1.2 任意角的三角函数

4-1.2.1任意角的三角函数

教学目的：

知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义；

2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；

3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。

教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各

象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。

教学过程： 一、复习引入：

初中锐角的三角函数是如何定义的？

在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依

次为,,a b a

sinA cosA tanA c c b

=

== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲解新课： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，

它与原点的距离为(0)r r ==

>，那么

（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x

r α=；

（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y

x

α=；

所以正弦、余弦、正切、是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上三种函数

统称为三角函数。

2．三角函数的定义域、值域

注意：

(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合.

(2) α是任意角，射线OP 是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox 转了几圈，按什么方向旋转到OP 的位置无关.

(3)sin α是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:

锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形

的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.

(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x 轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆. 3．例题分析

例1．已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的三个函数制值。 解：

例2．求下列各角的三个三角函数值：

（1）0； （2）π； （3）32

π． 解：

例3．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的三个三角函数值。 解：

例4．若角α的终边落在直线y x 815=上，求21

log tan cos αα

-

4．三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

①正弦值

y

r 对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； ②余弦值x

r 对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；

③正切值y

x

对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）．

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

sin α

为正 全正

正切、余切

余弦、正割

正弦、余割

tan α

为正

cos α

为正

5．诱导公式

由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角的同一三角函数值相同。

即有：

sin(2)sin k απα+=，

cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈． tan(2)tan k απα+=，

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．

例1 确定下列三角函数值的符号： （1）cos 250

； （2）sin()4

π

-； （3）tan(672)- ； （4）11tan

3

π

． 例2 求函数x

x

x

x y tan tan cos cos +

=

的值域 解：

五、课堂作业：

1. 三角函数的定义

1）已知点P (3,-4)r r (0)r ≠，在角α的终边上，求sin α、cos α、tan α的值。

2）已知角α的终边经过P(4,-3),求2sin α+cos α的值

3）已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4

α=，求cos ,sin αα的值。

2．三角函数的符号：

练习2：已知sin 0α<且tan 0α>， （1）求角α的集合；（2）求角2α终边所在的象限；（3）试判断tan ,sin cos 222

ααα的符号。

3．诱导公式：

练习3：求下列三角函数的值： （1）9cos

4π， （2）11tan()6

π-， （3）9sin 2π．

六．课后作业：

（一）、知识梳理、双基再现

1、在直角坐标系中，设α是一个任意角,它的终边上任意一点P(x,y),那么:

⑴ 叫做α的正弦,记作 , 即 . ⑵ 叫做α的余弦,记作 ,即 . ⑶ 叫做α的正切,记作 ,即 .

当α= 时, α的终边在y 轴上,这时点P 的横坐标等于 ,所以 无意义.除此之外,对于确定的角α,上面三个值都是 .

所以, 正弦、余弦、正切都是以 为自变量,以 为函数值的函数,我们将它们统称为 .

（二）、小试身手、轻松过关

1.已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在第 象限。

2.已知角θ的终边在直线y =

3

3

x 上，则sin θ= ；θtan = ． 3.已知角θ的终边经过点（-3，4），求角θ的正弦、余弦和正切值。

（三）、【基础训练、锋芒初显】

1．若θ是第三象限角，且02

cos

<θ

，则2θ

是第 象限角。

2.角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13cos ≠=m m

α，则sin α+cos α=______．

3.设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是 ．

4(1) 已知角α的终边经过点P(4,－3)，求2sin α+cos α的值；

（2）已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值；

七．三角函数线：

当角的终边上一点(,)P x y

1=时，有三角函数正弦、余弦、正切

值的几何表示——三角函数线。

1．单位圆：圆心在圆点O ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。 2．有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 3．三角函数线的定义：

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点

P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向

延

长线交与点T .

由四个图看出：

当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有

sin 1y y y MP r α=

===， cos 1x x

x OM r α====， tan y MP AT

AT x OM OA

α====．

我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。 说明：

①三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦 线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单 位圆内，一条在单位圆外。

②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向 垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点

③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向

的为负值。

④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。

4．例题分析：

例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 （1）3π； （2）56π； （3）23π-； （4）136

π-．

例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：

1? 32sin π与54sin π 2? tan 32π与tan 54π

例3．利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角

1? sin α≥2

1

2? tan α>33

例4．利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围。

（1）1sin 2x <-

； （2）1

cos 2x >； （3）1|cos |2

x ≤； （4）1

sin 2x ≥且tan 1x ≤-．

四、小 结：本节课学习了以下内容：

1．三角函数线的定义；

2．会画任意角的三角函数线；

3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。

五、课后作业：

补充：1．利用余弦线比较cos64,cos 285

的大小；

2．若

4

2

π

π

θ<<

，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小；

3．分别根据下列条件，写出角θ的取值范围：

（1）cos 2θ< ； （2）tan 1θ>- ； （3）sin 2

θ>-．

任意角 弧度制 任意角的三角函数巩固与提高

一、知识回顾

知识点1：角的概念的推广：①正角：____________；负角：___________；零角：____________。 知识点2：终边相同的角：与α角终边相同的角，都可用式子k 3360°＋α表示，k ∈Z ， 知识点3：象限角：

