高中三角函数的平移变换 讲解+习题
三角函数图像平移变换
由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y ＝sin x 的图象向左(?＞0)或向右(?＜0＝平移｜?｜个单位，再将图象上各点
的横坐标变为原来的
ω
1
倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω
1
倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(?＞0)
或向右(?＜0＝平移
ω
?|
|个单位，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。
1.为得到函数πcos 23y x ??
=+ ??
?
的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移
5π
12个长度单位
B ．向右平移
5π
12个长度单位 C ．向左平移5π
6个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π??
=-
?3??
的图象（ D ） A ．向右平移
π
6个单位 B ．向右平移
π
3个单位 C ．向左平移π
3
个单位
D ．向左平移π
6
个单位
3.为了得到函数)6
2sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）
(A)向右平移
6π个单位长度 (B)向右平移3π
个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3
π
个单位长度
4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图象
上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( C )
A sin(2)3y x π=-，x R ∈
B sin()26x y π
=+，x R ∈
C sin(2)3y x π=+，x R ∈
D sin(2)3
2y x π
=+
，x R ∈
5.为了得到函数sin(2)3
y x π
=-的图像，只需把函数sin(2)6
y x π
=+
的图像( B )
（A ）向左平移
4π个长度单位 （B ）向右平移4π
个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2
π
个长度单位
6.已知函数()sin()(,0)4
f x x x R π
??=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数
()cos g x x ?=的图象，只要将()y f x =的图象
( A )
A 向左平移
8π个单位长度 B 向右平移8π
个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π
个单位长度
7.函数cos(2)26
y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'
F 的函数解析式为(),y f x =当
()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于( B ) .(,2)6
A π
-
- .(,2)6B π
-
.(,2)6
C π- .(,2)6
D π
8.将函数y=sinx 的图象向左平移?(0 ≤?＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6
x π
-的图象，则?等于（ D ） A ．
6
π
B ．56π C. 76π D.116π
9.若将函数()t a n 0
4y x πωω??
=+
> ??
?
的图像向右平移6
π
个单位长度后，与函数t a n 6y x πω?
?=+ ??
?的图像重合，则ω的最小值为( D )
A ．
1
6
B.
1
4
C.
13
D.
12
10.设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3
π
个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于C （A ）
1
3
（B ）3 （C ）6 （D ）9
11.将函数sin(2)3
y x π
=+
的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12
π
-
中
心对称，则向量α的坐标可能为（ C ） A ．(,0)12
π
-
B ．(,0)6
π
-
C ．(
,0)12
π
D ．(
,0)6
π
12.将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3
π
平移得到图象F ',若F '的一条对称轴是
直线4
x π
=
,则θ的一个可能取值是( A )
A. π125
B. π125-
C. π12
11
D. 1112π-
13.把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2
π
个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到
的曲线方程是（ C ）
A ．（1－y ）sin x +2y －3=0
B ．（y －1）sin x +2y －3=0
C ．（y +1）sin x +2y +1=0
D ．－(y +1)sin x +2y +1=0
解析：将原方程整理为：y =
x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π
个单
位和1个单位，因此可得y =
)
2
cos(21
π
-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.
