数学建模系泊系统的设计
系泊系统的设计
摘 要
近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成，其中系泊系统由钢管、钢桶、重物球及锚链共同组成。此种系泊系统承受风、浪、流的作用及锚链的作用力，运动特性十分复杂。因此，针对海洋环境中水声通讯系统的要求，分析风浪中浮标的动力问题并设计出既安全又经济的系泊系统，对保证水声通讯系统的工作效果来说意义重大。
本文运用了两种方法对锚链进行了受力分析，首先对单一材质的锚链进行分析，从而得出了经典悬链方程，对不同段不同材质的锚链进行分段受力分析，得出了不同段不同材质的悬链方程，该方程的得出极大的方便了计算浮标锚泊系统的初始状态，为动力分析奠定基础；其次利用牛顿法对锚链受力问题进行了数值求解，得到当海面风速为12/m s 加大到24/m s 时，每节钢管的倾斜角度也随之变大，浮标的吃水深度也不断增大，浮标的游动区域增加的更为明显。当风速加大为36/m s 时，钢桶的倾斜角已超过5度，为使钢桶倾斜角小于5度，须将重物球的质量增加至1783kg 。
再考虑风力、水流力、潮汐（波浪）等动力因素时，可以将问题进行简化，即直接考虑在水深18m 的情况下由于波浪的作用（准确的说是2m 波浪的作用），可使整个浮标漂浮于水面上（20m 情形），也可使整个浮标沉于水面下（16m 情形）。最后通过对浮标的受力分析，可得到浮标的动力控制方程，采用数值方法，可以得到在风速为36/m s ，水流速度为1.5/m s 时，倾斜角、吃水深度的数值解。
关键词： 浮标；系统；设计；动力分析
一．问题重述
近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm 的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。
问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。
问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
二．模型假设与符号说明
1.模型的假设
由于浮标在海洋受海风、气流、海浪等的作用，气象及水文条件多变，在此，我们对整个问题作适当假设，在下文中，当涉及到具体问题时，我们将有针对性地给出必要的补充。
（1）锚链重力远远大于锚链所受到的流体作用力；
（2）海床平坦，无凹凸不平情况；
（3）浮标始终是垂直于海平面的，无倾斜或跌倒现象；
（4）海面风速均匀、恒定，且风向始终平行于海平面；
（5）海水流速均匀（流速与水深无关），且方向恒定（海流无垂直分量）；
（6）锚链在整个过程中是不可弹性形变。
三．模型的分析与建立
在海上，系泊系统中的钢管、钢桶、重物球、电焊锚链这多种介质相互耦合作用，这属于复杂的多介质耦合问题，其动力受风荷载、锚泊系统、吊物系统间强耦合的影响，锚链整体具有很强的非线性特性：1.锚链在外力作用下会产生较大的变形；2.作用在锚链上的非线性流体阻力是运动微分方程的重要组成部分。
根据（二）中给出的假设，此问题可以看做水平系泊模态（图1），水平系泊模态又称悬链线模态。随着锚泊系统应用的日趋深水水域，由于传统材质的锚链会随着水深的增加导致其自重增加与水平刚度减小，因而其锚泊的有效性下降，进而影响传输信号的质量，因此可以考虑分段由不同材料制作的锚链。我们先讨论质地均匀锚链的一般悬链线方程，再根据结果讨论将锚链分为每段材质不同的若干段时的悬链线方程。
（一）均质锚链的一般悬链线方程
首先我们将锚和钢桶之间所连的锚链看成一般悬链线问题（图1），在不考虑锚链的三维变形的情况下，对作用于锚链某一微元上的外力分析如图2所示。当作用于锚链元上的各力达到平衡时，有下列关系式：
在锚链元的切线方向上
()cos sin 0T dT d T ds Fds θωθ+--+= （1）
在法线方向上
()sin cos 0T dT d ds Dds θωθ+--= （2）
图1 传输节点示意图 图2 缆索元上的作用力
其中T 为锚链张力，θ为锚链与水流方向的夹角，称为锚索角，ω为单位长度锚链水中质量，即锚链的空气自重扣除浮力；近海风荷载（风力）可用20.625F Sv =?（N ），近海水流力2374D Sv =?（N ）计算。
当d θ极小时，sin ,cos 1d d d θθθ≈≈，则可将（1）和（2）式化为：
sin dT F ds
ωθ=-， []1cos d D ds T
θωθ=+， 在忽略流体作用力的情况下可化为： sin dT ds
ωθ=， （3） 1cos d ds T
θωθ=， 从而有
tan dT d T
θθ= ， 进行积分处理可得 00
ln tan T d T θθθθ=? ， 即： 00cos cos T T θθ
= ， （4） 其中0T 为锚链在锚索角为0θ 处的张力，由上述分析知它等于水面处的锚链水平张力h T 。[]1
将（4）式代入（3）式并积分得 tan 1cos
x sh a x ch a θθ
?=????=?? ， （5） 其中h
T a ω=（h T 为水平张力）。（5）式即为一般悬链线方程。
