? ??

+

= 123150140130=+++++=.

7.计算:=++???+++++???+++1997

19953991199619943989537425313199719961995

199619951994543432321 . 解答：

原式?

?

? ??-+??? ??

-+???+??? ??-+??? ??-+??? ??-?

?? ??-+??? ??

-+???+??? ??-+??? ??-+??? ??-=

19972399219962399052842632419971199619961199551441331221=.

8.计算:=??

? ??-?-??? ??+?+??? ??-?761231

537615312353123176 . 解答：

原式=()()()532376

123765315376231+?+-?--? 1111=+-=.

9.计算：

??

? ??+++-??? ??++++??? ??+++-??? ??+++201151

10151161121814112191613181614121 = . 解答：

原式

??

? ??+++?-??? ??+++?+??? ??+++?-??? ??+++?=

413121151413121141413121131413121121

??

? ??-+-???? ??+++

=514131214131211 144

65

60131225201611234612=

?=??? ??+?+++=

随堂练习 1．计算：=÷?-÷+]7

6900005.0754[6.82547

(）（） 。 （第14届初赛第1题）

答案：63.04 2．计算：=÷?15

13

212451732273145 。 答案：

98

19 3.求满足下面等式的方框中的数。

答案：17 4.计算= 。

课后作业

1．.

75

[1.6 2.125(8

)]()____246

---÷-=。 答案295

=- 2．计算：1

111112114

+

+

+++

答案

242

223

3．计算

2222

123100013355719992001

++++???? 答案10002502001

1．计算：=÷?-÷+]7

6

900005.0754[6.82547

(）（） 。 （第14届数学解题能力展示活动初赛第1题）

答案：63.04

2．计算：=÷?15

13

212451732273145 。（第14届数学解题能力展示活动初赛第2题） 答案：

98

19 3.求满足下面等式的方框中的数。（第14届数学解题能力展示活动初赛第7题）

答案：17 4.计算

= 。（第14届数学解题能力展

示活动决赛第1题） 答案：1

第二讲应用题综合

【例1】今年是2005年，父母亲年龄和是70岁，姐弟俩的年龄和是16岁，到2008年时，父亲的年龄是弟弟年龄的4倍，母亲的年龄是姐姐的3倍，那么，当父亲的年龄是姐姐年龄的2倍时，是年。

解答：2008年时姐弟俩的年龄和是22岁，父母的年龄和是76岁。所以2008年弟弟的年龄为

76－22×3＝10岁，

姐姐的年龄为12岁，父亲的年龄为40岁，母亲的年龄为36岁。

父亲与姐姐的年龄差为28岁，所以当父亲的年龄是姐姐年龄的2倍时，父亲56岁，此时是2024年。

【例2】商店一次进货6桶，重量分别为15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克。上午卖出去2桶，下午卖出去3桶，下午卖得的钱数正好是上午的2倍。剩下的一桶重多少千克？

解答：6桶的总重量为

15＋16＋18＋19＋20＋31＝119千克，

因为下午卖得的钱数正好是上午的2倍，所以上下午卖出去的总重量应为3的倍数。

而119÷3的余数为2，所以剩下的一桶的重量被3除也余2，逐一尝试知只有20千克满足。所以剩下的一桶重20千克。

【例3】2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2， (2006)

将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。拉完后亮着的灯数为多少盏？

解答：没被拉过的灯是亮的，被拉过2次的灯也是亮的。

1至2006中，能被2整除的有1003个，能被3整除的有668个，能被5整除的有401个，能被2和3整除的有334个，能被2和5整除的有200个，能被3和5整除的有133个，能被2、3、5整除的有66个。所以

能被2、3、5至少一个整除的有

1003＋668＋401－334－200－133＋66＝1471个，

所以没被拉过的灯有

2006－1471＝535盏。

能被2、3整除但不能被5整除的有

334－66＝268个，

能被2、5整除但不能被3整除的有

200－66＝134个，

能被3、5整除但不能被2整除的有

133－66＝67个，

所以被拉过2次的灯有

268＋134＋67＝469盏，

所以拉完后亮着的灯数为

【例4】二十多位小朋友围成一圈做游戏．他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或带有数字7的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学报90时他错报了91．如果他第一次报数报的是19，那么这群小朋友共有多少人？

