高阶偏导数及泰勒公式

2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式

2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式

模块基本信息 一级模块名称 微分学 二级模块名称 基础模块 三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数 公式 模块编号 2-10 先行知识 导数的概念 模块编号 2-2 知识内容 教学要求 掌握程度 1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念 一般掌握 2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导 3、莱布尼兹公式 3、掌握隐函数高阶导的求解（一般 是二阶） 4、隐函数的高阶导数 4、掌握参数方程高阶导的求解（一 般是二阶） 5、参数方程的高阶导数 5、熟记正弦、余弦等常见函数的n 阶导数公式 能力目标 1、提高学生的观察分析能力 2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力 时间分配 45分钟 编撰 黄小枚 校对 方玲玲 审核 危子青 修订 肖莉娜 二审 危子青 一、正文编写思路及特点： 思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义，

然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。 特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。 二、授课部分 1.引例 （1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即 )()('t s t v = 或dt ds t v = )( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数： []' ')(')()(t s t v t a ==或)()(dt ds dt d t a = （3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称 为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(' 't s 或22dt s d 2．高阶导数的定义 设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。记 y '', 或 )(x f '', 22dx y d , dx x f d ) (2 根据导数的定义可知：''0()() ()lim x f x x f x f x x →+-''=V V V 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作 y ''', y (4), ? ? ? , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ? ? ? , n n dx y d .

高阶导数和高阶微分 泰勒公式

§2-9 高阶导数和高阶微分·泰勒公式 1.高阶导数和高阶微分 在§2-3中，我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。一般地，函数 )(x y y =的n 阶导数就是 h x y h x y x y x y n n h n n ) ()(lim ])([)()1()1(0) 1() (--→--+='= (0)()()y x y x =???? 而n 阶微分就是 n n n n n n n n x x y x x x y x x y y y d )(d ]d )([]d )(d[]d[d d )(1)(1)1(1-====--- (x 是自变量；x d 被看成与x 无关的有限量) 因此，按照莱布尼茨的记法，函数)(x y y =的n 阶导数)()(x y n 也可记成 n n x x y d )(d 或简记成 n n x y d d (注意．．n 的位置．．．) 这样，导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到n 阶导数与n 阶微分的关系中. 例33 因为指数函数e x 的导数(e )e x x '=，所以(e )(e )e x x x '''==. 依次类推，则有 ()()(e )e ,d (e )(e )d e d (1,2,)x n x n x x n n x n x x n ==== 例34 对于函数x y sin =，则 cos sin , sin sin 2,22 2y x x y x x '??πππ?? ???? '''==+=+=?+ ? ? ????? ?????? 一般地， ()sin 2n n y x π??=+ ???； ()d d sin d 2n n n n n y y x x x π??==+ ??? ),2,1( =n . 同理，对于函数cos y x =，有 ()cos 2n n y x π??=+ ???； ()d d cos d 2n n n n n y y x x x π?? ==+ ??? ),2,1( =n . 例35 对于函数ln(1)y x =+，则 2 23 112,,(1),1(1)(1)y y y x x x ''''''= =-=-+++ 一般地， （n 阶导数）() 1 (1)! (1)(1,2,)(1)n n n n y n x --=-=+ （n 阶微分）()1(1)!d d (1)d (1,2,)(1) n n n n n n n y y x x n x --==-=+ 例36 设函数1()e (0),(0)0x f x x f - =≠=.证明：),2,1(0)0()( ==n f n . 证 一方面，函数)(x f 在点0是连续的，因为

2-10高阶导数的概念及常见高阶导数公式

模块基本信息 一级模块名称 微分学 二级模块名称 基础模块 三级模块名称 高阶导数的概念及常见高阶导数公式 模块编号 2-10 先行知识 导数的概念 模块编号 2-2 知识内容 教学要求 掌握程度 1、高阶导数的概念 1、理解高阶导的概念 一般掌握 2、常见初等函数的高阶导数 2、熟记常见初等函数的高阶导 3、莱布尼兹公式 3、掌握隐函数高阶导的求解（一般是二阶） 4、隐函数的高阶导数 4、掌握参数方程高阶导的求解（一般是二阶） 5、参数方程的高阶导数 5、熟记正弦、余弦等常见函数的n 阶导数公式 能力目标 1、提高学生的观察分析能力 2、培养学生的逻辑思维、类比推导能力 时间分配 45分钟 编撰 黄小枚 校对 方玲玲 审核 危子青 修订 肖莉娜 二审 危子青 一、正文编写思路及特点： 思路：本文先借助速度和加速度的概念引出高阶导数的定义， 然后分别介绍常见的初等函数的高阶导数、莱布尼兹公式、隐函数的高阶导数、参数方程的高阶导数。 特点：通过实际问题引出高阶导数的概念，在求解高阶导数时分类进行讲解，层层递进，有助于学生理解和掌握。 二、授课部分 1.引例 （1） 变速直线运动的速度)(t v 是位置函数)(t s 对时间t 的导数，即 )()('t s t v = 或dt ds t v =)( （2） 速度函数)(t v 对时间t 的变化率就是加速度)(t a ，即)(t a 是)(t v 对t 的导数： []'')(')()(t s t v t a ==或)()(dt ds dt d t a =

