三角函数图像变换专题练习试卷及解析
三角函数图像变换专题练习试卷及解析
1.2013年安徽省安庆一中高三第三次模拟考试数学文科试题第8题 将函数2
()1cos 22sin ()6
f x x x π
=+--
的图象向左平移(0)m m > 个单位后所得的图象
关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）
A. 6π
B. 12π
C. 3π
D. 2
π
2.2014年湖北稳派教育高三上学期强化训练（三）理科数学试题第6题 将函数cos 2y x =的图象向右平移
6
π
个单位长后与直线()10y m m =-≠相交，记图象在y 轴右侧的第()
*n n N ∈个交点的横坐标为n a ，若数列{}n a 为等差数列，则所有m 的可能
值为（ ） A. 1± B. 2± C. 1或2 D. 1-或2
3.2013年广西贵港市平南县六陈高级中学高三5月模拟考试数学理试题第10题 函数2
cos ()4
y x π
=+
的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >，所得图象关于y 轴对称，则
a 的最小值为（ ）
A. π
B. 34
π C.
2π D. 4
π
4.2013年甘肃省兰州市高三第一次（3月）诊断考试理科数学试卷第10题 将函数()2sin()(0)3
f x x π
ωω=->的图象向左平移
3π
ω
个单位，得到函数()y g x = 的图象．若 ()y g x =在[0,]4
π
上为增函数，则ω 的最大值为( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
5.2013年江苏省淮安市涟水县涟西中学高二下期末考试数学试题第5题 下面四个命题： ①把函数3sin(2)3
y x π
=+
的图象向右平移
3
π
个单位，得到3sin 2y x =的图象;
②函数2
()ln f x ax x =-的图象在1x =处的切线平行于直线y x =，则)+∞是()f x 的单调递增区间;
③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1:3;
④“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的充分不必要条件； 其中所有正确命题的序号为________
6.2014年福建省三明市高三5月质量检查理科数学试题第19题
若函数()sin cos (,)f x a x b x a b R =+∈，非零向量(,)m a b =，我们称m 为函数()f x 的“相伴向量”，()f x 为向量m 的“相伴函数”.
(1)已知函数22()(sin cos )2cos 2(0)f x x x x ωωωω=++->的最小正周期为2π，求函
数()f x 的“相伴向量”；
(2)记向量n =的“相伴函数”为()g x ，将()g x 图象上所有点的横坐标伸长到原来
的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象上所有点向左平移23
π
个单位长度，得到函数()h x ，若6(2),(0,)352
h π
π
αα+
=∈，求sin α的值； (3)对于函数()sin cos 2x x x ?=，是否存在“相伴向量”？若存在，求出()x ?“相伴向量”；若不存在，请说明理由.
7.2014学年上海市金山中学高一下学期期末考试数学试卷第21题
已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<的周期为π，且()04
f π
= ，将函数()f x 图
像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移2
π
个单位长度后得到函数()g x 的图像.
(1)求函数()f x 与()g x 的解析式；
(2)是否存在0(,)64x ππ∈，使得00(),(),()6
f x
g x f π
按照某种顺序成等差数列？若存在，
请求出0x 的值，若不存在，说明理由；
(3)求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点．
8.2015年北京市顺义区高三期末统一测试数学理科试题第20题
对于定义域分别是,M N 的函数(),()y f x y g x ==，规定：函数
(Ⅰ)如果函数1(),()4934(31)
x x
f x
g x =
=?--，写出()h x 的解析式；
(Ⅱ)求(Ⅰ)中函数()h x 的值域；
(Ⅲ)如果()()g x f x α=+，其中α是常数，且[0,]απ∈，请设计一个定义域为R 的函数
()y f x =及一个α的值，使得1()sin(4)23
h x x π
=-，并予以证明．
9.2014年福建省三明市高三5月质量检查文科数学试题第21题
设向量1212(,),(,)a a a b b b ==，定义一种向量积12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ?=?=． 已知向量1
(2,)2
m =，(
,0)3
n π
=，点00(,)P x y 为sin y x =的图象上的动点，点(,)Q x y 为
()y f x =的图象上的动点，且满足OQ m OP n =?+(其中O 为坐标原点)．
(1)请用0x 表示m OP ?；
(2)求()y f x =的表达式并求它的周期；
(3)把函数()y f x =图象上各点的横坐标缩小为原来的
1
4
倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象.设函数()()()h x g x t t R =-∈，试讨论函数()h x 在区间[0,
]2
π
内的零点个
数.
