考研高数精品笔记
第一章 函数、极限、连续
第1节 函数
a)
反函数和原函数关于y=x 对称。
b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。
d)
2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。
e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。
f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等
函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。
第2节 极限
a) 左右极限存在且相等极限存在。
b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中
0=(x)ɑlim 0
x x →。
（等价无穷小）
c) 极限存在极限唯一。（极限唯一性） d)
A x =→)(f lim 0
x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性）
e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x)有界。（有
界性） f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A -B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B
lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0
lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b
（极限的四则运算）
g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷小和有界
量乘积仍然是无穷小。 h) )
()(lim x g x f =l
i. l=0，f(x)=o(g(x)).
??
ii. l=∞，f(x)是g(x)低阶. iii.0 x g x f )] ([) (lim =l(l ≠0)，则称f(x)是g(x)的k 阶无穷小。 i) 等价无穷小代换： x →0时，x ~sinx ~tanx ~arcsinx ~arctanx ~e x -1~ln(1+x) 1-cosx ~21x 2 =》1-cos αx ~2 αx 2 x 1+-1~2 1x =》α)x 1(+-1~αx tanx-x ~3 13x x-sinx ~6 13x 特殊的，x →0时a x -1~xlna j) 只有因子才能进行等价无穷小的代换。 k) 要注重推广形式。例如【x →0时，x ~sinx 】，如果当x →x 0 时，f(x)→0，那么将 原式中x 换成f(x)也成立。 l) 求极限的方法： i. 利用函数的连续性（极限值等于函数值）。利用极限的四则运算性质。 ii. 抓头公式（处理多项式比值的极限）。 1. 抓小头公式。（x →0） 2. 抓大头公式。（x →∞）（分子分母同除最高次项）（极限为【最高次项 的系数比】） iii.两个准则： 1. 夹逼准则 2. 单调有界必有极限 iv. 两个重要极限： 1. x sinx lim x →=1 （利用单位圆和夹逼准则进行证明） 2. e x x =+ ∞ →)11(lim x e =+→x 10 x ) x 1(lim （利用单调有界准则进行证明） 口诀：倒倒抄。（结合抓头公式） v. 无穷小的运算性质、等价无穷小的代换 1. 有限个无穷小之和为无穷小。有限个无穷小之积为无穷小。无穷小与有界 量乘积为无穷小。 2. 12种等价无穷小的代换。 vi. 左右极限：求分段函数分段点的极限值。 vii.利用导数的定义求极限。导数定义：增量比，取极限。构造出“增量比”的形 式，则极限就是导数。 viii. 定积分的定义求极限。（处理多项求和的形式） ix. 泰勒公式 1. 泰勒公式中系数表达式： f (n )(x 0)n! (x ?x 0)n 2. 