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二次函数图像与性质总结(含答案)

二次函数图像与性质总结(含答案)
二次函数图像与性质总结(含答案)

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质:

2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。

3. ()2

y a x h =-的性质:

左加右减。

4. ()2

y a x h k =-+的性质:

二、二次函数图象的平移

1. 平移步骤:

方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,

处,具体平移方法如下:

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:

⑴c bx ax y ++=2

沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2

变成

m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)

⑵c bx ax y ++=2

沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2

变成

c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2)

三、二次函数()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

从解析式上看,()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2

2424b ac b y a x a a -?

?=++ ??

?,其中2424b ac b h k a a -=-=

,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定

其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们

选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,

、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,

,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.

五、二次函数2y ax bx c =++的性质

1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b

x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

,.

当2b x a <-

时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b

x a

=-时,y 有最小值2

44ac b a

-.

2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b

x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???

,.当

2b x a <-

时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b

x a

=-时,y 有最大值2

44ac b a

-.

六、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);

2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);

3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写

成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.

⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.

总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,

当0b >时,02b

a

-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02b

a

-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b

a

->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧.

⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02b

a

->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02b

a

-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b

a

-

<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.

ab 的符号的判定:对称轴a

b

x 2-

=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0

3. 常数项c

⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置. 总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.

二次函数解析式的确定:

根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:

1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.

八、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称

2

y a x b x c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---; ()2

y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2

y a x h k =---;

2. 关于y 轴对称

2

y a x b x c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+; ()2

y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2

y a x h k =++;

3. 关于原点对称

2

y a x b x c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2

y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是

()2

y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)

2

y a x b x c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2

2

2b y ax bx c a

=--+-

; ()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2

y a x h k =--+.

5. 关于点()m n ,

对称 ()2

y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()2

22y a x h m n k =-+-+-

根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适

的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.

二次函数图像参考:

十一、

2-3

2

y=-2x 2

y=3(x+4)2

2

y=3x

2

y=-2(x-3)2

【例题精讲】

一、一元二次函数的图象的画法

【例1】求作函数642

12

++=

x x y 的图象 【解】 )128(21

642122++=++=x x x x y

2-4)(2

1

4]-4)[(21 2222+=+=x x

【例2】求作函数342

+--=x x y 的图象。 【解】)34(342

2-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(2

2++-=-+-=x x

先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分,列表

【点评】画二次函数图象步骤: (1)配方; (2)列表;

(3)描点成图; 也可利用图象的对称性,先画出函数的左(右)边部分图象,再利用对称性描出右(左)部分就可。

二、一元二次函数性质

【例3】求函数962

++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标,并求它的单调区间。 【解】 7)3(796262

22-+=-++=++=x x x x x y

由配方结果可知:顶点坐标为)73(--,,对称轴为3-=x ; 01> ∴当3-=x 时, 7min -=y

函数在区间]3(--∞,上是减函数,在区间)3[∞+-,上是增函数。

【例4】求函数1352

++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值。

10

3

)5(232=-?-=-a b ,2029)5(431)5(44422=-?-?-?=-a b ac

∴函数图象的顶点坐标为)2029,103(

,对称轴为2029

=

x 05<- ∴当103=x 时,函数取得最大值2029

=maz y

函数在区间]10

3

,(-∞上是增函数,在区间),3[+∞-上是减函数。

【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时,方法有两个:

(1) 配方法;如例3 (2) 公式法:适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4,可避免出错。

任何一个函数都可配方成如下形式:)0(44)2(2

2≠-++=a a

b a

c a b x a y 【二次函数题型总结】 1.关于二次函数的概念

例1 如果函数1)3(2

32

++-=+-mx x m y m m 是二次函数,

那么m 的值为 。

例 2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ;对称轴是 ;顶点为 。

2.关于二次函数的性质及图象

例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,

则a 、b 、c ,?,c b a ++,c b a +-的符号

为 ,

例 4 已知a -b +c=0 9a +3b +c=0,则二次函数y=ax 2+bx +c 的图像的顶点可能在( )

(A ) 第一或第二象限 (B )第三或第四象限 (C )第一或第四象限 (D )第二或

第三象限

3.确定二次函数的解析式

例5 已知:函数c bx ax y ++=2

的图象如图:那么函数解析式为( ) (A )322++-=x x y (B )322--=x x y

(C )322+--=x x y (D )322---=x x y

4.一次函数图像与二次函数图像综合考查

例6 已知一次函数y=ax+c 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是

( ).