答案和解析
1.2013年安徽省安庆一中高三第三次模拟考试数学文科试题第8题 答案：B
分析：因为
23()1cos 22sin ()cos 2cos(2)cos 22)
6323
f x x x x x x x x πππ
=+--=+-=+=+则()f x 的图象向左平移(0)m m >
个单位后使得图象的解析式为
()2)3
f x x m π
=++， 由题意得23
2
m k π
π
π+=+
，k Z ∈，∴m 最小值12
π=
． 故选B ．
2.2014年湖北稳派教育高三上学期强化训练（三）理科数学试题第6题 答案：C
分析：将函数cos 2y x =的图象向右平移
6
π个单位长得cos 2()cos(2)63y x x ππ=-=-，
由题意知，1y m =-与函数cos(2)3
y x π
=-的图象的最高点或最低点相交时满足题意，此
时10m -=或11m -=得即1m =或2m =，故选C.
3.2013年广西贵港市平南县六陈高级中学高三5月模拟考试数学理试题第10题 答案：D
分析：21cos(2)1sin 2112cos ()sin 242222x x y x x π
π++-=+===-，函数向右平移个单位得到函数为1111
sin 2()sin(22)2222y x a x a =--=--，要使函数的图象关于y 轴对称，
则有2,2a k k Z ππ-=+∈，即,42k a k Z ππ=--
∈，所以当1k =时，得a 的最小值为4
π
，
故选D 。
4.2013年甘肃省兰州市高三第一次（3月）诊断考试理科数学试卷第10题 答案：C
分析：将函数()2sin()(0)3
f x x π
ωω=-
> 的图象向左平移
3π
ω
个单位，得到函数2()sin ()sin()333y g x x x πππωωω?
?==--=-???
? ，因为函数()y g x = 在[0,4π]上为增函
数所以2ω… ，所以ω 的最大值为2.
5.2013年江苏省淮安市涟水县涟西中学高二下期末考试数学试题第5题 答案：②③
分析：根据题意，由于①把函数3sin(2)3
y x π
=+的图象向右平移
3
π
个单位，得到3sin(2())3sin(2)3
3
3
y x x π
π
π
=-
+
=-
不是
3sin 2y x =的图象，错误
②函数2
()ln f x ax x =-的图象在1x =处的切线平行于直线y x =，则(
)2
+∞是()f x 的单调递增区间;则根据导数可知13
()2,(1)1,4
f x ax f a x ''=-
==，可知成立；
③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为半径的平方比，因为半径比为故成立； ④“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的充分不必要条件；应该是充要条件，故错误，故答案为②③
6.2014年福建省三明市高三5月质量检查理科数学试题第19题 答案：见解析
分析：(1)22()(sin cos )2cos 2f x x x x ωωω=++-
22sin cos sin 21cos 22x x x x ωωωω=++++- sin 2cos 2x x ωω=+
)4x π
ω=+
依题意得222ππω=，故1
2
ω= ∴()sin cos f x x x =+，即()f x 的“相伴向量”为(1,1)
(2)依题意，()cos 2sin()6
g x x x x π
=+=+
将()g x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到函数12sin()2
6
y x π
=+
再将所得的图象上所有点向左平移23π个单位长度，得到12()2sin[()]236
h x x ππ
=+
+， 即11
()2sin()2cos 222h x x x π=+
=
∵6(2)35h πα+=，∴3
cos()65πα+=，
∵(0,)2πα∈，∴2(,
)663πππα+∈，∴4
sin()65
πα+=
∴3
[()]()cos()666666
10
sin sin sin cos sin π
πππππ
αααα=+
-=+-+=
(3)若函数()sin cos 2x x x ?=存在“相伴向量”
， 则存在,a b ，使得sin cos 2sin cos x x a x b x =+对任意的x R ∈都成立， 令0x =，得0b =，
因此sin cos 2sin x x a x =，即sin 0x =或cos 2x a =， 显然上式对任意的x R ∈不都成立，
所以函数()sin cos 2x x x ?=不存在“相伴向量”．
7.2014学年上海市金山中学高一下学期期末考试数学试卷第21题 答案：见解析
分析：(1)由函数()sin()f x A x ωφ=+的周期为π可得，
2ω=，又由()04
f π
=，0φπ<<得2
π
φ=
，所以()cos 2f x x =；将函数()f x 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍
（保持纵坐标不变）后可得cos y x =的图像，再将cos y x =的图象向右平移2
π
个单位长度后得到函数()sin g x x =.
