数列的通项与求和

第2讲 数列的通项与求和

【命题规律分析】

通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，数列的概念中主要考查数列的项、项数、求通项公式、n a 与n S 的关系，由数列的递推关系求通项时，通常将其变形成等差数列、等比数列，或与函数的周期性等有关的问题.其中，选择题、填空题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n 项和公式为载体，结合等差数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查，常与函数、不等式、解析几何等内容相结合，通过递推式求通项或前n 项以及证明有关式子.由于数列与正整数有关，有时会结合数学归纳法进行证明.

【知识回顾】 一、数列通项

数列通项公式的求法：()1观察分析法；()2公式法：()()

1

112n n n S n a S S n -=??=?

-≥??；

()3转化成等差、等比数列；()4累加、累乘法 ；()5递推法.

二、数列的求和

1.基本公式法：

()1等差数列求和公式：()()

11122

n n n a a n n S na d +-=

=+ ()2等比数列求和公式：()111,

11,111n n n na q S a q a a q

q q q =??

=-?-=≠?

--?

()3()()2221

121216n n n n +++=++ ；

()4()23333

112314n n n ++++=+???? ； ()50122n

n n n n n C C C C ++++= . 2.错位相消法：

给12n n S a a a =+++ 各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互

抵消，最后得出前n 项和n S .

一般适应于数列{}n n a b 的前n 项求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列.

3.分组求和：

把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和. 4.拆项（裂项）求和：

把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和. 常见的拆项公式有：

()1若{}n a 是公差为d 的等差数列，则

111111n n n n a a d a a ++??

=- ???

； ()2()()1111212122121n n n n ??

=- ?-+-+??

；

()3()()()()()1111

122112n n n n n n n ??=-??+++++??；

()

41

a b

=-；

()

51

k =；

()611m m m n n n C C C -+=-；

()7()!1!!n n n n ?=+-；

()811,

1,2n n

n S n a S S n -=?=?

-?≥. 5.倒序相加法：

根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的.

【考点剖析】

考点一 数列的通项公式与递推公式

例1、根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式．

（1）－213?，435?，－857?，16

79

?，…；

（2）1，2，6，13，23，36，…；

选题意图：本题考查观察法求通项公式

例2、11121n n n a a a n a +==+-已知，，求. 选题意图：本题考查累加法求通项

变式训练1：已知数列{}n a 满足211=a ，n

n a a n n ++=+211，求n a .

例3、11.231

n n n n

a a a a n +=

=+，，求 选题意图：本题考查累乘法求数列的通项

例4、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 选题意图：本题考查一阶递推式求数列通项（构造新数列法）

变式训练2：1133

,,.521

n n n n a a a a a +==+求

例5、已知数列{a n }中，a 1=1，S n =

1

211

+--n n S S ，求{a n }的通项公式．

选题意图：本题考查由1--=n n n S S a 求通项

变式训练：已知正数数列{a n }的前n 项和S n =???

? ?

?

+

n

n a a 121，求{a n }的通项公式．

考点二 数列的求和

例6、求和)1(3221+++?+?=n n S n

选题意图：本题考查分组求和法

变式训练：求数列 ,1,,1 ,1 ,1 1

22-+++++++n a a a a a a 的前n 项和S n .

]1)1([11)]([11 11111122a

a a n a a a a n a a a a a a a S n n

n n ----=+++--=--++--+--= 于是

例7、求和)

12)(12(1

751531311+-+

+?+?+?=

n n S n 选题意图：本题考查裂项相消法求和

变式训练：求和：n

++++++++++

211

32112111

变式训练：求数列

???++???++,1

1,

,3

21,

2

11n n 的前n 项和.

