北京市高考数学试卷(理科)(解析版)
2015年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（5分）（2015?北京）复数i（2﹣i）=（）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
2．（5分）（2015?北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）
A．0B．1C．D．2
3．（5分）（2015?北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）
A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）4．（5分）（2015?北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分不要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）（2015?北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A．2+B．4+C．2+2D．5
6．（5分）（2015?北京）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则若a1+a2＜0，
D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 C．若若0＜a
1＜a2，则a2
7．（5分）（2015?北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）
A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2} 8．（5分）（2015?北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）（2015?北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）
10．（5分）（2015?北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．
11．（5分）（2015?北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为．
12．（5分）（2015?北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．
13．（5分）（2015?北京）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x=，y=．
14．（5分）（2015?北京）设函数f（x）=，
①若a=1，则f（x）的最小值为；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．
三、解答题（共6小题，共80分）
15．（13分）（2015?北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．
16．（13分）（2015?北京）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A组：10，11，12，13，14，15，16
B组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17．（14分）（2015?北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥BE．
（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．
18．（13分）（2015?北京）已知函数f（x）=ln，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）；
（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．19．（14分）（2015?北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）
和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．
20．（13分）（2015?北京）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=
（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．
（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；
（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．
2015年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（5分）（2015?北京）复数i（2﹣i）=（）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则解答．
解答：解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；
故选：A．
点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意i2=﹣1．