轴线角：

第一象限________________； 第二象限_______________ ； 第三象限________________； 第四象限________________； 终边为x 轴______________； 终边为y 轴_______________。 知识点4：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度； 半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，

则α弧度数的绝对值为|α|＝l

r 。用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制。

知识点5：扇形的公式：l=αR; S 扇＝12lR ；21

2

S R α=扇.其中R 是半径，)20(παα<<为圆心

角。单位：弧度rad.（提醒: α如果是度必须先化成弧度）

知识点6： ①在直角坐标系中，设角α终边上任意一点P

)y ， 它与原点的距离为)0(2

2>+=y x r r ，那么 （1）比值

y

r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x

α=；

（3）比值y

x 叫做α的正切，记作tan α，即tan x α=

②设α的终边与单位圆交于点P (,)x y ，那么：sin α=y ；cos α=x ；tan y

x

α=)0(≠x 。 ③α的终边在y 轴上即：α＝

ππ

k +2

（Z k ∈）时点P 的横坐标x ＝0，故tan α无意义

④三角函数值的符号

y y y

+ + - + - + O x O x O x

- - - + + - sin α cos α tan α

知识点7： rad _____360=?，rad _____180=?，rad _____1=?，__(___)1≈?=rad

1、在0o到360o的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：

（1）650o （2）-150o （3）-990.4o

2.写出终边直线在y =x 上的角的集合S , 并把S 中适合不等式360720α?-≤

3、如图：写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）

图1 图2

4、①已知扇形半径为10cm,圆心角为60o，求扇形弧长和面积；

②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad ,求扇形的面积。

5、已知角α的终边经过点P （2，-3），求2sin α+cos α+tan α

6、利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合 （1）21cos ≤

α （2）2

1

sin ->α

7、下列各命题，其中正确的有__________．

①相等的角终边相同； ②终边相同的角一定相等；

③第二象限的角一定大于第一象限的； ④若0180α<< ,则α必是第一或第二象限的角

8、已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在

（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

9、角α的终边落在区间（－3π,－5

2 π）内,则角α所在象限是 （ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

10、角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13

cos ≠=

m m

α，则sin α+cos α=______．

11、已知一个扇形周长为(0)C C >，当扇形的中心角为多少时，它的面积最大？

四、总结提升

1．角度制与弧度制是度量角的两种制度，角度与弧度的换算时要抓住180o=π rad 这一关系式 2．熟练掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.

3．三角函数的定义及性质，特殊角的三角函数值，三角函数的符号问题. 4．各象限的三角函数的符号规律可概括为：“一正二正弦，三切四余弦”

五、课后作业

1、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．

2、在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为 ．

3、角α，β的终边关于0=+y x 对称，且α=-60°，则角β是

4、若圆的半径是cm 6，则

15的圆心角所对的弧长是 ；所对扇形的面积是 .

5、已知α终边经过)12,5(-P ，则=αsin .

4-1.2.2同角三角函数的基本关系（1）

教学目的：

知识目标： 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式； 2.掌握三种基本关系式之间的联系；

3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。

一、复习引入：

1．任意角的三角函数定义：

设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)P x y ，

它与原点的距离为(0)r r ==

>，那么：

sin y r α=

，cos x r α=，tan y x

α=， 2．当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tg α、的符号分别是怎样的？ 3．背景：如果5

3

sin =

A ，A 为第一象限的角，如何求角A 的其它三角函数值； 4．问题：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？

二、讲解新课：

（一）同角三角函数的基本关系式：

1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系： （1）平方关系：

（2）商数关系：

说明：①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如2

2

sin 4cos 41αα+=等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；

③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：

cos α=，22sin 1cos αα

=-，

sin cos sin cos tan tan α

αααα

α==?， ，

等。 2．例题分析： 例1．（1）已知12

sin 13

α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan αα． （2）已知4

cos 5

α=-，求sin ,tan αα．

总结：

1.已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值

中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。要分象限进行讨论

2.解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方

关系开平方时，漏掉了负的平方根。

例2．已知tanα为非零实数，用tanα表示sin,cos

αα．

4．总结解题的一般步骤：

先确定角的终边位置，再根据关系式求值。如已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其它关系求值；若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。

4-1.2.2同角三角函数的基本关系（2）

一、复习：

1．同角三角函数的基本关系式。平方关系：

商的关系：

（练习）已知tanα

4

3

=，求cosα

2．tanαcosα= ，

二、讲解新课：“1:”的代换“切化弦”或“弦化切”

例1

例2

例3、已知α=αcos 2sin ，求

的值。

及αα+αα+αα

-αcos sin 2sin cos 2sin 5cos 4sin 2

强调（指出）技巧：1?分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式

2?“化1法”

例4、已知3

3

cos sin =α+α，求sin cos αα-的值。

例6、已知)0(5

1

cos sin π<θ<=α+α，求的值。及θ-θθ33cos sin tan

例7、已知是第四象限角，α+-=α+-=

α,5

3

cos ,524sin m m m m 求的值。αtan

三、巩固与练习

1：已知12 sin α+5 cos α=0，求sin α、cos α的值.