例8、求和)0(32112≠++++=-a na a a S n n 选题意图：本题考查错位相减法求和.（注意a 的取值）

例9、求和n

n n n n n nC C C C S ++++= 32132 选题意图：本题考查倒序相加法求和

考点三 数列的应用

例10、一辆邮政车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（包括起点站A 和终点站B ），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列{a k }（k ＝1，2，3，…，n ）． 试求：（1）a 1，a 2，a 3；（2）邮政车从第k 站出发时，车内共有邮袋多少个？ 选题意图：本题考查学生的分析问题，建立数学模型的能力 难度分级：B 解析：（1）由题意得a 1＝n －1，a 2＝（n －1）＋（n －2）－1＝2n －4，

a 3＝（n －1）＋（n －2）＋（n －3）－1－2＝3n －9. （2）在第k 站出发时，放上的邮袋共：（n －1）＋（n －2）＋…＋（n －k ）个，

而从第二站起，每站放下的邮袋共：1＋2＋3＋…＋（k －1）个， 故a k ＝（n －1）＋（n －2）＋…＋（n －k ）－[1＋2＋…＋（k －1）]

＝kn －12k （k ＋1）－1

2

k （k －1）＝kn －k 2（k ＝1，2，…，n ），

即邮政车从第k 站出发时，车内共有邮袋个数为kn －k 2（k ＝1，2，…，n ）． 例11、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且34135=+a a ，93=S . （1）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和公式； （2）设数列}{n b 的通项公式为n

n n a b a t

=

+，问：是否存在正整数t ，使得12,,(3,)m b b b m m ≥∈N 成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由． 选题意图：本题考查数列的综合应用 答案解析：（1）设等差数列{a n }的公差为d .

由已知得????? a 5＋a 13＝34，3a 2＝9，即????? a 1＋8d ＝17，a 1＋d ＝3，解得?

????

a 1＝1，

d ＝2.

故a n ＝2n －1，S n ＝n 2

.

（2）由（1）知b n ＝2n －1

2n －1＋t

.

要使b 1，b 2，b m 成等差数列，必须2b 2＝b 1＋b m ，

即2×33＋t ＝11＋t ＋2m －12m －1＋t ，整理得m ＝3＋4

t －1，

因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.

当t ＝2时，m ＝7；当t ＝3时，m ＝5；当t ＝5时，m ＝4. 故存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m 成等差数列．

例12、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211

22

n S n n =+.数列{}n b 满足2120()n n n b b b n N ++-+=∈，且115=b ，

153921=+++b b b .

（1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （2）设)

12)(112(3--=

n n n b a c ，数列}{n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57k T n >对一切*

n ∈N 都成立的

最大正整数k 的值．

选题意图：本题考查数列的综合应用 答案解析：（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝????12

n 2＋112n －2

111(1)(1)2

2

n n ??-+-????

＝n ＋5. 而当n ＝1时，n ＋5＝6，∴a n ＝n ＋5.

又b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0，即b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1－b n ，

∴{b n }是等差数列，又b 3＝11，b 1＋b 2＋…＋b 9＝153， 解得b 1＝5，d ＝3.∴b n ＝3n ＋2.

（2）c n ＝()()31(211)(21)2121n

n

a b n n =

---+＝12???

?12n －1－12n ＋1 ∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝12????????1－13＋????13－15＋…＋????12n －1－12n ＋1＝

n

2n ＋1.

∵T n ＋1－T n ＝n ＋12n ＋3－n 2n ＋1＝1

2n ＋3 2n ＋1

＞0，

∴T n 单调递增，故（T n ）min ＝T 1＝1

3

.

令13＞k

57

，得k ＜19，所以k max ＝18. 【课后作业】

1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12n

n S S S T n

+++=

，称n T 为数列1a ，2a ，…，n a 的“理想数”，已

知数列1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，那么数列2， 1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为

（ ）

A ．2002

B ．2004

C ．2006

D ．2008

2．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）

A ．165-

B ．33-

C ．30-

D ．21-

3.数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为

4.设4()42x

x f x =+，则

1231011111111f f f f ????????

++++= ? ? ? ?????????

. 5.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1

{+n a n

的前n 项和的公式是 .

6.设数列{}n a 的前n 项和为S n ，满足12211+-=++n n n a S ，n ∈N ﹡

，且1a ，25a +，3a 成等差数列．

（1）求1a 的值；

（2）求数列{}n a 的通项公式．

（3）证明：对一切正整数n ，有2

311121<+++n a a a .

7. 已知数列{}n a 的前n 项和kn n S n +-=2

2

1，*N k ∈，且S n 的最大值为8. （1）确定常数k ，求n a ；

（2）求数列922n n

a -??

????

的前n 项和T n .

8.（1）已知数列{}n a 中，3

1

1=

a ，前n 项和n S 与n a 的关系是n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a . （2）已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1

211

≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a .