例7 如图:△ABC 是边长为4的等边三角形,AB 在X 轴上,点C 在第一象限,AC 与Y

抛物线c bx ax y ++=2A.(2,-11) B.(-2,7) C.

(2,11) D. (2,-3) 2. 把抛物线2

2y x =-向上平移1个单位,得到的抛物线是( )

A. 2

2(1)y x =-+ B. 2

2(1)y x =-- C. 2

21y x =-+ D. 2

21y x =-- 3.函数2

y kx k =-和(0)k

y k x

=

≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )

4.已知二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )

A.1个

B.2个

C. 3个

D. 4个 5.已知二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图),

由图象可知关于x 的一元二次方程2

0ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==

和( )

A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数2

y ax bx c =++的图象如图所示,则点(,)ac bc 在( )

A .第一象限

B .第二象限

C .第三象限

D .第四象限 7.方程2

2

2x x x

-=

的正根的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个. 3 个

8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为

A. 2

2y x x =-- B. 2

2y x x =-++

C. 2

2y x x =--或2

2y x x =-++ D. 2

2y x x =---或2

2y x x =++

二、填空题

9.二次函数2

3y x bx =++的对称轴是2x =,则b =_______。

10.已知抛物线y=-2(x+3)2+5,如果y 随x 的增大而减小,那么x 的取值范围是_______.

11.一个函数具有下列性质:①图象过点(-1,2),②当x <0时,函数值y 随自变量x 的增大而增大;满足上述两条性质的函数的解析式是 (只写一个即可)。 12.抛物线2

2(2)6y x =--的顶点为C ,已知直线3y kx =-+过点C ,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。

13. 二次函数2

241y x x =--的图象是由2

2y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。

14.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB 上离中心M 处5米的地方,桥的高度是 (π取3.14).

三、解答题:

15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0,52

-). (1)求这个二次函数的解析式;

(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0?

(3)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?

第15题图

16.某种爆竹点燃后,其上升高度h (米)和时间t (秒)符合关系式2

012

h v t gt =-

(0

计算.这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升,

(1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米?

(2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由.

17.如图,抛物线2

y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ,此抛物线与x 轴的另一个交点为C ,抛物线顶点为D. (1)求此抛物线的解析式;

(2)点P 为抛物线上的一个动点,求使APC S ?:ACD S ?=5 :4的点P 的坐标。

一,选择题、

1.A 2.C 3.A 4.B 5.D 6.B 7.C 8.C

二、填空题、

9.4b =- 10.x <-3 11.如2

24,24y x y x =-+=+等(答案不唯一) 12.1 13.-8 7 14.15

三、解答题

15.(1)设抛物线的解析式为2bx c y ax ++=,由题意可得

解得15,3,22a b c =-=-=- 所以215322y x x =--- (2)1x =-或-5 (2)3x <-

16.(1)由已知得,21

1520102

t t =-

??,解得123,1t t ==当3t =

时不合题意,舍去。32652b

a a

b

c c ?-=-?

?++=-?

??=-

?

所以当爆竹点燃后1秒离地15米.(2)由题意得,2

520h t t =-+=2

5(2)20t --+,可

知顶点的横坐标2t =,又抛物线开口向下,所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内,爆竹在上升.

17.(1)直线3y x =-与坐标轴的交点A (3,0),B (0,-3).则9303b c c +-=??-=-?解得2

3b c =-??=?

所以此抛物线解析式为2

23y x x =--.(2)抛物线的顶点D (1,-4),与x 轴的另

一个交点C (-1,0).设P 2(,23)a a a --,则2

11(423):(44)5:422

a a ??--??=.

化简得2235a a --=

当2

23a a -->0时,2

235a a --=得4,2a a ==- ∴P (4,5)或P (-2,5) 当2

23a a --<0时,2

235a a -++=即2

220a a ++=,此方程无解.综上所述,满足条件的点的坐标为(4,5)或(-2,5).

初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数, 0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,.

初中数学二次函数知识 点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中数学二次函数知识点总结 原文阅读 I.定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)] 交点式:y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x?,0)和 B(x ?,0)的抛物线] 注:在3种形式的互相转化中,有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2.抛物线有一个顶点P,坐标为:P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时,P 在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0,c) 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0.