3. 已知3tan =α，

求（1）α

αα

αsin 3cos 5cos 2sin 4+-；

（2）αααα22

cos 3cos sin sin

2-+；

说明：（1）为了直接利用3tan =α，注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以αcos ,将分子、分母转化为αtan 的代数式；

（2）可利用平方关系1cos sin 2

2

=+αα，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为αtan 的分式求值；

练习：

22223222(1)sin sin 1

(2)sin cos ,sin cos 5

11(3),tan 4

4cos 5sin (1);6cos 7sin (2)8sin 9cos .tg A A tg A A x x x x

x x x x x x x -=?-=-=-+-证明：设求求

4466(4)1sin cos (4)

1sin cos x x x x

----化简

5.已知1sin sin 2=+θθ，求θθ6

2cos cos +值；

分析：本题关键时灵活地多次运用条件1sin sin 2

=+θθ从而结合同角三角函数关系式达到降次求解的目标；

小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常常将式子中的“1”作巧妙的变形，如：1=2

2

sin cos αα+

四、小 结：本节课学习了以下内容：

1．运用同角三角函数关系式化简、证明。

2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。

练习:（1.）已知sin α=2sin β，tan α=3tan β，求α2cos 的值.

（1

）已知1sin cos (0)2x x x π+=<<，求sin ,cos x x ．

解：由1sin cos )2

x x x π+=<<等式两边平方：

222

sin cos 2sin cos x x x x ++=．

∴sin cos 4

x x =-*），

即sin cos sin cos x x x x ?+=????=??，

sin ,cos x x 可看作方程20z z -=的两个根，解得121,2z z ==． 又∵0x π<<，∴sin 0x >．又由（*）式知cos 0x <

因此，1sin ,cos 2x x ==．

4-1.3三角函数的诱导公式

1、提问：试叙述三角函数定义

2、提问：试写出诱导公式（一）

3、提问：试说出诱导公式的结构特征

4、板书诱导公式（一）及结构特征： 诱导公式（一）

结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等

②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题。

5、问题：试求下列三角函数的值 （1）sin1110° （2）sin1290°

学生：（1）sin1110°=sin （332π°+30°）=sin30°=

2

1

（2）sin1290°=sin （33π°+210°）=sin210°

（至此，大多数学生无法再运算，从已有知识导出新问题） 6

演示（一）

（1）210°能否用（180°+α）的形式表达？

（0°＜α＜90°＝（210°=180°+30°）

（2）210°角的终边与30°的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）（3）设210°、30°角的终边分别交单位圆于点p、p＇，则点p与p＇的位置关系如何？（关于原点对称）

（4）设点p（x，y），则点p’怎样表示？[p＇（－x,－y）]

（5）sin210°与sin30°的值关系如何？

7、师生共同分析：

在求sin210°的过程中，我们把210°表示成（180°+30°）后，利用210°与30°角的终边及其与单位圆交点p与p′关于原点对称，借助三角函数定义，把180°～270°角的三角函数值转化为求0°～90°角的三角函数值。

8、导入课题：对于任意角α，sinα与sin（180+α）的关系如何呢？试说出你的猜想。

（二）运用迁移规律，引导学生联想类比、归纳、推导公式

（I）1、引导学生观察演示（二），并思考下列问题二：

设α为任意角演示（二）

（1）角α与（180°+α）的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）

（2）设α与（180°+α）的终边分别交单位圆于p，p′，则点p与

p′具有什么关系？（关于原点对称）

（3）设点p（x,y），那么点p′坐标怎样表示？[p′（－x,－y）]

（4）sinα与sin（180°+α）、cosα与cos（180°+α）关系如何？

（5）tanα与tan（180°+α）

（6）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式特征如何？

2、教师针对学生思考中存在的问题，适时点拨、引导，师生共同归纳推导公式。

（1）板书诱导公式（二）

（2）结构特征：①函数名不变，符号看象限（把α看作锐角时）

②把求（180°+α）的三角函数值转化为求α的三角函数值。

3、基础训练题组一：求下列各三角函数值（可查表） ①cos225° ② tan 43π ③sin 10

11π

4、用相同的方法归纳出公式： sin （π－α）=sin α cos （π－α）=－cos α tan （π－α）=－tg α

5、引导学生观察演示（三），并思考下列问题三：

演示（三）

（1 （关于x 轴对称） （2）设30°与（－30°）的终边分别交单位圆于点p 、p ′，则点p 与 p ′的关系如何？

（3）设点p （x,y ），则点p ′的坐标怎样表示？ [p ′(x,－y)] （4）sin （－30°）与sin30°的值关系如何？

6、师生共同分析：在求sin （－30°）值的过程中，我们利用（－30°）与30°角的终边及其与单位圆交点p 与p ′关于原点对称的关系，借助三角函数定义求sin （－30°）的值。

