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函数的奇偶性的经典总结汇编

x x f 1)(+

)(2+=

x x x f x

x f 1)(=

函数的奇偶性

一、函数奇偶性的基本概念

1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，

0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。

2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，

0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。

注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。（2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及)

()

(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。题型一判断下列函数的奇偶性。

⑴

x x f +=2)(，（2）

x x x f -=3)( （3）

()()()R x x f x f x G ∈--=,(4)

(5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x

x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。

（2）常见的奇函数有：x x f =)(，3

)(x x f =，x x f sin )(=，（3）常见的奇函数有：2

)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(=

（4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时，

)

()

(x g x f 为偶函数。（5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时，

)

()

(x g x f 是偶函数。

（6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。

（7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数()()[]x g f x F =；若()x g 为偶函数, ()f x 为奇（偶）函数，则()x F 都为偶函数；若()x g 为奇函数，()x f 为奇函数,则()x F 为奇函数;若()x g 为奇函数，()x f 为偶函数,则()x F 为偶函数.

题型二三次函数奇偶性的判断

已知函数d cx bx ax x f +++=2

)(，证明：（1）当0==c a 时，)(x f 是偶函数（2）当0==d b 时，)(x f 是奇函数

提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如c bx ax x f ++=2

)(，当0=b ，)(x f 是偶函数；当0==c a ，)(x f 是奇函数。

题型三利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值

1函数()23f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[]1 2a a -，

，则a b += 3

． 2设2

()2f x ax bx =++是定义在[]1,2a +上的偶函数，则()f x 的值域是 []10,2- ． 3 已知)

)(1(sin )(a x x x

x f +-=

是奇函数，则a 的值为 1

4已知)ln(sin )(2a x x x x f ++=是偶函数，则a 的值为 1

提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，)()(),()(x f x f x f x f -=-=-。（2）因为是填空题，所以还可以用)1()1(),1()1(f f f f =--=-。

（3）还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。题型四利用函数奇偶性的对称

1下列函数中为偶函数的是（ B ）

A ．2sin y x x = x y =

B ．2cos y x x =

C ．ln y x =

D ．2x

y -=

2下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A A ．x

e x y += B ．x x y 1+

= C ．x x

y 2

12+= D ．21x y += 3下列函数中，为偶函数的是（ C ） A ．1y x =+ B ．1

y x

= C ．4y x = D ．y x = 4函数1

()f x x x

-的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ．直线x y -=对称 C ．坐标原点对称 D ．直线x y =对称

5已知函数)1(+x f 是R 上的奇函数，且4)1(=-f ，则)3(f =-4 6已知函数)2(+x f 是R 上的偶函数，则3)3(-=-f ，则)7(f =-3

提示：（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，)()(),()(x f x f x f x f -=-=-。 (2)奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。 (3)在原点有定义的奇函数必有0)0(=f 。

（4）已知函数)(t x f +是R 上的奇函数，则)(x f 关于点)0,(t 对称。 (5)已知)(t x f +是偶函数，则)(x f 关于直线t x =对称。题型五奇偶函数中的分段问题

1设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x

f x x b =++（b 为常数），则(1)f -=-3 2已知()f x 是奇函数，且当0x >时，()2f x x x =-，求0x <时，()f x 的表达式。

2)(+=x x x f

3已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，2

2)(x x x f -=，则)3(-f =-45 4已知()f x 是偶函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2

+=，求)4(-f 24

5设偶函数()f x 满足)0(42)(≥-=x x f x

，则(){}

20x f x ->={|04}x x x <>或

提示：（1）已知奇函数)(x f ，当0≥x ，)()(x g x f =，则当0

1已知函数2)(3

+=ax x f ，求)2()2(f f +-的和为4 2已知753()6f x x bx cx dx =-+++，且(3)12f -=，则(3)f =0 3已知8)(35-++=bx ax x x f ，10)2(=-f ，)2(f =_-26__