当x 0=0的时候，泰勒公式则称为麦克劳林公式。 常用的麦克劳林公式： e x sinx cosx ln(x+1) (1+x)m x. 洛必达法则 使用前提：（1）分子分母都趋向于0。（2）分子分母的极限都存在。（3）分子分母导数的比值为一个定值或为无穷。 第一层次 ∞∞ 第二层次 0*∞：转换成00 或∞ ∞ ∞-∞：通分化为0 0（常用换元的方法求解） 第三层次 1∞ ∞0 00 使用e ln 进行转化。 第3节 连续与间断 a) 连续 某点：极限值=函数值函数在该点连续 开区间：在该区间中每个点都是连续的，则在开区间连续。 闭区间：开区间连续切在端点连续 b) 间断 第一类间断点（左右极限都存在） 可去间断点：左右极限相等 跳跃间断点：左右极限不相等 第二类间断点（左右极限至少有一个不存在） 无穷间断点：因趋于无穷而造成的不存在。 振荡间断点：因振荡而不存在。 c) 初等函数的连续性 i. 基本初等函数在相应的定义域内连续。 ii. 区间I 上的连续函数做四则运算形成的新函数在I 上仍然是连续函数。 iii. 连续函数经过有限次的复合仍为连续函数。 iv. 原函数连续且单调，反函数必为连续且单调。 v. 一切初等函数在相应定义区间内连续。 d) 闭区间连续函数的性质 如果f(x)在[a,b]连续，则： 1. f(x)在[a,b]有界。 2. 有最大最小值 3. 介值定理 4. 零点定理：f(a)*f(b)<0，a 、b 之间必有零点。 第二章 一元函数微分学 第1节 导数与微分 1 导数 a) 导数定义：增量比，取极限。 b) 左导数和右导数存在且相等导数存在 c) 函数在某点的导数值即函数在该点的切线的斜率。 d) 导数的物理意义：对路程函数中的t 求导为瞬时速度.etc e) 导数的经济意义：边际成本、边际收益、边际利润。 f) 函数的相对变化率（弹性）：x y ?y′(x) g) 可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。 ?? h) 偶函数的导数是奇函数。 2 微分 微分定义：自变量?x 沿着切线方向的增量?y 。 3 求导法则 a) 导数微分表（4组16个）。 b) 导数的四则运算。 c) 反函数的导数：原函数导数的倒数。 d) 复合函数求导法则。 e) 参数方程求导：dy dx = dy dt / dx dt f) 隐函数求导：左右两侧同时求导，y 当作x 的函数处理。 g) 对数求导法 i. 幂指函数：先将等式两边同时化为ln 的真数，再运用隐函数求导法则。 ii. 连乘函数：先将等式两边同事化为ln 的真数，变成连加，再运用隐函数求导 法则。 4 高阶导数 a) 莱布尼茨公式：[u(x)v(x)](n)=∑C n k n k=0u (k )(x )v (n?k ) (x) b) 反函数的二阶导数：?f ′′(x)[f (x )] c) 参数方程的二阶导数： y ′′x ′?y ′x ′′ (x ) 第2节 微分中值定理 1 罗尔中值定理 条件：（1）f(x)在[a,b]连续。（2）f(x)在(a,b)可导。（3）f(a)=f(b)。 结论：在a 和b 之间必有一个值ξ使得f’(ξ)=0。 几何意义：在该条件下的函数，必可在在其区间内找到一点使得切线斜率为0。 引申---费马引理 y=f(x)，若x0为y=f(x)的极值点，则f’(x0)=0。 2拉格朗日中值定理 条件：（1）f(x)在[a,b]连续。（2）f(x)在(a,b)可导。 结论：在a和b之间必有一个值ξ使得f’(ξ)=f(b)?f(a) b?a 。 几何意义：在该条件下的函数，必可在其区间内找到一点使得切线斜率与端点连线斜率相等。 拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。 证明：使用曲线减去两端点连线得出一个函数，再对该函数应用罗尔中值定理。 使用该定理的信号：要求证的式子中有一个端点处函数值之差。 3柯西中值定理 条件：（1）f(x)、g(x)在[a,b]连续。（2）f(x)、g(x)在(a,b)可导。且g’(x)≠0 结论：在a和b之间必有一个值ξ使得f′(ξ) g′(ξ)=f(b)?f(a) g(b)?g(a) 。 