总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

中考数学二次函数知识点总结 I. 定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存有如下关系:y=ax^2+bx+c (a, b, c为常数,a z0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,lal还能够决定开口大小,lal越大开口就越小,IaI 越小开口就越大. )则称y 为x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II. 二次函数的三种表达式 一般式:y=ax A2+bx+c (a, b, c 为常数,a z0) 顶点式:y=a(x-hF2+k[抛物线的顶点P (h, k)] 交点式:y=a(x-x)(x-x)[ 仅限于与x 轴有交点A(x, 0)和B( x, 0) 的抛物线] 注:在 3 种形式的互相转化中,有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-bA2)/4a x,x=(- b±V bA2-4ac)/2a III. 二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=xA2 的图像,能够看出,二次函数的图像是一条抛物线。 IV. 抛物线的性质 1. 抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a 。 对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物 线的对称轴是y 轴(即直线x=0)

2. 抛物线有一个顶点P,坐标为:P(-b/2a , (4ac-"2)/4a)当-b/2a=0 时,P在y轴上;当△二b^2-4ac=0时,P在x轴上。 3. 二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。 当a>0时,抛物线向上开口;当a v0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。 4. 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab> 0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab v 0),对称轴在y轴右。 5. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点。 抛物线与y 轴交于(0, c) 6. 抛物线与x 轴交点个数 △=b A2-4ac >0时,抛物线与x轴有2个交点。 △=bA2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 △=bA2-4ac v 0时,抛物线与x轴没有交点。 X的取值是虚数(x=-b±V bA2 —4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a) V. 二次函数与一元二次方程 特别地,二次函数(以下称函数)y=axA2+bx+c, 当y=0 时,二次函数为关于x 的一元二次方程(以下称方程),即 axA2+bx+c=0 此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

二次函数知识点总结及典型题目 一.定义: 一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过(0,c )点. 二.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0

二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质:(上加下减)

3. ()2 y a x h =-的性质:(左加右减) 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k , 处,具体平移方法如下:

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数() 2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到 前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为: 顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有

《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师:同学们,我们上一节课一起研究了二次函数的表达式,那么我们一起来回忆一下表达式是什么? 学生齐答:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a不为0) 教师:好,那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. (学生表现很踊跃,一下写出了十多个) 教师:黑板上这些二次函数大致有几个类型? 学生:(讨论了3分钟)四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师:太棒了!同学们归纳的很好,今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质! 教师在学生板书的函数中选了四个,并把复杂的系数换成简单的常数,找到如下函数:y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材!) 教师启发学生利用函数中的“列表,描点,连线”的方法,把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组,一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”,兴趣很大,合作交流充分,课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导,在确认画图全部正确的情况下,提出了要求,开始了探究之旅. 教师:请同学们小组之间比较一下,你们画的图象位置一样吗? 学生;不一样. 教师:有什么不一样?(开始聚焦矛盾) 学生:开口不一样. 学生A:走向不一样. 学生B:经过的象限不一样. 学生C:我们的图象在原点的上方,他们的图象在原点的下方. 教师:看来是有些不一样,那么它们位置的不一样是由什么要素决定的?(教师指明了探究方向,但未指明具体的探究之路,这是明智的) 学生:是由二次项系数的取值确定的. 教师:好了,根据同学们的回答,能得到图象或函数的那些结论?(顺水推舟,放手让学生一搏) 热烈讨论后,学生D回答并板书,当a>0时,图象在原点的上方,当a<0时,图象在原点的下方。 学生E:当a>0时,图象开口向上;当a<0时,图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! (这个过程约用了十多分时间,学生体会非常充分,从学生的神情看,绝大多数学生已接受了这几个学生的板书,但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢?短暂停顿后,教师确定了思路) 教师:刚才你们是研究图象的性质,你们能否由图象性质得出相应的函数的性质? 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师:请看同学们的板书,能揣摩图象“走向”的意思吗? 学生:(七嘴八舌)当a>0时,图象从左上向下走到原点后在向右上爬;当a<0时,图象从左下向上爬到原点后在向右下走(未出现教师所预期的结论) 教师:好,你们从图象的直观形象来理解的图象性质,很贴切,你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗?