9.（1）已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求.242n a a a +++ （2）已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 满足：1

,,2

n n n a S S -)2(≥n 成等比数列，且11=a ，求数列{}n a 的前n 项和n S .

10.设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n

n

n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n .

【参考答案】 1.【答案】A

【解析】认识信息，理解理想数的意义有：

123500123500

50049949850125004994982004,2002.500501

a a a a a a a a ++++?+++++=

∴=

2.【答案】C

【解析】由已知4a ＝2a +2a ＝ -12，8a ＝4a +4a ＝－24，10a =8a +2a = -30，选C ．

3.【答案】1830

【解析】由12)1(1-=-++n a a n n n 得，

12]12)1[()1(12)1(112++-+--=++-=-++n n a n a a n n n n n n

12)12()1(++--+-=n n a n n ，

即1212)1(2++--=++n n a a n

n n ）（， 也有3212)1(13+++--=+++n n a a n n n ）（，

两式相加得44)1(2321++--=++++++n a a a a n n n n n ，

设k 为整数，则41414243442(1)4(41)416`10k k k k k a a a a k k ++++++++=--+++=+， 于是14

14

60414243440

()(16`

10)1830k k k k K K S a a a a k ++++===+++=+=∑∑. 4.【答案】5

【解析】由()()11=+-x f x f ，整体求和，所求值为5． 5.【答案】1

2

2n +-

【解析】1

(1)n n y nx n x -'=-+，

曲线)1(x x y n -=在x=2处的切线的斜率为12(1)2n n k n n -=-+，切点为()

2,2n -， 所以切线方程为()22n y k x +=-， 令x=0得()12n n a n =+， 令21n n n a b n =

=+.数列?

??

???+1n a n 的前n 项和为231222222n n +++++=- . 6.【解析】（1）12112221,221n n n n n n S a S a +++++=-+=-+ 相减得：12132n n n a a +++=+

12213212323,34613S a a a a a a =-?=+=+=+， 123,5,a a a +成等差数列13212(5)1a a a a ?+=+?=

（2）121,5a a ==得132n n n a a +=+对*

n N ?∈均成立，

1113223(2)n n n n n n n a a a a +++=+?+=+得：

122112123(2)3(2)3(2)32n n n n n n n n n n a a a a a -----+=+=+==+?=-

（3）当1n =时，

11312a =< 当2n ≥时，23311()()232222

2

2

n

n n n

n n n a a ≥>?>??>?

< 故

231211111111311222222

n n n a a a +++<++++=+-< 由上式得：对一切正整数n ，有

121113

2

n a a a +++< 7.【解析】（1）当n k N *

=∈时，2

12

n S n kn =-

+取最大值， 即22211

822

k k k =-

+=，故4k =， 从而19

(2)2

n n n a S S n n -=-=-≥，

又1172a S ==，所以9

2n a n =-

（2）因为1

9222

n n n n a n

b --==， 1222123112222n n n n n n

T b b b ---=+++=+++++

故212111112

22144222222

n n n n n n n n n n n T T T -----+=-=++++-=--=-

8.【解析】（1）首先由n n a n n S )12(-=易求得递推公式：1(21)(23)n n n a n a -+=-，

123

21

n n a n a n --∴

=

+， 12223125271

,,,,21235

n n n n a a a n n a n a n a ------∴

===-- 将上面n -1个等式相乘得： 1(23)(25)(27)313(21)(21)(23)75(21)(21)n a n n n a n n n n n ---?==+--?+- ， 1

(21)(21)

n a n n =

+-.

（2）由题意得：?+=-2111n n a a 2111

=--n n a a ，

1113(1)22.2

n n n a a ∴

=+-?=-2.43n a n ∴=

- 9.【解析】（1）首先由31452

91010110=?=??+

=d d

a S ， 则12(1)32322n n n a a n d n a =+-=-?=?-，

2

2423(222)2n n

a a a n ∴+++=+++- 12(12)

32322612

n n n n +-=-=?---

（2）由题意：2

1()2

n n n S a S =-，

1n n n a S S -=- ，故2

11111

()()()22

n n n n n n n n S S S S S S S S ---=--?