解答：19与91之间除去7的倍数和带有数字7的数之外，还有

91－19－1－18＝53个数， 所以这群小朋友有

（53＋1）÷2＝27人。

【例5】污水处理厂有甲、乙两个水池，甲池原有水960立方米，乙池原有水90立方米。如果甲池的水以每小时60立方米的速度流入乙池，问：多少小时后，乙池中的水是甲池的4倍？

解答：甲乙两池共有水

960＋90＝1050立方米，

所以当乙池中的水是甲池的4倍时，甲池有水 1050÷5＝210立方米，

所以过了（960－210）÷60＝12.5小时后，乙池中的水是甲池的4倍

【例6】实验小学六年级有学生152人。现在要选出男生人数的111

和女生5人，到国际数学

家大会与专家见面。学校按照上述要求选出若干名代表后，剩下的男、女生人数相等。问：实验小学六年级有男生多少人？

解答：因为剩下的男女生人数相等，所以剩下的女生人数是原来男生人数的10/11，于是原来的女生人数比原来的男生人数的10/11多5人。所以六年级有男生 （152－5）÷[1＋（10/11）]＝77人。

【例7】甲、乙两名计算机文字录入人员要共同录入一份15400字的文稿。当甲完成录入任

务的65

，乙完成录入任务的80%时，两人尚未录入的字数相等。问：甲的录入任务是多少个

字？

解答：依题意甲的录入任务的1/6等于乙的录入任务的1/5，所以乙的录入任务是甲的5/6。所以甲的录入任务是

15400÷[1＋（5/6）]＝8400个字。

【例8】一种细胞，每隔1小时死亡2个，剩下的每个活细胞分裂为2个新细胞。如果最初有7个活细胞，问10小时后有多少个活细胞？

答案：1小时后：（7-2）*2=10 2小时后：（10-2）*2=16 3小时后：（16-2）*2=28

5小时后：（52-2）*2=100

6小时后：（100-2）*2=196

7小时后：（196-2）*2=388

8小时后：（388-2）*2=772

9小时后：（772-2）*2=1540

10小时后：（1540-2）*2=3076。

1、一盘草莓约20个左右，几位小朋友分。若每人分3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个。这盘草莓有多少个？

答案：17

2、买2条毛巾，3块肥皂，要付18元；买3条毛巾，2块肥皂，要付19元(毛巾，肥皂，

都分别是同一品种的)。那么买1条毛巾，1块肥皂要付多少元？

答案：7.4

3、在2005年3月份的月历上，小明发现某一列上的五个日期的数字之和为85，那么这列上的第一个日期是几号？

答案：3

4、上学的路上，小明听到两个人在谈论各自的年龄，只听一人说“当我的年龄是你现在的

年龄时，你才4岁。”另一人说“当我的年龄是你现在的年龄时，你将61岁，……”

