10、分式总复习
【知识精读】
分式定义:(、为整式,中含有字母)性质通分:约分:分式方程定义:分母含有未知数的方程。如解法思想:把分式方程转化为整式方程方法:两边同乘以最简公分母
依据:等式的基本性质注意:必须验根
应用:列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =??≠=÷÷≠???????-=+??????????????????
??
?
?
????
??
?
?
?????
?
???????()
()005113
【分类解析】 1. 分式有意义的应用
例1. 若ab a b +--=10,试判断11
11
a b -+,
是否有意义。
分析:要判断
11
11
a b -+,
是否有意义,须看其分母是否为零,由条件中等式左边因
式分解,即可判断a b -+11,与零的关系。 解: ab a b +--=10 ∴+-+=a b b ()()110 即()()b a +-=110 ∴+=b 10或a -=10 ∴
-+11
11
a b ,
中至少有一个无意义。
2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。 例2. 计算:
a a a a a a 2
2
11
313
+-+-
-+-
分析:如果先通分,分子运算量较大,观察分子中含分母的项与分母的关系,可采取“分离分式法”简化计算。 解:原式=
+-+-
-+-a a a a a a ()()11
1
31
3
=-
+-+-=-
+-
-=-
-+++-=-
-+-a a a a a a a a a a a a a 1113
1
1
13
31132213()
()()()()()()
例3. 解方程:1176
5556
2
2
2
-
++=
-+-+x x x x x x
分析:因为x x x x 27616++=++()(),x x x x 25623-+=--()(),所以最简公分母为:()()()()x x x x ++--1623,若采用去分母的通常方法,运算量较大。由于x x x x x x x x x x 2
22
2
2
5556
56156
1156-+-+=
-+--+=-
-+故可得如下解法。
解:
x x x x x x 2
2
2
56156
11
56
-+--+=-
-+
原方程变为11
76
11
56
2
2
-
++=-
-+x x x x
∴++=-+∴++=-+∴=1761
56
76560
22
22x x x x x x x x x 经检验,x =0是原方程的根。
3. 在代数求值中的应用
例4. 已知a a 269-+与||b -1互为相反数,求代数式
()4222
2
2
2
22
2
2
a b
a b ab a b
a a
b b a b ab
b a
-+
+-÷
+-++
的值。
分析:要求代数式的值,则需通过已知条件求出a 、b 的值,又因为
a a a 2
2
6930-+=-≥(),||b -≥10,利用非负数及相反数的性质可求出a 、b 的值。
解:由已知得a b -=-=3010,,解得a b ==31,
原式=+-+
+-÷
+-++
[()()
()
]()
42222
a b a b a b ab b a a ab b ab a b b a
=---+÷
-+-++
=
---+?+-++=-
++[
()
()()]()()
()()()
()()
a b ab a b a b a b ab b
ab a b b a
a b ab a b a b ab a b a b a b b a
a b
a b
2
2
2
2
2
2221
把a b ==31,代入得:原式=112
4. 用方程解决实际问题
例5. 一列火车从车站开出,预计行程450千米,当它开出3小时后,因特殊任务多停一站,耽误30分钟,后来把速度提高了0.2倍,结果准时到达目的地,求这列火车的速度。 解:设这列火车的速度为x 千米/时 根据题意,得
4503
12450312x
x x
=+
-.
方程两边都乘以12x ,得540042450030=+-x x 解得x =75
经检验,x =75是原方程的根
答:这列火车原来的速度为75千米/时。
5. 在数学、物理、化学等学科的学习中,都会遇到有关公式的推导,公式的变形等问题。而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。 例
6. 已知x y y =
+-2332,试用含x 的代数式表示y ,并证明()()323213x y --=。
解:由x y y =+-2332
,得3223xy x y -=+
∴-=+∴-=+∴=
+-3223
32232332
xy y x x y x y x x ()
()()()()3232332
26964
32
1332323213
x y y y y y y x y -=
+--=
+-+-=
-∴--=
6、中考原题: 例1.已知
M x y
xy y x y
x y x y
2
2
2
2
2
2-=
--+
-+,则M =__________。
分析:通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同,则其分子也必然相同,即可求出M 。 解:
22
2
2
xy y x y
x y x y
--+
-+
=
-+-+-=
-=
-222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xy y x xy y
x y x
x y M x y
∴=M x 2
例2.已知x x 2
320--=,那么代数式
()x x x --+-11
1
32
的值是_________。
分析:先化简所求分式,发现把x x 23-看成整体代入即可求的结果。 解:原式=--+=-+--=-()()x x x x x x x 112113222 x x x x 2
2
32032--=∴-=
∴=-=原式x x 2
32
7、题型展示:
例1. 当x 取何值时,式子
||x x
x -++232
2
有意义?当x 取什么数时,该式子值为零?