4已知函数()f x ＝221

1x x x +++，若3

2)(=a f ，则=

-)(a f ( 43 ) 提示：已知)(x f 满足，t x g x f +=)()(，其中)(x g 是奇函数，则有t a f a f 2)()(=-+。题型七函数奇偶性的结合性质

1设()f x 、()g x 是R 上的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则结论正确的是

A .()f x ()g x 是偶函数

B .|()f x |()g x 是奇函数

C .()f x |()g x |是奇函数

D .|()f x ()g x |是奇函数

2设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．)()(x g x f +是偶函 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +|是偶函数 D ．)()(x g x f -|是奇函数

3设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且

1()()1f x g x x +=

-,求()f x 和()g x 的解析式, 21()1f x x =-，2()1

x g x x =-。提示：（1）已知)(x f 是奇函数，则)(x f 是偶函数。

（2）已知)(x h 是R 上的函数，且)(x f 也是R 上的偶函数和()g x 也是R 上的奇函数，满足

)()()(x g x f x h +=，则有2)()()(x h x h x g +-=

，2

)

()()(x h x h x f --=。

题型八函数的奇偶性与单调性

1下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是（）

A ．1y x

B ．x y e -=

C ．2

1y x =-+ D ．lg y x = 2下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A ）cos 2y x =，x ∈R （B ）x y 2log =，x ∈R 且x ≠0

（C ）2

x x e e y --=，x ∈R （D ）3

1y x =+，x ∈R

3设()sin f x x x =-，则()f x =（ B ）

A 既是奇函数又是减函数

B 既是奇函数又是增函数

C 有零点的减函数

D 没有零点的奇函数 4设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()

0f x f x x

--<的解集为

（ (10)

(01)-，，）

5已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则x 的取值范围是)3,1(-. 6已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1

()3f 的x 取值范围是)3

2,31( 提示：（1）已知)(x f 是奇函数，且在)0,(-∞上是增（减）函数，则在),0(+∞上也是增（减）函数。

（2）已知)(x f 是偶函数，且在)0,(-∞上是增（减）函数，则在),0(+∞上也是减（增）函数。（3）已知)(x f 是偶函数，必有)()()(x f x f x f ==-。题型九函数的奇偶性的综合问题

1已知函数()f x ,当,x y R ∈时，恒)()()(y f x f y x f +=+，且()0,0x f x ><时，又

()1

f =-（1）求证：()f x 是奇函数；（2）求证：)(x f 在R 上是减函数；（3）求)(x f 在

区间[]2,6-上的最值。最大值1，最小值-3。

2设()上递增，上是偶函数，在区间在0R )(∞-x f ，且有()()

322122

2+-<++a a f a a f ，求a

的取值范围。),3

(+∞

练习题

一、判断下列函数的奇偶性

（1） 1

)(2

x x x f （2）1)(2

-=x x f （3）()())1,1(,111-∈-+-=x x x x x f （4）2)(2--=x x x f （5）R x x f ∈=,1)(（5）]2,2[,0)(-∈=x x f （6）x e x f ln )(=

(7)x x x f -=3

)( (8)x x x f tan sin )(+=（9）1)(2

+=x x f ，(10)1)(+=x x f ，(11)x

e x

f -+=)(，(12)x x x f sin )(= (13) x x x f +=2)( ，(14)x x x f cos )(2

=，

(15)x x f 2)(=，(16))1ln()(2x x x x f -+=,(17)2

()ln(1||)1f x x x =+-+ 二、利用函数的奇偶性求参数的值

1若函数()2

(1)23f x m x mx =-++是偶函数，求m 的值。0

2若函数4)1()(23-++++=c bx x a x x f 是奇函数，求5)(2

-+c a 的值。4

3函数x x b ax x f +++=2

)1()(是奇函数，定义域为),1(a b -，则2

)2(++b a 的值是 9 ． 4若1()21x f x a

+-是奇函数，则a = 1

5若函数a x x x f +-=2

)(为偶函数，则实数=a ___0_____.

