2014高考陕西文数 Word版含答案

2014年高考陕西文科数学陕西卷

一、在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求（本大题共10分，每小题5分，共50分）.

1.设集合{}0,M x x x R =∈≥，{}

21,N x x x R =<∈，则A B = （ ）

()A []0,1 ()B ()0,1 ()C (]0,1 ()D [)0,1

2.函数()cos 24f x x π?

?=+ ??

?的最小正周期是 （ ）

()A 2π

()B π ()C 2π ()D 4π

3.已知复数2z i =-，则z z ?的值为 （ ）

()A 5 ()B

()C 3 ()

D

4.根据右边框图，对大于2的正整数N ，

输出的数列的通项公式是 （ ）()A 2n a n = ()B ()21n a n =-

()C 2n n a = ()D 12n n a -= 5.将边长为1的正方形以其一边所在直 线旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面

积是 （ ）

()A 4π ()B 3π ()C 2π ()D π

6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于正方形的边长的概率为 （ ）

()A 15 ()B 25 ()C 35

()D 4

5 7.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是 （ ）

()A ()3

f x x = ()B ()3x

f x = ()C ()12

f x x = ()D ()12x

f x ??= ???

8.原命题为“若

1

,2

n n n a a a n N +++<∈，则{}n a 是递减数列”，关于其逆命题，否命,

,N a

结束

y B

题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 （ ）

()A 真，真，真 ()B 假，假，真 ()C 真，真，假 ()D 假，假，假

9.某公司10位员工的月工资（单位：元）为12310,,,

,x x x x ，其均值和方差分别

为x 和2s ，若从下月起每位员工的工资增加100元，则这10为位员工下月工资的均值和方差分别为 ( )

()A 22,100x s + ()B 22100,100x s ++ ()C 2,x s ()D 2100,x s +

10如图，修建一条公路需要一段 环湖弯曲路段与两条直道平滑 连接（相切）.已知环湖弯曲路 段为某三次函数图像的一部

分，则该函数的解析式为 （ ()A 321

1

22y x x x =-- ()B 321

1

322y x x x =+- ()C 31

4y x x =- ()D 321

1

242y x x x =+-

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，共25分）

11.抛物线24y x =的准线方程为 . 12.已知42a =，lg x a =，则x = . 13.设02

π

θ<<

，向量()sin 2,cos a θθ=，()1,cos b θ=-，若0a b =，则t

a n θ= . 14.已知()1x

f x x

=

+，0x ≥，若()()1f x f x =

，()()()1n n f x f f x +=，n N +∈，则()2014f x 的表达式为 .

15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按做作的第一题评分）

A .（不等式选做题）设,,,a b m n R ∈，且225a b +=，

5ma nb +=的最小值为 .

B.（几何证明选做题）如图，ABC 中，6BC =，

B

C

以BC 为直径的半圆交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =，则EF = .

C.（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点2,6π??

???

到直线sin 1

6πρθ??-= ???的距离是 .

三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程和演算步骤（本大题共6小题，共75分）.

16.（本小题满分12分）

ABC 的内角,,A B C 所对底边分别是,,a b c .

（Ⅰ）若,,a b c 成等差数列，证明：()sin sin 2sin A C A C +=+； （Ⅱ）若,,a b c 成等比数列，且2c a =，求cos B 的值. 17.（本小题满分12分）

四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱,,,AB BD DC CA 于点,,,E F G H .

（Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；

（Ⅱ）证明：四边形EFGH 是矩形.

18. （本小题满分12分）

在直角坐标系xoy 中，已知点()1,1A ，()2,3B ，()3,2C ，点(),P x y 在ABC 三边围成的区域（含边界）上，且OP mAB nAC =+(),m n R ∈，. （Ⅰ）若2

3

m n ==

，求OP ； （Ⅱ）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值. 19. （本小题满分12分）

某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的

左视图

赔付结果统计如下：

（Ⅰ）若每辆车的赔付金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率； （Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.

20. （本小题满分13分）

已知椭圆22

221x y a b

+=()0a b >>

经过点(，离心率为12，左右焦点分别为

()()12,0,,0F c F c -.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线1

2l y x m =-+：与

椭圆交于,A B 了两点，与以1F ，2F 为直径的圆交于,C D 两点，且满

足AB CD =，求直线l 的方程. 21. （本小题满分14分）

设函数()ln ,m

f x x m R x

=+∈.

