04 第四节 函数单调性与曲线的凹凸性

第四节 函数单调性、凹凸性与极值

我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的性质，但这些方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性. 本节将以导数为工具，介绍判断函数单调性和凹凸性的简便且具有一般性的方法.

分布图示

★ 单调性的判别法 ★ 例1 ★ 单调区间的求法 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4

★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8

★ 曲线凹凸的概念 ★ 例9 ★ 例10 ★ 曲线的拐点及其求法 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例 13 ★ 函数极值的定义

★ 函数极值的求法 ★ 例14 ★ 例15 ★例16

★ 第二充分条件下 ★ 例17 ★ 例18 ★例19 ★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题3-4

内容要点：

一、 函数的单调性：设函数)(x f y =在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导.

(1) 若在(a , b )内0)(>'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调增加; (2) 若在(a , b )内0)(<'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调减少.

二、 曲线的凹凸性：设)(x f 在[a , b ]上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 则

(1) 若在(a , b )内，,0)(>''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凹的; (2) 若在(a , b )内，,0)(<''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凸的. 三、连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为： (1) 求函数的二阶导数)(x f ''；

(2) 令0)(=''x f ，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；

(3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧)(x f ''的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点.

四、函数的极值 极值的概念； 极值的必要条件；

第一充分条件与第二充分条件； 求函数的极值点和极值的步骤：

（1） 确定函数)(x f 的定义域，并求其导数)(x f ';

（2） 解方程0)(='x f 求出)(x f 的全部驻点与不可导点;

（3）讨论)(x f '在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点;

（4） 求出各极值点的函数值，就得到函数)(x f 的全部极值.

例题选讲：

函数单调性的判断

例1（E01）讨论函数1--=x e y x 的单调性.

解 .1-='x e y 又).,(:+∞-∞D 在)0,(-∞内，,0<'y ∴函数单调减少； 在),0(+∞内，,0>'y ∴函数单调增加.

注：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性.

例2（E02）讨论函数32x y =的单调区间. 解 ).,(:+∞-∞D 3

32

x

y =

'),0(≠x 当0=x 时，导数不存在.

当0<<-∞x 时，,0<'y ∴在]0,(-∞上单调减少；

当+∞<'y ∴在[)+∞,0上单调增加； 单调区间为]0,(-∞，),0[+∞.

注意: 区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.例如，,3x y =,00='=x y 但是),(+∞-∞上单调增加.

注：从上述两例可见，对函数)(x f y =单调性的讨论，应先求出使导数等于零的点或使导数不存在的点，并用这些点将函数的定义域划分为若干个子区间，然后逐个判断函数的导数)(x f '在各子区间的符号，从而确定出函数)(x f y =在各子区间上的单调性，每个使得)(x f '的符号保持不变的子区间都是函数)(x f y =的单调区间.

求单调区间

例3（E03）确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间. 解 ).,(:+∞-∞D

x x x x f 12186)(2+-='),2)(1(6--=x x

解方程0)(='x f 得.2,121==x x

当1<<-∞x 时，,0)(>'x f ∴)(x f 在(]1,∞-上单调增加； 当21<'x f ∴)(x f 在),2[+∞上单调增加；

单调区间为],1,(-∞],2,1[).,2[+∞

例4 求函数32

))(2(x a a x y --=)0(>a 的单调区间.

解 y ',)

()2(323232x a a x x a ---?=

令 ,0='y 解得,321a x =

在 ,2

2a

x =a x =3处y '不存在. 在??? ??∞-2,a 内，,0>'y 函数单调增加. 在??

?

??a a 32,2内，,0>'y 函数单调增加.

在???

??a a ,32内，,0<'y 函数单调减少. 在()+∞,a 内，,0>'y 函数单调增加.

例5 当0>x 时, 试证)1ln(x x +>成立.

证 设),1ln()(x x x f +-=则.1)(x

x

x f +=

'

)(x f 在],0[+∞上连续，且在),0(+∞内可导，,0)(>'x f ∴)(x f 在],0[+∞上单调增加， ,0)0(=f ∴当0>x 时，,0)1ln(>+-x x 即).1ln(x x +>证毕.

应用单调性证明：

例6（E04）试证明：当0>x 时, 22

1)1ln(x x x ->+. 证 作辅助函数 ,2

1)1ln()(2x x x x f +

-+= 因为)(x f 在),0[+∞上连续，在),0(+∞内可导，且x x

x f +-+='111

)(,12x x +=

当0>x 时，,0)(>'x f 又.0)0(=f 故当0>x 时，,0)0()(=>f x f

所以.2

1)1ln(2x x x -

>+

例7（E05）证明方程015=++x x 在区间)0,1(-内有且只有一个实根.