（Ⅱ）导入新问题：对于任意角α sin α与sin （－α）的关系如何呢？试说出你的猜想？

1、引导学生观察演示（四），并思考下列问题四：

设α为任意角 演示（四）

（1）α与（－α）角的终边位置关系如何？ （关于x 轴对称）

（2）设α与（－α）角的终边分别交单位圆于点p 、p ′，则点p 与p ′位置关系如何？（关于x 轴对称）

（3）设点p(x,y)，那么点p ′的坐标怎样表示？ [p ′(x,－y)] （4）sin α与sin （－α）、 cos α与cos （－α）关系如何？ （5）tg α与tg （－α）

（6）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式结构特征如何？ 2、学生分组讨论，尝试推导公式，教师巡视及时反馈、矫正、讲评 3、板书诱导公式（三）

结构特征：①函数名不变，符号看象限（把α看作锐角）

②把求（－α）的三角函数值转化为求α的三角函数值

4、基础训练题组二：求下列各三角函数值（可查表） ① sin （－

3

π

） ②tg （－210°） ③cos （－240°12′） 2、公式的结构特征：函数名不变，符号看象限（把α看作锐角时） （Ⅱ）能力训练题组：（检测学生综合运用知识能力） 1、已知sin(π+α)=

5

4

（α为第四象限角），求cos(π+α)+tg(－α)的值。 2、求下列各三角函数值

（1）tg(－ 536π) （2）sin(＝－ 11

3

π)

（3）cos(－5100151) （4）sin(－17

3)

（III ）方法及步骤：

（IV ）作业与课外思考题

通过上述两题的探索，你能推导出新的公式吗？

对于五组诱导公式的理解 ： ①可以是任意角；公式中的α ②这四组诱导公式可以概括为：

符号。

看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名

的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,,

, ),Z (2-+-∈+k k

总结为一句话：函数名不变，符号看象限 利用单位园中的三角函数线还可推出：

1、诱导公式（五） sin()cos cos()sin

22tan(

)tan 2

ππ

ααααπ

αα

-=-=-=

2、诱导公式（六） sin()cos cos()sin 22tan(

+=-tan 2

ππ

ααααπ

αα

+=+=-）

3、诱导公式（七） 33sin(

)-cos cos()sin 223tan(+=-tan 2

ππ

ααααπαα

+=+=）

4、诱导公式（八） 33sin(

-)-cos cos(-)sin 223tan(-=tan 2

ππ

ααααπ

αα

==-） 说明：3 22

ππ

ααα±± ，的三角函数值，等于它的异名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。 2

k π

α±的三角函数值

总结为一句话：函数正余互换，符号看象限

2

k π

α±的三角函数值

所有诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限

例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：

).3

17sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan

)1(πππ-?

练习3：求下列函数值：

).580tan )4( ,670sin )3( ),4

31sin()2( ,665cos

)1(??-π

π

1.2任意角的三角函数

1.2.1任意角的三角函数(一) 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于 用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了 正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系. 另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密， 这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了. 教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想 第一课时任意角的三角函数（一） 提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助右图直角三角形，复习回顾. 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗 如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,

任意角的三角函数知识点复习

任意角的三角函数 任意点到原点的距离公式：d = x 2+y 2 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐 标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么 sin y r α= ；cos x r α=；tan y x α=； 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。 求解三角函数值 一般角：利用三角函数的定义 特殊角：先化为0至360度之间的角 ) Z (tan )2tan()Z (cos )2cos() Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ 例1已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的三角函数值。 练：已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。 例2．求下列三角函数的值： （1）9cos 4π （2）11tan()6 π - ，

练： .____________tan600o 的值是 D 3.D 3.C 3 3 .B 33.A -- 例3．确定下列三角函数值的符号： （1）cos 250 ； （2）sin()4π-； （3）tan(672)- ； （4）11tan 3 π ． 练： 确定下列三角函数值的符号 (1)cos250?; (2)sin()4 π -; (3)tan(672)?-; (4)tan 3π. 例4 若θ是第二象限角，则( ) A.sin 2 θ ＞0 B.cos 2 θ ＜0 C.tan 2 θ ＞0 D.cot 2 θ＜0 2．三角函数线的定义： 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交 与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .

《任意角的三角函数一》 教案苏教版

数学：1.2.1《任意角的三角函数（一）》教案（苏教版必修4） 第 3 课时：§1.2.1 任意角的三角函数（一） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。 3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 二、过程与方法 1.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神； 2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神； 3.通过学生积极参与知识的"发现"与"形成"的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。 三、情感、态度与价值观 1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式； 2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。 【教学重点与难点】： 重点：任意角三角函数的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。 难点：任意角的三角函数概念的建构过程 【学法与教学用具】： 1. 学法： 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 3. 教学模式：启发、诱导发现教学. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 用与用坐标均可表示圆周上点，那么，这两种表示有什么内在的联系？确切地说， ● 用怎样的数学模型刻画与之间的关系？ 二、研探新知 1.三角函数的定义 【提问】：初中锐角的三角函数是如何定义的？ 在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是。当为锐角时，过作轴，垂足为，在中，,,