他们两人中，年龄较小的现在多少岁？

答案：23

1、买三盏台灯和一个插座需付300元；买一盏台灯和三个插座需付200元。那么买一盏台

灯和一个插座需付多少元？

答案：125

2、某种品牌的电脑每台售价5400元，若降价20%后销售，仍可获利120元，则该品牌电脑

的进价为每台多少元？

答案：4200

3、在某次测试中，小明、小方和小华三人的平均成绩为85分，已知小明和小方的平均成绩

(1)小方和小华的平均成绩；

(2)他们三人中的最高成绩。

答案：（1）81 （2）93 4、)如下：

表中“全月应纳税所得额’’是指从工资、薪金收入中减去800元后的余额。

已知王老师某个月应交纳此项税款280元，求王老师这个月的工资、薪金收入。

答案：3500元

1．光明小学今年春季共种杨树、柳树120棵，其中杨树棵数比柳树棵数的 5

8

少10棵，杨树种了 棵。（第14届数学解题能力展示活动第3题） 答案：40

2．一个分数约分后是3

2

。如果这个分数的分子减去18，分母减去22，约分后就可以得到一个新的分数5

3

。那么，原来的分数在约分前是______。（第16届数学解题能力展示活动第2题） 答案

72

48 3．一整桶汽油，在用去70%以后，又向桶内倒入10千克汽油。这时，桶内汽油正好是原来整桶汽油的一半。原来这一整桶汽油重 千克。（第19届数学解题能力展示活动第4题）

答案500

4、有两条绳子，它们的长度相等，但粗细不同。如果从两条绳子的一端点燃，细绳子孤一端同时点燃，经过一段时间后，又同时把它们熄灭，这时量行细绳子还有10厘米没有燃尽，粗绳子还有30厘米没燃尽。这两条绳子原来的长度是 厘米。（第18届数学解题能力展示活动第5题） 答案40

1.某数学竞赛共160人进入决赛，决赛共四题，做对第一题的有136人，做对第二题的有125人，做对第三题的有118人，做对第四题的有104人，在这次决赛中至少有 人得满分。（第三届走美第10题） 答案、3

2.商店一次进货6桶，重量分别为15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克。上午卖出去2桶，下午卖出去3桶，下午卖得的钱数正好是上午的2倍。剩下的一桶重 千克。（第四届走美第5题）

答案20

3.2006个弹珠，平均分给若干个人，正好分完．若有1人退出，不参加分球，并且弹珠

增加10个，则每人可以多分8个．原来有人．（第四届走美决赛第4题）

答案17

第三讲行程问题

一：命题热点在于“相遇、追击、相遇追击综合题，多次相遇问题”。

二：考点分析

1）一般行程问题：

基本公式：路程=速度×时间

高级公式：（务必倒背如流，此两公式太重要了）

相遇问题（速度和×相遇时间=路程和），追击问题（速度差×追击时间=路程差）

2）流水问题：水速对追击和相遇时间无影响。原因？四者中只要知2就可求另外2个量。

基本公式：顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速

高级公式：船速=（顺+逆）÷2，水速=（顺-逆）÷2

3）非环形跑道多次相遇问题：要注意“第一次相遇行的全程数”与“第二次相遇行的全程数”的关系。

相遇次数全程个数再走全程数

1 1 1

2 3 2

3 5 2

4 7 2

n 2n-1 2

环形跑道：每相遇一次，总路程多了一圈，不存在以上关系。所以如果速度和不变，则每相遇一次所用时间相同。

三：行程问题方法论：

（1）列方程求解；（2）画图分析；（3）抓住原因分析求解；（4）比例（常用到设数的方法）【例1】甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行。如果甲车提前一段时间出发，那么两车将提前30分钟相遇。已知甲车速度是60千米/时，乙车速度是40千米/时。问：甲车提前了多少分钟出发？

【解法一】假设甲车提前x分出发，根据相遇路程的关系可得方程(提前出发行的路程与提前30分钟相遇的路程相同,注意单位要统一) 60x÷60=(60+40)÷60×30,得x=50(分钟) 【解法二】比例求解。把乙车30分钟折算到甲车就可以了，30×40÷60=20分钟。

故甲车提前了30+20=50（分钟）出发。

【例2】小强骑自行车到学校去，平常只用20分钟。由于途中有2千米正在修路，只好推车步行，步行速度只有骑车速度的1/3，结果用了36分钟学校。小强家到学校有多少千米？【解】如果全部步行的话需要20÷1/3=60分钟。全程都步行的话要多用40分钟，而现在只是多用了16分钟（对应2千米），所以全程距离=40÷16×2=5（千米）

【解】车行2千米，人行2/3千米，2千米中还剩下4/3千米，题目的意思也就是说4/3千米人行需要36-20=16分钟。则人行速度4/3÷16=1/12（千米/分），车速1/12×3=1/4(千米/分)。则家到学校路程为1/4×20=5(千米)