解:由x x x x 2
32120++=++=()() 得x =-1或-2
所以,当x ≠-1和x ≠-2时,原分式有意义 由分子||x -=20得x =±2 当x =2时,分母x x 2
320++≠
当x =-2时,分母x x 2
320++=,原分式无意义。
所以当x =2时,式子||x x
x -++232
2
的值为零
例2. 求
x m n x m n x m n x m n
x m x n
2
2
222
2
---+--?
--()()的值,其中x m n ===-
2312
。
分析:先化简,再求值。 解:原式=
-++-?
+-+-()()()()()()
()()x m x n x m x n x m x m x n x n =--()()
x m x n 22
x m n x m x n m n ===-
∴===-
=-
2312
2314
16
,,,
∴=
--=
--原式()()
()()
x m x n m m n n 22
2
2
23
=
=
-?-
=m
n
22
2
2
414
416
916
()
()
【实战模拟】
1. 当x 取何值时,分式
2111x x
+-
有意义?
2. 有一根烧红的铁钉,质量是m ,温度是t 0,它放出热量Q 后,温度降为多少?(铁的比热为c )
3. 计算:x y
y
x y
x y
y x
++
-+
-
24
2
4
4
22
22
4. 解方程:x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
-
+
+
=
+
+
-
+
+ 2
1
4
3
6
5
8
7
5. 要在规定的日期内加工一批机器零件,如果甲单独做,刚好在规定日期内完成,乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后,再由乙单独做,正好按期完成。问规定日期是多少天?
6. 已知43602700
x y z x y z xyz
--=+-=≠
,,,求
x y z
x y z
+-
-+2
的值。
【试题答案】
1. 解:由题意得x x ≠-≠???
?
?011
解得x ≠0且x ≠1
∴当x ≠0且x ≠1时,原式有意义 2. 解:设温度降为t ,由已知得:
Q m c t t t t Q m c
t t Q m c
=--=
=-
()
000
答:温度降为()t Q m c
0-
。
3. 分析:此题的解法要比将和后两个分式直接通分计算简便,它采用了逐步通分的方法。因此灵活运用法则会给解题带来方便。同时注意结果要化为最简分式。 解:原式=
+-+-+
+-()()()()
x y x y y
x y
x y y x y x 22424222
2
=
--
+-=
+-+-=
-+-=
+x
x y
x y x y x y x x y x y x y x y x x y x y x y x
x y
2
2
3
2
2
2
2242224222222()()
()()()()()
4. 解:原方程化为111113
115
117
++--+=+
+--
+x x x x
∴
+-
+=
+-+11
13
15
17
x x x x
方程两边通分,得
213257()()
()()
x x x x ++=++
∴++=++()()()()x x x x 5713 化简得832x =- 解得x =-4
经检验:x =-4是原方程的根。
说明:解分式方程时,在掌握一般方法的基础上,要注意根据题目的特点,选用简便的方法,减少繁琐计算。
5. 分析:设规定日期是x天,则甲的工作效率为1
x
,乙的工作效率为
1
3
x+
,工作总量
为1
解:设规定日期为x天
根据题意,得2
11
3
2
3
1 ()
x x
x
x
+
+
+
-
+
=
解得x=6
经检验x=6是原方程的根
答:规定日期是6天。
6. 解: 436012702
x y z x y z
--=++=
()()
,
由(1)(2)解得
x z y z
=
=
?