柯西中值定理是拉格朗日中值定理推广。 证明：使用参数方程，将f(x)和g(x)作为参数表示。证明过程与拉格朗日中值定理相同。 使用该定理的信号：要求证的式子中有两个端点处函数值之差。 4泰勒中值定理 泰勒中值定理即带有拉格朗日余项的泰勒公式。 f(x)=∑f(n)(x0) n! (x?x0)n+ f(n+1)(ξ) (n+1)! (x?x0)n+1 ∞ n=0 拉格朗日中值定理是带有拉格朗日余项的泰勒中值定理的特例。 使用该定理的信号：高阶导数。 使用方法：（1）确认n的取值，一般根据高阶导数的阶数选取。（2）确认x0的取值，一般选取题中已知导数值的点。（3）确认x的取值，一般为题中所给已知值的点或端点和极值点。 第3节微分学的应用 1单调性、极值 单调性： f’(x)>0的区间，f(x)单调增的区间；f’(x)<0的区间，f(x)单调减的区间。 极值： 极值点和导数为零的点没有充要条件关系。 可导函数的极值点，对应的导数值为0。（费马引理） 驻点（导数为0的点）不一定是极值点。 第一判定法：若在x0的邻域内，x0左右导数异号，则x0是一个极值点。 第二判定法：x0为驻点，且在x0处，f(x)的二阶导数存在。通过二阶导数的符号进 行判定。 2最值（闭区间） 最值可能出现在（1）极值点（2）区间端点。 3凹凸、拐点 凹凸： 视觉定位：俯视 凹函数：f(x1+x2 2)≤f(x1)+f(x2) 2 凸函数：f(x1+x2 2 )≥f(x1)+f(x2) 2 凹函数：f’’(x)>0凸函数：f’’(x)<0 拐点：可能出现在f’’(x)=0或f’’(x)不存在的点，但不一定是。 4渐近线 水平渐近线：当f(x)趋向于∞时，极限存在，则该极限为水平渐近线。 铅直渐近线：当f(x)趋向于x0时，极限趋向于∞，则x0为该函数的铅直渐近线。 斜渐近线：当f(x)趋向于∞时，f(x)-(kx+b)=0，则(kx+b)为该函数的斜渐近线。其中，k=f(x) x ， b=lim x→∞ [f(x)?kx]。 5函数图像的描绘 利用极值点、拐点、与坐标轴交点、单调性、凹凸性、渐近线进行描绘。 6曲率 弧微分：ds=√1+[y′(x)]2dx 曲率即：角度在单位弧长的变化。 曲率：K = dαds =dα/dx ds/dx = |y ′′| [(1+(y ′)2]32 曲率半径：ρ=1 K 曲率圆：从弧上某点出发，向凹侧沿法线方向移动ρ的长度，即得到曲率圆的圆心。 第三章 一元函数积分学 第1节 不定积分 (一) 定义 1.F’(x)=f(x)，称F(x)为f(x)的原函数。[F(x)+C]’=f(x)，称F(x)+C 为f(x)的原函数组。 2.∫f (x )dx =F (x )+C 为f(x)的不定积分。 (二) 性质 1.∫F ′(x )dx =∫f (x )dx =F (x )+C 2.∫[f (x )dx ]′=[F (x )+C ]′=f(x) 3.∫kf (x )dx =k ∫f (x )dx 4.∫(f 1(x )±f 2(x ))dx =∫f 1(x )dx ±∫f 2(x )dx (三) 基本积分公式 24个公式=13（基本导数表）+11（常用公式） (四) 积分方法 1.凑微分法（第一换元法） ∫f[φ(x )]?φ′(x )dx =F [φ(x )]+C 有13个常用公式。 2.换元法（第二换元法） ∫f (x )dx =∫f[φ(t )]?φ′(t )dt =F(t)+C=F[φ?1(x)]+C φ(t )可导且存在反函数。（根式换元、三角换元、倒代换） 3.分部积分法 ∫u (x )dv (x )=u (x )v (x )?∫v (x )du(x) 口诀：反对幂指三，谁先出现谁留下。 第2节 定积分 (一) 定义：分割，近似，求和，取极限。 几何意义：曲线与x 轴所围面积的代数和。 (二) 性质： 1. ∫f (x )dx =0a a 2. ∫f (x )dx =?∫f (x )dx a b b a 3. ∫kf (x )dx =k ∫f (x )dx b a b a 4. ∫[f 1(x )±f 2(x )]=∫f 1(x )dx ±∫f 2(x )dx b a b a b a 5. ∫f (x )dx =b a ∫f (x )dx +c a ∫f (x )dx b c 6. 