（二）复合锚链的分段悬链方程
现设锚链的不同分段是由不同材质制成（即称复合锚链），这就会导致锚链不同分段的自重不同，我们可以利用均质锚链的一般悬链线方法再做进一步分析（图3）。 图3复合锚链受力示意图
设总体坐标系为oxz ，坐标原点在锚固定点处，z 轴垂直向上，水深为h 。设锚链分为N 段(1)N >，第一段下端与锚连接，第N 段上端与浮标连接，以各分段（如第i 分段）的下端为原点取局部坐标系i i ox z ，坐标轴均与总体坐标轴平行。各分段锚链的力学性质均可由下列参数来描述，它们是未拉伸前锚链分段的水中重量i w ，分段上端部悬挂的重物的水中重量i G 及分段在水中受到的张力T 。将第i 分段的水平跨距记为i x ，垂直跨距记为i z ，则该分段的悬链线方程可写为
1111ln tan ln tan cos cos h i i i i i i T x θθωθθ++??????=+-+?? ? ???????
， 111cos cos h i i i i T z ωθθ+??=-???
? ， 其中i θ和1i θ+分别表示i 段锚链上端的锚索角和下端的锚索角。
如果把该锚链分段近锚端的垂向张力记为i L ，近浮标端的垂向张力记为i U ，则有
cos h i i T T θ= ，sin i i i U T θ=，1cos h i i T T θ+=，1cos i i i
L T θ+= ， （6） 其中i T 和1i T +分别代表第i 段锚链上端的张力和下端的张力。显然
i T =
，1i T +=整理后可得锚链分段的悬链线方程为
ln 1i h i i i i U T x z ωω????=?????=??
，
（7）
根据上述分析，问题中的钢桶及各节钢管的倾斜角度可由（6）式得出，由（7）就可求出锚链形状及所希望得到的任意一点的坐标位置。[]2
四．模型求解
（一）问题一求解
通过模型分析可知，对于参数已知的系泊系统，锚链的倾斜角及锚链的形状可有（6）和（7）求得。现对现有问题做合理假设：设锚链位于垂直平面内，不考虑锚链的三维变形；海流没有垂向分量，水平流速亦位于（或平行于）锚链所在的平面内，流速的大小恒定且不随水深变化。由于已经假设浮标垂直于海平面,故此按平浮处理，记风引起的水平力为x F ,浮力f F 为
2f F g r h ρπ=，
其中h 为正浮吃水深度，ρ为水的密度。
首先以浮标为研究对象,对其进行受理分析，可列平衡方程如下，
11110sin ,cos x f F T F T G θθ==+ ，
11011sin ,cos x f F T F G T θθ=-= ， 其中0G 为浮标自重，00G m g =，0m 为浮标的质量为1000kg 。
图4浮标受力示意图
其次对该系泊系统中的四节钢管分别作受力分析，设最上面的钢管（即第一节钢管）对浮标的拉力为1T ，与垂直方向的倾斜角度为1θ。对第一节钢管的重心进行受力分析[]3可列平衡方程如下：
112211221sin sin ,cos cos T T T T G θθθθ==+，
112211122sin sin ,cos cos T T T G T θθθθ=-=，
其中1G 为浮标自重，11G m g =，钢管的质量为10kg 。
同理，对第二节到第四节的钢管拉力设为i T （2,3,4i =），与垂直方向的倾斜角度为i θ（2,3,4i =）。对第i 节钢管的重心进行受力分析可列平衡方程如下：
1111sin sin ,cos cos i i i i i i i i i T T T T G θθθθ++++==+，
1111sin sin ,cos cos i i i i i i i i i T T T G T θθθθ++++=-=，
再设钢筒对第四节钢管的拉力为5T ，与垂直方向的倾斜角度为5θ，记锚链对钢筒拉力为6T ，与垂直方向的倾斜角度为6θ。56G G +为钢筒自重和重物球。当钢筒达到平衡时，有如下平衡方程
5566556665sin sin ,cos cos T T T T G G θθθθ==++，
5566556566sin sin ,cos cos T T T G G T θθθθ=--=，
按照几何分析，可得到如下等式
5
6122.05cos cos 18i i h θθ=?++=∑ ， （8）
我们可以牛顿迭代法对（8）式进行求解，可以得出不同海面风速的情形下，各
节钢管和钢桶的倾斜角度，如表1所示。
指标
1
θ
2
θ
3
θ
4
θ
5
θh（m）游动区域（m）海面风速为12/
m s0.893 1.284 2.044 2.763 3.082 0.732 7.480
海面风速为24/
m s 1.008 1.977 2.983 3.289 3.995 0.853 14.410 表1 不同海面风速情况下钢桶和钢管的倾斜角度
游动区域是由公式
5
1
cos
L i
i
R xθ
=
=+∑得到，其中x L为悬链的横坐标，即从锚到钢桶低端间的悬链在x轴上的投影。
由一般悬链方程和复合锚链分段悬链方程可得：
cosh-1
h
h
T x
z
T
ω
ω
??
