有限元分析理论基础

有限元分析概念

有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件

有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。

有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。

线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。

非线性问题与线弹性问题的区别：

1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；

2）非线性问题不能采用叠加原理；

3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。

有限元求解非线性问题可分为以下三类：

1）材料非线性问题

材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。

2）几何非线性问题

几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。

当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。

3）非线性边界问题

在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。

平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。

实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。

有限元理论基础

有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

1.加权余量法：

是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。（Weighted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。

设问题的控制微分方程为:

在V 域内 在S 边界上

式中 :

L 、B ——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；

f 、

g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值；

u ——为问题待求的未知函数

混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。

无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点： ()0

L u f -=(5.1.1)()0

B u g -=(5.1.2)

(1)试函数应由完备函数集的子集构成。已被采用过的试函数有幂级

数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。

(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数

低一阶的导数连续性。

(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。若计算问题具有

对称性，应充分利用它。

显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。其中伽辽金法的精度最高。

2、虚功原理

——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式

虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。他们都可以认为是与某些控制方程相等效的积分“弱”形式。虚功原理：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。

虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分的“弱”形式；

虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式。

虚位移原理的力学意义：如果力系是平衡的，则它们在虚位移和虚应变上所作的功的总和为零。反之，如果力系在虚位移（及虚应变）上所作的功的和等于零，则它们一定满足平衡方程。所以，虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分条件。一般而言，虚位移原理不仅可以适用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性及弹塑性等非线性问题。

虚应力原理的力学意义：如果位移是协调的，则虚应力和虚边界约束反力在他们上面所作的功的总和为零。反之，如果上述虚力系在他们上面所作的功的和为零，则它们一定是满足协调的。所以，虚应力原理表述了位移协调的必要而充分条件。

虚应力原理可以应用于线弹性以及非线性弹性等不同的力学问题。但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原理，他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问题。

3、最小总势能法

应变能：作用在物体上的外载荷会引起物体变形，变形期间外力所做的功以弹性能的形式储存在物体中，即为应变能。

由n 个单元和m 个节点组成的物体的总势能为总应变能和外力所做功的差：

最小势能原理：对于一个稳定的系统，相对于平衡位置发生的位移总会使系统的总势能最小，即：

()110n m e i i e i i i i Fu u u u ==?∏??=Λ-=???∑∑，i=1,2,3,……,n

有限元法的收敛性

有限元法是一种数值分析方法，因此应考虑收敛性问题。

有限元法的收敛性是指：当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于精确解。

有限元的收敛条件包括如下四个方面：

1）单元内，位移函数必须连续。多项式是单值连续函数，因此选择多项式作为位移函数，在单元内的连续性能够保证。

2）在单元内，位移函数必须包括常应变项。每个单元的应变状态总可以分解为不依赖于单元内各点位置的常应变和由各点位置决定的

变量应变。当单元的尺寸足够小时，单元中各点的应变趋于相等，单元的变形比较均匀，因而常应变就成为应变的主要部分。为反映单元的应变状态，单元位移函数必须包括常应变项。

3）在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。一般情况下，单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。形变位移与物体形状及体积的改变相联系，因而产生应变；刚体位移只改变物体位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移是不产生变形的位移。空间一个物体包括三个平动位移和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。

由于一个单元牵连在另一些单元上，其他单元发生变形时必将带动单元做刚体位移，由此可见，为模拟一个单元的真实位移，假定的单元位移函数必须包括刚体位移项。

4）位移函数在相邻单元的公共边界上必须协调。对一般单元而言，协调性是指相邻单元在公共节点处有相同的位移，而且沿单元边界也有相同的位移，也就是说，要保证不发生单元的相互脱离开裂和相互侵入重叠。要做到这一点，就要求函数在公共边界上能由公共节点的函数值唯一确定。对一般单元，协调性保证了相邻单元边界位移的连续性。

但是，在板壳的相邻单元之间，还要求位移的一阶导数连续，只有这样，才能保证结构的应变能是有界量。

总的说来，协调性是指在相邻单元的公共边界上满足连续性条件。

前三条又叫完备性条件，满足完备条件的单元叫完备单元；第四条是协调性要求，满足协调性的单元叫协调单元；否则称为非协调单元。完备性要求是收敛的必要条件，四条全部满足，构成收敛的充分必要条件。

在实际应用中，要使选择的位移函数全部满足完备性和协调性要求是比较困难的，在某些情况下可以放松对协调性的要求。

需要指出的是，有时非协调单元比与它对应的协调单元还要好，其原因在于近似解的性质。假定位移函数就相当于给单元施加了约束条件，使单元变形服从所加约束，这样的替代结构比真实结构更刚一些。但是，这种近似结构由于允许单元分离、重叠，使单元的刚度变软了，或者形成了（例如板单元在单元之间的绕度连续，而转角不连续时，刚节点变为铰接点）对于非协调单元，上述两种影响有误差相消的可能，因此利用非协调单元有时也会得到很好的结果。在工程实践中，非协调元必须通过“小片试验后”才能使用。

应力的单元平均或节点平均处理方法最简单的处理应力结果的方法是取相邻单元或围绕节点各单元应力的平均值。

? 1.取相邻单元应力的平均值

这种方法最常用于3节点三角形单元中。这种最简单而又相当实用的单元得到的应力解在单元内是常数。可以将其看作是单元内应力的平均值，或是单元形心处的应力。由于应力近似解总是在精确解上下振荡，可以取相邻单元应力的平均值作为此两个单元合成的较大四边形单元形心处的应力。

如2单元的情况下，取平均应力可以采用算术平均，

即平均应力=（单元1的应力+单元2的应力）/2。

也可以采用精确一些的面积加权平均，

即平均应力=[单元1应力× 单元1的面积+单元2应力× 单元2面积]/（单元1面积+单元2面积）

当相邻两单元面积相差不大时，两者的结果基本相同。在单元划分时应避免相邻两单元的面积相差太多，从而使求解的误差相近。

一般而言，3节点三角形单元的最佳应力点是单元的中心点，此点的应力具有1阶的精度。

? 2.取围绕节点各单元应力的平均值

首先计算围绕该节点（i ）周围的相关单元在该节点出的应力值 ，然后以他们的平均值作为该节点的最后应力值 ，即

其中，1~m 是围绕在i 节点周围的全部单元。取平均值时也可进行面积加权。

有限元法求解问题的基本步骤

1.结构离散化

i σ

对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；

2.求出各单元的刚度矩阵[K](e)

[K](e)是由单元节点位移量{Φ}(e)求单元节点力向量{F}(e)的转移矩阵，其关系式为:{F}(e)= [K](e) {Φ}(e)

3.集成总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程：

总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量{Φ}求整体节点力向量的转移矩阵，其关系式为{F}= [K] {Φ}，此即为总体平衡方程。

4.引入支撑条件，求出各节点的位移

节点的支撑条件有两种：一种是节点n沿某个方向的位移为零，另一种是节点n沿某个方向的位移为一给定值。

5.求出各单元内的应力和应变。

对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为:

