高中数学必修1知识点总结—指数及指数函数
1、
(一般的,如果n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中*1,n n N >∈且.)
55
n n n ?=??
=-??正数的次方根是正数
当是奇数时,负数的次方根是负数
20,n a n n ?>±????正数的次方根有个,且互为相反数如:则次方根为当是偶数时,负数没有偶次方根
0的任何次方根都是0
2
n a =当
;,0
,0
a a n a a a ≥?==?
-≤?当 (2)分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m n
a
a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.
②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n
n a
a m n N a -+==>∈且1)n >.0
的负分数指数幂没有意
义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质
①(0,,)r
s r s a
a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
③()
(0,0,)r
r r ab a b a b r R =>>∈
一、 指数计算公式:()Q s r a ∈>,,0
_____=
?s
r a a ________=s r
a
a _____)(=s r a ______)(=r ab
)1,,0_______(>∈>=*n N n m a a
n
m
, ________=n n
a
练习 计算下列各式的值:
(1))4()3)((6
36
13
12
12
13
2b a b a b a ÷- (2)()
3
2
2
175.00
3
129721687064
.0+??
? ??++??? ??---
(3)4
2
1
033
)2
1(25.0)21()4(--?+-- (4)33)3(625π-+-
2.已知31
=+-x x ,则=+-22x x 已知23=a ,5
13=
b ,则=-b a 23=____________. 3. 若21025x
=,则10x -等于_________________
【2.1.2】指数函数及其性质
(4)指数函数
题型1、2)(f 1
-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________
2、函数y=4+a x -1的图象恒过定点P 的坐标是________________ 3.已知指数函数图像经过点)3,1(-p ,则=)3(f
题型2、 图像问题
1.下列说法中: ①任取x ∈R 都有3x >2x ; ②当a >1时,任取x ∈R 都有a x >a -
x ;③函数y =(3)-
x 是增函数;④函
数y =2|x |的最小值为1 ;⑤在同一坐标系中,y =2x 与y =2-
x 的图象对称于y 轴。正确的是___________________ 2.在同一坐标系下,函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图象如下图,则a 、b 、c 、d 、1之间从小到大的顺序是__________.
3、函数y =2x
+k -1(a >0,a ≠1)的图象不经过第四象限,则k 的取值范围是__________.
4、函数f (x )=a x (a >0,a ≠1)满足f (2)=81,则f (-2
1
)的值为_____________ 5、若指数函数x a y )12(+=在R 上是增函数,则实数a 的取值范围为 题型3 求值域
1、求函数23)(+=x
x f 在区间[1-,2]上的值域。
2、求函数y =4x -2x +1+1, x ∈)2,1[-的值域。
3、求函数y =3
3
22++-x x 的单调区间和值域.
题型4 比较大小
练:设5
.1344.029.01)21
(,8,4-===y y y ,则
( )
A .y 3>y 1>y 2
B .y 2>y 1>y 3
C .y 1>y 2>y 3
D .y 1>y 3>y 2
题型5 解指数不等式
步骤:①化同底;②去底(底>1变号,底<1不变号) 练习:1、不等式的解集是 .
2、函数821-=-x y 的定义域为(
)
A .[)∞+,3
B .[)∞+,4
C .()∞+,3
D .()∞+,
4 3.不等式x
x 28
3312--
?
?
??的解集是__________________________
题型6 综合应用
(
)
的是的图像,下列说法正确对于函数1
21
2.9+-=x x y
16
2
2<-+x x
A 、关于原点对称
B 、关于y 轴对称
C 、关于x 轴对称
D 、关于直线y=x 对称
2、已知函数f(x)=x a 在[-2,2]上恒有f(x)<2,求a 的取值范围
3、已知函数2
()131
x f x =-
+. (1)求函数()f x 的定义域,并证明函数f (x )在其定义域上都是增函数. (2)证明f(x)的奇偶性
(3)解不等式()2(31)230f m m f m -++-<
对应练习 一、选择题:
1.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)。经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成( )
511.A 个 512.B 个 1023.C 个 1024.D 个
2.在统一平面直角坐标系中,函数ax x f =)(与x
a x g =)(的图像可能是( )
3.设d
c b a ,,,都是不等于1的正数,
x
x
x
x
d y c y b
y a y ====,,,在同一坐标系中的图像如图所示,则
d c b a ,,,的大小顺序是( )
d c b a A <<<. c d b a B <<<. c d a b C <<<. d c a b D <<<.