任意角的三角函数一

【预习案】 目标： 1.初步掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 2.初步从任意角三角函数定义认识函数值的符号。 1、 初中时在直角三角形中如何定义一个锐角的正弦、余弦、正切？ 2、 写出下列特殊锐角的正弦,余弦和正切值 3、课本如何定义的任意角的三角函数？ 4、三角函数定义：设α是一个任意角，在它的终边上任取一点P （y x ,），它与原点的距离 r = ，则 )._____( tan ____,cos ____,sin ===ααα 特别地，r =1时，)._____(tan ____,cos ____,sin ===ααα 5、任意角的三角函数在各个象限的符号有什么规律? 6、三角函数在各象限的符号 αsin αcos αtan 7、终边相同的角有什么关系？他们的三角函数有什么关系？ 8、三角函数在坐标轴上的取值情况 y o x y o x y o x

【课堂案】 例1、已知角α的终边经过点P(4,3-),求角α的正弦,余弦和正切值. 强化1: 已知角α的终边经过点P(5,12-),求角α的正弦,余弦和正切值. 强化2：已知角θ的终边经过点P )8,6(m m -，其中0≠m ，求角θ的三角函数值. 强化3：已知角α的终边在直线x y 3=上，求角α的三角函数值。 例2.确定下列三角函数值的符号. (1) 250cos (2))4 sin(π - (3) )672tan( - （4）tan π3 强化：1.若角α的终边过点（-3，-2）则（ ） A.0tan sin >αα B.0tan cos >αα C.0cos sin >αα D.0cos sin <αα 强化：2. 若0tan ,0sin ><θθ则θ是第 象限角? 反之成立吗? 强化：3.设α是三角形的一个内角，则2 tan ,tan ,cos ,sin α ααα中，哪些可以取负值？

三角函数最全知识点总结

三角函数、解三角形 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角． ②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角． ③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限. 象限角 轴线角 2．弧度制 (1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__. (2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__. (3)角度与弧度的换算： 360°＝__2π__rad,1°＝__π 180__rad,1rad＝(__180 π__)≈57°18′. (4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__， 面积S＝__1 2|α|r 2__＝__1 2lr__.

3．任意角的三角函数定义 (1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与 原点的距离为r，则sinα＝__y r__，cosα＝__ x r__，tanα＝__ y x__. (2)三角函数在各象限的符号是： (3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线． 4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k·2π)＝__sinα__， cos(α＋k·2π)＝__cosα__， tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)， 即终边相同的角的同一三角函数的值相等．

任意角的三角函数练习题及答案详解

任意角的三角函数 一、选择题 1．以下四个命题中，正确的是( ) A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等 B ．｛α｜α＝k π＋6 π，k ∈Z ｝≠｛β｜β＝-k π＋6 π ，k ∈Z ｝ C ．若α是第二象限的角，则sin2α＜0 D ．第四象限的角可表示为｛α｜2k π＋2 3π＜α＜2k π，k ∈Z ｝ 2．若角α的终边过点(-3，-2)，则( ) A ．sin α tan α＞0 B ．cos α tan α＞0 C ．sin α cos α＞0 D ．sin α cot α＞0 3．角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α的值是( ) A ． 2 2 B ．- 2 2 C ．± 2 2 D ．1 4.α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42 x ，则sin α的值为 （ ） A ．410 B ．46 C ．42 D ．－410 5.使lg （cos θ·tan θ）有意义的角θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一、二象限角或终边在y 轴上 6.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α 是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 7．点P 是角α终边上的一点，且 ，则b 的值是（ ） A 3 B －３ C ±3 D 5 8.在△ABC 中，若最大的一个角的正弦值是 ，则△ABC 是（ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等边三角形 9．若α是第四象限角，则 是（ ） A 第二象限角 B 第三象限角 C 第一或第三象限角 D 第二或第四象限角 10．已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ）

高中数学：任意角的三角函数 (120)

1.2.2 同角三角函数的基本关系 一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 1．若α∈????0，π2，sin α＝63 ，则cos α＝( ) A.12 B.22 C.33 D.13 2．已知sin α＝45 ，且α是第二象限角，那么tan α等于( ) A ．－43 B ．－34 C.34 D.43 3．若π<α<3π2 ，则1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α 的化简结果为( ) A.2tan α B ．－2tan α C.2sin α D ．－2sin α 4．若sin θ＋2cos θsin θ－cos θ ＝2，则sin θcos θ＝( ) A ．－417 B.45 C ．±417 D.417

5．已知α是第四象限角，tan α＝－512 ，则sin α＝( ) A.15 B ．－15 C.513 D ．－513 6．(tan x ＋1tan x )cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D.1tan x 7．已知tan α＝2，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α ＝( ) A ．－16 B.34 C ．1 D.54 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 8．已知tan α＝cos α，那么sin α＝________． 9．在△ABC 中，若tan A ＝23 ，则sin A ＝________． 10．已知sin αcos α＝12 ，则sin α－cos α＝________． 11．已知α是第二象限角，则sin α1－cos 2α＋2 1－sin 2αcos α＝________． 三、解答题(本大题共2小题，共25分) 12．(12分)已知cos α＝－35，且tan α>0，求tan αcos 3α1－sin α 的值．