【例3】从A城到B城，甲要走2小时，乙要走1小时40分钟，若甲比乙先行10分钟，那么乙出发后多少分钟追上甲？

城到B 城的路程看作“ 1”，将甲、乙两人所走的路程分别表示出来，根据两路程相等，即可求出所用时间．

解 设乙出发x 分钟后追上甲，设全程为“ 1”，列方程得：

x ＝50

答：乙出发50分钟后追上甲．

【例4】周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A 、B 两点，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A 时，乙恰好跑到B.如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么追上乙时，甲共跑了多少米（从出发时算起）？ 【解】：乙从相遇点C 跑回B 点时，甲从C 过B 到A ，他比乙多跑了100米.乙从B 到C 时，甲从A 到C ，说明A 到C 比B 到C 多100米.跑道周长400米，所以B 到C 是100米，A 到C 是200米。

乙每跑100米，甲就多跑100米.要使甲、乙从C 点开始，再次相遇，甲要比乙多跑一圈，也就是说，乙跑400米时，甲跑800米与乙第二次相遇，再加上甲从A 到C 的200米，甲共跑了1000米。

【例5】小明去爬山，上山时每时行2.5千米，下山时每时行4千米，往返共用3.9时。小明往返一趟共行了多少千米？ 【解】：我们知道上山路程等于下山路程，假设路程为“1”， 总路程为1+1=2,总时间为1÷2.5+1÷4＝0.65。 则平均速度为路程＝65.02＝1340

千米/时， 所以总路程为3.9×1340

＝12千米。 小明往返一趟共行了12千米。

【例6】小明从家到学校有两条一样长地路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半是下坡路，小明上学走两条路所用的时间一样多。已知下坡的速度是平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？

【解】走两条路所用的时间一样多，所以走两条路的平均速度相等。假设全程为1 ：于是所需时间为1÷平路速度

11

1

剩下时间为1÷平路速度－31÷平路速度＝32

÷平路速度

剩下路程为21

，

所以速度为21÷(32÷平路速度)＝43

平路速度； 于是上坡速度为平路速度的

0.75倍。

方法二、方程法

假设上坡速度是平路速度的x 倍。

1

2

15.1211

=+x

，解得x ＝0.75。

【例7】一条轮船往返于甲、乙两地之间，由甲至乙是顺水航行；由乙至甲是逆水航行。已知船在静水中的速度是每小时15千米，逆水航行所用时间是顺水航行所用时间的2倍，求水流速度。

【解】设水流速度为每小时x 千米，由甲到乙所用时间为a 小时，列方程得： （15＋x ）·a ＝（15－x ）·2a 15＋x ＝2（15－x ）

x ＝5答：水流速度为每小时5千米．

【例8】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。甲从A 地，乙和丙从B 地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A 、B 两地间的距离。 【解】画图如下：

分析 结合上图，如果我们设甲、乙在点C 相遇时，丙在D 点，则因为过15分钟后甲、丙在点E 相遇，所以C 、D 之间的距离就等于（40＋60）×15=1500（米）。

又因为乙和丙是同时从点B 出发的，在相同的时间内，乙走到C 点，丙才走到D 点，即在相同的时间内乙比丙多走了1500米，而乙与丙的速度差为50-40＝10（米/分），这样就可求出乙从B 到C 的时间为1500÷10＝150（分钟），也就是甲、乙二人分别从A 、B 出发到C 点相遇的时间是150分钟，因此，可求出A 、B 的距离。 解：①甲和丙15分钟的相遇路程： （40＋60）×15=1500（米）。 ②乙和丙的速度差： 50-40=10（米/分钟）。 ③甲和乙的相遇时间： 1500÷10=150（分钟）。

（50＋60）×150＝16500（米）＝16.5千米。

答：A、B两地间的距离是16.5千米.