（Ⅰ）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极小值； （Ⅱ）讨论函数()()3

x

g x f x '=-零点的个数； （Ⅲ）若对任意0b a >>，()()

1f b f a b a

-<-恒成立，求m 取值范围.

2014年高考题陕西卷文科数学

一、在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求（本大题共10分，每小题5分，共50分）.

1.设集合{}0,M x x x R =∈≥，{}

21,N x x x R =<∈，则A B = （ D ）

()A []0,1 ()B ()0,1 ()C (]0,1 ()D [)0,1

2.函数()cos 24f x x π?

?=+ ??

?的最小正周期是 （ B ）

()A 2π

()B π ()C 2π ()D 4π

3.已知复数2z i =-，则z z ?的值为 （ A ）

()A 5 ()B

()C 3 ()

D

4.根据右边框图，对大于2的正整数N ，

输出的数列的通项公式是 （ C ）

()A 2n a n = ()B ()21n a n =-

()C 2n n a = ()D 12n n a -= 5.将边长为1的正方形以其一边所在直 线旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面

积是 （ C ）

()A 4π ()B 3π ()C 2π ()D π

6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于正方形的边长的概率为 （ B ）

()A 15 ()B 25 ()C 35

()D 4

5 7.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是 （ B ）

()A ()3

f x x = ()B ()3x

f x = ()C ()12

f x x = ()D ()12x

f x ??= ???

8.原命题为“若

1

,2

n n n a a a n N +++<∈，则{}n a 是递减数列”，关于其逆命题，否命,

,N a

结束

y 题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 （ A ）

()A 真，真，真 ()B 假，假，真 ()C 真，真，假 ()D 假，假，假

9.某公司10位员工的月工资（单位：元）为12310,,,

,x x x x ，其均值和方差分别

为x 和2s ，若从下月起每位员工的工资增加100元，则这10为位员工下月工资的均值和方差分别为 ( D )

()A 22,100x s + ()B 22100,100x s ++ ()C 2,x s ()D 2100,x s +

10如图，修建一条公路需要一段 环湖弯曲路段与两条直道平滑 连接（相切）.已知环湖弯曲路 段为某三次函数图像的一部

分，则该函数的解析式为 （ A ()A 321

1

22y x x x =-- ()B 321

1

322y x x x =+- ()C

31

4y x x =- ()D 321

1

242y x x x =+-

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，共25分）

11.抛物线24y x =的准线方程为1x =-. 12.已知42a =，lg x a =，则x =13.设02

π

θ<<

，向量()sin 2,cos a θθ=，()1,cos b θ=-，若0a b =，则t

a n θ=1

2

. 14.已知()1x

f x x

=

+，0x ≥，若()()1f x f x =，()()()

1n n f x f f x +=，

n N +∈，则()2014f x 的表达式为

20141

x

x +.

15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按做作的第一题评分）

A .（不等式选做题）设,,,a b m n R ∈，且225a b +=，

5ma nb +=

B

C

B.（几何证明选做题）如图，ABC 中，6BC =，以BC 为直径的半圆交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =，则EF =3.

C.（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点2,6π??

???

到直线sin 1

6πρθ??-= ???的距离是1.

三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程和演算步骤（本大题共6小题，共75分）.

16.（本小题满分12分）

ABC 的内角,,A B C 所对底边分别是,,a b c .

（Ⅰ）若,,a b c 成等差数列，证明：()sin sin 2sin A C A C +=+； （Ⅱ）若,,a b c 成等比数列，且2c a =，求cos B 的值.

解：（Ⅰ）∵2a c b +=，∴sin sin 2sin A C B +=，又()sin sin B A C =+， ∴()sin sin 2sin A C A C +=+. （Ⅱ）∵2

b a

c =，又2c a =，∴b =，

∴222cos 2a c b B ac

+-=2222

423

44a a a a +-==. 17.（本小题满分12分）

四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱,,,AB BD DC CA 于点,,,E F G H .

（Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；

（Ⅱ）证明：四边形EFGH 是矩形.

左视图

左视图

B

C

解：（Ⅰ）由三视图可知，AD BCD ⊥平面,且BCD 是等腰直角三角形，

∴12

2133

A BCD V -=??=.

