矩阵论试题(06,12)
一.(18分)填空:设.1111,09
10
??
? ??=???
??=B A 1. A -B 的Jordan 标准形为J =
2. 是否可将A 看作线性空间V 2中某两个基之间的过渡矩阵( )。
3. 是否可将B 看作欧式空间V 2中某个基的度量矩阵。( )
4.
()
p
vec B =
( ),其中+∞<≤p 1。
5 .若常数k 使得kA 为收敛矩阵,则k 应满足的条件是( )。 6. A ?B 的全体特征值是( )。 7. =?2
B
A ( )。
8. B 的两个不同秩的{1}-逆为??
?
??=??? ??
=)1()
1(,B B
。 二.(10分)设n m C A ?∈,对于矩阵的2-范数2A 和F -范数F A ,定义实数
222
F
A
A
A +=
,(任意n m C A ?∈)
验证A 是n m C ?中的矩阵范数,且与向量的2-范数相容。
三.(15分)已知????? ??=????
? ??=????? ?
?--=011)0(,0)(,11
1202
111
33x e e t b A t
t
。
1. 求At e ;
2. 用矩阵函数方法求微分方程
)()()(t b t Ax t x dt
d +=满足初始条件x (0) 的解。
四.(10分)用Householder 变换求矩阵????
???
??=40
2
1
0301
43010021
A 的QR 分解。 五.(10分)用Gerschgorin 定理隔离矩阵???
?
? ?
?=i A 1
1686
4120的特征值。(要求画图表示)
六. (15分)已知??????
? ??=
??????? ??=3131,12
1
2
0101
21211010b A 。 1. 求A 的满秩分解; 2. 求A +;
3. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组 Ax =b 是否有解;
4. 求线性方程组Ax =b 的极小范数解,或者极小范数最小二乘解x 0。(要求指出所求的是哪种解) 七.(15分)已知欧式空间R
2?2
的子空间,0032414321?
??
???=-=-???? ??==x x x x x x
x x X V R
2?2
中的内积为,,),(2221
1211
2
1
21???
?
??==
∑
∑==a a
a a A
b a B A ij i j ij ,22211211
???? ??=b b
b b B V 中的线性变换为T (X )=XP +XT , 任意X ∈V ,.0110??
?
??=P 1. 给出子空间V 的一个标准正交基; 2. 验证T 是V 中的对称变换;
3. 求V 的一个标准正交基,使T 在该基下的矩阵为对角矩阵.
八. (7分) 设线性空间V n 的线性变换T 在基n x x x ,,,21 下的矩阵为A ,T e 表示V n 的单位变换,证明:存在x 0≠0,使得T (x 0)=(T e -T )(x 0)的充要条件是2
1=λ为A 的特征值.
矩阵论试题(07,12)
一.(18分)填空:
1. 矩阵????
??
?
??-----=21
011201
00102201A 的Jordan 标准形为J = 2. 设,4321,10
01
0210
01201001?????
?
?
??=??????? ??--=x A 则?????===∞Ax A A F 2 3. 若A 是正交矩阵,则cos(πA )=
4. 设n m C A ?∈,A +是A 的Moore -Penrose 逆,则(-2A , A )+=
5. 设
???
?
? ?
?=???
??--=30
220111,42
21B A ,则A ?B +I 2?I 3的全体特征值是( )。 6. 设向量空间R 2按照某种内积构成欧式空间,它的两组基为
)1,1(),1,1(21-==αα和),12,6(),2,0(21==ββ
且i α与j β的内积为3),(,1),(,15),(,1),(22122111=-===βαβαβαβα则基21,αα的度量矩阵为( )。
二.(10分)设n
m n m ij C a A ??∈=)(,定义实数
ij j
i a n A ,max =
1. 证明A 是n m C ?中的矩阵范数.
2. 证明该矩阵范数与向量的∞-范数相容.
三.(15分)已知????
? ??=????? ??=?????
?
?-----=321)0(,211)(,21
1121
221x e t b A t
。
1. 求At e ;
2. 用矩阵函数方法求微分方程
)()()(t b t Ax t x dt
d +=满足初始条件x (0) 的解。
四.(10分)用Givens 变换求矩阵?????
??
?