(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。

(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。

(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。

(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。

(5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。

(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。

(7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。

单元刚度矩阵的特性

单元刚度矩阵无论在局部坐标系中还是在整体坐标系中都具有相同的三个特性：

1）对称性

由材料力学中的位移互等定理可知，对一个构件，作用在点j的力引起点i的绕度等于有同样大小而作用于点i的力引起的点j的绕度，即k ij(e) = k ji(e)，表明单元刚度矩阵是一个对称矩阵。

2）奇异性

无逆阵的矩阵就叫做奇异矩阵，其行列式的值为0，即|k(e)|=0，这一点可以从例题直接得到验证。其物理意义是引入支撑条件之前，单元可平移。

3）分块性

有前面所讲的内容可以看出，矩阵[k(e)]可以用虚线分成四块，因此可写成如下的分块形式，

式中k mn(e)——局部坐标系中单元(e)按局部码标记的节点m、n之间的刚度子矩阵

刚架结构中非节点载荷的处理的方法在刚架结构以及其他较复杂的结构上，他们所受的载荷可以直接作用在节点上，又可以不直接作用在节点上而作用于单元节点间的其他位置上。后一种情况下的载荷称为非节点载荷。有限元分析时，总体刚度方程中所用到的力向量是节点力向量。因此在进行整体分析前应当进行载荷的移植，将作用于单元上的力移植到节点上。移植时按静力等效的原则进行。

处理非节点载荷一般可直接在整体坐标系内进行，其过程为：

1）将各杆单元看成一根两端固定的梁，分别求出两个固定端的约束反力。其结果可直接利用材料力学的公式求得；

2）将各固定端的约束反力变号，按节点进行集成，获得各节点的等效载荷

总体刚度矩阵的集成法

使用刚度矩阵获得的方法获得总体刚度矩阵。在此将其扩展到由整体坐标系中的单元刚度矩阵的子矩阵集成总体刚度矩阵。步骤如下：1）对一个有n个节点的结构，将总体刚度矩阵[K]划分为n×n各子区间，然后按节点总码的顺序进行编号；

2）将整体坐标系中单元刚度矩阵的各子矩阵根据其下标的两个总码对号入座，写在总体刚度矩阵相应的子区间；

3）同一子区间内的子矩阵相加，成为总体刚度矩阵中的相应的子矩阵。

总体刚度矩阵的特性

1）对称性：因为由此特性，在计算机中只需存储其上三角部分；

2）奇异性：物理意义仍为在无约束的情况下，整个结构可做刚体运动；

3）稀疏性：[K]中有许多零子矩阵，而且在非零子矩阵中还有大量的零元素，这种矩阵称为稀疏矩阵。大型结构的总体刚度矩阵一般都是稀疏矩阵；

4）分块性：

平面问题离散化时的规定

1）单元之间只在节点处相连；

2）所有的节点都为铰接点；

3）单元之间的力通过节点传递；

4）外载荷都要移植到节点上；

5）在节点位移或某一分量可以不计之处，就必须在该节点安置一个铰支座或相应的连杆支座。

通过以上的规定来建立平面有限元分析模型。

结构对称性的利用规律

一般来说，作用在对称结构上的载荷系统分为对称的、反对称的和一般的三种情况。

1.结构对称，载荷对称或反对称

这种情况下，对称面上的边界条件可按以下规则确定：

A.在不同的对称面上，将位移分量区分为对称分量和反对称分量；

B.将载荷也按不同的对称面分别区分为对称分量和反对称分量；

C.对于同一个对称面，如载荷是对称的，则对称面上位移的反对称分量为零，如载荷是反对称的，则对称面上位移的对称分量为零。

如果所分析的结构对称，但载荷是不对称的，也不是反对称的，这时可以将这种结构系统简化成载荷为对称和/或反对称情况的组合，仍可以简化分析过程，提高分析的综合效率。

如图a所示，结构对称，载荷一般，可将其载荷分解为图b和图c 的组合。图b为对称结构，载荷对x、y轴均为对称，图c为结构对称，载荷对x轴反对称、对y轴对称，此时可取相同的四分之一进行研究，分别施加对称面上节点的边界条件，进行两次分析计算，并将计算结果

迭加起来，即可得到原结构四分之一的解答，进而得出整个结构的解答。

利用结构的对称性取某一部分建立有限元模型时，往往会产生约束不足现象。

例如，若取上例中图c的四分之一建立有限元时，根据上述分析，在两对称面上应加水平放置的滚动铰支座，因此模型在垂直方向存在刚体位移。对这种约束不足问题，利用有限元分析时，必须增加附加约束，以消除模型的刚体位移。在本例中，垂直方向可以用刚度很小的杆单元或边界弹簧单元连接到模型某节点上，使得既消除了模型的刚体位移，又不致于因附加的杆单元或边界弹簧单元刚度太大而影响结构原有的变形状态。

单元形态的选择原则

单元形态包括单元形状、边中节点的位置、细长比等，在结构离散化过程中必须合理选择。一般来说，为了保证有限元分析的精度，必须是单元的形态尽可能的规则。

对于三角形单元，三条边长尽量接近，不应出现大的钝角、大的边长。这是因为根据误差分析，应力和位移的误差都和单元的最小内角的正弦成反比。因而，等边三角形单元的形态最好，它与等腰直角三角形单元的误差之比为sin45°:sin60°=1:1.23。但是为了适应弹性体边界，以及单元由小到大逐渐过渡，不可能是所有的三角形单元都接近等边三角形。实际上，常常使用等腰直角三角形。

对于矩形单元来说，细长比不宜过大。细长比是指单元最大尺寸和最小尺寸之比。最优细长比在很大程度上取决于不同方向上位移梯度的

差别。梯度较大的方向，单元尺寸要小些，梯度小的方向，单元尺寸可以大一些；如果各方向上位移梯度大致相同，则细长比越接近1，精度越高。有文献推荐，一般情况下，为了得到较好的位移结果，细长比不应超过7；为了获得较好的应力结果，细长比不应超过3。一般情况下，正方形单元的形态最好。

对于一般的四边形单元应避免过大的边长比，过大的边长比会导致病态的方程组。

边界条件的确定

确定边界条件是建立有限元模型的重要一环，合理确定有限元模型的边界条件是成功地进行结构有限元分析的基本要求。

一般情况下，建模对象的边界条件是明确的。根据力学模型的边界条件可以很容易确定其有限元模型的边界条件。例如电线杆插入地基的一端为固定端，桥梁一端为固定铰支座，另一端为滚动较支座。