证 令,1)(5++=x x x f 因)(x f 在闭区间]0,1[-延续，且)1(-f 1-=,0<)0(f 1=.0> 根据零点定理)(x f 在)0,1(-内有一个零点.另一方面，对于任意实数,x 有)(x f '154+=x ,0> 所以)(x f 在),(+∞-∞内单调增加，因此曲线)(x f y =与x 轴至多只有一个交点.

综上所述可知，方程015=++x x 在区间)0,1(-内有且只有一个实根.

例8 证明方程1ln -=

e

x

x 在区间),0(+∞内有两个实根.

证 令,1ln )(+-=e

x

x x f 欲证题设结论等价于证)(x f 在),0(+∞内有两个零点. 令01

1)(=-=

'e

x x f ?.e x = 因,1)(=e f ,)(lim 0-∞=+→x f x 故)(x f 在),0(e 内有一零点.

又因在),0(e 内,0)(>'x f 故)(x f 在),0(e 内单调增加，这零点唯一.

因此, )(x f 在),0(+∞内有且仅有两个零点, 证毕.

曲线凹凸性判断

例9（E06）判定)1ln(x x y +-=的凹凸性. 解 因为

,11

1x y +-

=' 2

)1(1x y +=

'' 所以，题设函数在其定义域),1(+∞-内是凹的.

例10（E07）判断曲线3

x y =的凹凸性.

解 ,32x y =',6x y =''当0

当0>x 时，,0>''y ∴曲线在),0[+∞为凹的；注意到点)0,0(是曲线由凸变凹的分界点.

例11（E08）求曲线14334+-=x x y 的拐点及凹凸区间. 解 易见函数的定义域为),,(+∞-∞ ,121223x x y -='.3236??? ??

-=''x x y

令,0=''y 得,01=x .2

2=x

所以，曲线的凹区间为]0,(-∞,),32[+∞凸区间为]2,0[拐点为)1,0(和)27/11,3/2(.

例12求曲线])2,0[(cos sin π∈+=x x x y 的拐点. 解 y ',s i n c o s x x -=y '',c o s s i n x x --=y '''.s i n c o s x x +-= 令,0=''y 得 ,431π=

x .4

72π

=x ??? ??'''43πf 2=,0≠??

? ??'''47πf 2-=,0≠

∴在]2,0[π内曲线有拐点为,0,43??? ??π.0,47??

?

??π 注：若)(0x f ''不存在，点))(,(00x f x 也可能是连续曲线)(x f y =的拐点.

例13（E09）求曲线32b x a y --=的凹凸区间及拐点. 解 y ',)(13132b x -?-= y '',)

(92

35b x -=

函数y 在b x =处不可导，但b x <时，,0<''y 曲线是凸的，b x >时，,0>''y 曲线是凹的. 故点),(2a b 为曲线32b x a y --=的拐点

例14(E10) 求出函数593)(2

3

+--=x x x x f 的极值.

解 )3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ,令,0)(='x f 得驻点.3,121=-=x x 列表讨论如下：

所以, 极大值,10)1(=-f 极小值.22)3(-=f

例15 (E11) 求函数32

)1()4()(+-=x x x f 的极值.

解 )1( 函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，除1-=x 外处处可导，且;1

3)1(5)(3

+-='x x x f

)2( 令,0)(='x f 得驻点;1=x 1-=x 为)(x f 的不可导点; )3( 列表讨论如下:

)4( 极大值为,0)1(=-f 极小值为.43)1(3-=f

例16 求函数 ()3

/22

3x x x f -

=的单调增减区间和极值. 解 求导数,1)(3/1--='x x f 当1=x 时,0)0(='f 而 0=x 时)(x f '不存在 , 因此，函数只可能在这两点取得极值. 列表如下:

由上表可见：函数)(x f 在区间),1(),0,(+∞-∞单调增加, 在区间)1,0(单调减少. 在点0=x 处有极大值, 在点1=x 处有极小值,2

1

)1(-=f 如图.

例17 (E12) 求出函数20243)(2

3--+=x x x x f 的极值.

解 ),2)(4(32463)(2-+=-+='x x x x x f 令,0)(='x f 得驻点.2,421=-=x x 又,66)(+=''x x f ,018)4(<-=-''f 故极大值,60)4(=-f ,018)2(>=''f 故极小值.48)2(-=f

注意：0)(.10=''x f 时, )(x f 在点 0x 处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断.