??----=43
0412*******
34000
54321A 的QR 分解。 五.(10分)用Gerschgorin 定理隔离矩阵
???
?
??
? ??-----=
i i A 22
.03
.00
5.245511.02011.002的特征值。(要求画图表示) 六. (15分)已知????
??
? ??--=
??????? ??------=1321,01
1
1
1
21111
1101110100
b A 。 1. 求A 的满秩分解; 2. 求A +;
3. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组 Ax =b 是否有解;
4. 求线性方程组Ax =b 的极小范数解,或者极小范数最小二乘解x 0。(要求指出所求的是哪种解)
七.(15分)设3维欧式空间V 中元素0α在V 的标准正交基321,,ξξξ下的坐标为 (1,-1,0)T . 定义V 的变换如下
)(),()(0
0V T ∈?+=αααααα
1. 证明T 是线性变换;
2. 证明T 是对称变换;
3. 求V 的一个标准正交基n ηηη,,21,使T 在该基下的矩阵为对角矩阵. 八. (7分) 设V 是数域K 上的2维线性空间,V 的一组基为21,αα,V 的两个子空间为
{}{}
0,,
)(21212211202101=+∈+=∈+=k k K k k k k W K k k W 且αααα
证明:V =W 1⊕W 2. 答案:
1.????
??
? ?
?----111
1
1; 2.8,3,14; 3. I -2A ; 4. ???
? ??-++
A A 251; 5. 1,1,1,-2,-5,-8; 6. ??
?
??21
12
三. 1. ????? ?
?+---+--=t t
t t t t
t t t e e
t
At
112221;2. ????
?
??+++=t t t e t x t
2321)(.
四. ???????
? ??---????????
?
?
?-=50
00500051300
412205432154530
00001000100
535400000001A 五. D =diag (1,1,5,1)
第 1 页 共 6 页 (A 卷) 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题,违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式:闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷(A ) 适用专业:2016级硕士研究生 考试日期:2017.1.09 时间:120 分钟 共 8页 一、填空选择题(每小题3分,共30分) 1-5题为填空题: 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ,则1||||A =。 2. 设线性变换1T ,2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ,B ,则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3.在3R 中,基T )2,1,3(1--=α,T )1,1,1(2-=α,T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β, T )3,2,1(2=β,T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ,则 5432333A A A A A -++-= . 5.??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题: 6.设A 是正规矩阵,则下列说法不正确的是 ( ). (A) A 一定可以对角化; (B )?=H A A A 的特征值全为实数; (C) 若E AA H =,则 1=A ; (D )?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7.设矩阵A 的谱半径1)( 1. 广义逆(必考类型) 假设s x n 矩阵A 的广义逆为G ,且A 可以满秩分解为A = BC ,A 的秩r(A) = r ,则B 为s x r 矩阵,C 为r x n 矩阵。则G 可表示为: H 1 1 C (CC )(B B)B H H H G --= 例题: 步骤:显然,A 要分解为BC ,必须知道A 的秩,故先对A 进行行化简成最简式 ,r(A)=2,故A 满秩分解为A=(3x2) (2x4)=BC.根据A 的最简式来决定B 和C ,B 由A 最简式中只有1的原列组成,C 由A 的最简式的非零首元行组成。 B = , C = ,H 11C (CC )(B B)B H H H A --+=,通过计算即可 得到A 的广义逆。(若B 、C 中有单位矩阵,那么A 的广义逆表达式可去掉矩阵) 性质: 2. 证明r(ABC)r(B)r(AB)+r(BC)+>= 比较重要的性质 (1) ABX=0与BX=0同解 r(AB)=r(B) (2) r(A)=r(H A A ) (3) r(A+B)<=r(A)+r(B) (4) r(AB)<=min[r(A),r(B)] (5) r(AB)>=r(A)+r(B)-n ,其中A=s x n ,B=n x t 步骤: 设r(B)=r ,B 的满秩分解为B=HK ,所以ABC=AHKC , r(ABC)=r(AHKC)>=r(AH)+r(KC)-r (性质(5)) AB=AHK ,故r(AB)<=r(AH),同理得r(BC)<=r(KC),(性质(4)) 从而r(ABC)>=r(AB)+r(BC)-r(B),原式得证 知识点: A . 