但是，在机械工程中，建模对象往往是整个结构中的一部分，在建立有限元模型，确定其边界条件时，必须考虑其余部分的影响。这方面主要考虑如下两类问题。

1.边界位置的确定

在建立连续弹性体局部区域的有限元模型时，往往取该局部区域为隔离体，取其隔离边界条件为零位移约束，并通过试探校正确定零位移边界条件的位置。例如，进行齿轮齿有限元分析时，取一个轮齿的局部区域为隔离体，如图所示，设定PQRS的边界条件为零位移约束，通过改变边界深度PQ和边界宽度PS研究边界位置对齿根最大拉应力的影

响，最后确定合理的边界条件。

2.边界条件的确定

有些分析对象的边界位置是零部件的连接部位。在建立有限元模型时，必须研究如何给定边界位置上的边界条件，以反映相连接结构的影响。确定这种问题的边界条件是用简单支撑连杆替代相连接结构的作用，使替代后结构的系统刚度等价于原结构的系统刚度。如分析机床主轴和传动轴时，可以利用等刚度的杆单元替代轴承和支座的作用，使轴的分析中包含有轴承和支座的影响。

单元和节点编号规则

当利用整体刚度矩阵的带状特征进行存贮和求解方程组时，单元节点编号直接影响系统整体刚度矩阵的半带宽，也就是影响在计算机中存贮信息的多少、计算时间和计算费用。因而，要求合理的节点编号使带宽极小化。半带宽的计算公式：

半带宽d=（单元节点号的最大差值+1）×节点自由度

由此，进行网格节点编号时应使网格中单元节点号的最大差值最小，这样才能保证半带宽最小。试比较下图。

图所示网格的四种编号方案中，单元节点标号的最大差值分别为5，3，5，9。显然，图2方案要合理。由此得出结论：沿着短边方向按列-列-列-列地顺序编号比沿着长度方向按行-行-行-行地顺序要合理（半带宽小）

平面问题中非节点载荷转换为等效节点载荷由于三角形单元复杂的力学性质，不能像分析刚架时那样简单地利

用材料力学公式来求解，而要用虚功方程将加在结构上的非节点载荷转换为等效节点载荷。

掌握以下两种常见的非节点载荷的移植结果。

1）作用在单元一条侧边上的集中力

设Q平行于x方向，如图4-14所示，则

等效节点载荷为

若Q平行于y方向，结果与此相仿。

2）作用在单元一条侧边上呈三角形分布的载荷

设载荷平行于x方向，如图4-15所示，则等效节点载荷为

若分布载荷为集度是q的均布载荷，则

其余分量为零。

求解时模型是否准备就绪?

在求解初始化前，应进行分析数据检查，包括下面内容:

1.统一的单位;

2.单元类型和选项;

3.材料性质参数:考虑惯性时应输入材料密度;热应力分析时应输入材料的热膨胀系数;

4.实常数(单元特性);

5.单元实常数和材料类型的设置;

6.实体模型的质量特性(Preprocessor > Operate > Calc Geom Items);

7.模型中不应存在的缝隙;

8.壳单元的法向;

9.节点坐标系;10.集中、体积载荷面力方向;11.温度场的分布和范围;12.热膨胀分析的参考温度。

有限元基础知识归纳

有限元知识点归纳 1.、有限元解的特点、原因？ 答：有限元解一般偏小，即位移解下限性 原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。 2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49 (1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0; (2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续； (3)应包含完全一次多项式； (4)应满足∑Ni=1 以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。 4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131） 答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。即： 为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即： 其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。称前者为母单元，后者为子单元。 还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。 5、单元离散？P42 答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。每个部分称为一个单元，连接点称为结点。对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。这种单元称为常应变三角形单元。常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。 6、数值积分，阶次选择的基本要求？ 答：通常是选用高斯积分 积分阶次的选择—采用数值积分代替精确积分时，积分阶数的选取应适当，因为它直接影响计算精度，计算工作量。选择时主要从两方面考虑。一是要保证积分的精度，不损失收敛性；二是要避免引起结构总刚度矩阵的奇异性，导致计算的失败。

有限元知识点汇总

有限元知识点汇总 第一章 1、何为有限元法？其基本思想是什么？ 》有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法。 》基本思想：化整为零，化零为整 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？ 》有限元法的基本思想是几何离散和分片插值； 》用离散单元的组合来逼近原始结构，体现了几何上的近似；用近似函数逼近未知量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利用与问题的等效的变分原理建立有限元基本方程，又体现了明确的物理背景。 3、单元、节点的概念？ 》单元：把参数单元划分成网格，这些网格就称为单元。 》节点：网格间相互连接的点称为节点。 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？ 》3大步骤；——结构离散化；——单元分析；——整体分析。 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？ 》有限元方法分3种；——位移法、力法、混合法。 》本课程讲授的：位移法 6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？》弹性力学的基本变量是——{外力、应力、应变、位移} 》几何方程——{描述弹性体应变分量与位移分量之间关系的方程} 》物理方程——{描述应力分量与应变分量之间的关系} 》虚功方程——{描述内力和外力的关系的方程} 》弹性矩阵特点——{ } 7、何为平面应力问题和平面应变问题？ 》平面应力问题——{满足（1）几何条件——所研究的是一根很薄的等厚度薄板，即一个方向上的几何尺寸远远小于其余两个面上的几何尺寸;（2）载荷条件——作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用} 》平面应变问题——{满足（1）几何条件——所研究的是长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变；（2）载荷条件——作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力} 第二章 7、形函数的特点？ 》1形函数Ni再节点i处等于1，在其他节点上的值等于0，对于Nj、Nm也有同样的性质。》2在单元内任一点的各形函数之和等于1，即Ni+Nj+Nm=1 8、单元刚度矩阵的性质？ 》1 K^e中每个元素都有明确的物理意义，每个元素都是一个刚度系数，他是单位节点位移分量所引起的节点力分量 》2 k^e是对称矩阵，具有对称性。 》3 K^e的每一行或每一列元素之和为零，是奇异矩阵

有限元分析基础教程(ANSYS算例)(曾攀)

有限元分析基础教程Fundamentals of Finite Element Analysis (ANSYS算例) 曾攀 清华大学 2008-12

有限元分析基础教程曾攀 有限元分析基础教程 Fundamentals of Finite Element Analysis 曾攀 (清华大学) 内容简介 全教程包括两大部分，共分9章；第一部分为有限元分析基本原理，包括第1章至第5章，内容有：绪论、有限元分析过程的概要、杆梁结构分析的有限元方法、连续体结构分析的有限元方法、有限元分析中的若干问题讨论；第二部分为有限元分析的典型应用领域，包括第6章至第9章，内容有：静力结构的有限元分析、结构振动的有限元分析、传热过程的有限元分析、弹塑性材料的有限元分析。本书以基本变量、基本方程、求解原理、单元构建、典型例题、MATLAB程序及算例、ANSYS算例等一系列规范性方式来描述有限元分析的力学原理、程序编制以及实例应用；给出的典型实例都详细提供有完整的数学推演过程以及ANSYS实现过程。本教程的基本理论阐述简明扼要，重点突出，实例丰富，教程中的二部分内容相互衔接，也可独立使用，适合于具有大学高年级学生程度的人员作为培训教材，也适合于不同程度的读者进行自学；对于希望在MATLAB程序以及ANSYS平台进行建模分析的读者，本教程更值得参考。 本基础教程的读者对象：机械、力学、土木、水利、航空航天等专业的工程技术人员、科研工作者。