.2函数的不可导点,也可能是函数的极值点.

例18 (E13) 求函数1)1()(32+-=x x f 的极值.

解 由,0)1(6)(22=-='x x x f 得驻点,11-=x .1,032==x x ).15)(1(6)(22--=''x x x f 因,06)(>=''/x f 故)(x f 在0=x 处取得极小值，极小值为.0)0(=f 因,0)1()1(=''=-''f f 故用定理3无法判别.考察一阶导数)(x f '在驻点11-=x 及13=x 左右邻近的符号: 当x 取1- 左侧邻近的值时, ;0)(<'x f 当x 取1-右侧邻近的值时, ;0)(<'x f

因)(x f '的符号没有改变，故)(x f 在1-=x 处没有极值. 同理，)(x f 在1=x 处也没有极值.

例19 求出函数 3/2)2(1)(--=x x f 的极值.

解 ).2()2(3

2

)(31

≠--='-x x x f 2=x 是函数的不可导点.

当2'x f 当2>x 时, .0)(<'x f 1)2(=∴f 为)(x f 的极大值.

课堂练习

1.若,0)0(>'f 是否能断定)(x f 在原点的充分小的邻域内单调递增?

2.设函数)(x f 在),(b a 内二阶可导, 且,0)(0=''x f 其中),(0b a x ∈, 则))(,(00x f x 是否一定为曲线)(x f 的拐点?举例说明.

函数的单调性与曲线的凹凸性

§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判别法 定理1 设 )(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上递增（减）的充要条件是 )()('00≤≥x f . 证 若 f 为增函数，则对每一I x ∈0，当0x x ≠时，有 ()() 00 0≥--x x x f x f 。 令0x x →，即得 00≥)('x f 。 反之，若 )(x f 在区间I 上恒有0≥)('x f ，则对任意I x x ∈21,（设21x x <） ，应用拉格朗日定理，存在，使得 ()()()01212≥-=-x x f x f x f ξ')(。 由此证得 f 在I 上为增函数。 定理2 若函数 f 在),(b a 内可导,则f 在),(b a 内严格递增(递减)的充要条件是: (1)),(b a x ∈?有)()('00≤≥x f ; (2) 在),(b a 内的任何子区间上0≠)('x f . 推论 设函数在区间I 上可微,若))('()('00<>x f x f , 则f 在I 上(严格)递增(递 减). 注1 若函数 f 在),(b a 内(严格)递增(递减),且在点a 右连续,则f 在),[b a 上亦为(严 格)递增(递减), 对右端点b 可类似讨论. 注2 如果函数 )(x f 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外，导数存在且 连续，那么只要用方程0=)('x f 的根及)('x f 不存在的点来划分函数)(x f 的定义区间就 能保证 )('x f 在各个部分区间保持固定符号，因而函数)(x f 在每个部分区间上单调。 注意：如果函数 )(x f 在区间],[b a 上连续，在),(b a 内除个别点处一阶导数为零或 不存在外，在其余点上都有 0>)('x f （或0<)('x f ），那么由于连续性，)(x f 在区间 ],[b a 上仍然是单调增加（或单调减少）的。

第四节函数单调性凹凸性与极值

第四节 函数单调性、凹凸性与极值 我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的性质，但这些方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性. 本节将以导数为工具，介绍判断函数单调性和凹凸性的简便且具有一般性的方法. 分布图示 ★ 单调性的判别法 ★ 例1 ★ 单调区间的求法 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 曲线凹凸的概念 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 曲线的拐点及其求法 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 函数极值的定义 ★函数极值的求法 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★第二充分条件下 ★ 例17 ★ 例18 ★ 例19 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-4 ★ 返回 内容要点 一、函数的单调性：设函数)(x f y =在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导. (1) 若在(a , b )内0)(>'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调增加; (2) 若在(a , b )内0)(<'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调减少. 二、曲线的凹凸性：设)(x f 在[a , b ]上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 则 (1) 若在(a , b )内，,0)(>''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凹的; (2) 若在(a , b )内，,0)(<''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凸的. 三、连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为： (1) 求函数的二阶导数)(x f ''； (2) 令0)(=''x f ，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点； (3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧)(x f ''的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点. 四、函数的极值 极值的概念； 极值的必要条件； 第一充分条件与第二充分条件； 求函数的极值点和极值的步骤： （1） 确定函数)(x f 的定义域，并求其导数)(x f '; （2） 解方程0)(='x f 求出)(x f 的全部驻点与不可导点; （3）讨论)(x f '在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点; （4） 求出各极值点的函数值，就得到函数)(x f 的全部极值.