点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y +1）c os （x －
2
π
）+2（y +1）－1=0，即得C 选项。
14.将函数y=3sin （x -θ）的图象F 按向量（3
π
，3）平移得到图象F ′,若F ′的一条对称轴是直线x=
4
π
,则θ的一个可能取值是( A ) A.π125 B. π125- C. π1211 D. π12
11
15．将函数sin(2)3
y x π
=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，
则向量α的坐标可能为（ C ）
A ．(,0)12
π-
B ．(,0)6
π-
C ．(
,0)12
π D ．(
,0)6
π
三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和 伸缩 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由 ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换 称上下平移变换，它们都是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0)平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k >
先伸缩后平移 sin y x =的图象(1)(01) A A A ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0) ???ω >
三角函数的平移、伸缩变换测试题(人教A版)(含答案)
三角函数的平移、伸缩变换（人教A版） 一、单选题(共14道，每道7分) 1.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象的解析式为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 由题意， 函数经平移，得到， 该函数横坐标再经变换，得到． 故选B 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 2.由的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则为( ) A. B. C. D. 答案：D
解题思路： 将变换的过程倒推， 函数横坐标经变换，即横坐标缩短为原来的， 得到； 再将该函数图象向右平移个单位长度，得到 ． 故选D． 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 3.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 由题意， 函数经平移，得到 ； 再经横坐标变换后，得到， 故选D． 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
4.将函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 由题意， 函数横坐标经变换得到， 该函数再经平移，得到， 故选B． 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 5.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，得到的函数解析式为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 由题意， 函数横坐标经变换，
三角函数图象的平移与伸缩问题
三角函数图像的平移与伸缩问题 【问题探究】 在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中，我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容，主要要学习函数y=Asin(x+)+m(A 0, 0)的图像是由sin y x 的图像怎样变换得来的，这 要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时，也要增加函数()y f x 的图像变换的内 容。三角函数也属于函数，因此一般函数()y f x 的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了 使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性，我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识，能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文，供大家借鉴使用，提出建设性意见。 大家知道，sin y x 的图像向上(下)平移10个单位，可得到10sin y x (10sin y x )，即 sin 10y x (sin 10y x )的图像；sin y x 的图像向右(左)平移 10 π ，可得到sin()10y x (sin()10y x )的图像；sin y x 的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的1 2)， 可得到1sin 2y x (sin 2y x )的图像；sin y x 的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的1 3)， 可得到1sin 3y x (3sin y x )，即3sin y x (1sin 3y x )的图像；我们可用表格把上述小题的变换内容 10 x 10 x 10y 10y 12 x x 2x 13y 3y 从上面的表格，我们可以感到平移变换和伸缩变换有如下特点： 左加右减，下加上减；横向变换变x ，纵向变换变y ；各种变换均在x 、y 头上直接变；x 、y 的变化总与我们的感觉相反。例如，向左或向右平移、横向伸长或横向缩短时变化的均为x ；向上平移或向下平
三角函数图象的平移和伸缩(后面有高考题练习)
三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象()ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0) ???ω >
三角函数图像的平移变换专项练习
三角函数图像的平移变换专项练习 1.为了得到函数)6 3sin(π +=x y 的图象，只需把函数x y 3sin =的图象 （ ） A 、向左平移 6π B 、向左平移18π C 、向右平移6π D 、向右平移18 π 6、将函数)(sin )(R x x x f y ∈?=的图象向右平移4 π 个单位后，再作关于x 轴的对 称变换，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 可以是＿＿＿＿＿＿＿。 1、要得到函数)4 2sin(3π +=x y 的图象，只需将函数x y 2sin 3=的图象（ ） （A ）向左平移 4π个单位 （B ）向右平移4π 个单位 （C ）向左平移8π个单位 （D ）向右平移8 π 个单位 2、将函数y=sin3x 的图象作下列平移可得y=sin(3x+ 6 π )的图象 （A) 向右平移 6π 个单位 (B) 向左平移6π 个单位 （C ）向右平移18π 个单位 （D ）向左平移18 π 个单位 3．将函数sin y x =的图象上每点的横坐标缩小为原来的1 2 （纵坐标不变），再把 所得图象向左平移6π 个单位，得到的函数解析式为（ ） ()sin 26A y x π?? =+ ?? ? ()sin 23B y x π? ?=+ ?? ? ()sin 26x C y π??=+ ??? ()s i n 212x D y π??=+ ??? 4、把函数x y cos =的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移4 π 个单位长度，得到新的函数图象，那么这个新函数的解析式为 （A ）??? ??+=42cos πx y （B ）??? ??+=42cos πx y （C ）x y 2sin = （D ）x y 2sin -= 5．要得到函数x y cos 2=的图象，需将函数)42sin(2π +=x y 的图象（ ） (A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π 个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的 21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4 π个单位长度