目录 [[[[[[\\\\\\ 【ANSYS算例】3.3.7(3) 三梁平面框架结构的有限元分析 1 【ANSYS算例】4.3.2(4) 三角形单元与矩形单元的精细网格的计算比较 3 【ANSYS算例】5.3(8) 平面问题斜支座的处理 6 【ANSYS算例】6.2(2) 受均匀载荷方形板的有限元分析9 【ANSYS算例】6.4.2(1) 8万吨模锻液压机主牌坊的分析(GUI) 15 【ANSYS算例】6.4.2(2) 8万吨模锻液压机主牌坊的参数化建模与分析(命令流) 17 【ANSYS算例】7.2(1) 汽车悬挂系统的振动模态分析(GUI) 20 【ANSYS算例】7.2(2) 汽车悬挂系统的振动模态分析(命令流) 23 【ANSYS算例】7.3(1) 带有张拉的绳索的振动模态分析(GUI) 24 【ANSYS算例】7.3(2) 带有张拉的绳索的振动模态分析(命令流) 27 【ANSYS算例】7.4(1) 机翼模型的振动模态分析(GUI) 28 【ANSYS算例】7.4(2) 机翼模型的振动模态分析(命令流) 30 【ANSYS算例】8.2(1) 2D矩形板的稳态热对流的自适应分析(GUI) 31 【ANSYS算例】8.2(2) 2D矩形板的稳态热对流的自适应分析(命令流) 33 【ANSYS算例】8.3(1) 金属材料凝固过程的瞬态传热分析(GUI) 34 【ANSYS算例】8.3(2) 金属材料凝固过程的瞬态传热分析(命令流) 38 【ANSYS算例】8.4(1) 升温条件下杆件支撑结构的热应力分析(GUI) 39 【ANSYS算例】8.4(2) 升温条件下杆件支撑结构的热应力分析(命令流) 42 【ANSYS算例】9.2(2) 三杆结构塑性卸载后的残余应力计算(命令流) 45 【ANSYS算例】9.3(1) 悬臂梁在循环加载作用下的弹塑性计算(GUI) 46 【ANSYS算例】9.3(2) 悬臂梁在循环加载作用下的弹塑性计算(命令流) 49 附录 B ANSYS软件的基本操作52 B.1 基于图形界面(GUI)的交互式操作(step by step) 53 B.2 log命令流文件的调入操作(可由GUI环境下生成log文件) 56 B.3 完全的直接命令输入方式操作56 B.4 APDL参数化编程的初步操作57

ANSYS 有限元分析基本流程

第一章实体建模 第一节基本知识 建模在ANSYS系统中包括广义与狭义两层含义，广义模型包括实体模型和在载荷与边界条件下的有限元模型，狭义则仅仅指建立的实体模型与有限元模型。建模的最终目的是获得正确的有限元网格模型，保证网格具有合理的单元形状，单元大小密度分布合理，以便施加边界条件和载荷，保证变形后仍具有合理的单元形状，场量分布描述清晰等。 一、实体造型简介 1．建立实体模型的两种途径 ①利用ANSYS自带的实体建模功能创建实体建模： ②利用ANSYS与其他软件接口导入其他二维或三维软件所建立的实体模型。 2．实体建模的三种方式 (1)自底向上的实体建模 由建立最低图元对象的点到最高图元对象的体，即先定义实体各顶点的关键点，再通过关键点连成线，然后由线组合成面，最后由面组合成体。 (2)自顶向下的实体建模 直接建立最高图元对象，其对应的较低图元面、线和关键点同时被创建。 (3)混合法自底向上和自顶向下的实体建模 可根据个人习惯采用混合法建模，但应该考虑要获得什么样的有限元模型，即在网格划分时采用自由网格划分或映射网格划分。自由网格划分时，实体模型的建立比较1e单，只要所有的面或体能接合成一体就可以：映射网格划分时，平面结构一定要四边形或三边形的面相接而成。 二、ANSYS的坐标系 ANSYS为用户提供了以下几种坐标系，每种都有其特定的用途。 ①全局坐标系与局部坐标系：用于定位几何对象(如节点、关键点等)的空间位置。 ②显示坐标系：定义了列出或显示几何对象的系统。 ③节点坐标系：定义每个节点的自由度方向和节点结果数据的方向。 ④单元坐标系：确定材料特性主轴和单元结果数据的方向。 1．全局坐标系 全局坐标系和局部坐标系是用来定位几何体。在默认状态下，建模操作时使用的坐标系是全局坐标系即笛卡尔坐标系。总体坐标系是一个绝对的参考系。ANSYS提供了4种全局坐标系：笛卡尔坐标系、柱坐标系、球坐标系、Y-柱坐标系。4种全局坐标系有相同的原点，且遵循右手定则，它们的坐标系识别号分别为：0是笛卡尔坐标系(cartesian)，1是柱坐标系 (Cyliadrical)，2是球坐标系(Spherical)，5是Y-柱坐标系(Y-aylindrical)，如图2-1所示。

Matlab有限元分析操作基础共11页

Matlab有限元分析20140226 为了用Matlab进行有限元分析，首先要学会Matlab基本操作，还要学会使用Matlab进行有限元分析的基本操作。 1. 复习：上节课分析了弹簧系统 x 推导了系统刚度矩阵

2. Matlab有限元分析的基本操作 （1）单元划分（选择何种单元，分成多少个单元，标号）（2）构造单元刚度矩阵（列出…） （3）组装系统刚度矩阵（集成整体刚度矩阵） （4）引入边界条件（消除冗余方程） （5）解方程 （6）后处理（扩展计算）

3. Matlab有限元分析实战【实例1】

分析： 步骤一：单元划分

>>k1=SpringElementStiffness(100)

a) 分析SpringAssemble库函数 function y = SpringAssemble(K,k,i,j) % This function assembles the element stiffness % matrix k of the spring with nodes i and j into the % global stiffness matrix K. % function returns the global stiffness matrix K % after the element stiffness matrix k is assembled. K(i,i) = K(i,i) + k(1,1); K(i,j) = K(i,j) + k(1,2); K(j,i) = K(j,i) + k(2,1); K(j,j) = K(j,j) + k(2,2); y = K; b) K是多大矩阵？ 今天的系统刚度矩阵是什么？ 因为 11 22 1212 k k k k k k k k - ?? ?? - ????--+ ?? 所以 1000100 0200200 100200300 - ?? ?? - ????-- ??？