6设函数))(()(R x ae e x x f x

∈+=-是偶函数，则实数=a _______-1________

7若函数)2(log )(2

2a x x x f a

++=是奇函数，则a = 2

2 .

8若(2)()

()x x m f x x

++=

为奇函数,则实数m =__-2____.

9若函数)ln()(2x a x x x f ++=为偶函数，则=a 1

10若()(

)

ax e

x f x

++=1ln 3是偶函数，则=a ____3

-________.

三、函数奇偶性定义的应用 1函数y=2

2log 2x

y x

-=+的图像A （A ）关于原点对称（B ）关于直线y x =-对称（C ）关于y 轴对称（D ）关于直线y x =对称 2已知函数()1f x =-2

x ，x R ∈则（B ）

A. ()f x -=-()f x

B.()f x 为偶函数

C.()()0f x f x -+=

D.()f x 不是偶函数 3若()f x 是偶函数，则()kf x （k 为常数） ( A ) A.是偶函数 B.不是偶函数 C.是常数函数 D.无法确定是不是偶函数 4函数()f x =??

?<->0

,1.

0,1x x 则()f x 为（ B ）

A.偶函数

B.奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数 5已知()f x 为奇函数，则()f x x -为（ A ） A 奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 6已知点()1,3是偶函数()f x 图像上一点，则()1f -等（B ） A.-3 B.3 C.1 D.-1

7若点()1,3-在奇函数()y f x =的图象上，则()1f 等于（D ） A.0 B.-1 C.3 D.-3

8已知2

)(x x f y +=是奇函数,且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ,则=-)1(g ____-1___ . 9设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=，在R 上一定是（ A ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数 10设()f x 是R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线2

1=x 对称，则

=++++)5()4()3()2()1(f f f f f 0

11已知偶函数()f x 的图像关于直线2x =对称，3)3(=f ，则(1)f -=___3____. 12设函数()x f 对于任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，求证：()x f 是奇函数。

13已知t R ∈，函数2,0,

()(),0,

x t x f x g x x ?+≥=?

14已知奇函数()f x 的，且方程0)(=x f 仅有三个根321,,x x x ，则321x x x ++的值 0 15 设函数()x f 是R 上为奇函数，且)2()()2(f x f x f +=+，在)5(f 的值2

5 16已知偶函数)0(42)(≥-=x x f x ，求03)(4)(2

=+-x f x f 的个数7

17 已知偶函数)0(64)(2≥+-=x x x x f ，求048)(44)(12)(2

=-+-x f x f x f 的个数9

四、函数奇偶性的性质

1已知)3(+x f 是偶函数，且2)0(=f ，则3)6(2-f 的值为1 2已知2)(+=x x f ，则)3()3(f f +-的值4

3已知3

()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( -10 ) 4已知2)(-=ax x f ，则)3()3(f f +-的值 -4

5已知2)(-+=x b ax x f ，则)31

(ln )3(ln f f +的值 -4 6已知3sin )(+-+=x c x b ax x f ，则)3

(ln )3(ln f f +的值 6

7已知函数())

2f x x =+，则()1lg 5lg 5f f ??

+= ???

（ 4 ）

8已知函数())

()1ln

31,.lg 2lg 2f x x f f ??

=++= ???

则2

9已知函数3

()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈，2(lg(log 10))5f =，则(lg(lg 2))f =3

10设函数1

sin )1()(2

2+++=x x

x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则m M +=_2___ 11已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，3

()2f x x x =+，则(2)f = 11在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足2)()(+-=+-x

a x g x f (a ＞0,且0a ≠).若

()2g a =，则()2f =

12若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x

f x

g x e -=，则有（ D ）

A ．(2)(3)(0)f f g <<

B ．

(0)(3)(2)g f f << C ．(2)(0)(3)f g f << D ．(0)(2)(3)g f f <<

13若函数()f x 为R 上的偶函数，且当010x <<时，()ln f x x =，则()()

2f e f e -+= 3 ． 14函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有

)()1()1(x f x x xf +=+，则)2

(f 的值是0

15函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有

)()1()1(x f x x xf +=+，则))2

((f f 的值是0

16若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为___2()1

f x x =+_____.