初三数学二次函数知识点总结 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小. 当a>0时,二次函数图像向上开口;当a<0时,抛物线向下开口. |a|越大,则二次函数图像的开口越小. 1、决定对称轴位置的因素 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置. 当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab< 0 ),对称轴在y轴右. 事实上,b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值.可通过对二次函数求导得到. 2、决定二次函数图像与y轴交点的因素 常数项c决定二次函数图像与y轴交点. 二次函数图像与y轴交于(0,c) 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2 =++(a b c y ax bx c ,,是常数,0 a≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0 a≠,而b c,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2 =++的结构特征: y ax bx c ⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵a b c ,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.

二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2 =的性质: y ax a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。Array 2. 2 =+的性质:上加下减。 y ax c

1. 二次函数的定义: 2、 二次函数的解析式三种形式 与y 轴交点坐标(0,c ) (1)二次函数y=ax 2 (a z 0)的图象是一条抛物线, 其顶点是原点,对称轴是 y 轴;当a >0时,抛物线开口向上,顶点是最低点;当 a v 0时,抛物线开 口向下,顶点是取咼点; 2 ⑵二次函数?' 1 :二' b_ h_ 当a >0时,抛物线开口向上,图象有最低点,且 x >-二:,y 随x 的增大而增大,x v -二:, y 随x 的增大而减小;当a v 0时,抛物线开口向下,图象有最高点 Aac-b 1 b — X 二— I ;当a v 0时,当 二时,函数有最大值 4ac-b 2 4盘 4.二次函数 y=ax2+bx+c (a 丰0)的各项系数 a 、b 、c 对其图象的影响 (1) a 决定抛物线的开口方向和开口大小: a >0,开口向上;a v 0,开口向下.|a 的 越大,开口越小. b X ----- (2) a 与 b 决定抛物线对称轴的位置: a 、 b 同号,抛物线的对称轴(即 直线 )或顶点在y 轴左侧; i x ----- a 、 b 异号,抛物线的对称轴(即直线 一二)或顶点在y 轴右侧;(左同右异); b=0时,抛物线的对称轴是 y 轴. (3) c 决定抛物线与y 轴交点(0, c )的位置:c >0,抛物线与y 轴交于正半轴;c v 0,抛物线与y 轴交于负 半轴;c=0,抛物 二次函数 2 形如r ' - ■'0, a, b , c 为常数)的函数为二次函数 般式 y=ax 2 +bx+c( a 丰 0) -------------- 1 2 顶点式| y = a(x - h) + k b 2 4a c — b 2 两根式 y = a(x -x j (x -x 2 ) 3、二次函数 对称轴: b 2a 顶点坐标: (b 4ac-b 2) 2a' 4a 增减性:当a>0时,对称轴左边, 当a<0时,对称轴左边, y 随x 增大而减小;对称轴右边, y 随x 增大而增大;对称轴右边, y 随x 增大而增大 y 随x 增大而减小 b 71 — -- ⑶当a >0时,当 丄;时,函数有最小值

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。 =-的性质: y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质: 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.

概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对 称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值2 44ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);

二次函数总结及相关典型题目

二次函数知识点总结及相关典型题目 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a , 那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0

①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0

§ 一元二次函数的图象和性质 1. 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2. 掌握一元二次函数的性质,能利用性质解决实际问题 3. 会求二次函数在指定区间上的最大(小)值 4. 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 1.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3.任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式: a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1)图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --,对称轴是直线a b x 2-=。 (2)最大(小)值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值,a b a c y 442 min -=,无最大 值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小 值。 (3)当0>a ,函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数,在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0

【解】 )128(2 1 642122++=++= x x x x y 2-4)(2 1 4]-4)[(21 2222+=+=x x 以 为中间值,取x 的一些值,列表如下: … …【例2】求作函数342 +--=x x y 的图象。 【解】)34(342 2-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(2 2++-=-+-=x x 先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分,列表 【点评】画二次函数图象步骤: (1)配方; (2)列表; (3)描点成图; 也可利用图象的对称性,先画出函数的左(右)边部分图象,再利用对称性描出右(左)部分就可。 二、一元二次函数性质 【例3】求函数962 ++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标。 【解】 7)3(796262 22-+=-++=++=x x x x x y 由配方结果可知:顶点坐标为)73(--,,对称轴为3-=x ; 01> ∴当3-=x 时, 7min -=y 【例4】求函数1352 ++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值。 10 3 )5(232=-?-=-a b ,2029)5(4 31)5(44422=-?-?-?=-a b ac ∴函数图象的顶点坐标为)2029,103( ,对称轴为2029=x 05<- ∴当103=x 时,函数取得最大值20 29 =maz y