（Ⅱ）∵AD EFGH ∥平面,AD ABD ?平面,且ABD EFGH EF =平面平面，∴AD EF ∥，同理AD HG ∥，∴EF HG ∥，

由BC EFGH ∥平面同理可得EH FG ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形. 由三视图知AD BCD ⊥平面，又AD EF ∥，∴EF BCD ⊥平面，EF FG ⊥，

90EFG =∠，

所以四边形EFGH 是矩形. 18. （本小题满分12分）

在直角坐标系xoy 中，已知点()1,1A ，()2,3B ，()3,2C ，点(),P x y 在ABC 三边围成的区域（含边界）上，且OP mAB nAC =+(),m n R ∈. （Ⅰ）若2

3

m n ==

，求OP ； （Ⅱ）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值. 解：（Ⅰ）OP mAB nAC =+()()()22

1,22,12,233

=+=， ∴22OP =.

（Ⅱ）由OP mAB nAC =+，得()()()(),1,22,12,2x y m n m n m n =+=++，

（Ⅰ）若每辆车的赔付金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率； （Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率.

解：（Ⅰ）设在样本车辆中，“赔付金额为3000元”为时间A ，“赔付金额为4000元”为事件B ，则 ()1500.151000P A =

=,()1200.121000

P B ==， 设“赔付金额大于投保金额”为事件C ，则 ()()()0.150.120.27P C P A P B =+=+=， 即估计赔付金额大于投保金额的概率为0.27.

（Ⅱ）在样本车辆中，车主是新司机的有100010%100?=辆，

而赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的有12020%24?=辆， 所以在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率为0.24. 20. （本小题满分13分）

已知椭圆22

221x y a b

+=()0a b >>

(，离心率为12

，左右焦点分别为()()1

2

,0,,0F c F c -. （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线1

2l y x m =-+：与

椭圆交于,A B 了两点，与以1F ，2F 为直径的圆交于,C D 两点，且满

足

AB CD =，求直线l 的方程. 解：

（Ⅰ）∵b =1

2

c a =，解得24a =， 所以所求椭圆的方程为22

143

x y +

=. （Ⅱ）∵1r c ==，又圆心O 到直线l

的距离为d =

∴CD =

由方程组22

14312

x y l y x m ?+=????=-+??：，得2230x mx m -+-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x m +=，2123x x m =-， 又23120m =-+>△，得24m <；（*） ∴

AB =

∴224=，解得213m =，（符合*）

，∴m =，

所以所求直线

l 的方程是123

l y x =-±：21. （本小题满分14分）

设函数()ln ,m

f x x m R x

=+

∈. （Ⅰ）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极小值； （Ⅱ）讨论函数()()3

x

g x f x '=-零点的个数； （Ⅲ）若对任意0b a >>，()()

1f b f a b a

-<-恒成立，求m 取值范围.

解：（Ⅰ）()221,0e x e

f x x x x x

-'=

-=>，显然 在()0,e 内，()0f x '<，函数()f x 单调递减；在(),e +∞内，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为()2f e =. （Ⅱ）()213m x g x x x =

--，令()0g x =，得31

3

m x x =-+，※ 设()31

3

h x x x =-+，则()()()2111,0h x x x x x '=-+=-+->，

显然在()0,1内，()0h x '>， ()h x 单调递增；在()1,+∞内，()0h x '<，()h x 单调递减，在()0,+∞内()h x 的最大值为()213

h =， （1）若2

3m >

，方程※无解，即()g x 没有零点； （2）若2

3m =，方程※有唯一解，即()g x 有一个零点；

（3）若2

3

m <，方程※有两解，即()g x 有两个零点.

（Ⅲ）对任意0b a >>，

()()

1f b f a b a

-<-恒成立，即()()f b b f a a -<-， 亦即()()x f x x ?=-在()0,+∞上单调递减恒成立， ∵()ln m x x x x ?=+

-，∴()2110m

x x x

?'=--≤在()0,+∞上恒成立， 即2m x x ≥-+在()0,+∞上恒成立，

∵2

2

1124x x x ?

?-+=--+ ??

?，∴14m ≥，

所以m 取值范围是1,4??

+∞????

.