有限元分析基本理论问答 基础理论知识

1. 诉述有限元法的定义 答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法 2. 有限元法的基本思想是什么 答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。 3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些 答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。 4. 有限元法有哪些优缺点 答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。 缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。对无限求解域问题没有较好的处理办法。尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。 5. ?梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定 答：每个节点上有几个节点位移分量，就称每个节点有几个自由度 6. ?简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义 答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵 单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1，其他节点位移分量等于0时，对应的第m个节点力分量。 7. 有限元法基本方程中的每一项的意义是什么 答：整个结构的节点载荷列阵（外载荷、约束力），整个结构的节点位移列阵，结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。 8. 位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么 答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。 9. ?简述整体刚度矩阵的性质和特点 答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正。 11. 简述整体坐标的概念 答：单元刚度矩阵的坐标变换式把平面刚架的所有单元在局部坐标系X’Y’Z’下的单元刚度矩阵变换到一个统一的坐标系xOy下，这个统一的坐标系xOy称为整体坐标系。 13. 简述平面钢架问题有限元法的基本过程 答：力学模型的确定，结构的离散化，计算载荷的等效节点力，计算各单元的刚度矩阵，组集整体刚度矩阵，施加边界约束条件，求解降价的有限元基本方程，求解单元应力，计算结果的输出。 14. 弹性力学的基本假设是什么。 答：连续性假定，弹性假定，均匀性和各向同性假定，小变形假定，无初应力假定。 15.弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有什么不同。 答：研究对象：材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。研究方法：弹性力学和材料力学

《有限元》教学大纲

《有限元分析》课程教学大纲 【课程编号】××××× 【课程名称】有限元分析/ Finite Element Analysis 【课程性质】专业核心课 【学时】144学时【实验/上机学时】144学时 【考核方式】试卷考【开课单位】XX学院 【授课对象】本科、机械设计制造及其自动化学生 一、课程的性质、目的和任务 有限元法作为边值问题的近似计算方法，随着计算机和计算技术的迅猛发展，其应用已从固体力学发展到流体力学、热力学、电磁学、声学、光学、生物学等多耦合场问题。《有限元分析基础》是材料成型类专业的一门专业基础课，主要介绍固体力学有限单元法的基本理论和应用。在对有限单元法的原理、方法进行讲授的同时配以相应的计算算例及大型工程软件的使用示例，加深学生的理解和消化。 课程教学所要达到的目的是：1、有限单元法的基本理论和实施方法；2、掌握工程结构和设备的受力及变形分析技能并最终提高他们的工程设计能力和解决实际问题的能力；3、利用ANSYS软件上机实践完成两个上机练习：刚架结构有限元分析和三维固体有限元分析；4、掌握利用有限元的加权残值法求解场问题的概念，重点介绍1维和2维热传导问。 题有限元分析。 二、教学内容、基本要求和学、课时分配 第一章：ANSYS概论（13学时） （一）基本要求：了解有限元法的分析过程，ANSYS 15.0的安装与启动，前处理、加载并求解、后处理。 （二）教学内容和课时分配： 1、有限元法的分析过程，ANSYS 15.0的安装与启动（2学时）

2、系统要求、设置运行参数（1学时） 3、ANSYS分析的基本过程（1学时） 4、实验内容（9学时） 实验1 梁的有限元建模与变形分析（1学时） 实验目的和要求： 1)要求选择不同形状的截面分别进行计算； 2) 梁截面分别采用以下三种截面； 3) 设置计算类型； 重点：有限元法的分析过程，ANSYS 15.0的安装与启动； 难点：ANSYS分析的基本过程； 第二章：图形用户界面（13学时） （一）基本要求：了解ANSYS软件界面下各窗口的功能，具体包括应用命令菜单、主菜单、工具栏、输入窗口、图形窗口和输出窗口。ANSYS架构及命令，具体包括简单模型的建立、材料属性输入、单元的选择和划分、求解处理和后置处理。 （二）教学内容和课时分配： 1、ANSYS 15.0图形用户界面的组成（1学时） 具体包括应用命令菜单、主菜单、工具栏、输入窗口、图形窗口和输出窗口。ANSYS 架构及命令，具体包括简单模型的建立、材料属性输入、单元的选择和划分、求解处理和后置处理2、对话框及其组件、通用菜单，输入窗口 2、主菜单，输出窗口，图形窗口的功能（1学时） 3、个性化界面（1学时） 4、实验内容（10学时） 实验1 超静定桁架的有限元建模与分析 实验目的和要求：上机熟悉ANSYS软件的命令，并对简单的例题进行有限元静、动态分析。 重点（黑体，小四号字）：ANSYS 15.0图形用户界面的组成；

UG有限元分析教程

第1章高级仿真入门 在本章中，将学习： ?高级仿真的功能。 ?由高级仿真使用的文件。 ?使用高级仿真的基本工作流程。 ?创建FEM和仿真文件。 ?用在仿真导航器中的文件。 ?在高级仿真中有限元分析工作的流程。 1.1综述 UG NX4高级仿真是一个综合性的有限元建模和结果可视化的产品，旨在满足设计工程师与分析师的需要。高级仿真包括一整套前处理和后处理工具，并支持广泛的产品性能评估解法。图1-1所示为一连杆分析实例。 图1-1连杆分析实例 高级仿真提供对许多业界标准解算器的无缝、透明支持，这样的解算器包括NX Nastran、MSC Nastran、ANSYS和ABAQUS。例如，如果结构仿真中创建网格或解法，则指定将要用于解算模型的解算器和要执行的分析类型。本软件使用该解算器的术语或“语言”及分析类型来展示所有网格划分、边界条件和解法选项。另外，还可以求解模型并直接在高级仿真中查看结果，不必首先导出解算器文件或导入结果。 高级仿真提供基本设计仿真中需要的所有功能，并支持高级分析流程的众多其他功能。 ?高级仿真的数据结构很有特色，例如具有独立的仿真文件和FEM文件，这有利于在分布式工作环境中开发有限元（FE）模型。这些数据结构还允许分析师轻松 地共享FE数据去执行多种类型分析。

UG NX4高级仿真培训教程 2 ?高级仿真提供世界级的网格划分功能。本软件旨在使用经济的单元计数来产生高质量网格。结构仿真支持完整的单元类型（1D、2D和3D）。另外，结构级仿真 使分析师能够控制特定网格公差。例如，这些公差控制着软件如何对复杂几何体 （例如圆角）划分网格。 ?高级仿真包括许多几何体简化工具，使分析师能够根据其分析需要来量身定制CAD几何体。例如，分析师可以使用这些工具提高其网格的整体质量，方法是消 除有问题的几何体（例如微小的边）。 ?高级仿真中专门包含有新的NX传热解算器和NX流体解算器。 NX传热解算器是一种完全集成的有限差分解算器。它允许热工程师预测承受热载荷系统中的热流和温度。 NX流体解算器是一种计算流体动力学（CFD）解算器。它允许分析师执行稳态、不可压缩的流分析，并对系统中的流体运动预测流率和压力梯度，也可 以使用NX传热和NX流体一起执行耦合传热/流体分析。 1.2仿真文件结构 当向前通过高级仿真工作流时，将利用4个分离并关联的文件去存储信息。要在高级仿真中高效地工作，需要了解哪些数据存储在哪个文件中，以及在创建那些数据时哪个文件必须是激活的工作部件。这4个文件平行于仿真过程，如图1-2所示。 图1-2仿真文件结构 设计部件文件的理想化复制 当一个理想化部件文件被建立时，默认有一.prt扩展名，fem#_i是对部件名的附加。例如，如果原部件是plate.prt，一个理想化部件被命名为plate_fem1_i.prt。 一个理想化部件是原设计部件的一个相关复制，可以修改它。 理想化工具让用户利用理想化部件对主模型的设计特征做改变。不修改主模型部件，