?
?
3
2
∴
+-
-+
=
+-
-+
= x y z
x y z
z z z
z z z
2
32
322
4
3
分式的化简与求值 1 已知2 310a a -+=,则代数式3 61 a a +的值为 . (“希望杯”邀请赛试题) 2 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =,75832a =, 356 124234567 a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为( ) A .648 B .832 C .1168 D .1944 (五城市联赛试题) 3 3(0)x y z a a ++=≠.求 222 ()()()()()() ()()() x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-. (宣州竞赛试题) 4 已知 1,2,3,xy yz zx x y y z z x ===+++求x 的值. (上海市竞赛试题) 5若 a b c d b c d a ===,则a b c d a b c d -+-+-+的值是 . (“希望杯”邀请赛试题) 6 若222 1998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =,则111 c a b ab bc ac a b c ++--- 的值为 .
(“缙云杯”竞赛试题) 7 已知232325 x xy y x xy y +-=--,则11 x y -= . 8 如果111,1a b b c + =+=,那么1 c a +=( ) . A .1 B .2 C .12 D .1 4 (“新世纪杯”竞赛试题) 9 设有理数,,a b c 都不为0,且0a b c ++=,则 222222222 111 b c a c a b a b c +++-+-+-的 值为( ). A .正数 B .负数 C .零 D .不能确定 10.已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠,则222 222 23657x y z x y z ++++的值为( ). A .0 B .1 C .2 D .不能确定 11.已知211 x x mx =-+,则36 33 1x x m x -+的值为( ) A .1 B . 313m + C .2132m - D .2131 m + 12.设0a b c ++=,求222 222222a b c a bc b ac c ab +++++的值. 13.已知1ax by cz ===,求 444444 111111 111111a b c x y z +++++++++++的值. (“华杯赛”试题)
分式培优练习题 分式 (一) 一 选择 1 下列运算正确的是( ) A -40=1 B (-3)-1=3 1 C (-2)2=4 D ()-111 2 分式2 8,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是( ) A 722 B 108 C 72 D 962 3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是( ) A 0.00036 B -0.0036 C -0.00036 D -36000 4 若分式652 2+--x x x 的值为0,则x 的值为( ) A 2 B -2 C 2或-2 D 2或3 5计算?? ? ??-+÷??? ?? -+1111112x x 的结果是( ) A 1 B 1 C x x 1+ D 1 1-x 6 工地调来72人参加挖土和运土,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走,怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走,解决此问题,可设派x 人挖土,其它的人运土,列方程 ①3172=-x x ②723x ③372 ④372=-x x 上述所列方程,正确的有( )个 A 1 B 2 C 3 D 4 7 在m a y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中,分式的个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 5 8 若分式方程x a x a x +-=+-321有增根,则a 的值是( ) A -1 B 0 C 1 D 2 9 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是( ) A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知 k b a c c a b c b a =+=+=+,则直线2k 一定经过( ) A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限 二 填空 1 一组按规律排列的式子:()0,,,,4 11 38252≠--ab a b a b a b a b ,其中第7个式子是
1. 若,试判断是否有意义。 2. 计算: 3、解方程: 4. 已知与互为相反数,求代数式 的值。 5. 一列火车从车站开出,预计行程450千米,当它开出3小时后,因特殊任务多停一站,耽误30分钟,后来把速度提高了0.2倍,结果准时到达目的地,求这列火车的速度。 6. 已知,试用含x的代数式表示y,并证明。 6、中考原题: 例1.已知,则M=__________。 例2.已知,那么代数式的值是_________。 1. 当x取何值时,分式有意义?