二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质: 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ;开口向上;在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移。 (2)抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移;当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移;当0>h 时向左平移;当0

3.二次函数的最值公式: 形如 c bx ax y ++=2 的二次函数。时当0>a ,图像有最低点,函数有最小值 a b ac y 442-= 最小值 ;时当0?时抛物线与x 轴有两个交点;当0=?抛物线与x 轴有一个交点;当 0

二次函数知识点汇总及详细剖析 函数中,有一种多项式函数形如y= ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),最高次数是2,这种函数,我们称之为二次函数。二次函数知识点颇多,初高中都会出现,在初中,刚刚出现在一次函数数形结合学习之后,因此,二次函知识点离不开数形结合思想。二次函数主要知识点: 一、定义与定义表达式: 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 二、二次函数的三种表达式 一般式:y=ax2;+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 顶点式:y=a(x-h) 2;+k[抛物线的顶点P(h,k)] 交点式:y=a(x- x1)(x- x2)[仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线] 注:在3种形式的互相转化中,有如下关系: h=-b/2a k=(4ac- b2)/4a x1,x2=(-b±√b2-4ac)/2a 三、二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像, 可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。 四、抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。 对称轴为直线:x=-b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2.抛物线有一个顶点P,坐标为P[-b/2a,(4ac-b2;)/4a]。 当-b/2a=0时,P在y轴上; 当Δ=b2-4ac=0时,P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。 |a|越大,则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0,c)。 6.抛物线与x轴交点个数 Δ=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。

二次函数各种题型汇总一、利用函数的对称性解题 (一)用对称比较大小 例1、已知二次函数y=x2-3x-4,若x 2-3/2>3/2-x 1 >0,比较y 1 与y 2 的大小 解:抛物线的对称轴为x=3/2,且3/2-x 1>0,x 2 -3/2>0,所以x 1 在对称轴的左侧,x 2 在对称 轴的右侧, 由已知条件x 2-3/2>3/2-x 1 >0,得:x2到对称轴的距离大于x 1 到对称轴的距离,所以y 2 > y 1 (二)用对称求解析式 例1、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-1,4),与x轴两交点间的距离为6,求此抛物线的解析式。 解:因为顶点坐标为(-1,4),所以对称轴为x=-1,又因为抛物线与x轴两交点的距离为6,所以两交点的横坐标分别为: x 1=-1-3=-4,x 2 =-1+3=2 则两交点的坐标为(-4,0)、(2,0); 设抛物线的解析式为顶点式:ya(x+1)+4,把(2,0)代入得a=-4/9。 所以抛物线的解析式为y=-4/9(x+1)2+4 (三)用对称性解题 例1:关于x的方程x2+px+1=0(p>0)的两根之差为1,则p等于() A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 解:设方程x2+px+1=0(p>0)的两根为x1、x2,则抛物线y=x2+px+1与x轴两交点的坐标为(x1,0),(x2,0)。因为抛物线的对称轴为x=-p/2,所以x1=-p/2-1/2,x2=-p/2+1/2,因为x1x2=1。所以(-p/2-1/2)(-p/2+1/2=1,p2=5 因为p>0,所以p=5例2、如图,已知抛物线y=x2 +bx+c的对称轴为x=2,点A,B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为() A.(2,3) B.(3,2) C.(3,3) D.(4,3)

二次函数的图像与性质 一、知识点梳理 二次函数的概念: 一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数各种形式之间的变换 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2 的形式,其中 a b a c k a b h 4422 -=-=,. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2;③()2 h x a y -=; ④()k h x a y +-=2 ;⑤c bx ax y ++=2. 抛物线2y ax bx c =++的三要素:开口方向、对称轴、顶点. a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0