结构分析及有限元分析基础知识

第一章结构分析及有限元分析基础知识 注：摘自《NX知识工程应用技术——CAD/CAE篇》 洪如瑾编译 清华大学出版社 [目标] 本章将简述结构分析及有限元分析的基础知识，为学习与应用结构分析做好准备，包括： ※ 结构与结构分析定义 ※ 结构的线性静态分析 ※ 材料行为与故障 ※ 有限元分析的基本概念 ※ 有限元模型 1.1结构分析基础知识 1.1.1结构基本概念 1.结构定义 结构可以定义为一个正承受作用的载荷处于平衡中的系统。平衡条件意味着结构是不移动的。一个自由的支架不是一个结构，它未被连接到任一物体上并无载荷作用与它。仅当它附着到外部世界，并且有作用力、压力或力矩时，支架成为一个结构。 例如横跨江面的大桥就是一个普通的结构，一个支架通过它的支撑连接到地面上，桥的重量是在结构上的一种载荷（力）。当汽车通过桥时，附加的力作用于桥的不同位置。 一个好的结构必须满足以下标准： （1） 当预期的载荷作用时，结构必须不出现故障。这个似乎是显而易见的，并意味着结构必须是“强度足够的”。故障意味着结构破裂、分离、弯曲，以及支撑作用载荷失败。 注意：考虑到意外的载荷，通常在设计中提供安全余量。余量常常利用安全因素来描述。例如，如果在结构上期待载荷是10 000磅，规定安全因素是2.0，则结构将设计成能经受住20 000磅载荷。 （2） 当载荷作用时，结构必须不产生过分变形。这意味着结构必须“刚度足够”。 变形可接受的极限（弯曲度、挠度、拉伸等）取决于特定情况。例如，在通常住宅中的地板由足够的吊带支撑，以防止当人在地板岸上行走时有“柔软”的感觉。 （3） 在它的服务生命周期，结构的行为应不会恶化。这意味着结构必须“足够耐用”，必须考虑环境影响和“磨损与破裂”。如果一座桥假定维持50年，则桥的设计必须提供整个50年寿命的结构完整性与充分的安全余量。2.结构分析 结构分析是用于决定一个结构是否将正确完成任务的工程分析过程。结构将在某些方式中进行模拟和求解描述它的行为的数学方程。分析可以人工方法或用计算机方法来完成。 结构分析的结果（答案）用于评估性能，摘要如下： （1）“强度足够吗？”：应力必须是在一可接受的范围内。 （2）“刚度足够吗？”：位移必须是在一可接受的范围内。 （3）“耐用度足够？”：对一个长的疲劳周期应力必须足够低。

有限元分析 教学大纲

《有限元分析》课程教学大纲 一、课程的地位、目的和任务 本课程地位： 《有限元分析》课程是机械设计制造及其自动化专业的一门重要专业选修课。有限元分析方法是一种数值分析方法，在大型数值运算中得到广泛的应用。 本课程目的： 《有限元分析》课程在教学内容方面着重机械分析的基本知识、基本理论和基本方法的传授。在培养学生的设计能力方面着重设计构思和设计技能的基本训练。 本课程任务： 1.树立正确的设计思想和创新意识，了解本课程基本理论的创立、运用和发展； 2.了解国家当前的有关技术、经济政策，具有正确运用标准、规范、手册、图册和查阅有关技术资料的能力； 二、本课程与其它课程的联系 本课程应在学完《画法几何与机械制图》、《理论力学》、《材料力学》课程等课程以后进行，可与《互换性与技术测量》课程同时开设。本课程学习结束后，为学生顺利进入后续专业课学习打下基础，本课程在机械类专业教学计划中起到承前启后的作用，是一门设计性的主干技术课程。在整个人才培养中有不可或缺的总要作用。 三、教学内容及要求 第一篇总论 第一章绪论 教学要求： （1）了解有限元研究的内容与方法； （2）初步理解其在解决固体力学与结构分析方面的问题，而且应用与传热学、流体力学、电磁学等领域的重要地位。 教学内容： 第一节机械结构设计与有限元分析的关系 （一）有限元方法的提出 （二）有限元方法的重要性 第二节用有限元分析方法解决一些工程上的问题 （一）有限元法在工程中的应用

第二章弹性力学的基本理论 教学要求： （1）重点掌握真实解释一个函数，基函数是一组函数，试探函数是某一类函数。教学内容： 第一节有限元相关的数学与力学的知识 （一）有限元数学方程 （二）有限元力学方程 第二节弹性力学变分原理 （一）弹性力学原理 （二）弹性力学的表达式 第三章连续体弹性问题的有限元分析原理 教学要求： （1）掌握该原理； （2）熟知几种常用的单元的节点参数、表达形式和使用范围。 教学内容： 第一节二维、三维建模的有限元分析技术 （一）二维建模有限元技术 （一）三维建模有限元技术 第二节连续体的离散过程 （一）连续体的离散过程 （二） 2D单元的构造 （三） 3D单元的构造 第四章软件使用及结构分析实例与应用教学要求： （1）掌握软件的使用方法，结构问问题的分析与过程； （2）能够应用软件进行一般的结构分析。 教学内容： 第一节分析方法 （一）掌握该种分析方法 （二）解决处理实际工程问题 第二节实践练习 （一）上机练习，尽快掌握分析的原理 第五章接触问题的有限元分析 教学要求： （1）掌握边界接触问题法人解决方法和分析思路。 教学内容： 第一节接触问题的分析方法