三角函数平移习题汇总带解析
1.把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平行移动π/3 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1/2 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是．( ) A．y＝sin(2x?π/3)，x∈R B．y＝sin(x/2+π/6)，x∈R C．y＝sin(2x+π/3)，x∈R D．y＝sin(2x+2π/3)，x∈R 解：y=sinx 所有的点向左平行移动π/3个单位长度y=sin（x+π/3）横坐标缩短到原来的1/2 倍(纵坐标不变)y=sin（2x+π/3）故答案为：y=sin（2x+π/3） 点评：本题主要考查三角函数的平移变换． 2.把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动π/12个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是．( ) A．y＝sin(2x+π/3)，x∈R B．y＝sin(2x+2π/3)，x∈R C．y＝sin(x/2+π/6)，x∈R D．y＝sin(x/2+π/3)，x∈R 解：把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动π/12个单位长度，所得图象的解析式是y=sin（x+π/12） 再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的解析式是 y＝sin(1/2x+π/12) 故答案为：y＝sin(1/2x+π/12)． 点评:本题的考点是利用图象变换得函数解析式，主要考查三角函数图象的平移变换，周期变换．平移的原则是左加右减、上加下减，周期变换中横坐标变为原来的?倍时，与x的系数变为原来的1/ω倍相对应． 3.把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动π/3个单位长度，得到的图象所表示的函数是（）A．y＝sin(2x+π/3)，x∈R B．y＝sin(2x+2π/3)，x∈R C．y＝sin(x/2+π/6)，x∈R D．y＝sin(x/2+π/3)，x∈R 解：∵函数y=sinx（x∈R） 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， y=sin1/2x，y=sin1/2x（x∈R）图象上所有点向左平行移动π/3个单位长度y=sin1/2（x+π3）, x∈R． 4.把函数y=sinx（x∈R）图象上所有点的横坐标缩短到原来的1/2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动π/6个单位长度，得到的图象所表示的函数是（） A．y=sin（2x-π/3）（x∈R）B．y=sin（x/2+π/6）（x∈R） C．y=sin（2x+π/3）（x∈R）D．y=sin（2x+2π/3）（x∈R） 解：由y=sinx的所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1/2倍得到y=sin2x， 再把图象向左平行移动π/6个单位得到y=sin2（x+π/6）=sin（2x+π/3）， 故选C 点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，平移变换时注意都是对单个的x 或y来运作的． 5．将函数y＝sin(x+π/6)的图象上图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得函数图象上所有的点向左平行移动π/4个单位长度，则所得到的图象的解析式为（） A．y＝sin(2x+5π/12)（x∈R）B．y＝sin(x/2+5π/12)（x∈R） C．y＝sin(x/2?π/12)（x∈R）D．y＝sin(x/2+7π/24)（x∈R）
三角函数的平移及伸缩变换(含答案)
三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道，每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.
答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案：D
高一三角函数图象的平移和伸缩
1 三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的 纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k ><?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω= 的图象(0)(0) ???ω >
三角函数的平移
三角函数图象的平移和伸缩 函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换． 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象???0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的 纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k ><
得sin y A x =的图象(01)(1) 1 () ωωω <<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的 纵坐标不变 得sin()y A x ω= 的图象(0)(0) ???ω >
三角函数图像的平移变换
三角函数图像的平移、变换 一、 引入 以简单函数为例，讲解“左加右减、上加下减”。讲清横移的实质是把所有x 替换为x+a ； 二、三角函数图像的平移之历年高考真题 1、为了得到函数sin(2)3 y x π =- 的图像，只需把函数sin(2)6 y x π =+ 的图像（A ）向左平移 4 π 个长度单位 （B ）向右平移4 π 个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2 π 个长度单位 【答案】B 2、将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=- （B ）sin(2)5y x π =- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220 y x π =- 解析：将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10 π 个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin (x － 10 π ) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()210 y x π =-.【答案】C 以此题为例，讲解横向变换的实质也是替换。可提问：上述步骤反演，结果如何？ 3、（2010天津文）（8） 5y Asin x x R 66ππω??? =∈???? 右图是函数（+）（）在区间-，上的图象， 为了得到这个函数的图象，只 要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点 (A)向左平移3 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变 (B) 向左平移 3 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移 6 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变