3知识讲解_任意角的三角函数_基础

任意角的三角函数 【学习目标】 1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号. 2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义. 3．会应用三角函数的定义解决相关问题。 【要点梳理】 要点一：三角函数定义 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=； (2)x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； (3)y x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α= ≠. 要点诠释： 三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关. 我们只需计算点到原点的距离r = 那么sin α= ,cos α=,tan y x α=。 要点二：三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号： 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 要点诠释： 口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。 要点三：诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等 sin(2)sin k απα+?=，其中k Z ∈ cos(2)cos k απα+?=，其中k Z ∈ tan(2)tan k απα+?=，其中k Z ∈ 要点诠释： 该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。要注意在三角函数中，角和三角函

数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应. 要点四：单位圆中的三角函数线 圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于P ，过P 作PM 垂直x 轴于M ，作PN 垂直y 轴于点N.以A 为原点建立y '轴与y 轴同向，与α的终边(或其反向延长线)相交于点T (或T ')，则有向线段0M 、0N 、AT(或AT ')分别叫作α的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段. 要点诠释： 三条有向线段的位置： 正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段； 余弦线在x 轴上； 正切线在过单位圆与x 轴的正方向的交点的切线上； 三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外. 【典型例题】 类型一：三角函数的定义 例1．已知角α的终边经过点P （－4a ，3a ）（a ≠0），求sin α，cos α，tan α的值。 【思路点拨】先根据点P （－4a ，3a ）求出OP 的长；再分a ＞0，a ＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论 【答案】35，45-，34-或35-，45，34 - 【解析】 5||r a ==。 若a ＞0，则r=5a ，α是第二象限角，则 33sin 55 y a r a α= ==， 44cos 55 x a r a α-===-， 33tan 44 y a x a α===--， 若a ＜0，则r=－5a ，α是第四象限角，则 3sin 5α=-，4cos 5α=，3tan 4α=-。 【总结升华】 本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想。三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。 举一反三： 【变式1】已知角α的终边在直线y =上，求sin α，cos α，tan α的值。 【答案】1221,22 --

任意角的三角函数2

1 第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数（2） 学习目的： 1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值； 3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。 学习重点：正弦、余弦、正切线的概念。 学习难点：正弦、余弦、正切线的利用。 课堂探究： 一、复习引入： 1．三角函数的定义及定义域、值域： 练习1已知角α 的终边上一点()P m ，且sin 4 α= ，求cos ,sin αα的值。 解： 由题设知x =y m = ，所以2222||(r O P m ==+ ，得r = 从而sin 4 α = m r == ，解得0m = 或2 1662m m =+?= 当0m = 时，r x = = cos 1,tan 0x y x αα= =-= =； 当m = r x ==， cos ,tan 4 x y x αα= =- = =- ； 当m =r x ==， cos ,tan 4 3 x y r x αα= =- = = ． 2．三角函数的符号： 练习2：已知sin 0α<且tan 0α>， （1）求角α的集合；（2）求角2 α终边所在的象限；（3）试判断tan ,sin cos 2 2 2 ααα 的符号。 3．诱导公式： 练习3：求下列三角函数的值： （1）9cos 4 π， （2）11tan() 6 π-， （3）9sin 2 π ． 二、讲解新课： 当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。 1．单位圆：圆心在圆点O ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。 2．有向线段： 坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 3．三角函数线的定义： 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向

任意角的三角函数教学设计

《任意角的三角函数》第一课时教学设计 会宁县第二中学数学教研组曹蕊 一、教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。二、学生情况分析 本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。 三、教学目标 知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。 方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。 情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。 四、教学重、难点分析： 重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。 五、教学方法与策略： 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备： 为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维． 七、教学过程 （一）教学情景 1．复习锐角三角函数的定义 问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1（课件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？

1.2任意角的三角函数知识点

2.1任意角的三角函数 课前复习： 1. 特殊角的三角函数值记忆 新课讲解： 任意点到原点的距离公式： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+= +>，那么 （1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α 的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z π απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等 于0，所以tan y x α= 无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值 y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数。 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。 有向线段： 坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义： 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T . 由四个图看出： 当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有 sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA α==== 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。 （Ⅳ） （Ⅲ）

知识讲解_任意角的三角函数_基础

任意角的三角函数 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号. 2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义. 3．会应用三角函数的定义解决相关问题． 【要点梳理】 要点一：三角函数定义 设α是一个任意角,它的终边与半径是r 的圆交于点(,)P x y , 则r =: (1) y r 做α的正弦,记做sin α,即sin y r α=； (2) x r 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x r α=； (3)y x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠. 要点诠释： （1）三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关. 我们只需计算点到原点的距离r = 那么sin α= ,cos α=,tan y x α=． （2）三角函数符号是一个整体，离开α的sin 、cos 、tan 等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是sin 、cos 、tan 与α的积． 要点二：三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号： 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 要点诠释： 口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正． 要点三：单位圆中的三角函数线 圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于P ，过P 作PM 垂直x 轴于M ，作PN 垂直y 轴于点N.以A 为原点建立y '轴与y 轴同向，与α的终边