有限元分析基础教程

有限元分析基础教程

前言 有限元分析已经在教学、科研以及工程应用中成为重要而又普及的数值分析方法和工具；该基础教程力求提供具备现代特色的实用教程。在教材的内容体系上综合考虑有限元方法的力学分析原理、建模技巧、应用领域、软件平台、实例分析这几个方面，按照教科书的方式深入浅出地叙述有限元方法，并体现出有限元原理“在使用中学习，在学习中使用”的交互式特点，在介绍每一种单元的同时，提供完整的典型推导实例、MATLAB实际编程以及ANSYS应用数值算例，并且给出的各种类型的算例都具有较好的前后对应性，使学员在学习分析原理的同时，也进行实际编程和有限元分析软件的操作，经历实例建模、求解、分析和结果评判的全过程，在实践的基础上深刻理解和掌握有限元分析方法。 一本基础教材应该在培养学员掌握坚实的基础理论、系统的专业知识方面发挥作用，因此，教材不但要提供系统的、具有一定深度的基础理论，还要介绍相关的应用领域，以给学员进一步学习提供扩展空间，本教程正是按照这一思路进行设计的；全书的内容包括两个部分，共分9章；第一部分为有限元分析基本原理，包括第1章至第5章，内容有：绪论、有限元分析过程的概要、杆梁结构分析的有限元方法、连续体结构分析的有限元方法、有限元分析中的若干问题讨论；第二部分为有限元分析的典型应用领域，包括第6章至第9章，内容有：静力结构的有限元分析、结构振动的有限元分析、传热过程的有限元分析、弹塑性材料的有限元分析。在基本原理方面，以基本变量、基本方程、求解原理、单元构建等一系列规范的方式进行介绍；在阐述有限元分析与应用方面，采用典型例题、MATLAB程序及算例、ANSYS算例的方式，以体现出分析建模的不同阶段和层次，引导学员领会有限元方法的实质，还提供有大量的练习题。 本教程的重点是强调有限元方法的实质理解和融会贯通，力求精而透，强调学员综合能力(掌握和应用有限元方法)的培养，为学员亲自参与建模、以及使用先进的有限元软件平台提供较好的素材；同时，给学员进一步学习提供新的空间。 本教程力求体现以下特点。 (1)考虑教学适应性：强调对学员在数学原理、分析建模、软件应用几个方面的培养目标要求，注重学员在工程数值方面的基础训练，培养学员“使用先进软件＋分析实际问题”的初步能力。 (2)考虑认知规律性：力求按照有限元分析方法的教学规律和认知规律，在教材中设计了“基本变量、基本方程、求解原理、单元构建”这样的模块；并体现出有限元原理“在使用中学习，在学习中使用”的交互式特点，在介绍每一种单元的同时，提供实用的MATLAB实际编程和数值实例；在每一章还进行要点总结，给出典型例题，以引导学员领会有限元方法的实质，体现教材的启发性，有利于激发学员学习兴趣和便于自学。 (3)考虑结构完整性：本教程提供完整的教材结构：绪论、正文、典型例题、基于MATLAB的编程算例与数值算例、具有一定深度的ANSYS算例、各章要点、习题、专业术语的英文标注、关键词中文和英文索引、参考文献，便于学员查阅。 (4)内容上的拓展性：除基本内容外，还介绍了较广泛的应用领域，包括：静力结构分析、结构振动分析、传热过程分析、弹塑性材料分析；提供了有关的典型问题的建模详细分析过程，基本上反映了有限元分析在一些主要领域的应用状况及建模方法。 (5)编排上的逻辑性：本教程力求做到具有分明的层次和清楚的条理，在每一章中重点突出有限元方法的思想、数理逻辑及建模过程，强调相应的工程概念，提供典型例题及详解，许多例题可作为读者进行编程校验的标准考题(Benchmark)，还提供了对应的MATLAB编程算例与ANSYS算例，特别是介绍了基于APDL参数化的ANSYS建模方法，并给出具体的实例，力求反映有限元分析的内在联系及特有思维方式。

有限元知识点总结

有限元分析及其应用-2010；思考题： 1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？ 答：基本思想：几何离散和分片插值。 基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。 离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。 2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？ 区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低；里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解；有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。 3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试 1）建立其受拉伸的微分方程及边界条件； 2）构造其泛函形式； 3）基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。4、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩阵）。 5、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？ 答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用 节点载荷：作用于节点上的外载

6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自由度和节点解释）？ 答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正 整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。 Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。 7、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？ 答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0； 单元内任一点的形函数之和恒等于1； 形函数的值在0~1间变化。 8、描述弹性体的基本变量是什么？基本方程有哪些组成？ 答：基本变量：外力、应力、应变、位移 基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、几何条件 9、何谓应力、应变、位移的概念？应力与强度是什么关系？ 答：应力：lim△Q/△A=S △A→0 应变：物体形状的改变 位移：弹性体内质点位置的变化 10、问题的微分方程提法、等效积分提法和泛函变分提法之间有何关系？何谓“强形式”？何谓“弱形式”，两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？答：强弱的区分在于是否完全满足物理模型的条件。所谓强形式，是指由于物理模型的复杂性，各种边界条件的限制，使得对于所提出的微分方程，对所需要求得的解的要求太强。也

ProE Mechanica有限元分析入门教程

Pro/E Mechanica有限元分析入门教程 一、进行Mechanica分析的步骤： 1)建立几何模型:在Pro/ENGINEER中创建几何模型。 2)识别模型类型:将几何模型由Pro/ENGINEER导入Pro/MECHANICA中，此步需要用户确定 模型的类型，默认的模型类型是实体模型。我们为了减小模型规模、提高计算速度，一般用面的形式建模。 3)定义模型的材料属性。包括材料、密度、弹性模量、泊松比等。 4)定义模型的约束。 5)定义模型的载荷。 6)有限元网格的划分：由Pro/MECHANICA中的Auto GEM(自动网格划分器)工具完成有限元 网格的自动划分。 7)定义分析任务，运行分析。 8)根据设计变量计算需要的项目。 9)图形显示计算结果。 二、下面将上述每一步进行详解： 1、在Pro/ENGINEER模块中完成结构几何模型后，单击“应用程序”→“Mechanica”,弹出下 图所示窗口， 点击Continue继续。弹出下图，启用Mechanica Structure。一定要记住不要勾选有限元模式前面的复选框，最后确定。

2、添加材料属性单击“材料”，进入下图对话框，选取“More”进入材料库，选取材料 Name---------为材料的名称； References-----参照Part（Components）-----零件/组件/元件 V olumes-------------------体积/容积/容量； Properties-------属性Material-----材料；点选后面的More就可以选择材料的类型 Material Orientation------材料方向，金属材料或许不具有方向性，但是某些复合材料是纤维就具有方向性，可以根据需要进行设置方向及其转角。点选OK，材料分配结束。 3、定义约束 1）：位移约束 点击，出现下图所示对话框，