-=， 11

11112(1)221n n n n n S S S S -∴

-=?=+-=- 1

21

n S n ∴=

- 10.【解析】（Ⅰ）当1n =时，112a S ==；

当2n ≥时，22122(1)42n n n a S S n n n -=-=--=-，

故{a n }的通项公式为42n a n =-即{}n a 是12a =，公差4d =的等差数列. 设{b n }的通项公式为11n n b b q -=，则11b qd b =，4d =∴1

4

q =. 故.4

2}{,4

121

1

1

1---=?

==n n n n n n b b q

b b 的通项公式为即

（Ⅱ）,4)12(42411

---=-==n n n

n n n n b a c

12112[13454(21)4]n n n T c c c n -∴=+++=+?+?++- 2314[143454(23)4(21)4]n n n T n n -=?+?+?++-+- ，

两式相减得

12311

312(4444)(21)4[(65)45]3

n n n n T n n -=--+++++-=-+ ，

1

[(65)45]9

n n T n ∴=-+.

求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)

数列的通项公式与求和 112342421 {},1(1,2,3,)3 (1),,{}.(2)n n n n n n a n S a a S n a a a a a a a +===+++L L 数列的前项为且，求的值及数列的通项公式求 1112 {},1(1,2,).:(1){ };(2)4n n n n n n n n a n S a a S n n S n S a +++== ==L 数列的前项和记为已知，证明数列是等比数列 *121 {}(1)()3 (1),; (2):{}. n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列 11211 {},,.2n n n n a a a a a n n +==++ 已知数列满足求 练习1 练习2 练习3 练习4

112{},,,.31n n n n n a a a a a n += =+ 已知数列满足求 1 11511{},,().632n n n n n a a a a a ++==+ 已知数列中,求 1 11{}:1,{}. 31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足，求数列的通项公式 练习8 等比数列 {}n a 的前n 项和S ｎ ＝2ｎ －１，则 2 232221n a a a a ++++Λ 练习9 求和：5，55，555，5555，…，5(101)9n -，…； 练习5 练习6 练习7

练习10 求和： 111 1447(32)(31) n n +++ ??-?+ L 练习11 求和： 111 1 12123123n ++++= +++++++ L L 练习12 设{} n a 是等差数列， {} n b 是各项都为正数的等比数列，且11 1 a b == ，35 21 a b += ， 5313 a b += （Ⅰ）求{} n a ， {} n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列 n n a b ?? ?? ??的前n项和n S．

求数列通项公式及求和的基本方法

求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且* 1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项 公式 12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 2.累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 已知112a =,112n n n a a +??=+ ??? * ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-* ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =.

反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=. 4.构造新数列: 类型1 )(1 n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++ =+2 11 ，求n a 1131122n a n n =+-=- 解： 类型2 n n a n f a )(1 =+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。23n a n = 解： 变式:（全国I,）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n } 的通项1 ___n a ?=? ? 12 n n =≥ 2 ! n a n = )2(≥n

求数列通项公式和前n项和的常用方法(含高考题精选)

求数列通项公式和前n 项和的常用方法 一、求数列通项公式的常用方法 1.公式法：等差数列或等比数列的通项公式。 2.归纳法：由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。 3.累乘法:利用3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥型如: 1()n n a g n a += 4.构造新数列: 类型1累加法 )(1n f a a n n +=+ 类型2 累乘法 n n a n f a )(1=+ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。解法（待定系数法）：把原递 推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，转化为等比数列求解。 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ） 。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 解法：先在原递推公式两边同除以1 +n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 1 1+=+再待定系数法解决。 类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：1.利用?? ?≥???????-=????????????????=-) 2() 1(11n S S n S a n n n 2.升降标相减法 二、数列求和的常用方法 1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和 （1）等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 2.错位相减法 设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则求数列{}n n b a 的前n 项和n S 。 3.裂项求和法 （1）1 1 1)1(1+- =+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 等。4.分组求和法：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为 几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 5.逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

数列的通项公式与求和的常见方法

数列的通项公式与求和 的常见方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =， 12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =， 110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-， 13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ，n a a n n 21+=+， * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11 ln(1)n n a a n +=++， 求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数， )0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可 得数列λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新 的等差数列。 例：已知数列{}n a 满足11a =， 122 n n n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11，即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 21 )12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；