17设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1)f x x =+

，则当(,0)x ∈-∞时

()f x =__(1x _

18已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2

-+=x x x f ，那么0x <时，()f x =

12+--x x .

19函数(

()ln 1

x x e f x x e +=++在区间[],(0)k k k ->上的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M 4 ．

20奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ 1 ） 21设定义在R 上的奇函数，满足)2()(+=x f x f ，那么)2017()2()1(f f f +++ 的值0 22已知函数()f x 是R 上的偶函数，当0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当)2,0[∈x 时，

)1(log )(2+=x x f ，则有)2017()2016(f f +-的值 1

五、函数奇偶性和单调性的应用

1已知函数2

()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 [)0,+∞

2设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()

0f x f x x

--<的解集为

（ (1

0)(01)-，，）

3已知函数1

()3()3

x x

f x =-，则()f x

（A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是减函数

4已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221

(log ),(log 4.1),(2)5

a f

b f

c f =-==，则,,a b c 的大小关系为

5已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=-.若当[3,0]x ∈- 时，()6x

f x -=，则(919)f = .

6已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则x 的取值范围是)3,1(-. 7已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是)3

2,31( 8若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ D ） A )2()1()23(f f f <-<- B ．)

2()23

()1(f f f <-<- C ．)23()1()2(-<-

3()2(-<-

9设偶函数()f x 满足3

()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->= {|04}x x x <>或 10已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(),-∞+∞上单调递减，若

()()3110f x f ++≥，则x 的取值范围是__),3

(+∞-__．

11已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，若实数a 满足

)2()2(|1|->-f f a ，则a 的取值范围是（ )2

,21( ）

12已知定义在R 上的函数()2

1x m

f x -=- （m 为实数）为偶函数，记

()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为c a b <<

13)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(

14已知函数)(x f 是偶函数，在),0[+∞上单调递减，则)1(2

x f -的单调递增区间是

]1,0[]1,( --∞

15 已知函数)4(+x f 是偶函数，在),4(+∞上单调递减，则))54((log 2

2++-x x f 的单调递减区间为)4,1(-

16已知)(),(x g x f 都是奇函数，如果0)(>x f 的解集是)10,4(，0)(>x g 的解集为)5,2(，则

0)()(>?x g x f 的解集为)5,4()4,5( --

17 已知函数)(x f 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上是增函数，令

5(tan ),75(cos ),72(sin

ππf c f b f a ===，则c b a ,,的大小，b a c >> 18已知函数)(x f 是R 上的奇函数，若当),0(+∞∈x 时，)4lg()(+=x x f ，则满足0)(>x f 的解集，),5()0,5(+∞-

19设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是（ {}

|303x x x <-<<或）

20设()f x 是定义在上R 的偶函数，且当0x ≥时，()2x

f x =.若对任意的[],2x a a ∈+，不

等式()()2

f x a f

x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 2

≤a ． 21函数()f x 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上单调递增，则下列各式成立的是（ B ） A ．)1()0()2(f f f >>- B ．)0()1()2(f f f >->- C ．)2()0()1(->>f f f D ．)0()2()1(f f f >-> 22 R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121

()()

0f x f x x x -<-.则A.

（A ）(3)(2)(1)f f f <-< (B) (1)(2)(3)f f f <-<

A ．奇函数，且在)1,0(上是增函数

B ．奇函数，且在)1,0(上是减函数

C ．偶函数，且在)1,0(上是增函数

D ．偶函数，且在)1,0(上是减函数 24已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则

A ．()f x 在（0,2）单调递增

B ．()f x 在（0,2）单调递减

C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称

D ．y =()f x 的图像关于点（1,0）对称

25函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是

26函数()()0f x x ≠是奇函数，且当()x ∈+∞0，时是增函数，若()10f =，求不等式102f x ?