有限元分析基础

有限元分析基础 第一章有限元法概述 在机械设计中，人们常常运用材料力学、结构力学等理论知识分析机械零构件的强度、刚度和稳定性问题。但对一些复杂的零构件，这种分析常常就必须对其受力状态和边界条件进行简化。否则力学分析将无法进行。但这种简化的处理常常导致计算结果与实际相差甚远，有时甚至失去了分析的意义。所以过去设计经验和类比占有较大比重。因为这个原因，人们也常常在设计中选择较大的安全系数。如此也就造成所设计的机械结构整体尺寸和重量偏大，而局部薄弱环节强度和刚度又不足的设计缺陷。 近年来，数值计算机在工程分析上的成功运用，产生了一门全新、高效的工程计算分析学科——有限元分析方法。该方法彻底改变了传统工程分析中的做法。使计算精度和计算领域大大改善。 §1.1 有限元方法的发展历史、现状和将来 一，历史 有限元法的起源应追溯到上世纪40年代（20世纪40年代）。1943年R.Courant从数学的角度提出了有限元法的基本观点。50年代中期在对飞机结构的分析中，诞生了结构分析的矩阵方法。1960年R.W.Clough在分析弹性力学平面问题时引入了“Finite Element Method”这一术语，从而标志着有限元法的思想在力学分析中的广泛推广。 60、70年代计算机技术的发展，极大地促进了有限元法的发展。具体表现在： 1）由弹性力学的平面问题扩展到空间、板壳问题。 2）由静力平衡问题——稳定性和动力学分析问题。 3）由弹性问题——弹塑性、粘弹性等问题。 二，现状 现在有限元分析法的应用领域已经由开始时的固体力学，扩展到流体力学、传热学和电磁力学等多个传统的领域。已经形成了一种非常成熟的数值分析计算方法。大型的商业化有限元分析软件也是层出不穷，如： SAP系列的代表SAP2000（Structure Analysis Program） 美国安世软件公司的ANSYS大型综合有限元分析软件 美国航天航空局的NASTRAN系列软件 除此以外，还有MASTER、ALGO、ABIQUES、ADINA、COSMOS等。 三，将来 有限元的发展方向最终将和CAD的发展相结合。运用“四个化”可以概括其今后的发展趋势。那就是：可视化、集成化、自动化和网络化。 §1.2 有限元法的特点 机械零构件的受力分析方法总体说来分为解析法和数值法两大类。如大家学过的材料力学、结构力学等就是经典的解析力学分析方法。在这些解析力学方法中，弹性力学的分析方法在数学理论上是最为严谨的一种分析方法。 其解题思路是：从静力、几何和物理三个方面综合考虑，建立描述弹性体的平衡、应力、应变和位移三者之间的微分方程，然后考虑边界条件，从而求出微分方程的解析解。其最大的有点就是，严密精确。缺点就是微分方程的求解困难，很多情况下，无法求解。 数值方法是一种近似的计算方法。具体又分为“有限差分法”和“有限元法”。 “有限差分法”是将得到的微分方程离散成近似的差分方程。通过对一系列离散的差分

有限元法的基本思想及计算步骤

有限元法的基本思想及计算步骤 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多，其中最主要的计算步骤为： 1）连续体离散化。首先，应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元，三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等等。其次，进行单元划分，单元划分完毕后，要将全部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。 2）单元分析。所谓单元分析，就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。现以三角形单元为例说明单元分析的过程。如图1所示，三角形有三个结点i，j，m。在平面问题中每个结点有两个位移分量u，v和两个结点力分量F x，F y。三个结点共六个结点位移分量可用列阵(δ)e表示： {δ}e=[u i v i u j v j u m v m]T 同样，可把作用于结点处的六个结点力用列阵{F}e表示： {F}e=[F ix F iy F jx F jy F mx F my]T 应用弹性力学理论和虚功原理可得出结点位移与结点力之间的关系

《有限元分析》课程教学大纲

《有限元分析》课程教学大纲 一、课程与任课教师基本信息 课程名称：有限元分析课程类别：必修课□选修课■ 学时学分：其中实验（实训、讨论等）学时： 授课时间：周三、节授课地点： 任课教师姓名：孟宪铸职称：副教授 所属院（系）：机械工程学院适用专业班级：机械设计本、班 联系电话： 答疑时间、地点与方式：课前、课后，教室，交流 二、课程简介 本本课程是机械设计制造及其自动化专业的学科选修课。它的教学目的和任务是使学生掌握有限元法基本原理，为进一步应用有限元法解决复杂的工程问题打下基础。 三、课程目标 结合专业培养目标，提出本课程要达到的目标。这些目标包括： 、知识与技能目标 了解有限元法的特点及利用有限元分析结构的基本步骤；理解杆、梁、板单元刚度矩阵的推导方法；理解常用非节点载荷的处理方法；学会将一般的工程问题归结为有限元力学模型的方法，并能上机计算。 、过程与方法目标 保留了传统教学手段“粉笔黑板模型”的合理内核，同时积极开发、利用多媒体资源，形成全方位的立体化的教学手段，从而达到“减压增趣”、“提智扩能”的教学目标。 、情感、态度与价值观发展目标 有限元分析属学科选修课。根据世纪教育教学改革“宽口径、厚基础、高素质、强能力”的原则，学生应有较好的素质结构、较全面的知识结构。有限元分析理论性强，与各类工程技术有着密切的联系，因此处理工程问题的能力是学习该课程学生的必备素质。学生应重视本课程在素质培养中的作用，本着对自己、对社会高度负责的态度搞好课程学习。体现在学习中，具体要做到：明确学习目标，端正学习态度，培养学习兴趣，认真完成每个学习环节。同时，积极落实人才培养计划，使自己成为出色的、受社会所欢迎的工程技术人才。 四、与前后课程的联系

有限元分析-清华大学教程

8.1 进入工程分析模块 8.2施加约束 8.3 施加载荷 8.4 静态有限元计算过程和后处理 8.5动态分析的前处理和显示计算结果8.6有限元分析实例 习题

工程分析指的是有限元分析，包括静态分析（Static Analyses）和动态分析。动态分析又分为限制状态固有频率分析（Frequency Analyses）和自由状态固有频率分析（Free Frequency Analyses），前者在物体上施加一定约束，后者的物体没有任何约束，即完全自由。 8.1 进入工程分析模块 1. 进入工程分析模块前的准备工作 （1）在三维实体建模模块建立形体的三维模型，为三维形体添加材质，见4.7。 （2）将显示模式设置为Shading（着色）和Materials（材料），这样才能看到形体的应力和变形图，详见2.11.6。

2. 进入工程分析模块 选择菜单【Start】→【Analysis & Simulation】→【Generative Structural Analysis】弹出图8-1所示新的分析实例对话框。 在对话框中选择静态分析（Static Analyses）、限制状态固有频率分析（Frequency Analyses）还是自由状态固有频率分析（Free Frequency Analyses），单击OK按钮，将开始一个新的分析实例。 图8-1新的分析实例对话框

3.有限元分析的过程 有限元分析的一般流程为： （1）从三维实体建模模块进入有限元分析模块。（2）在形体上施加约束。 （3）在形体上施加载荷。 （4）计算（包括网格自动划分），解方程和生成应力应变结果。 （5）分析计算结果，单元网格、应力或变形显示。（6）对关心的区域细化网格、重新计算。 上述（1）~（3）过程是有限元分析预（前）处理，（4）是计算过程，（5）、（6）是有限元后处理。 有限元文件的类型为CATAnalysis。