课堂演练

1. 小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天从家到学校都是步行。有一天由于晚出发10分钟，他不得不跑步行了一半路程，别一半路程步行这样与平时到达学校的时间一样。那么小明每天步行上学需要时间多少分钟？

【解】设步行速度为x，则跑步速度为3x，全程为2份.根据时间相同可得方程:

2/x=1/x+1/3x+10，解得x=1/15，所以小明步行上学需要2/x=30分钟。

2. 客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，

货车离乙城还有30千米。已知货车的速度是客车速度的3

4，甲、乙两城相距多少千米？

【解】假设客车速度为x，则货车速度为3x/4。由已知列方程求解。

3x-3×(3x/4)=3x/4=30，所以x=40（千米/时）。全程40×3×2=240(千米)

3. 甲、乙两车的速度分别为52千米/时和40千米/时，它们同时从甲地出发到乙地去，出发后6时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1小时后乙也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。【解】路程差（也是乙车与卡车相遇的路程和）：

52×6-40×6=312-240=72(千米)，卡车速度（速度和减乙车速度）72÷1-40=32（千米/时）

4. 一位马俊仁的弟子一小学体育课演示时，顺风跑90米用了10秒钟。在同样的风速下，逆风跑了70米，也用了10秒钟，问：在无风的时候，他跑100米要用多少秒？

【解】显然此题为流水行船的变形问题

顺风速度＝90÷10＝9米/秒

逆风速度＝70÷10＝7米/秒，所以无风速度为(9＋7)÷2＝8米/秒。

所以，跑100米需要100÷8＝12.5秒。

1.甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，6小时后两车已行的路程是A、B两地距离的3/5。甲每小时行42千米，比乙每小时少行1/7，那么A、B两地相距千米。（第14届数学解题能力展示活动第2题）

答案910

2. 甲、乙两辆清洁车执行车、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：东、西两城相距多少千米？（第15届数学解题能力展示活动第13题）

答案60

3．A、B、C三人要从甲地到乙地，步行速度都是5千米每小时，骑车速度都是20千米每小时。现在只有一辆自行车，他们想了一个办法，先让A从甲地骑车走，同时B、C步行；A骑了一段后，换步行而把车放在途中，留给B接着骑；B骑了一段后，再换步行而把车放在途中，留给C接着骑到乙地。这样A、B、C三人恰好同时到达乙地。已知甲地到乙地全长12千米，那么从甲到乙地他们用

了小时。（第15届数学解题能力展示活动第三大题第1题）

答案1.8

4. 甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地，A，B两地的距离等于B，C两地的距离．乙车的速度是甲车速度的80％．已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B地停留了7分钟，甲车则不停地驶往C地．最后乙车比甲车迟4分钟到达C地．那么，乙车出发后________分钟时，甲车就超过乙车．（第15届数学解题能力展示活动第10题）

答案27

1.从上海开车去南京，原计划中午11：30到达，但出发后车速提高了1

7

，11点钟就到了，

第二天返回时，同一时间从南京出发，按原速行使了120千米后，再将车速提高1

6

，到达

上海时恰好11：10，上海、南京两市间的路程是千米。（第三届走美第9题）

答案、288

2.甲、乙二人同时从A地出发，以相同的速度向B地前进。甲每行5分钟休息2分钟。乙每行210米休息3分钟。甲出发后50分钟到达B地，乙到达B地比甲迟了10分钟。两人最后一次休息地点相距35米。两人的速度是每分钟走米。（第三届走美第10题）

答案47或49

3.兄妹二人放学后准备去外婆家．从学校到外婆家是3千米．妹妹说直接步行去．哥哥算了一下，如果骑车的速度是步行的5倍，不如先步行回家（家与外婆家恰好在学校的两个相反方向），再骑车去外婆家．他们家距学校最远不超过千米．（第四届走美决赛第5题）

答案2

4.今有A、B两个港口，A在B的上游60千米处．甲、乙两船分别从A、B两港同时出发，都向上游航行．甲船出发时，有一物品掉落水中，浮在水面，随水流漂往下游．甲船出发航行一段后，调头去追落水的物品．当甲船追上落水物品时，恰好和乙船相遇．已知甲、乙两船在静水中的航行速度相同，且这个速度为水速的6倍．当甲船调头时，甲船已航行千米．（第五届走美决赛第6题）

