函数奇偶性的判断方法 Prepared on 22 November 2020
函数奇偶性的判断方法
(周口卫生学校马爱华466000)
摘要:本文由两个高考题来验证判断函数奇偶性的三种常见方法:
1、利用奇偶函数的定义来判断(这是最基本,最常用的方法);
2、用求和(差)法判断;
3、用求商法判断。
关键词:奇函数偶函数定义域求和(差)法求商法
函数的奇偶性是函数的一个重要的性质,其重要性质体现在它与函数的各种性质的联系之中,那么,怎样来判断函数的奇偶性呢
函数的奇偶性的判断应从两方面来进行,一是看函数的定义域是否关于原点对称(这是判断奇偶性的必要性)二是看)(x f 与)(x f -的关系。判断方法有以下三种:
1、利用奇偶函数的定义来判断(这是最基本,最常用的方法) 定义:如果对于函数y=f (x )的定义域A 内的任意一个值x , 都有f (-x )=-f (x )则这个涵数叫做奇函数
f (-x )=f (x )则这个函数叫做偶函数
2、用求和(差)法判断
若0)()(=-+x f x f (()()2())f x f x f x --=则)(x f 为奇函数
若())(2)()(0)()(x f x f x f x f x f =-+=--则)(x f 为偶函数
3、用求商法判断 若()0)(1)
()(≠-=-x f x f x f 则)(x f 为奇函数
若()0)(1)
()(≠=-x f x f x f 则)(x f 为偶函数 例1、判断函数()x x x f ++=21lg )(的奇偶性(对口升学07年高考题) 解法一(定义法)
函数的定义域为R ,关于原点对称
=
()1221lg 11lg -++=++x x x x
=)x -()f x =-
)(x f ∴为奇函数
解法二(求和(差)法)
()()
x x x x x f x f -++++=-+221lg 1lg )()( =01lg =
)(x f ∴为奇函数
解法三(求商法)
)(x f ∴为奇函数
例2判断函数??
?
??+-=21121)(x x x f 的奇偶性(对口升学08年高考题) 解法一(定义法) 函数的定义域为0≠x 的全体实数,关于原点对称
解法二(求和(差)法)
解法二(求商法)
例3已知0)(=x f 是定义在R 上的函数,试判断)(x f 的奇偶性
解:)(x f 的定义域为R ,关于原点对称
又)
-
=
=
=
-
f-
x
(
f
)
(x
由例3可知,确实存在既是奇函数又是偶函数的函数,这种函数的值恒为零。
因此,函数可分为四类:
1、奇函数(非偶函数)
2、偶函数(非奇函数)
3、既是奇函数又是偶函数(既奇又偶函数)
4、既不是奇函数又不是偶函数(非奇非偶函数)
另外,我们还可以利用函数的图象来判断函数的奇偶性。
偶函数?其图象关于y轴对称
奇函数?其图象关于原点对称
从上面两个等价命题可以得出:奇函数在原点两侧的单调性相同(即同增同减);偶函数在原点两侧的单调性相反(即左增右减或左减右增)因此,我们也可以从函数的图象来判断函数的奇偶性,进而解决有关奇偶性的问题。
参考文献:
[1]《数学》(基础模块)上册中等职业教育课程改革国家规划教材2012年
[2]《数学》河南省职业技术教育教学研究室编
2013年河南省中等职业学校对口升学考试复习指导