（3）加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称 为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(' 't s 或22dt s d 2．高阶导数的定义 设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。记 y '', 或 )(x f '', 22dx y d , dx x f d )(2 根据导数的定义可知：''0()()()lim x f x x f x f x x →+-''= 类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作 y ''', y (4), ? ? ? , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ? ? ? , n n dx y d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 注：（1）如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. （2）二阶及二阶以上的导数y '' y ''' y (4) ?? y (n )统称高阶导数. 3.常见初等函数的高阶导数 例1 已知3y x = 求()n y （一级） 解: ()()423;6;6;0;,0.n y x y x y y y ''''''===== 课堂练习：已知y =e x 求它的n 阶导数. 例2 已知sin y x =求它的n 阶导数. （一级） 解:)2 sin(cos π+=='x x y , )2 2sin()2 2 sin()2 cos(ππππ?+=++=+=''x x x y ,

求高阶导数常见方法

求函数的高阶导数常用方法 （一）逐阶整理法 例1、 求()sin x f x e x =的n 阶导数（解略） （二）将函数分解为若干个简单函数的和，再利用已知的常见的函数的高阶导数公式 （1）()()(1)(1)n n x n x ααααα?=??+" （2）()()(ln )x n x n a a a =， ()(e )e x n x = （3）()(sin())sin ()2n n ax b a ax b n π??+=?++???? ?， ()(cos())cos ()2n n ax b a ax b n π??+=?++???? ? （4）()11(1)!n n n n x x +???=????， ()1 1(1)!()n n n n n a ax b ax b +????=??++?? （5）1()(1)(1)!(ln )n n n n x x ???=， 1()(1)(1)!(ln())()n n n n n a ax b ax b ????+=+ 例2、求下列函数的n 阶导数 （1）1()(1) f x x x =? （2）()1n x f x x =? （3）2221()f x a b x =? （4）()cos cos2f x x x =? （三）利用莱布尼茨公式 例3、求函数ln ()x f x x =的n 阶导数 例4、求函数2()(1)n f x x =?的n 阶导数 （提示：()(1)(1)n n f x x x =??+） （四）先求一阶或二阶导数，变成乘积形式，再利用莱布尼茨公式，得到高阶导数的递推公式

例5 、设arctan y x =，求() 0n x y = 解：由211y x ′=+， 得 2(1)1y x ′?+= 对上式两边求n 阶导数（左边利用莱布尼茨公式），得 (1)2()(1)(1)(1)2202 n n n n n y x n y x y +???++??+ ??= 即 2(1)()(1)(1)2(1)0n n n x y nxy n n y +?+?++?= （高阶导数的递推公式） 令0x =，得 (1) (1)00(1)n n x x y n n y +?===?? 又由(0)0y =，(0)1y ′=，故 () 0 0 , 2(1)(2)!, 21n k x n k y k n k ==?=???=+?当当 例6 、设arcsin y x =，求() 0n x y = 解：由y ′= ，32221(1)x x y y x x ′??′′′===???，则 2(1)y x y x ′′′??=? 对上式两边求n 阶导数（两边利用莱布尼茨公式），得 (2)2(1)()(1)()(1)(1)(2)(2)12 n n n n n n n y x n y x y y x n y +++???+???+ ???=?+?? 整理，得 2(2)(1)2()(1)(21)0n n n x y n xy n y ++??+?= 令0x =，得 (2)2()n n y n y += （高阶导数的递推公式）

高阶导数的计算

高阶导数的计算 一、 高阶导数定义 定义（二阶导数） 若函数f 的导函数'f 在点0x 可导，则称'f 在点0x 的导数为f 在点0x 的二阶导数，记作)(''0x f ，即 )('') (')('lim 00 00 x f x x x f x f x x =--→， 此时称f 在点0x 二阶可导。 如果f 在区间I 上每一点都二阶可导，则得到一个定义在I 上的二阶可导函数，记作)(''x f ， I x ∈，或记作''f ，''y ，2 2dx y d 。 函数)(x f y =的二阶导数)(''x f 一般仍旧是x 的函数。如果对它再求导数，如果导数存在的话， 称之为函数)(x f y =的三阶导数，记为'''y ，)('''x f ，或33dx y d 。 函数)(x f y =的1-n 阶导数的导数称为函数)(x f y =的n 阶导数，记为) (n y ，) (n f ，或n n dx y d 。 相应地，)(x f y =在0x 的n 阶导数记为： 0 ) (x x n y =，)(0) (x f n ，0 x x n n dx y d =。 二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数。 1． )()() (] [n n n v u v u ±=±。 2． +++=--)2()2(2)1()1(1)0()()()(v u C v u C v u uv n n n n n n )()() 1()1(1)()(n o n n n k k n k n v u v u C v u C ++++--- ∑=-= N K k k n k n v u C )()(， （Leibniz 公式） 其中u u =) 0(，v v =)0(。 注 将Leibniz 公式与二项式展开作一比较可见： n o k k n k n n n n n v u v u C v u C v u v u ++++=+-- 1110)(。 （这里 100==v u ），在形式上二者有相似之处。