< ???

的解集。 27已知()f x 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数2

(2)(2)y f x f x m =++--只有一个

零点，则函数4

()(1)1

g x mx x x =+

>-的最小值是（5 ） 28已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间]2,0[上是增函数,若方程

)0()(>=m m x f 在区间

[]

8,8-上有四个不同的根

1234,,,x x x x ,则

1234_________.x x x x +++=-8

29 已知函数x x x f 4)(3

-=，求0)2(>-x f 的解集 ),4()2,0(+∞

30已知R 上的奇函数)0(44)(2

≥++-=x b x x x f ，求x x x f 83)(2

-≤的解集为六、函数奇偶性综合应用

1已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)32(2

)(222a a x a x x f --+-=

。

若R x ∈?,)()1(x f x f ≤-,则实数a 的取值范围为]6

6,66[- 2已知函数2

()m

m f x x -++= ()m Z ∈是偶函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增．

（Ⅰ）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（Ⅱ）2()log [32()]g x x f x =--，求()g x 的定义域和值域．答案：（Ⅰ）1m =，()2

f x x =；（Ⅱ）(],2-∞

3已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：

（1）()f x 是奇函数；（2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2

(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围。01a <<

4已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当

0x >时，()0f x <恒成立，证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数；（2）函数()

y f x =是奇函数。

5已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-．

(1)求)2012(f 的值；0 (2)求证：函数)(x f 的图像关于直线2=x 对称；

(3)若)(x f 在区间[0,2]上是增函数，试比较)80(),11(),25(f f f -的大小．)11()80()25(f f f <<-

6已知函数4()2

x x

n g x -=是奇函数，4()log (41)x

f x mx =++是偶函数. （1）求m n +的值；12

m n +=

（2）设1

()()2

h x f x x =+，若4()(log (21

))g x h a >+对任意[1,]x ∈+∞恒成立，求实数a 的

取值范围.1(,3)2

7已知函数31()log 1x

f x x

-=+.

（1）求函数()f x 的定义域；(1,1)- （2）判断函数()f x 的奇偶性；（3）当11[,]22

x ∈-时，()()g x f x =，求函数()g x 的值域.[1,1]-

8已知函数12()2x x b

f x a

+-+=+是定义域为R 的奇函数.

（1）求a ，b 的值；2a =,1b =

（2）若对任意t R ∈，不等式2

(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.1

k <-

9已知定义域为R 的函数()122x

x b f x a

+-=+是奇函数．

（1）求实数 a b ，的值；2

1a b =??

（2）判断()f x 在() -∞+∞，上的单调性并证明；

（3）若()()33920x x x f k f ?+-+>对任意1x ≥恒成立，求k 的取值范围．4

k <

10已知函数()()()()3

436f x x m x mx n x R =+--+-∈的图像关于原点对称(),m n R ∈．

（1）求,m n 的值；4,6m n ==

（2）若函数()()()

2F x f x ax b =-+在区间[]1,2上为减函数，求实数a 的取值范围．[)0,+∞

11已知定义在R 上的函数()22x x b f x a

-+是奇函数．

⑴求a b ，的值；1a b ==

⑵若对任意的t R ∈，不等式()()

22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围13?

?-∞- ??

?，

12设a 为实数，函数1||)(2

+-+=a x x x f ，R x ∈

（1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值。

13 已知函数c

bx ax x f ++=1

)(2（N c b a ∈,,）是奇函数，3)2(,2)1(<=f f ，且)(x f 在)

,1[+∞上是增函数，

（1）求c b a ,,的值；（2）当)0,1[-∈x 时，讨论函数的单调性。

14函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( D )

(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数

高中数学解题方法谈：函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性的判定方法函数奇偶性的判定方法较多，下面把常见的判定方法分类加以研究分析． 1．定义域判定法例1 判定()(1)2f x x x =-- 的奇偶性．解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，定义域不关于原点对称， ∴原函数是非奇非偶函数．评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数的奇偶性． 2．定义判定法例2 判断()f x x a x a =++-和奇偶性．解：函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且 ()()()()f a x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数．评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数的奇偶性． 3．等价形式判定法例3 判定2211 ()11x x f x x x ++-=+++的奇偶性．解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =， ∴图象过原点．又0x ≠ 时，22 22 ()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--， (1)()f f x ∴-=-．又(0)0f =，∴()f x 为奇函数．评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1() f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或 ()1() f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法例4 若0a >，()([])f x x a a ∈-，是奇函数，()() g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ?= 的奇偶性．

基本初等函数专项训练经典题

一、简答题 1、设．（1）判断函数的奇偶性；（2）求函数的定义域和值域． 2、设函数（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值． 3、已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数． (1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|； (3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值． 4、经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝115－|t－15|. (1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)． 5、某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是： P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*)

(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式； (2)若第x月的销售量g(x)＝ (单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403) 6、已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋a ln x(a为常数)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程； (2)当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间． 7、某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因； (2)若该公司采用模型函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值． 8、已知函数图象上一点P(2,f(2))处的切线方程为. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底,); (Ⅲ)令,如果图象与轴交于,AB中点为,求证:. 9、已知命题p：函数y＝log a(1－2x)在定义域上单调递增；命题q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对任意实数x 恒成立．若p∨q是真命题，求实数a的取值范围．

《函数的奇偶性与周期性》教案

教学过程一、课堂导入我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请想一下有哪些美？对于对称美，请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？若给它适当地建立直角坐标系，那么会发现什么特点？数学中对称的形式也很多，这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数

二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用

三、知识讲解考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件． 2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1. 3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．

考点2 周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

四、例题精析【例题1】【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝lg 1－x 1＋x ；(2)f(x)＝ ? ? ?x2＋x(x>0)， x2－x(x<0)； (3)f(x)＝ lg(1－x2) |x2－2|－2 .

第招如何判断函数的奇偶性

第11招如何判断函数的奇偶性？判断函数的奇偶性（有的还牵涉三角函数）是高考中常考的知识点，一般以选择题形式出现. 解法指导与经典范例（一）判断函数奇偶性的方法 1. 定义法这是最常用的方法.其解法步骤如下：（1）确定函数的定义域是否是关于原点的对称区间.若不是，可判断该函数是非奇非偶函数.若是，再按下列步骤继续进行.（2）在定义域内任取x ，以-x 代换f(x)中的x 得f(-x).(3)依据定义得出结论. 注意：（1）既是奇函数又是偶函数的函数只能是f(x)=0. （2）若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0.(如例6证一) 【例1】函数 ()()是x x x x f +-? +=11（）. A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D0非奇非偶函数解 (]()() 的奇偶性】判断函数【例原点对称的区间由于这定义域不是关于想）的定义域为函数得?????>+-<+=-≤<-≥+-00)(2. .1,19,1101122x x x x x x x f f x x x 解当x<0时，-x>0,()()() ().)(22x f x x x x x f -=+-=-+--=-∴ 而当x>0时，-x<0,()()()()x f x x x x x f -=-=-+-=-∴22 ()()()()().,,00,为奇函数故都有对任意x f x f x f x =-+∞∞-∈∴ 【例3】2002.北京文三（22）已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b R ∈都满足：()()().a bf b af b a f +=? (1) 求f(0)、f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论. 解（1）()()()()()()=?==?+?=?=111.00000000f f f f f f ()()1111f f ?+? ()f f ∴=,12（1）=0. （2）f(x)是奇函数.证明如下： ()()()[]()()()()().01.01,1211111=-∴=--=----=-?-=f f f f f f f 而又 ()()()()()().,11是奇函数x f x f xf x f x f x f ∴-=-+-=?-=- 2. 利用定义的等价命题来判断 ()()()()()().00是偶函数是奇函数；x f x f x f x f x f x f ?=--?=-+ 或：当()()()()()() ().110是偶函数是奇函数；时， x f x f x f x f x f x f x f ?=-?-=-≠