(精心整理)任意角的三角函数一

目标： 1.初步掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 2.初步从任意角三角函数定义认识函数值的符号。 1、 初中时在直角三角形中如何定义一个锐角的正弦、余弦、正切？ 2、 写出下列特殊锐角的正弦,余弦和正切值 3、课本如何定义的任意角的三角函数？ 4、三角函数定义：设α是一个任意角，在它的终边上任取一点P （y x ,），它与原点的距离 r = ，则 )._____( tan ____,cos ____,sin ===ααα 特别地，r =1时，)._____(tan ____,cos ____,sin ===ααα 5、任意角的三角函数在各个象限的符号有什么规律? 6 、三角函数在各象限的符号 αsin αcos αtan 7、终边相同的角有什么关系？他们的三角函数有什么关系？ 8 y o x y o x y o x

例1、已知角α的终边经过点P(4,3-),求角α的正弦,余弦和正切值. 强化1: 已知角α的终边经过点P(5,12-),求角α的正弦,余弦和正切值. 强化2：已知角θ的终边经过点P )8,6(m m -，其中0≠m ，求角θ的三角函数值. 强化3：已知角α的终边在直线x y 3=上，求角α的三角函数值。 例2.确定下列三角函数值的符号. (1) 250cos (2))4 sin(π - (3) )672tan( - （4）tan π3 强化：1.若角α的终边过点（-3，-2）则（ ） A.0tan sin >αα B.0tan cos >αα C.0cos sin >αα D.0cos sin <αα 强化：2. 若0tan ,0sin ><θθ则θ是第 象限角? 反之成立吗? 强化：3.设α是三角形的一个内角，则2 tan ,tan ,cos ,sin α ααα中，哪些可以取负值？ 例3、求值：

任意角的三角函数说课稿

任意角的三角函数说课稿 各位老师你们好！今天我要说的课题是《任意角的三角函数》。 一、说教材 1、地位和作用： 本节课是人教版数学（必修）4第一章三角函数的第一节任意角的三角函数第一课时。它是本章教学内容的基本概念, 也是学好全章内容的关键，对三角内容的整体学习至关重要，同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备，也是今后高考的必考内容之一。 根据本教材的结构和内容分析，结合学生的认知特点和心理特征，我制定了如下的教学目标： 2、教学目标： 知识与技能方面： 掌握任意角的三角函数的定义，会求角α的各三角函数值；理解并掌握三角函数在各象限的符号及终边相同角的诱导公式，最后要理解三角函数的两域。 方法与过程上： 体验三角函数概念的产生、发展过程，通过对三角函数值的符号，诱导公式（一）的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力；领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的思想. 情感态度与价值观方面： 培养学生通过现象看本质的唯物主义观，培养学生实事求是的科学态度. 本着高一新课程标准，在吃透教材基础上，我确定了以下教学重难点： 3、重点、难点： 重点是正确理解任意角三角函数的定义及分别在各个象限的符号判断法，终边相同角的诱导公式（一） 难点是把三角函数理解为以实数为自变量的函数，以及单位圆的应用。 为了讲清教材的重难点，使学生能够达到既定的教学目标，在重点上有所掌握，难点上有所突破，我再从教法和学法上谈谈： 二、说教、学方法 一方面，我们都知道数学是集抽象与实践为一体的重要学科，因此在教学过程中，不仅要使学生“知其然”还要使学生“知其所以然”。考虑到学生的现状，我主要采取“温故知新，逐步拓展”的形式让学生真正参与到教学，在学习中，得到体验。通过复习锐角三角函数的定义结合前面角的概念的推广提出问题：如何修正三角函数的定义？进一步扩展所学内容，发展新知识，从而激起学生探求新知的欲望，调动学生参与学习的积极性。 教学中运用多媒体工具提高直观性增强趣味性，并注意用新课程理念处理传统教材，使学生在学习活动自主探索、动手实践、合作交流，教师发挥引导者、合作者的作用，引导学生主动参与、揭示本质、经历过程、收获成果。 根据本节课内容以及学生认知特点和我自己的教学风格，主要以“教师主导、学生主体”的原则，采用“启发、引导发现式”教学方法组织教学. 另一方面，人们常说：“现代的文盲不是不懂字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而，我在教学过程中特别重视学法的指导。让学生从机械的“学答”向“学问”转变，从“学会”向“会学”转变，成为真正的学习的主人。这节课在指导学生的学习方法和培养学生的学习能力方面主要采取以下方法：分析归纳