= ?
??
（2
0.625
h
T Sv
=?，
当v=12/
m s和 v=24/
m s时，我们分别得出悬链线的方程为：
209.153052
cosh1
7209.1530527
x
z
??
=-
?
??
，
909
cosh1
79097
x
z
??
=-
?
??
。
MATLAB绘制出锚链的图形如下：
图5 风速为12/
m s锚链图形图6 风速为24/
m s锚链图形
（二）问题二的求解
在问题1的假设下，按照问题1的分析思路，采用牛顿迭代法用MATLAB编
程可计算出当风速为36/m s 时，钢桶和各节钢管的倾斜角度分别为:
1θ 2θ 3θ 4θ 5θ 3.736 3.857 3.914 4.086 5.121
表2 风速为36m/s 时各项指标
由表2看出，当风速为36/m s 时，钢筒与垂直方向的倾斜角度（5θ）已经超出了5度，此时水声通讯系统的工作效果较差。因此，要使得钢桶的倾斜角不超过5度，而且锚链在锚点与海床的夹角不超过16度，可通过调节重物球的质量来进行修正。我们利用MATLAB 编程，通过重物球的质量对钢桶和锚链的角度进行试算[]4，质量每增加1kg 时计算钢桶及锚链的角度，计算多组数据，摘录第N 次调节
重物球质量 钢桶角度 锚链游动区域 第1次 1200kg 3.84977 17.766907
582次
1782kg 5.000379 14.224500 583次 1783kg 4.996561 14.217589 表3 不同重物球造成的钢桶和锚链角度值
从而可知：
当v=36/m s 时，各节钢管和钢桶的倾斜角度分别为3.736，3.857，3.914，4.086，5.121，锚链方程为：1982.3454cosh 171982.34547x z ??=- ???
，图形如图6。浮标的游动区域为17.110260。为使钢桶的倾斜角不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度的重物球的质量应为1783kg 。
图7 风速为36/m s 锚链图形
（三）问题三的求解
环境荷载主要指由风、波浪、海流、潮汐等自然环境引起的荷载，主要有风荷载、水流荷载等，这些荷载可根据锚泊系统的设计环境条件进行计算。建立非线性规划模型，若目标函数或者约束条件包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题，下面我们通过研究潮汐、风力、水流力对设计系泊系统设计的影响，来归纳出非线性规划数学模型的一般形式。由题可知：1620H ≤≤， (H 为水深)，浮标的高度恰为2m 。为了便于问题的解决，可以将问题进行简化：即直接考虑为在水深18m 的情况下由于波浪的作用（准确的说是2m 波浪的作用），可使浮标整个漂浮于水面上（20m 情形），也可使浮标整个沉于水面下（16m 情形）。
由于浮标的吃水深度和游动区域以及钢桶的倾斜角尽可能小为最佳的优化方案，所以这个最佳的优化问题归结为决策变量（锚链的型号、长度和重物球的质量）的条件下，重物球质量与钢桶倾斜角之间的关系，将钢桶、浮标、重物球以及钢管为整体研究对象（总质量为M ）进行受力分析后可得平衡方程：
sin T F T θ+= ，
cos f T G θ=+ ，
则数学模型为:()tan T F f G θ+=-
为了更加清晰的弄清楚影响荷载是如何影响浮标及锚链受力的，我们通过查询资料可以得到如下结果。
在海洋实际工程应用中，当物体的尺度相比是微小量的情况下，可以忽略物体对波浪运动的影响，这个比值一般定为/0.2D L ≤(其中D 为物体的特征长度) /0.2D L ≤的构件，一般称为小尺度构件，对于小尺度构件上的波浪力，通常采用著名的Morison 公式计算：
2
124