数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结

数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 （1）若已知数列的第1项（或前项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法. （2）数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，可以用一个公式()n a f n =来表示，那么n a 就是数列 的通项公式. 注：①并非所有的数列都有通项公式； ②有的数列可能有不同形式的通项公式； ③数列的通项就是一种特殊的函数关系式； ④注意区别数列的通项公式和递推公式. 题型归纳及思路提示 题型1 数列通项公式的求解 思路提示 常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用n S 与n a 的关系求解. 观察法 根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项. 利用递推公式求通项公式 ①叠加法：形如1()n n a a f n +=+的解析式，可利用递推多式相加法求得n a ②叠乘法：形如1()n n a f n a -= (0)n a ≠*(2,)n n N ≥∈的解析式， 可用递推多式相乘求得n a ③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列 构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法. 利用n S 与n a 的关系求解 形如 1(,)()n n n f S S g a -=的关系，求其通项公式，可依据 1* 1(1)(2,) n n n S n a S S n n N -=? =?-≥∈?，求出n a 观察法 观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(1)n -或者1 (1) n -- 部分.②考虑各项的变化 规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{}2 n 、{}2n 与(1) n -有 关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列. 例6.20写出下列数列的一个通项公式： （1）325374 ,,,,,,;751381911 - --L

数列求通项与求和总结(精)

数列求和方法 等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和. 下面我们结合具体实例来研究求和的方法. 一、直接求和法（或公式法） 将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n 项和公式求得. 例1 求22222222 12345699100-+-+-+--+L ． 解：原式2 2 2 2 2 2 2 2 (21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=++++L L ． 由等差数列求和公式，得原式50(3199) 50502 ?+= =． 二、倒序相加法 此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和. 例2 求2222 2 222 2222123101102938101 ++++++++L 的和． 分析：由于数列的第k 项与倒数第k 项的和为常数1，故采用倒序相加法求和． 解：设2222 2 2222222123101102938101 S =++++++++L 则2222 2 222 2222109811012938101 S =++++++++L ． 两式相加，得 2111105S S =+++=∴=L ， ． 小结：对某些具有对称性的数列，可运用此法. 三、裂项相消法 如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n 项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k 项之积，且分子为常数的分式型数列的求和. 例3 已知2 2 2 1 12(1)(21)6 n n n n +++= ++L ， 求 22 2222222 35721()11212312n n n * +++++∈++++++N L L 的和． 分析：首先将数列的通项公式化简，然后注意到它可写成两项的差，在求和的过程中，中间的项相 互抵消了，从而可求出原数列的前n 项和. 解：222 21216 112(1)(1)(21)6 n n n a n n n n n n ++= ==++++++Q L ，

数列的通项公式与求和的常见方法

常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +-=* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，1 3n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =，110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-，13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=* ()n N ∈，求数 列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++* ()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足2 11=a ，n a a n n 21+=+，* ()n N ∈求 数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2 51n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可得数列 λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{} n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列 {}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-* ()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数 列。 例：已知数列{}n a 满足11a =，122 n n n a a a += +*()n N ∈， 求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已 知 数 列 {} n a 满 足 11 a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， * ()n N ∈，求数列{}n a 的 通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{} n b （0n b ≠* n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b =求数列{}n c 的通 项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ=-++11，即数列? ? ????n n p a 为以p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数 列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1 15 5+++=n n n a a ，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的 前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2232221n a a a a ++++Λ. 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 232 1 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 2 1 )12(+ +=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求ο ο ο ο 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2+???+++ο 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设n n n b a c = ，求数列}{n c 的前n 项和n T . 类型五：裂项相消法 例.已知数列}{n a 中，) 2(1 += n n a n ，求n S . 1.求数列 1 1 ,,321,211++???++n n 的前n 项和. 2.在数列}{n a 中，1 1211++???++++=n n n n a n ， 又1 2 +?=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项的和. 3.求和 求数列的通项与求和作业 1.已知数列}{n a 的首项11=a （1）若12n n a a +=+，则n a =__________； （2）若12n n a a +=，则n a =_________ 1 11{}:1,{}.31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足，求数列的通项公式

