艺术生高考数学专题讲义：考点7 指数与指数函数
考点七 指数与指数函数
知识梳理
1．根式
如果a ＝x n ，那么x 叫做a 的n 次实数方根(n >1且n ∈N *)，当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数，记为：n
a ；当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数，记为：±n a .式子n
a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (1)两个重要公式
① n
a ＝?????a （n 为奇数），|a |＝?????a （a ≥0），－a （a <0）（n 为偶数）； ② (n a )n ＝a (注意a 必须使n
a 有意义)． (2)0的任何次方根都是0． (3)负数没有偶次方根． 2．分数指数幂 (1)分数指数幂的概念：
①正分数指数幂：a m n
＝n
a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a
m n -＝
1
a m n
＝
1n a m
(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋
s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a r s (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂a r (a >0，r 是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 4．指数函数的图象与性质
图象
定义域 R 值域
(0，＋∞)
性质
过点(0,1)，即x ＝0时y ＝1
当x >0时，y >1； 当x <0时，0
是R 上的减函数
典例剖析
题型一 指数幂的化简与求值 例1 的值是 ．
答案 －3 解析
.
变式训练 下列各式正确的是 ．(填序号) ① ②
④a 0＝1
答案
解析 根据根式的性质可知
正确．
，a ＝1条件为(a ≠0)，故①、②、④错．
例2 化简或求值
(1)
(2)
(a 2
3
·b －1
)
12
-·a
1
2
-
·b
1
3
6
a ·
b 5
解析 (1)原式=
=
.
(2)原式＝
a
13
-
b 12
·a 12
-b
13
a 16
b
56
＝a
111326
---·b
115
236
+-＝1a
. 解题要点 指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．题型二指数函数的图象和性质
例3函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是．(填序号)
①a>1，b<0 ②a>1，b>0 ③0 答案④ 解析由f(x)＝a x－b的图象可以观察出函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0 变式训练指数函数y=恒过的定点为． 答案(，2) 解析由函数y=a x恒过(0，1)点, 可得当3x－2=0，即时，y=2恒成立, 故函数恒过点(，2). 故答案为：(，2)． 题型三指数值的大小比较 例4设，则y1、y2、y3的大小关系是． 答案y1＞y3＞y2 解析． 因为函数y=2x在定义域上为单调递增函数，所以y1＞y3＞y2． 变式训练若，则x的取值范围是． 答案(－∞，－3) 解析原不等式可化为，而指数函数y=是定义在R上的减函数, 所以x＜－3. 解题要点比较大小时，首先要观察有无同底或是同指数的，①若指数相同，底数不同，则利用幂函数的单调性；②若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性；③若底数不同，指数也不同，应寻找中间值(常用0，1)进行比较. 当堂练习 1． 11 2 22 111 323 ?????? ? ? ? ?????? ，，的大小关系是________． 答案 11 2 22 111 332?????? << ? ? ??????? 解析函数 1 3 x y ?? = ? ?? 是减函数，由 1 2 3 >，知 1 2 2 11 33 ???? < ? ? ???? ； 又 11 22 1 2 1 2 11 3 22 1 12 1 3 3 ???? ? ??? ??==> ? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ，由函数 3 2 x y ?? = ? ?? 的性质，知 1 2 3 1 2 ?? > ? ?? ，故 11 22 11 23 ???? > ? ? ???? ； 所以 11 2 22 111 332 ?????? << ? ? ???????. 2．函数y＝a x－3＋3恒过定点________． 答案(3，4) 解析当x＝3时，f(3)＝a3－3＋3＝4，所以f(x)必过定点(3，4)． 3. 已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域． 答案[1,9] 解析由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9. 4．化简的结果是． 答案 解析 5．若指数函数y=(a－2)x在(－∞，+∞)上是减函数，那么解得． 答案A 解析 ∵指数函数y =(a －2)x 在(－∞，+∞)上是减函数， ∴0＜a －2＜1，解得2＜a ＜3． 课后作业 一、 填空题 1.设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝ ． 答案 [1，3) 解析 由|x －1|<2，解得－1 2．若a ＝????341 3-，b ＝????341 4-，c ＝????321 4 -，则a 、b 、c 的大小关系是 ． 答案 c 解析 由y ＝????34x 在R 上单调递减，知????341 4- 3 -， 而????321 4 -<1 4-，所以????321 4- 4- 3．的值为 ． 答案 0 解析 . 4． 的值是 ． 答案 0或2(a －b ) 解析 当a －b ≥0时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )； 当a －b <0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0. 5．设a ＝40.7，b ＝0.30.5，c ＝log 23，则a 、b 、c 的大小关系是 ． 答案 b 解析 a ＝40.7>41 2＝2,0 6．函数f (x )＝1－2x ＋ 1 x ＋3 的定义域为 ． 答案 (－3,0] 解析 若使函数有意义，则? ??? ? 1－2x ≥0x ＋3>0，解得－3 7．已知f (x )＝2x ＋2－ x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于 ． 答案 7 解析 由f (a )＝3得2a ＋2－ a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a ＋2＝9，即22a ＋2 －2a ＝7， f (2a )＝7. 8．如果指数函数y =(a 2)x 在x ∈R 上是减函数，则a 的取值范围是 ． 答案 (2，3) 解析 因为指数函数y =(a 2)x 在x ∈R 上是减函数，所以有0＜a 2＜1，解得2＜a ＜3，即a 的取值范围为(2，3)． 9．函数y =a x － 1+1过定点 ． 答案 (1，2) 解析 ∵函数f (x )=a x 过定点(0，1)，∴当x －1=0时，x =1，∴此时y =a x － 1+1=1+1=2， 故y =a x － 1+1过定点(1，2)．故答案为：(1，2)． 10．函数119x y ?? =- ??? 的定义域是________． 答案 (－∞，0] 解析 由题意得(19)x －1≥0，即(1 9)x ≥1，x ≤0. 11．计算：23×31.5×6 12＝________. 答案 6 解析 原式＝2×312 ×(3 2 )1 3×121 6＝2×31 2×31 3×21 3-×31 6×21 3＝2×3111 236++×211 33-+＝6. 二、解答题 12．计算下列各式的值 (1)×＋80.25×＋(×)6－ ； (2) . 解析 (1) 原式＝×1＋×＋(×)6－＝2＋4×27＝110； (2)原式 . 13．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值． 解析 当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a 2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝3 2 . 当0 2.∴a (2a －1)＝0， ∴a ＝0(舍)或a ＝1 2 . ∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32 .