2015年北京卷(理科数学)含答案

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2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（北京卷）

本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数【A 】 A ．

B ．

C ．

D ．

2．若，满足则的最大值为【D 】

A ．0

B ．1

C ．

D ．2

3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为【B 】

A ．

B ．

C ．

D ．

()i 2i -=12i +12i -12i -+12i --x y 010x y x y x -??

+???

≤，≤，≥，2z x y =+32

()22-，()40-，()44--，()

08-，

4．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的【B 】

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是

【C 】

A ．

B ．

C ．

D ．5 6．设是等差数列. 下列结论中正确的是【C 】

αβm m α?m β∥αβ∥俯视图

侧(左)视图

24+2+{}n a

A ．若，则

B ．若，则

C ．若，则

D ．若，则 7．如图，函数的图像为折线，则不等式的解集是【C 】

A ．

B ．

C ．

D ．

8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在

不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是【D 】

A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

120a a +>230a a +>130a a +<120a a +<120a a <

<2a >10a <()()21230a a a a -->()f x ACB ()()2log 1f x x +

≥{}|10x x -<≤{}|11x x -≤≤{}|11x x -<≤{}

|12x x -<

≤

9．在的展开式中，的系数为 40 ．（用数字作答）

10．已知双曲线

，则 ．

11．在极坐标系中，点到直线的距离为

1 ．

12．在中，，，，则

1

．

13．在中，点，满足，．若，则

；

．

14．设函数

①若，则的最小值为

1

；

①若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ≤ a <1 或 a ≥ 2 ．

三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）

已知函数．

(①) 求的最小正周期； (①) 求在区间上的最小值．

解：（I ）因为

所以

的最小正周期为2

()5

2x +3

x ()2

2

210x y a a

-=

>0y +=a =π23?

? ??

??()

cos

6ρθθ

=ABC △4a =5b =6c =sin 2sin A

C

=ABC △M N 2AM MC =BN NC

=MN x AB y AC =+x =1

2y =16()(

)()2142 1.x a x f x x a x a x ?-

=?--?????≥1a =()f x ()f x a 1

22()cos 222

x x x

f x =()f x ()f x [π0]-，()sin cos )22f x x x =

--sin()4x π=+()f x π

（Ⅱ）因为，所以

当

，即

时，取得最小值。 所以

在区间上的最小值为

16．（本小题13分）

，两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下： 组：10，11，12，13，14，15，16 组：12，13，15，16，17，14，

假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．

(①) 求甲的康复时间不少于14天的概率；

(①) 如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

(①) 当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 解：设时间

为“甲是A 组的第i 个人”，

时间

为“乙是B 组的第i 个人”，i=1,2， (7)

由题意可知

, i=1,2， (7)

（Ⅰ）由题意知，时间“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者

第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是

（Ⅱ）设时间C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知，

C=

.

因此

=10

=10

=

（Ⅲ）a=11或a=18

0x π-≤≤34

44x πππ-

≤+≤

4

2x π

π

+

=-

34x π

=-()f x ()f x [],0π

-3()142f π-=--

A B A B a A B A B 25a =a A B 1

A 1

B 111

()()7P A P B ==

5

675673()()()()7P A A A P A P A P A =++=41

51

61

71

52

62

727366

76

A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 4151617152()()()()()()

P C P A B P A B P A B P A B P A B =++++6272736676()()()()()

P A B P A B P A B P A B P A B +++++41()

P A B 41()()

P A P B 10

49

17．（本小题14分）

如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点． (①) 求证：；

(①) 求二面角的余弦值； (①) 若平面，求的值．

解：（I ）因为△AEF 是等边三角形，O 为EF 的中点，

所以AO ⊥EF.

又因为平面AEF ⊥平面EFCB ，AO 平面AEF ，

所以AO ⊥平面EFCB.

所以AO ⊥BE.

（Ⅱ）取BC 中点G ，连接OG.

由题设知EFCB 是等腰梯形， 所以OG ⊥EF.

A EFC

B -AEF △AEF ⊥EFCB EF B

C ∥4BC =2EF a =60EBC FCB ∠=∠=?O EF AO BE ⊥F AE B --BE ⊥AOC a O F

E

C

B

A

?

由（I ）知AO ⊥平面EFCB 又OG 平面EFCB ， 所以OA ⊥OG.

如图建立空间直角坐标系O -xyz ， 则E （a,0,0），A （0，0，），

B （2，

2-a ），0），=（-a ，0），

=

（a -2a -2）,0）.

设平面ABE 的法向量为n=（x,y,z ）

则： 即

令z=1，则

y=-1.于是n=，

-1,1）

平面AEF 是法向量为p=

（0,1,0）

所以cos （n ，p ）=

=.

由题知二维角F -AE -B 为钝角，所以它的余弦值为 （Ⅲ）因为BE ⊥平面AOC ，所以BE ⊥OC ，即.