数列通项和求和

第三讲（数列三） 本讲主要内容：数列通项和前n 项和 第一部分：旧知识复习 ①（（ 2.右的第三个数位________________ 【知识笔记】： ② 叠加法3.已知数列{}n a 满足* 132() n n a a n n N +=++∈，且12a =，求n a _____ 【知识笔记】： ４.已知数列{}n a 中，*112,2()n n n a a a n N +==+∈，求n a ______________

5.在数列{}n a 中，121,2,a a ==且11(1)(2,0)n n n a q a qa n q +-=+-≥≠ （1）设 * 1()n n n b a a n N +=-∈，证明：{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式。 【知识笔记】： ③ ____ 7. ④*)N ， 9. ⑤ 倒数法 10.数列{}n a 中，1121,2n n n a a a a +== +，求n a _________ 【知识笔记】： 11.已知数列{}n a 中，1111,21 n n n S a S S --== +，求通项公式______________

⑥ 构造辅助数列 12.已知数列{}n a 满足1111,12 n n a a a +==+ ，求其通项公式 【知识笔记】： 13.在数列{}n a 中，*112,431,n n a a a n n N +==-+∈，求n a ______________ 14. (①的n S ② 2x 图 ③ 令 （n n n 【知识笔记】： ④ 倒序相加法 18.已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，求 1 2 1231 ...n n n n n n n S C a C a C a C a +=++++ 【知识笔记】：

数列求通项公式及求和9种方法

数列求通项公式及求和 9种方法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a 的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都 有2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通项公式． （二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =

1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??，检验1n =的情况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知2 11=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列 {}n a 满足1 2 n n n a a n +=+，且32 1=a ，求n a .

求数列通项公式与数列求和精选练习题(有答案)

数列的通项公式与求和 1 练习1数列佝｝的前n项为S n，且a =1, a ni=-S n(n =1,2,3,) 3 (1) 求a2,a3, a4B值及数列｛a n｝的通项公式. (2) 求a2a4一-玄 n ■ 2 练习2 数列｛a n｝的前n项和记为S n，已知a^1, 3n1 6(n = 1,2,…)?证明: n (1) 数列｛§L｝是等比数列； n (2) S n 1 = 4a n 1 * 练习3 已知数列｛a n｝的前n项为S n，S n = —@n -1)(门，N ) 3 (1)求耳忌 ⑵求证：数列｛a n｝是等比数列.

1 1 已知数列｛a n ｝满足 @ = — ,a n1 =a n ? - ,求a n . 2 n +n 练习5 已知数列 ｛an ｝ 满足?岭…&an,求歸 5 1 1 n * 练习6已知数列?｝中,印 ,a n 1 a n - H),求a n . 6 3 2 练习7已知数列｛a n ｝满足:a n 色^ , a , =1,求数列｛a n ｝的通项公式 3色」+1 ｛ ｝ 2 十2十2+…十2 等比数列 ｛a n ｝ 的前n 项和S n = 2n - 1,则a1 a 2 a 3 a n 5 (10n -1) 练习 9 求和：5, 55, 555, 5555，…，9 练习4 练习

练习10 求和： + +… + 1 4 4 7 (3n - 2) (3n 1) ’ 1 1 1 1 练习11 求和： 1 2 12 3 12 3 n 练习12 设 ｛a n ｝ 是等差数列， ｛b n ｝ 是各项都为正数的等比数列，且 = b^=1 , fa 1 a 5 b 3 =13 (I)求 ｛a n ｝ , ｛ b n ｝ 的通项公式；(H)求数列? 的前门项和S n . Sb = 21

数列的通项及求和公式

数列的通项及求和公式专题课内导学案11 一、基本公式法：等差数列，等比数列。 例1、（1）若{}n a 是等差数列，公差0d ≠， 236,,a a a 成等比，11a =，则n a =_________。 （2）若{}n a 是等比数列，243,,a a a 成等差， 13a =，则n a =_________。 二、已知n S 求n a ：11 (2) (1)n n n S S n a S n --≥?=? =?。 类型1、（1）已知2 1n S n n =++，求n a 。 （2）已知101n n S =-，求n a 。 类型2、（1）已知32n n S a =-，求n a ； （2）已知3 32 n n S a =-，求n a ； （3）已知22n n S a +=，求n a 。 类型3、（1）2 24n n n a a S +=，0n a >，求n a ； （2）2 1056n n n S a a =++，0n a >，求n a ； （3）2111 424 n n n S a a = ++，0n a >，求n a 。 类型4、（1）11a =，12n n a S +=，求n a ； （2）11a =，12n n S a +=，求n a ； （3）13a =，11n n S a +=+，求n a 。