4.若01<<-x ,那么下列各不等式成立的是( x x x A 2.022.<<- x x x B -<<22.02. x x x C 222.0.<<- x x x D 2.022.<<-
5函数x
a x f )1()(2
-=在R 上是减函数,则a 的取值范围是( )
1.>a A
2. 6.函数1 21 -= x y 的值域是( ) )1,.(-∞A ),0()0,.(+∞-∞ B ),1.(+∞-C ),0()1,.(+∞--∞ D 7.当1>a 时,函数1 1 -+=x x a a y 是( ) .A 奇函数 .B 偶函数 .C 既奇又偶函数 .D 非奇非偶函数 8.函数0.(12 >+=-a a y x 且)1≠a 的图像必经过点( ) )1,0.(A )1,1.(B )0,2.(C )2,2.(D 9.若0x 是方程x x 1 2= 的解,则∈0x ( ) )2.0,1.0.(A )4.0,3.0.(B )7.0,5.0.(C )1,9.0.(D 10.某厂1998年的产值为a 万元,预计产值每年以n %递增,则该厂到2010年的产值(单位:万元)是( ) n a A +1(.%13) n a B +1(.%12) n a C +1(.%11) n D -1(9 10 . %12) 二、填空题: 1. 已知)(x f 是指数函数,且25 5 )23(= -f ,则=)3(f 2. 设10< 31 222+-+->x x x x a a 成立的x 的集合是 3. 若方程0)2 1()4 1(=++a x x 有正数解,则实数a 的取值范围是 4. 函数x x y 28)13(0-+-=的定义域为 5. 函数x x y -=2 2的单调递增区间为 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c. 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 指数函数及其性质应用 1.指数函数概念 叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为. 一般地,函数 2. 函数 名称 指数函数 定义函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点,即当时,. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图 象的影响 在第一象限内,从逆时针方向看图象,逐渐增大;在第二象限内,从逆时针 方向看图象,逐渐减小. 指数函数题型训练 题型一 比较两个值的大小 1、“同底不同指”型 (1)21 51- ? ?? ?? 3 251?? ? ?? (2) 2.51.7 3 1.7 (3)0.8 14?? ? ?? 1.8 12?? ??? (4) 0.5 a ()0.6 0,1a a a >≠ 归纳: 2、“同指不同底”型 (1)5 6 311?? ? ?? 5 6 833?? ? ?? (2)9 2 4 归纳: 3、“不同底不同指”型 (1)0.3 1.7 3.1 0.9 (2) 2.5 1.7 30.7 (3)0.1 0.8 - 0.2 9 - (4)b a (01)a b a b <<< (5) 1 23-?? ? ?? 13 3 归纳: 综合类:(1)已知232()3 a =,132()3 b =,232 ()5c =则a 、b 、c 的大小关系为 (2)如果0m <,则2m a =,1 ()2 m b =,0.2m c =则a 、b 、c 的大小关系为 题型二 过定点问题 1、函数33x y a -=+恒过定点 2、函数()150,1x y a a a +=->≠图像必过定点,这个定点是 3、已知对不同的a 值,函数()()120,1x f x a a a -=+>≠的图像恒过定点P ,则P 点的坐标 是 归纳: 题型三 解指数函数不等式 1、2212 2≤?? ? ??-x 2、 8 21()33 x x --< 3、0.225x < 4、221(2)(2)x x a a a a -++>++ 指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地,函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 问题:指数函数定义中,为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况? (1)若a<0会有什么问题?(如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在) (2)若a=0会有什么问题?(对于0≤x ,x a 无意义) (3)若 a=1又会怎么样?(1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下: 指数函数平移问题(引导学生作图理解) 用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系(作图略), ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12-=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)1241++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练 指数函数典型例题详细解析 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---21 3321 x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥- 2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<. 0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y =c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<< <.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵>,>, ∴>. ---- 45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y 1=4.5x ,y 2=3.7x 的图像如图2.6-3,取x =3.6,得4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6. 说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有指数函数典型例题详细解析汇报
(完整word版)指数函数题型归纳
指数函数经典例题和课后习题
指数函数典型例题详细解析
指数函数经典例题(问题详细讲解)