因为=（a -2 （a -2），0），=（-2（2-a ），0）， 所以=-2（a -2）-3.

由及0

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求证：当时，； （Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值． 解：（I ）因为

=ln （1+x ）-ln （1-x ）

，所以

=，=2.

?3a 3EA BE n 0?n 0?EA BE ??=??

?=??

0? (2)2)0ax a x a y ?-=??-+-=??n p n p

?0BE OC ?=BE OC BE OC ?2

(2)a -0BE OC ?=4

3()1ln

1x

f x x

+=-()y f x =()()00f ，()01x ∈，

()323x f x x ??

>+ ??

?k ()33x f x k x ??

>+ ??

?()01x ∈，

k ()f x ()f x '1111x x +

+-(0)f '

又因为

=0，所以曲线y= 在点（0 ，）处的切线方程为y=2x.

（Ⅱ）令

=-2(x+)，则

=-2（1+）=.

因为>0（0

在区间（0,1）上单调递增。

所以

>=0，x ∈（0，1）

，

即当x①（0，1）时，

>2(x+).

（①）由（①）知，当k 《2时，

>k(x+)对x①（0，1）恒成立.

当k>2时，令

=- k(x+)，则

=-k （1+）=.

所以当

时，<0，因此在区间（0

）上单调递减.

当

时，<=0，即< k(x+). 所以当K>2时，

> k(x+)并非对x①（0，1）恒成立.

综上可知，k 的最大值为2。 19．（本小题14分）

已知椭圆：

，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．

（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；

（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

解：（Ⅰ）由题意得解得=2.

(0)f ()f x (0)f ()

g x ()f x 3

3x ()g x '()f x '2x 4

221x x -()g x '()g x ()g x (0)g ()f x 3

3x ()f x 3

3x ()h x ()f x 3

3x ()h x '()f x '2x 4221kx k

x +--0x <<

()h x '()h x 0x <<

()h x (0)h ()f x 33x ()f x 3

3x C ()222210x y a b a b +=>>()01P ，

()A m n ，()0m ≠C PA x M C M m n O B A x PB x N y Q OQM ONQ ∠=∠Q 2221,,2.b c a

a b c =??

?=?

??=+?2

a

故椭圆C 的方程为

设M （

，0）.

因为m ≠0，所以-1

直线PA 的方程为y -1=， 所以=，即M （，0）.

（Ⅱ）因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B （m ，-n ），

设N(,0)，\则=.

“存在点Q （0，

）使得ZOQM=ZONQ 等价”，“存在点Q （0，

）使得

=

”即

满足

.

因为，，，

所以.

所以

或=

.

故在y 轴上存在点Q ，使得

OQM=ONQ.点Q 的坐标为（0

）或（0，）. 20．（本小题13分）

已知数列满足：，，且． 记集合．

（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；

（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合的元素个数的最大值． （Ⅰ）{6，12，24}

2

21

2x y +=m

x 1

n x m -m x

1m n -1m

n -N x N x

1m

n +Q

y Q

y OM OQ

OQ ON

Q

y 2Q M N

y x x =1M m x n =-1N m x n =+2

21

2m n +=2

2

22

1Q M N m y x x n ===-Q

y Q y

∠∠{}n a *

1a ∈N 136a ≤121823618n n n n

n a a a a a +?=?

->?，≤，，()12n =，，…{}

*

|n M a n =∈N 16a =M M M M

（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设

是3的倍数.

由

可归纳证明对任意，是3的倍数. 如果k=1，则M 的所有元素都是3的倍数. 如果k>1，因为

=2

或

=2

-36，所以2

是3的倍数，于是

是3的倍

数，；类似可得，

，…，

都是3的倍数，从而对任意，

是3的倍数，因此

M 的所有元素都是3的倍数.

综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数.

（Ⅲ）由，

可归纳证明. 由于是正整数，

所以是2的倍数. 从而当时，是4的倍数.

如果

是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数n ，

是3的倍数.

因此当时，.这时M 的元素个数不超过5.

如果

不是3的倍数，由（Ⅱ）知所有正整数n ，

不是3的倍数.

因此当时

.这时M 的元素个数不超过8.

当=1时，有8个元素. 综上可知，集合M 的元素个数最大值为8.

k

a 12,18,236,18n n n n n a a a a a +≤?=?

->?n k ≥n a k

a 1

k a -k a 1

k a -1

k a -1

k a -2

k a -1

a 1n ≥n

a 36a ≤11112,18,236,18n n n n n a a a a a ----≤?=?

->?36(2,3...)n a n ≤=1a 112112,18,236,18,a a a a a ≤?=?

->?2a 3n ≥n a

1

a n

a 3n ≤{}

12,24,36n a ∈1

a n

a 3n ≥{}

4,8,16,20,28,32n a ∈1a

{}

1,2,4,8,16,20,28,32M =