秩为r 的s x n 矩阵A 必可分解为A=BC ,其中B=s x r ,C=r x n 。该分解称为A 的 满秩分解。 3. nxn 2n n 2V {X |AX ,X C }n X ==∈,证明:12=V n C V ⊕ 证明包含两部分,1)证明12V V ⊕是直和 等价于 证明1 2V {0}V = 2)证明12V n C V ?⊕,12V n C V ?⊕ 步骤: 华北电力大学硕士研究生课程考试试题(A 卷) 2013~2014学年第一学期 课程编号:50920021 课程名称:矩阵论 年 级:2013 开课单位:数理系 命题教师: 考核方式:闭卷 考试时间:120分钟 试卷页数: 2页 特别注意:所有答案必须写在答题册上,答在试题纸上一律无效 一、判断题(每小题2分,共10分) 1. 方阵 A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。 见书52页,代数重数指特征多项式中特征值的重数,几何重数指不变子空间的维数,前者加起来为n ,后者小于等于n 2. 设12,,,m αααL 是线性无关的向量,则12dim(span{,,,})m m ααα=L . 正确,线性无关的向量张成一组基 3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ?也是V 的线性子空间. 错误,按照线性子空间的定义进行验证。 4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是 ()A λ的秩是n . 见书60页,需要要求矩阵的行列式是一个非零的数 5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 二、填空题(每小题3分,共27分) (6)210021,003A ?? ?= ? ???则A e 的Jordan 标准型为223e 1 00e 0 ,00 e ?? ? ? ?? ?。 首先写出A e 然后对于若当标准型要求非对角元部分为1. (7)301002030λλλ-?? ?+ ? ?-??的Smith 标准型为10003000(3)(2)λλλ?? ?- ? ?-+?? 见书61-63页,将矩阵做变换即得 矩阵理论2017-2018学年期末考试试题 ?、选择题 (每题5分,共25分) 1.下列命题错误的是(A)(B)若,且,则(C)设且,令,则的谱半径为1 (D)设为空间的任意?空间,则2.下列命题错误的是(A)若,则(B)若,则(C)若,则(D)设的奇异值分别为,,如果,则3.下列说法正确的是(A)若,则(B)若为收敛矩阵,则?定可逆 (C)矩阵函数对任何矩阵均有定义,?论A 为实矩阵还是复矩阵 (D)对任意?阵,均有4.下列选项中正确的是(A)且,则为收敛矩阵; (B)为正规矩阵,则(C),则(D)为的所有正奇异值,5.下列结论错误的是(A)若和分别是列满秩和?满秩矩阵,则(B)若矩阵为?满秩矩阵,则是正定矩阵(C)设为严格对?占优矩阵,,则的谱半径(D)任何可相似对?化的矩阵,皆可分解为幂等矩阵的加权和,即?、判断题(15分)(正确的打√,错误的打×) 1.若,且,,则 2.若且,则为到的值域上的正交投影 3.设都是可逆矩阵,且齐次线性?程组有?零解,为算?范数,则 4.,定义,则是上的范数 5.设矩阵的最?秩分解为,则当且仅当 ( ) (A ?B =?)H A H B H A ∈C n ×n =A A 2rank (A )=tr (A )μ∈C n μ=1μH H =E ?2μμH H ,V 1V 2V dim (+)=dim ()+dim () V 1V 2V 1V 2( ) =A ,=A A H A 2=A A +A =A A H A H (=(A m )+A +)m x ∈C n ∥x ≤∥x ≤∥x ∥∞∥2∥1 A , B ∈ C n ×n ≥≥?≥>0σ1σ2σn ≥≥?≥>0σ′1σ′2σ′ n >(i =1,2,?,n )σi σ′i ∥>∥A +∥2B +∥2 ( )A =????π000π001π????sinA =????0000000sin 10?? ??A E ?A e A A A ,B =e A e B e A +B ( )A ∈C n ×n ∥A <1∥m A A ∈C n ×n r (A )=∥A ∥2A ∈(r >0)C m ×n r ∥A =A +∥F r √≥≥?≥σ1σ2σr A ∥=A +∥21σ1 ( ) A B (AB =)+ B +A + A A A H Hermite A =()∈(n >1)a ij C n ×n D =diag (,,?,)a 11a 22a nn E ?A D ?1r (E ?A )≥1 D ?1(i =1,2,?,n )A i A =∑n i =1λi A i A ∈C m ×n A ≠0(A =A A ?)H A ?∥A =n A ?∥2 ( ) A ∈,G ∈C m ×n C n ×m AGA =A y =AGx ,?x ∈C m C m A ( ) A , B ∈ C n ×n (A +B )x =0∥?∥∥A ∥≥1B ?1 ( )?(x ,y )∈R 2f (x ,y )=2+3?4xy x 2y 2 ̄  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄√f (x ,y )R 2 ( )A A =BD Ax =0Dx =0 ( ) 南京航空航天大学2012级硕士研究生 二、(20分)设三阶矩阵,,. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形; A (2) 利用矩阵的知识,判断矩阵和是否相似,并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页 三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解; A (2) 求广义逆矩阵; +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页 武汉理工大学研究生考试试题(2010) 课程 矩阵论 (共6题,答题时不必抄题,标明题目序号) 一,填空题(15分) 1、已知矩阵A 的初级因子为223 ,(1),,(1)λλ-λλ-,则其最小多项式为 2、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -????????==== ? ? ? ?--???????? ,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 4、已知0100001000011 000A ?? ? ?= ? ???,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--,21i =-,则其范数 1α= ;2α= ;∞α= ; 二,(20)设1112112121220a a V A a a a a ??????==-=?? ?????? ?为22?R 的子集合, 1、证明:V 是22?R 的线性子空间; 2、求V 的维数与一组基; 3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ????== ? ????? V ∈,定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++= 证明:),(B A 是V 的一个内积; 4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、(15分)设{} 23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数 多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈,定义: 1) 一组基为q = .维数为3. 3) 南京航空航天大学双语矩阵论期中考试参考答案(有些答案可能有问题) Q1 1解矩阵A 的特征多项式为 A-2 3 -4 4I-A| =-4 2+6 -8 =A 2(/l-4) -6 7 A-8 所以矩阵A 的特征值为4 =0(二重)和/^=4. 人?2 3 由于(4-2,3)=1,所以D| (人)二1.又 彳 人+6=“2+4人=?(人) 4-2 3 、=7人+4=代(人)故(们3),代3))=1 ?其余的二阶子式(还有7个)都包含因子4, -6 7 所以 D? 3)=1 .最后 det (A (/L))=42(人.4),所以 D 3(A)=/l 2 (2-4). 因此矩阵A 的不变因子为d, (2) = d 2(2) = l, d 3 (2) = r (2-4). 矩阵A 的初等因子为人2, 2-4. 2解矩阵B 与矩阵C 是相似的.矩阵B 和矩阵C 的行列式因子相同且分别为9 3)=1 , D 2(/i)=A 2-/l-2 .根据定理:两矩阵相似的充分必要条件是他们有相同的行列式因子. 所以矩阵B 与矩阵c 相似. Q2 2)设k 是数域p 中任意数,a, 0, /是v 中任意元素.明显满足下而四项. (") = (",a) ; (a+月,/) = (",/) + (”,刃;(ka,/3) = k(a,/3) ; (a,a)>0, 当且仅当Q = 0时(a,a) = ().所以(。,/?)是线性空间V 上的内积. 利 用Gram-Schmidt 正交化方法,可以依次求出 ,p 2 =%-(%'5)与= 层=%-(%,弟与一(%,弓)役= 2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业 学号 姓名 得分 一.判断题(每小题3分,共15分) 1.线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零, 即ker A =0。( ) 2.实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。( ) 3.设A 是n 阶方阵,则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分 必要条件是A 的谱半径1)( 4. 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间,求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 , 。 5.设A 是复数域上的正规矩阵,则A 满足: ,并 写出常用的三类正规矩阵 。 三.计算题(每小题12分,共48分) 1.在3R 中,试用镜像变换(Householder 变换)将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量,写出变换矩阵。 。矩阵论解题步骤-期末考试题
硕士研究生课程考试试题矩阵论答案
矩阵理论2017-2018学年期末考试试题
南航矩阵论2013研究生试卷及答案
矩阵论武汉理工大学研究生考试试题科学硕士
南航矩阵论期中考试参考答案.doc
矩阵论试题
2016矩阵论试题A20170109 (1)