3. 计算: 4. 解方程: 5. 要在规定的日期内加工一批机器零件,如果甲单独做,刚好在规定日期内完成,乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后,再由乙单独做,正好按期完成。问规定日期是多少天? 6. 已知 ,求的值。 9、(6分)已知02 =-a a ,求1112421222-÷+--?+-a a a a a a 的值. 21、(6分)设23111 x A B x x ==+--,,当x 为何值时,A 与B 的值相等? 3、计算(1)?? ? ??--++-y x x y x y x x 2121 (2)4214121111x x x x ++++++- 6、若25452310 A B x x x x x -+=-+--,试求A 、B 的值. 16、已知c b a -=+,求?? ? ??++??? ??++??? ??+b a c c a b c b a 111111的值 17、已知12 --x x =0,则5412x x x ++= 18、设1=abc ,则=++++++++1 11c ca c b bc b a ab a 19、已知20032=+x a ,20042=+x b ,20052=+x c ,且6012=abc ,求 c b a ab c ac b bc a 111---++的值 20、已知31=+b a ab ,41=+c b bc ,51=+c a ac ,求ac bc ab abc ++的值
初中数学分式方程的应用培优训练(精选40道习题附答案详解) 1.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车,随着汽车的普及,其价格也在不断下降,今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元,如果卖出相同数量的A款汽车,去年销售额为90万元,今年销售额只有80万元. (1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元? (2)为了增加收入,汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车,已知B款汽车每辆进价为7.5万元,每辆售价为10.5万元,A款汽车每辆进价为6万元,若卖出这两款汽车15辆后获利不低于38万元,问B款汽车至少卖出多少辆? 2.小明和小刚相约周末到净月潭国家森林公园去徒步,小明和小刚的家分别距离公园1600米和2800米,两人分别从家中同时出发,小明骑自行车,小刚乘公交车,已知公交车的平均速度是骑自行车速度的3.5倍,结果小刚比小明提前4min到达公园,求小刚乘公交车的平均速度. 3.兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫,由于深受顾客喜爱,很快售完,老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫,所购数量与第一批相同,但每件进价比第一批多了9元. (1)第一批该款式T恤衫每件进价是多少元? (2)老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫,当第二批T恤衫售出4 5 时,出现了 滞销,于是决定降价促销,若要使第二批的销售利润不低于650元,剩余的T恤衫每件售价至少要多少元?(利润=售价﹣进价) 4.近年来,泰州多条动车路线的开通进一步加强了与其他城市的沟通,同时也为市民的出行带来了方便.已知某市到泰州的路程约为900km,一列动车的平均速度比特快列车快50%,所需时间比特快列车少2h,求该列动车的平均速度. 5.一项工程,甲,乙两公司合做,12天可以完成,共需付施工费102000元;如果甲,乙两公司单独完成此项工程,乙公司所用时间是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元. (1)甲,乙两公司单独完成此项工程,各需多少天? (2)若让一个公司单独完成这项工程,哪个公司的施工费较少? 6.甲、乙两人做某种机械零件,已知甲每小时比乙多做5个,甲做80个所用的时间与乙做60个所用的时间相等,问甲、乙两人每小时各做多少个零件?(用列方程的方法解答)
10、分式的运算 【知识精读】 1. 分式的乘除法法则 ; 当分子、分母是多项式时,先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法 (1)通分的根据是分式的基本性质,且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键,它的法则是: ①取各分母系数的最小公倍数; ②凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取; ③相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最高的。 (2)同分母的分式加减法法则 (3)异分母的分式加减法法则是先通分,变为同分母的分式,然后再加减。 3. 分式乘方的法则 (n为正整数) 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一,在分式方程,求代数式的值,函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题: (1)注意运算顺序及解题步骤,把好符号关; (2)整式与分式的运算,根据题目特点,可将整式化为分母为“1”的分式; (3)运算中及时约分、化简; (4)注意运算律的正确使用; (5)结果应为最简分式或整式。 下面我们一起来学习分式的四则运算。 【分类解析】
例1:计算的结果是() A. B. C. D. 分析:原式 故选C 说明:先将分子、分母分解因式,再约分。 例2:已知,求的值。 分析:若先通分,计算就复杂了,我们可以用替换待求式中的“1”,将三个分式化成同分母,运算就简单了。 解:原式 例3:已知:,求下式的值: 分析:本题先化简,然后代入求值。化简时在每个括号内通分,除号改乘号,除式的分子、分母颠倒过来,再约分、整理。最后将条件等式变形,用一个字母的代数式来表示另一个字母,带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解: