2015年全国统一考试文科数学一卷和二卷
2015年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,12,14},则集合A?B中元素的个数为
（A）5 （B）4 （C）3 （D）2
（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量AC=（-4，-3），则向量BC=
（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）
（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=
（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i
（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为
（A）10
3
（B）
1
5
（C）
1
10
（D）
1
20
（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为1
2
，E的右焦点与抛物线C：y2=8x
的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|=
（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
（7）已知是公差为1的等差数列，则=4，=
（A）（B）（C）10 （D）12
（8）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为
（A）（k-, k-）,k（B）（2k-, 2k-）,k
（C）（k-, k-）,k（D）（2k-, 2k-）,k
（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= （A）5 （B）6 （C）7 （D）8
（10）已知函数，且f （a ）=-3，则f （6-a ）=
（A ）-
74 （B ）-54 （C ）-34 （D ）-14
（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=
（A ）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8
（12）设函数y=f （x ）的图像关于直线y=-x 对称，且f （-2）+f （-4）=1， 则a=
（A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）4
2015年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学 第Ⅱ卷
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分
（13）在数列{a n }中， a 1=2,a n+1=2a n , S n 为{a n }的前n 项和。若-S n =126，则n=. （14）已知函数f(x)=ax 3+x+1的图像在点（1，f(1)）处的切线过点（2,7），则a= .
（15）x,y 满足约束条件
，则z=3x+y 的最大值为.
（16）已知F 是双曲线C ：x 2
-8
2
y =1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0,66）.
当△APF 周长最小是，该三角形的面积为
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本小题满分12分）
已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC （Ⅰ）若a=b ，求cosB ；
（Ⅱ）设B=90°，且a=2，求△ABC 的面积
（18）（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD. （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE ⊥EC ，三棱锥—ACD 的体积为
3
6
，求该三棱锥的侧面积 （19）（本小题满分12分）
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的
年宣传费和年销售量（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。
(y-y
表中w 1 ，w =
18
8
1
i w =∑1
（1） 根据散点图判断，y=a+bx 与y 关于年宣传费x 的
回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i ） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ） 年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据（u 1 v 1）,（u 2 v 2）…….. （u n v n ）,其回归线v=αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
（20）（本小题满分12分）
已知过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N 两点. （1） 求K 的取值范围；
（2） 若OM ·ON =12，其中0为坐标原点，求︱MN ︱.
（21）.（本小题满分12分） 设函数x 。 （Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数；
（Ⅱ）证明：当0a >时，2
()2ln
f x a a a
≥+。 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则安所做的第一题计分。作答时请写清题号。 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E 。
（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；
（Ⅱ）若，求∠ACB 的大小。
（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线1C :x=2-,圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原
点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求1
C ，C 2的极坐标方程。
（2）若直线C 3的极坐标为θ=
4
π
（ρ∈R ）,设C 2与C 3的交点为M ，N,求△C 2MN 的面积 （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f （x ）=|x+1|-2|x-a|，则a>0.
（1） 当a=1时，求不等式f （x ）>1的解集；
（2） 若f （x ）的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.
2015高考数学新课标Ⅱ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
（1） 已知集合A=｛x|-1 （A ）(-1,3) （B ）(-1,0) （C ）(0,2) （D ）(2,3) （2）若a 为实数且 231ai i i +=++,则a= （A ）-4 （B ）-3 （C ）3 （D ）4 （3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是 （A ） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 （4）=?+-=-=→ → → → → a b a b a )2(),2,1(),1,1(则 （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 （5）n S 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 1+ a 3+ a 5=3，则=5S （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11 （6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为 （A ） 81 （B ）71 （C ）61 （D ）5 1 （7）过三点A （0,0），B （0, 3） ，C （2,3）则ABC ?外接圆的圆心到原点的距离为 （A ） 35 （B ）321（C ）3 52 （D ）34 （8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b 分别为14,18，则输出的a= A.0 B.2 C.4 D.14 （9）已知等比数列{}n a 满足11 4a = ，()35441a a a =-，则2a = （A ）2 （B ）1 （C ）21 （D ）8 1 （10）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体 积的最大值为36，则球O 的表面积为 A ．36π B.64π C.144π D.256π （11）.如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，∠BOP=x 。将动点P 到AB 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为 （12） 的取值范围是成立的则使得设函数x x f x f x x x f )12()(,11 )1ln()(2 ->+- += （A ）)1,31( （B ）),1()31,(+∞-∞ （C ）)3131(，-（D ）)31 ()31(∞+--∞，， 二、填空题 （13）=--=a x ax x f ）则的图象过点（已知函数4,12)(3 （14）若x ，y 满足约束条件?? ?? ?≤+-≥--≤-+0120120 5y x y x y x ，则y x z +=2的最大值为____________. （15）已知双曲线过点)3,4(且渐近线方程为x y 2 1 ± =，则该双曲线的标准方程是 （16）已知曲线y=x+lnx 在点（1,1）处的切线与曲线1)2(3+++=x a ax y 相切，则a= 三．解答题 （17）?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD=2DC (Ⅰ) C B ∠∠sin sin 求 (Ⅱ) B BA C ∠=∠求若,600 (18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表 （1） 做出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评 分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可） （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级： 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大 19．（12分）如图，长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AB=16，BC=10，AA 1=8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E=D 1F=4。过E ，F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求平面a 把该长方体分成的两部分体积的比值。 20. 椭圆C ：0)b (a 1,b y a x 22 22>>=+的离心率 ）2，2，点（2 2 在C 上 （1）求椭圆C 的方程 （2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M. 证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； 21.设函数 (Ⅰ)讨论：f(x) 的单调性； （Ⅱ）当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a 的取值范围 请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写 清题号。 （22） （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC 的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，且与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点. （1）证明：EF 平行于BC （2） 若AG 等于圆O 的半径，且AE=MN= ,求四边形EBCF 的面积。 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ) 1(ln )(x a x x f -+= 在直角坐标系xOy 中，曲线 在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线： ，曲线 ： . （1）.求与交点的直角坐标 （2）.若与相交于点A ，与相交于点B ，求的最大值 （24）（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设a 、b 、c 、d 均为正数，且a+b=c+d,证明： d c b a cd ab +>+>则若,)1( 的充要条件是d c b a d c b a -<-+>+)2( ? ??<≤≠==)0,0t (sin cos :1πααα为参数，t t y t x C