考研数学三真题及答案详解word版
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题详解
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0
()()x
f t dt
g x x
=
?的（ ）
()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.
()C 无穷间断点.
()D 振荡间断点.
解：B
分析：()()0
00()lim ()lim
lim 0x
x x x f t dt g x f x f x
→→→===?，所以0x =是函数()g x 的可去间断点。
（2）设f 连续，2
2
1x y +=，2
2
2
x y u +=，1u >，
则()
22,D
f u v F u v +=，则
F
u
?=?（ ）
解：选
A
分析；用极坐标得(
)222()
20
1
1
,()v
u u
f r r D
f u v F u v dv rdr v f r dr +=
==??
?
（3）设(,)f x y =则函数在原点偏导数存在的情况是( )
解：C
分析：
011(0,0)lim
lim 00
x
x x x e f x x →→--'==--00011lim lim 100x
x x x e e x x →+→+--==--，
故000011
lim lim 00
x
x x x e e x x -→+→---≠--，所以偏导数不存在。
所以偏导数存在。故选C
（4）曲线段方程为
()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数则定积分0
'()a
xf x dx ?（ ）
()A 曲边梯形ABCD 面积.
()B 梯形ABCD 面积.
()C 曲边三角形ACD 面积.
()D 三角形ACD 面积.
解：
()C
分析：
()()()()a
a a
xf x dx xdf x af a f x dx '==-?
??
其中()af a 是矩形面积，
()a
f x dx ?
为曲边梯形的面积，所以0
()a
xf x dx '?为曲边三角形的面积。
（5）设A 为n 阶非0矩阵E 为n 阶单位矩阵若3
0A =，则（ ）
()A E A -不可逆，E A +不可逆.
()B E A -不可逆，E A +可逆.
()C E A -可逆，E A +可逆.
()D
E A -可逆，E A +不可逆.
解：
()C
分析：2
3
()()E A E A A E A E -++=-=，2
3
()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆。
（6）设1221A ??
= ???
则在实数域上与A 合同矩阵为（ ）
()A 2112-?? ?-??
.
()B 2112-?? ?-??
.
()C 2112??
???
.
()D 1221-??
?-??
.
解：
()D
分析：()()()2
21
2
14231302
1
E A λλλλλλλλ---=
=--=--=+-=--
则121,3λλ=-=。记1221D -??
= ?-??
，则
则121,3λλ=-= 正、负惯性指数相同，故选
()D
（7）随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F
x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）
()A ()2F x .
()B ()()F x F y .
()C ()2
11F x --????. ()
D ()()11F x F y --????????.
解：
()A
分析：
（8）随机变量()0,1X
N :，()1,4Y N :且相关系数1XY ρ=，则（ ）
()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.
()D {}211P Y X =+=.
解：选
()D
分析： 用排除法 设Y
aX b =+，由1XY ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C
由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得
排除
()B
故选择
()D
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）设函数21,()2,
x x c f x x c x ?+≤?
=?>??
在(,)-∞+∞内连续，则c = .
解：1 分析：由()()2
2
lim lim 11x c
x c
f x f x c c c
+
-
→→=?+=?= （10）函数3411x x f x x x +?
?+= ?+?
?
，求积分()2f x dx =? .
解：
1ln 32
分析：222111112x x
x x f x x x x x x ++??+== ?????
++- ???
所以
()2
2
t
f t t =
- （11）2
()D
x y dxdy -=?? .其中22:1D x y +≤
解：
4
π
分析：()2
2
221()2D D
D x y dxdy x dxdy x y dxdy -==+??????212
00124d r rdr ππθ==??
（12）微分方程0,(1)1,xy y y '+==求方程的特解y = .
解：
1y x
=
分析：由
,,ln ln dy y dy dx y x dx x y x -==-=-所以1x y =，又(1)1y =，所以1
y x
=.
（13）设3阶矩阵A 的特征值1，2，2，
14A E --= .
解：A 的特征值为1，2，2，则存在可逆矩阵P ，使得
分析：11111
12,,2P AP B A PBP A PB P -----??
?==== ? ???
， 因
111
212B -?
? ?
?
?= ?
? ???
，则134131
B E --== （14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2
P X EX == .
解：
112
e - 分析：因为 2
2
()DX EX EX =-，所以 2
2EX =，X 服从参数为1的泊松分布，
所以 {}1122
P X
e -==
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) （本题满分10分）
求极限2
1sin lim
ln x x
x x
→. 解： 220
01sin 1sin lim
ln lim ln 11x x x x x x x x →→??=+- ???
(16) （本题满分10分）
设z z =(,)x y 是由方程()2
2x
y z x y z ?+-=++所确定的函数，其中?具有2阶导数且
1?'≠-时，求
(1)dz
（2）记()1,z z u x y x y x y ??
??=- ?
-????
，求u x ??. 解：
①()()22xdx ydy dz x y z dx dy dz ?'+-=++?++()()()122dz x dx y dy ???'''+=-++-+
②
(17) （本题满分10分）
()f x 是周期为2的连续函数，
（1）证明对任意实数都有()()2
2
t t
f x dx f x dx +=?
?
（2）证明()()()20
2x
t t g x f t f s ds dt +??=-????