d x x M x D dF C D v v ds C v ds πρρ'=+， 式中：ρ为海水的密度，d C 阻尼系数（定值），m C 惯性系数，D 锚链直径，x v 为ds 微段中点处水质的水平速度，x v '为ds 微段中点处水质的水平加速度，ds 为微段长度。设波浪和流的速度矢量分别为v 和c v ，流向与波浪传播方向的夹角为?，其拖力矢量为
()12
D D C C F C D v v v v ρ=++。 x 轴方向的分量为：
()1cos 2
Dx D x C C F C D v v v v ρ?=++， z 轴方向的分量为：
1sin 2
Dz D C C F C Dv v v ρ?=+， 其中；()()1222
cos sin C x C C v v v v v ????+=++??（x v 波浪水质速度值；c v 为流速大小）。[]5
通过受力分析，我们可以采用有限差分法计算锚泊线动力控制方程[]6，然后利用逐步迭代的方法可以求出在风速为36/m s ，水流速度为1.5/m s 时，使得
参照文献[]6 ，可以得到：
（1）随着风速的增大，钢桶倾斜角逐渐增大，浮标吃水深度逐渐增大，游动区域也逐渐增大；
（2）随着水流速度的增大，钢桶倾斜角逐渐增大，浮标吃水深度逐渐增大，游动区域也逐渐增大。
据此我们也可以绘制出锚链的形状。
五．模型的评价与推广
（一）模型的评价
锚泊系统的特性是影响浮筒的一个重要因素，本文在分析锚链力学分析研究现状的基础上，对锚链进行了静力和动力分析，从而可以运用悬链方程对单一质地锚链和多段不同质地材料的锚链进行了静力分析，得到了锚链静平衡时的形状，及锚链的张力，通过迭代方法可以算出题设中提出的问题。
在整个计算过程中我们利用了经典悬链方程进行对悬链的图形进行模拟，图形是较为可靠的。另外，我们利用不同材质的悬链方程，通过对悬索不同段进行受力分析，从而列出不同受力段的方程进行求解。这样，得到的结果与实际情况还是比较吻合的。
本文对锚链动力分析进行了探讨，但还有一些方面有待完善：
（1）在求解过程中，进行了一些假设，这些假设与实际情况有一定的出入，如假设浮标永远是垂直的、假设海地面平坦等，都要显得较为理想化。
（2）本文在求解的过程中将水深16-20m的情况，直接考虑为在水深18m 的情况下由于波浪的作用（准确的说是2m波浪的作用），可使浮标整个漂浮于水面上（20m情形），也可使浮标整个沉于水面下（16m情形）。这样的考虑都是为了将问题简化，与实际有一定的出入。
（二）模型的推广
这两类模型的建立和求解有着非常深厚的力学背景和实践应用价值，可以对其进行更为广泛的推广，例如：不同等级的风下，风筝绳索的受力分析；深海钻
探开采石油的平台的的多个浮筒锚链问题等[]7。
六、参考文献
[1]M.M. Ider, k. S .Youssef, D .T. Mook, A .H. Nayfeh. A Nonlinear 8-Dof Coupled Crane-ship Dynamic Model[C]//44th AIAA/ASME/ASCE/AHS structures, structural Dynamics, and Material confere. norfolk, Virginia:AIAA,2003:1885-1895.
[2] 王艳妮.海洋工程锚泊系统的分析研究[D].哈尔滨: 哈尔滨工程大学船舶工程学院，2006.
[3] 陈小红.锚泊线动力响应的理论与实验分析[D].上海交通大学.1994.
[4] 黄祥鹿.陆鑫森.海洋工程流体力学及结构动力的影响[M].上海: 上海交通大学出版社，1992.
[5] 马巍.锚泊系统非线性动力学分析[D].上海:上海交通大学.1989.
[6] 王道能.浮筒锚泊系统受力分析及其仿真.哈尔滨工业大学硕士论文.2008.
[7] 朱道元等.数学建模案例精选[D].北京:科学出版社.2005.