(2)假设存在，当(,)64x ππ∈时，1sin 2x <<，10cos 22x <<，又1()62f π=，则
00()()()6g x f f x π>>，所以00()()2()6
g x f x f π
+=，即00sin cos21x x +=，化简得
0sin 0x =或01sin 2x =
与01sin 2x <<矛盾，所以不存在0(,)64x ππ∈，使得00(),(),()6
f x
g x f π
按照某种顺序成等差数列. (3)令()()()0F x f x ag x =+=，即cos2sin 0x a x +=，当sin 0x =时，显然不成立；当sin 0x ≠时，
cos 21
2sin sin sin x a x x x =-
=-，令s i n t x =，则当[0,2]x π∈时，[1,1]t ∈-.由函数12,[1,1]a t t t =-∈-及sin ,[0,2]t x x π=∈的图像可知，当1a =±时，1
2sin sin a x x
=-在
[0,2]x π∈内有3个解.再由2013
6713
=可知，26711342n =?=，综上所述，1,1342a n =±=.
8.2015年北京市顺义区高三期末统一测试数学理科试题第20题 答案：见解析
分析：（Ⅰ）由函数1(),()4934(31)
x x
f x
g x =
=?--得
{|0,},M x x x R N R =≠∈=．
所以493
,0,()4(31)
1,0.x x
x h x x ??-≠?=-??=?
（Ⅱ）当0x >时
24934(31)8(31)1
()4(31)4(31)
x x x x x
h x ?-?-+-+==-- 1
[13]21,4(13)
x
x
=--+
+≤- 当且仅当3log 2x =-时，等号成立 所以()h x 的值域为{||1y y ≤或3}y ≥
（Ⅲ）由函数()y f x =的定义域为R 得()()g x f x a =+的定义域也为R ，
所以对任意x R ∈，都有()()()h x f x g x =?，即对任意x R ∈，都有
1s i n (4)()().23
x f x f x a π
-=?+ 因为1sin(4)sin(2)cos(2)2366
x x x πππ-=--，
所以令()sin(2)6
f x x π
=-，且4
a π
=
即可．
9.2014年福建省三明市高三5月质量检查文科数学试题第21题 答案：见解析
分析：(1)000011
(2,
)(2,sin )22
m OP x y x x ?==， (2)∵OQ m OP n =?+，
所以000011
(,)(2,
sin )(,0)(2,sin )2332
x y x x x x ππ=+=+
因此00
231sin 2
x x y x π?
=+????=??即0032sin 2x x x y π?-?
?=??
=??
所以11()sin()226
y f x x π
==
-，它的周期为4π (3)1()sin(2)26g x x π=-在[0,]3π上单调递增，在[,]32ππ
上单调递减，
又111
(0),(),()43224g g g ππ=-==
当12t =或11-44t ≤<，函数()h x 在区间[0,]2π
内只有一个零点；
当1142t ≤<时，函数()h x 在区间[0,]2
π
内有两个零点； 当14t <-或14t >时，函数()h x 在区间[0,]2
π
内没有零点．