?
?是周期为2的周期函数．
解： （1）对于
()2
t t
f x dx +?
，令2x u =+，则()()2
2t t
t
f x dx f u du +=+?
?
因为()f x 的周期为2，所以()()2
20
t t f x dx f x dx +=??
所以
()()()()()2
2
2
2
2
t t t
t
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx ++=++=????
?
（2）()()()2
20
22x t t g x f t f s ds dt ++??+=
-????
?
? 因为()()2
20
t t f x dx f x dx +=?
?
所以
()()2
22
2
x t x x
t
x
f s dsdt f s dsdt +++=??
?
?
所以()()()()()2
20
222g x g x f t dt f s ds g x +=+-=??
所以()g
x 是周期为2的周期函数
(18) （本题满分10分）
求二重积分max(,1),D
xy dxdy ??其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤
解：
(19) （本题满分10分）
已知年复利为，现存a 万元，第一年取出19万元，第二年取出28万元，…第n 年取出10+9n 万元，问a 至少为多少时，可以一直取下去？ 解：由题得 设0.051
()9nx
n f x ne
∞
-==
∑
两边求积分 由0x >，
0.050.050
()180(1)1x
x
x
e f x dx e --=--?
对上式两边求导0.050.050.0520.052
0.059()180(1)(1)x x
x x e e f x e e ----==--
令1x =，则0.05
0.050.052
1
9()9(1)(1)n
n e f x ne
f e -∞
--==
==-∑
所以a 至少应为3795. (20) （本题满分11分）
设矩阵2
221212n n
a a a A a a ???
?
?= ?
???O O O ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n
X x x =L ，
()1,0,,0B =L ，
（1）求证
()1n A n a =+
（2）a 为何值，方程组有唯一解，求1x （3）a 为何值，方程组有无穷多解，求通解 解：①
②方程组有唯一解 由Ax B =，知
0A ≠，又(1)n A n a =+，故0a ≠。
记n n A A ?=，由克莱姆法则知， ③方程组有无穷多解 由
0A =，有0a =，则
故()()|1r
A B r A n ==-
0Ax =的同解方程组为23000
n x x x =??=??
??=?K ，则基础解系为()1,0,0,,0T
k K ，k 为任意常数。 又01
01011000001000??????
??? ? ??? ? ??? ?=
??? ?
??? ? ??? ???????O M M ，故可取特解为0100η?? ? ? ?= ? ?
???
M 所以Ax B =的通解为1001,0000k k ???? ? ? ? ?
? ?+ ? ? ? ? ? ?????
M M 为任意常数。
（21）（本题满分11分）
设A 为3阶矩阵，12,a a 为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3a 满足323Aa a a =+，
证明（1）123,,a a a 线性无关； （2）令()123,,P a a a =
，求1P AP -.
解：（1）假设123,,ααα线性相关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零（若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=） 又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+
∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=
则12,αα线性相关，矛盾（因为12,αα分别属于不同特征值得特征向量，故12,αα线性无关）. 故：123,,ααα线性无关.
（2）记123(,,),P ααα=则P 可逆，123123(,,)(,,)A A A A αααααα=
即：100011001AP P -?? ?= ? ???，∴1
100011001P AP --?? ?= ? ???
.
（22）（本题满分11分）
设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为{}()1
1,0,13
P X
i i ==
=-，Y 的概率密度为()101
0Y y f y ≤≤?=??
其它，记Z X Y =+
（1）求102P Z
X ??
≤
=???
?
（2）求Z 的概率密度． 解：1.
2. 当2z ≥时，()1F z = 当1z <-时，()0F z = 当12z -≤<时，
当10z -≤
<时，1011
()1(1)33z F z dy z +=
=+? 当01z ≤<时，011
()110(1)33z F z dy z ??=
++=+?
????
当12z ≤<时，1011
()111(1)33z F z dy z -??=
++=+?
????
所以 0 1
1
()(1) 1231 z 2z F z z z <-???=+-≤
，则1,12
()30,z f z ?-≤
（23） （本题满分11分）
12,,,n X X X L 是总体为2
(,)N μσ的简单随机样本.记1
1n
i i X X n ==∑，
2
2
11()1n i
i S X X n ==--∑，221T X S n =- （1）证 T 是2
μ的无偏估计量.
（2）当0,1μσ==时 ，求DT . 解：(1)221()()E T E X S n =
-221()E X E S n =-221
E X n
σ=-
因为：2
(,)X N μσ:, 2
(,
)X N n σμ:,而 22()EX DX EX =+221
n
σμ=+ 222211
()E T n n
σμσμ=+-=,所以 T 是2μ的无偏估计
(2) 2
2
()()D T ET ET =-,()0E T =, 4
4
22
222()S ET E X X S n n
=-?+
因为 1
(0,)X
N n
:
(0,1)1X N :
令1X X = (
)2
2
42
4
22233x x E X dx dx EX +∞+∞---∞-∞====??
所以 4
2
3E X
n =
因为 2
22
(1)(1)n S W n χσ
-=
-: 且21σ=
22(1)DS n =
-,4
211(1)1
n ES n n +=+=--
所以 2
2
223211
1
n ET
n n n n +=
-+?-