答案25

第四讲数字谜

相关知识：

填算式：

1)数字谜的突破口一般在于选择是否进位、退位、算式的首位及个位。解答时一般要试验

多次，注意一定要试遍所有的可能性。

2)乘法算式謎要注意利用已有数确定被乘数和乘数，利用乘积中的尾数往往可以确定因数

的个位，乘积中的最高位用来估算因数的取值范围。

3)解除法算式谜时，确定除数和商是关键。求除数有时用“估值法”，看除数必大于某数且

小于另一数，采用两边夹的方法确定。

4)记住一个六位数：142857。它的神奇之处是：它与2、3、4、5、6相乘的积仍是由1，4，

2，8，5，7这六个数字组成的六位数，有些数字谜就是根据这个数来编的。

5)横式谜中往往要利用位值原则及不定方程的知识来解题。

数阵图：

解决这类问题要根据所给图形的结构特点，寻找特殊位置并从整体把握，这是解数阵图问题的基本途径。在大部分问题中，要注意把所填数之“和”和几个相等“和”之和作比较，这是最好的办法。

【例1】红、黄、蓝和白色卡片各一张，每张上写有一个数字，小明将这4张卡片如图放置，使它们构成一个四位数，并计算这个四位数与它的数字之和的10倍差。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？

解：1000×红+100×黄+10×白+1×蓝-10×（红+黄+白+蓝）=1998

990×红+90×黄-9×蓝=1998，所以，红=2

得1980+90×黄-9×蓝=1998，即：90×黄-9×蓝=18，所以，黄=1，蓝=8

答：红、黄、蓝3张卡片上各是2，1，8。

若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式

学习好勤动脑×5=勤动脑学习好×8中，“学习好勤动脑”所表示的六位数最少是多少？

解：因为：学习好勤动脑×5=勤动脑学习好×8，所以：学习好×5000+勤动脑×5=勤动脑×8000 +学习好×8

学习好/勤动脑=（8000-5）/（5000-8）=7995/4992=3×13×205/3×13×128

=205/128=410/256=615/384=820/512，其中410256和615384由6个不同数字组成，最小的是410256。

答：“学习好勤动脑”所表示的六位数最少是410256。

【例2】在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。

解：405，315，225，135。

因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0

或5。如果个位数是0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的10倍，

所以个位数是5。

100a＋10b＋5＝（10a＋5）×9，

化简得a＋b＝4。变成的三位数只能是405，315，225，135。

【例3】在图所示的算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。如果CHINA 所代表的五位数能被24整除，那么这个五位数是多少？

解答：首先，C肯定是1，K必定是9；由于K为9，因此N只能是0；G+G不进位，且得数是24=3×8的倍数，所以，G、A只有2、4或4、8两种可能；如G=2、A=4，则O=8、I=6，604不是8的倍数，不可能。因此，G=4、A=8，那么，O=6、I=2；因为得数是3的倍数，其数字和为3的倍数，所以，H=7。

所以，这个五位数是17208。

【例4】在右图残缺的算式中，只写出3个数字1，那么这个算式的乘积是多少？

解：积的十位是1，被乘数与乘数个位乘积的十位也是1。

被乘数个位与乘数十位的乘积个位是1，则被乘数个位可能是1，3，7，9。

被乘数与乘数个位的乘积，前2位是10，积有下列可能：101，102，103，104，105，106，1 07，108，109，去掉质数101，103，107，109，去掉个位是0的100。

102=6×17，104=2×27，105=5×21，106=2×53，108=4×27

若被乘数是17或27，乘数十位必须是3，都不能进位；若被乘数是21，乘数十位必须是1，也不能进位，去掉。所以被乘数只能是53，乘数相72，53×72=3816

答案：这个算式的乘积是3816。