二次函数知识点总结——题型分类总结 一、二次函数的定义 (考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式) 1、下列函数中,是二次函数的是 . ①142 +-=x x y ; ②2 2x y =; ③x x y 422 +=; ④x y 3-=; ⑤12--=x y ; ⑥p nx mx y ++=2 ; ⑦()x y ,4=; ⑧x y 5-=。 2、在一定条件下,若物体运动的路程s (米)与时间t (秒)的关系式为t t s 252 +=,则t =4秒时,该物体所经过的路程为 _________ 。 3、若函数( ) 54722 2 ++-+=x x m m y 是关于x 的二次函数,则m 的取值范围为 。 4、若函数()1522 ++-=-x x m y m 是关于x 的二次函数,则m 的值为 。 6、已知函数()35112 -+-=+x x m y m 是二次函数,求m 的值。 二、二次函数的对称轴、顶点、最值 记忆:如果解析式为顶点式:()k h x a y +-=2 ,则对称轴为: _ , 最值 为: ; 如果解析式为一般式:c bx ax y ++=2 ,则对称轴为: __ ,最值为: ; 如果解析式为交点式:()()21x x x x a y --=, 则对称轴为: ,最值为: 。 1.抛物线m m x x y -++=2 2 42经过坐标原点,则m 的值为 。 2.抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为(1,3),则b = ,c = . 3.抛物线x x y 32+=的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若抛物线x ax y 62-=经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5.若直线b ax y +=不经过二、四象限,则抛物线c bx ax y ++=2 ( ) A.开口向上,对称轴是y 轴 B.开口向下,对称轴是y 轴 C.开口向下,对称轴平行于y 轴 D.开口向上,对称轴平行于y 轴 6.已知抛物线()4 1 12- -+=x m x y 的顶点的横坐标是2,则m 的值是 . 7.抛物线322 -+=x x y 的对称轴是 。 8.若二次函数332 -+=mx x y 的对称轴是直线x =1,则m = 。 9.当n =______,m =______时,函数()()x n m x n m y n -++=的图象是抛物线,

. : .: 增大而减小随在对称轴右侧,增大而增大;随在对称轴左侧,开口向下增大而增大随在对称轴右侧,增大而减小;随在对称轴左侧,开口向上x y x y x y x y 一、二次函数的定义 1.下列函数中属于一次函数的是( ),属于反比例函数的是( ),属于二次函数的是( ) A .y =x(x +1) B .xy =1 C .y =2x 2 -2(x +1) 2 D .132 +=x y 2.当m 时,函数y =(m -2)x 2 +4x -5(m 是常数)是二次函数. 3.若1 222 )3(---=m m x m m y 是二次函数,则m = . 4.若函数y =3x 2 的图象与直线y=kx +3的交点为(2,b),则k= ,b = . 5.已知二次函数y =―4x 2-2mx+m 2与反比例函数24 m y x +=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是―2,则m 的值是 . 二、二次函数的图象与性质 ) (44)()(22),() 44,2)(2 2 2 2 y x a b a c y k y h x a b x h x a b x k h a b a c a b a a k h x a y c bx ax y 代入求或将值小最大值小最大时,最值:当时, 最值:当对称轴:对称轴:顶点顶点(开口方向开口方向公式-===-==- =--↓↓+-=→----++= 1.对于抛物线y =ax 2,下列说法中正确的是( ) A .a 越大,抛物线开口越大 B .a 越小,抛物线开口越大 C .|a |越大,抛物线开口越大 D .|a |越小,抛物线开口越大 2.下列说法中错误的是( ) A .在函数y =-x 2中,当x =0时,y 有最大值0 B .在函数y =2x 2 中,当x >0时,y 随x 的增大而增大 C .抛物线y =2x 2,y =-x 2,22 1x y -=中,抛物线y =2x 2的开口最小,抛物线 y =-x 2的开口最大 D .不论a 是正数还是负数,抛物线y =ax 2的顶点都是坐标原点 3.二次函数 y=2(x -3)2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为( ) A .开口向下,对称轴x=-3,顶点坐标为(3,5) B .开口向上,对称轴x =3,顶点坐标为(3,5) C .开口向上,对称轴x=-3,顶点坐标为(-3,5) D .开口向下,对称轴x=-3,顶点坐标为(-3,-5) 4.已知抛物线的解析式为y=(x -2)2+1,则抛物线的顶点坐标是 ( ) A .(-2,1) B .(2,1) C .(2,-1) D .(1,2) 5.已知二次函数y =x 2-4x +5的顶点坐标为( ) A .(-2,-1) B .(2,1) C .(2,-1) D .(-2,1) 6.抛物线y=x 2+2x-1的对称轴是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大;当x 时,y 随x 的增大而减小. 7.抛物线c bx x y ++=23的顶点坐标为)0,3 2 (,则b= ,c= . 8.函数y =x 2―2x -l 的最小值是 ;函数y =-x 2+4x 的最大值是 . 9.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上,则a = . 配方

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