(完整版)函数奇偶性知识点和经典题型归纳

函数奇偶性知识梳理 1. 奇函数、偶函数的定义（1）奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数. （2）偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数. （3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性. （4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数. 注意：（1）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =．（2）若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数． 2．奇(偶)函数的基本性质 (1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反． 3. 判断函数奇偶性的方法（1）图像法（2）定义法 ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．例题精讲【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数，求b 的值. 解：∵函数 f (x )＝ax 2＋bx 是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴ax 2＋bx= ax 2-bx. ∴2bx=0. ∴b ＝0. 【例3】已知函数21()f x x =在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象. 题型一判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性. （1）2()||(1)f x x x =+；（2）1()f x x x =；

《函数的单调性和奇偶性》经典例题

经典例题透析类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x10 ∴x1f(x2) 上是减函数. 总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.

类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，

在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，；

函数的奇偶性与周期性练习题

函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f （x ）的定义域为R ，若f (x +2)为偶函数，则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. －2 B.－1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-，则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是（） A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，f(3)=3，则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则．

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 2.(1)周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (7)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (9)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一判断函数的奇偶性

奇偶性的典型例题

函数的奇偶性一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。二、函数的奇偶性的几个性质 ①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③、可逆性： )()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； )()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； ④、等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f )()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； ⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x

⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x ∈〔-1,1〕),g(x)=x(x ∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|=? ??<-≥),0)((),(0)((),(x f x f x f x f 不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶函数。

函数的奇偶性与周期性知识点与题型归纳

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等． 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题． 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意：研究函数奇偶性必须先求函数的定义域知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 1

2 3.奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2. 若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数，则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点？ (1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． (2)判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )、f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)． (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0=f ． (0)0=f 是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件 2．判断函数的奇偶性的方法（1）定义法： 1)首先要研究函数的定义域，

函数的奇偶性及周期性综合运用

函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【解析】由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那么 f(x) 的周期是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5],

函数的奇偶性的经典总结

x x x f 1)(+=1 )(2+= x x x f x x f 1)(=函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。（2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及 ) ()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。题型一判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2)(，（2）x x x f -=3)( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。（2）常见的奇函数有：x x f =)(，3)(x x f =，x x f sin )(=，（3）常见的奇函数有：2)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时，) ()(x g x f 为偶函数。（5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时，) ()(x g x f 是偶函数。

函数的基本性质(考点加经典例题分析)

函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性 1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。 2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。） 3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2 )()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2- =的左侧单调减小，右侧单调增加；当0-x f x f x f x f 或； ⑸根据定义下结论。例2、判断函数1 2)(-+= x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.

5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。例3：函数322-+=x x y 的单调减区间是（） A.]3,(--∞ B.),1[+∞- C.]1,(--∞ D.),1[+∞ 6．函数的单调性的应用：判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。例4：求函数1 2-= x y 在区间]6,2[上的最大值和最小值. 二、奇偶性 1．定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-，那么函数f(x)就叫偶函数；（等价于：0)()()()(=--?=-x f x f x f x f ）如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-，那么函数f(x)就叫奇函数。（等价于：0)()()()(=+-?-=-x f x f x f x f ）注意：当0)(≠x f 时，也可用1) ()(±=-x f x f 来判断。 2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。若函数)(x f 为奇函数，且在x=0处有定义，则0)0(=f ； 3．判断一个函数的奇偶性的步骤 ⑴先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵再判断)()(x f x f -=-或)()(x f x f =- 是否恒成立。