类型5、（1）122n n a a a ++???+=，则n a =_____ （2）123n a a a a n ?????=，则n a =_____ （3）12323n a a a na n +++???+=，则n a =_____ （4） 3 12123n a a a a n n +++???+=，则n a =_____ （5）231233333n n a a a a n +++???+=，n a =___ 三、形如1()n n a a f n +-=的递推数列求通项公式，使用累加法。 例1、（1）数列{}n a 中满足12a =，1n n a a n +=+，求n a 的通项公式。 （2）已知数列{}n a 中满足13a =， 12n n n a a +=+，求n a 的通项公式。 （3）求数列2,4,9,17,28,42,???的通项公式。 四、形如 1 ()n n a f n a +=的递推数列求通项公式，使用累乘法。 例1、（1）数列{}n a 中满足15a =，12n n n a a +=?， 求n a 的通项公式。 （2）数列{}n a 中满足14a =，11 n n n a a n +=?+，求n a 的通项公式。 （3）112a = ，111 n n n a a n --=+（2n ≥），求n a 的通项公式。 五、构造法 例1、（1）14a = 2=，求n a ； （2）14a =，22 12n n a a +-=，求n a ； （3）14a =， 144 2n n a a +-=，求n a ； （4）12a =，112(1)n n a a +-=-，求n a ； （5）11a =，1(1)3n n n a na ++=，求n a ； （6）11a =，121n n a a n n +-=+，求n a 。

数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型 一、n S 是数列{}n a 的前n 项的和 1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-≥? 【方法】： “1n n S S --”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n 的值 (如1n =的情况 【例1】.（1）已知正数数列{}n a 的前n 项的和为n S ， 且对任意的正整数n 满足1n a =+，求数列{}n a 的 通项公式。 （2）数列{}n a 中，11a =对所有的正整数n 都 有2123n a a a a n ????=，求数列{}n a 的通项公式 【作业一】 1－ 1. 数 列 {} n a 满足 2 1 *123333()3 n n n a a a a n N -+++ +=∈，求数列{}n a 的通 项公式．

（二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-? ?， 检验1n =的情况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1 n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知21 1=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ， 求n a . （2）已知数列{}n a 满足1 2n n n a a n +=+，且3 21=a ，求n a .

数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧 关键词：数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、 等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 自然数方幂和公式： 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0 ∴该数列是首项为1，公比为x 2的等比数列而且有n+3项 当x 2＝1 即x ＝±1时 和为n+3 评注： (1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本 题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论． (2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项． 对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1 2 2 2-?+n ），……的前顶和为 n s ，则 n s 的值。 二、错位相减法求和 错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方

数列求和与求通项公式方法总结(已打)

一、公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：=n S = （2）等比数列的求和公式???? ? ????=n S 例1.求和 （1）1+2+3+…+n （2）232222n ++++ 二、分组求和法：若一个数列由两个特殊数列相加减而得到，则分别对两个特殊数列求和之后相加减得到该数列的和。 例2.求和 （1）()()()()n S n n -++-+-+-=2322212321 ； （2）1 3421n n a n -=-- ，求n S ； （3）1 23n n a -=+，求n S 三、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式：（1） 1 11)1(1+- =+n n n n (2) 1111 ()(2)22n n n n =-++ (3) )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n （4） n n n n -+=++111 例3. （1）已知数列{} () 11 += n n a a n n 中，，求前n S n 项和. （2）已知数列{}2 (21)(21) n n a a n n =-+中，，求前n S n 项和. （3）求数列???++???++,1 1, ,3 21, 2 11n n 的前n 项和.

四、错位相减法：如果一个数是由一个等差数列和一个等比数列相乘得到，则使用这种方法。 例4. （1）2n n a n = ，求n S 。 n n n S 2)12(...252321232?-++?+?+?=、求和： （3）求数列()13231,,35,34,33,2-?+???n n 的前n S n 项和. 五、课后练习 1、（2012惠州一模）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =。 （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，问n T >1001 2012 的最小正整数n 是多少?