任意角和弧度制及任意角的三角函数知识点与题型归纳

?高考明方向 1. 了解任意角的概念? 2■了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3■理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. ★备考知考情 1. 三角函数的定义与三角恒等变换等相结合, 考查三角函数求值问题. 2. 三角函数的定义与向量等知识相结合，考查三角函数定义的应用. 3■主要以选择题、填空题为主，属中低档题 一、知识梳理《名师一号》P47 知识点一角的概念⑴分类:按终边位置不同分为象限角和轴线角. ⑵终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合S = { 3#a+ k 360°, k€ Z}. 《名师一号》P47 对点自测1、2 1、《名师一号》P48问题探究问题1、2 相等的角终边相同，终边相同的角也一定相等吗？相等 1

的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍. 角的表示形式是唯一的吗？角的集合的表示形式不是唯一的，女口：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x= k 360°- 90°, k € Z}，也可以表示为{x|x= k 360°+ 270°, k€ Z}. （补充） 2、正角> 零角> 负角 3、下列概念应注意区分 小于90°的角；锐角；第一象限的角；0°?90°的角. 4、（1）终边落在坐标轴上的角 1）终边落在x轴非负半轴上的角 {x|x= 2k n k€ Z} 2）终边落在x轴非正半轴上的角 {x|x= 2k n k€ Z} 终边落在x轴上的角 {x|x= k n, k € Z} 3）终边落在y轴非负半轴上的角 {x|x= 2kk€ Z} 4）终边落在y轴非正半轴上的角 {x|x= 2k廿号，k€ Z} 2

2任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系含答案

2任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系 1．任意角三角函数的定义 设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. 2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 3．诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值________，即： sin(α＋k ·2π)＝______，cos(α＋k ·2π)＝________，tan(α＋k ·2π)＝________，其中k ∈Z . 4．三角函数的定义域 正弦函数y ＝sin x 的定义域是______；余弦函数y ＝cos x 的定义域是______；正切函数y ＝tan x 的定义域是_______________________________． 5．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：____________________. (2)商数关系：____________(α≠k π＋π2 ，k ∈Z )． 6．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式： sin 2α＝________；cos 2α＝________； (sin α＋cos α)2＝____________________； (sin α－cos α)2＝________________； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______； sin α·cos α＝______________________＝________________________. (2) tan α＝sin αcos α 的变形公式：sin α＝________________；cos α＝______________. 知识梳理 1. y r x r y x 3.相等 sin α cos α tan α 4．R R {x |x ∈R 且x ≠k π＋π2 ，k ∈Z } 5．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α 6．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α 1－2sin αcos α 2 (sin α＋cos α)2－12 1－(sin α－cos α)22 (2)cos αtan α sin αtan α 一、选择题 1．sin 780°等于( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12

高一数学《任意角的三角函数》教案

任意角的三角函数 一、教学内容分析： 新知识的发生是可能的，自然的。 三、设计思想 五、教学重点和难点： 1.教学重点：任意角三角函数的定义. 2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域. 六、教学过程 第一部分——情景引入 问题1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为o h ，它的直径为2R ，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA 出发（如图1所示）， 过了30秒后，你离地面的高度h 为多少？过了45秒呢？过了t 秒呢？ 【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。 图1

第二部分——复习回顾锐角三角函数 让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？” 【分析】：作图如图2很容易知道：从起始位置OA 运动30秒后到达P 点位置，由题意知030=∠AOP ，作PH 垂直地面交OA 于M ，又知MH ＝o h ，所以本问题转变成求PH 再次转变为求PM 。 要求PM 就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数。 问题2：锐角α的正弦函数如何定义？ 【学生自主探究】：学生很容易得到 R MP OP MP | |||||sin = = α?αsin ||R MP =?αsin ||0R h PH += ?h αsin 0R h += 所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒,你离地面的高度h 为多少？” 00130sin R h h += 00245sin R h h += 【教师总结】：0t 在锐角的范围中，0 0sin t R h h += 第三部分——引入新课 问题3：请问t 的范围呢？随着时间的推移，你离地面的高度h 为多少？能不能猜想 00sin t R h h +=？ 【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天我们就要来学习任意角的三函数角函数。 问题4：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义呢？ 【学生自主探究】：学生通过上面已知知识得到 | |||sin OP MP = αR y P = 学生定义好第二象限角后，让学生自己算出摩天 H 图2

任意角的三角函数(一)解读

任意角的三角函数(一) ------陈少漫 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于 用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了 正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系. 另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密， 这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了. 教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想 第一课时任意角的三角函数（一） 提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助右图直角三角形，复习回顾. 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗 如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,

高一数学任意角的三角函数知识点

任意角的三角函数 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ， 它与原点的距离为(0)r r ==>，那么 （1）比值α叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α= ； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z π απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值 y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数。 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。 当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。 有向线段： 坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义：

设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(,) x y， 过P作 x 轴的垂线，垂足为M ；过点 (1,0) A作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T. 由四个图看出： 当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段, OM x MP y ==，于是有 sin 1 y y y MP r α====，cos 1 x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA α==== 我们就分别称有向线段,, MP OM AT为正弦线、余弦线、正切线。 说明： （1）三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。 （2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点。 （3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值。 （4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。 （Ⅳ） （Ⅱ）（Ⅰ） （Ⅲ）