若f(x)≥0，x ∈[a,b]，则∫f (x )dx ≥0b a 7. 若f(x)≥g(x) ，x ∈[a,b]，则∫f (x )dx ≥∫g (x )dx b a b a 8. m ≤f(x)≤M ，x ∈[a,b]，则m( b -a)≤ ∫f (x )dx b a ≤M( b -a) (三) 基本定理 1.积分中值定理：f(x)在[a,b]连续，则在[a,b]中存在一点ξ，使得∫f (x )dx =f(ξ)(b ?a)b a 常把f(ξ) 称为积分平均值。 2.变限积分：函数 变上限φ(x )=∫f (t )dt x a φ′(x)=f(x) 变下限φ(x )=∫f (t )dt b x φ′(x)=?f(x) φ(x )=∫f (t )dt u(x) a φ′(x)=f[u (x )]?u′(x) φ(x )=∫f (t )dt b v(x) φ′(x)=?f[v (x )]?v′(x) φ(x )=∫f (t )dt u(x) v(x) φ′(x)=f [u (x )]?u ′(x )?f[v (x )]?v′(x) 3.牛顿-莱布尼茨公式: F’(x)=f(x)则∫f (x )dx =b a F (x )|a b =F (b )?F(a) 第3节 反常积分（广义积分） 定积分：（1）有限区间。（2）区间内有界。 (一) 无穷区间上的广义积分 ∫f (x )dx =lim b→+∞ ∫f (x )dx b a +∞ a ，若极限存在，称广义积分是收敛的。若极限不存 在，称广义积分是发散的。 ∫f (x )dx =lim a→?∞ ∫f (x )dx b a b ?∞ ，若极限存在，称广义积分是收敛的。若极限不存 在，称广义积分是发散的。 ∫f (x )dx =∫f (x )dx +∫f (x )dx +∞ c c ?∞+∞ ?∞ ，若两个广义积分极限都存在，称原广义 积分是收敛的。若至少有一个广义积分极限不存在，称原广义积分是发散的。 常用公式：∫dx x p (a >0)+∞a 当P>0时收敛，值为 a 1?p p?1 。当p>1时发散。 (二) 无界函数的广义积分（瑕积分） f(x)在a 点无界：∫f (x )dx =lim ε→0 +∫f (x )dx b a+ε b a ，若极限存在，称积分收敛。若极限不存在，称积分发散。 f(x)在b 点无界：∫f (x )dx =lim ε→0 +∫f (x )dx b?ε a b a ，若极限存在，称积分收敛。若极 限不存在，称积分发散。 f(x)在c 点无界：∫f (x )dx =∫f (x )dx +∫f (x )dx b c c a b a ，若两个广义积分极限都存在，称原广义积分是收敛的。若至少有一个广义积分极限不存在，称原广义积分是发散的。 第4节 定积分的应用 (一) 微元法：U 1.确定变量x ，确定x 的范围[a,b]。 2.dxDu=f(x)dx 3.U=∫dU =∫f (x )dx b a (二) 几何问题 1.面积： （1）直角坐标系 （2）极坐标系：S=∫ds =∫1 2r 2(θ)dθβα 极坐标系转化为直角坐标系：ρ2=x 2+y 2,x =ρcosθ,y =ρsinθ,θ=arctan y x 2.体积： （1）截面面积已知的几何体的体积：V=∫dV =∫A (x )dx b a （2）旋转体的体积：绕x 轴转：V=∫πf 2(x )dx b a ；绕y 轴转：V=∫πg 2(y )dy b a V=∫2πfx(x)dx b a 3.曲线的弧长 （1）参数方程：S=∫√[x ′(t )]2+[y ′(t )]2b a dt （2）直角坐标系：S=∫√1+[y ′(x )]2 b a dx （3）极坐标系：S=∫√[r ′(θ)]2+[r (θ)]2βαd θ (三) 物理问题 运用微元法三步求解。 第四章多元函数微分学 第1节基本概念 （1）多元函数： 二元函数：z=f(x,y)D定义域 几何意义：曲面 （2）二元函数的极限： 趋向方式有无数种，若不同趋向方式得到的极限不同，则极限不存在（极限唯一性）。（3）二元函数的连续 极限值等于函数值，则函数在该点连续。 闭区域上连续函数的性质： D为闭区域，f(x,y)在D上连续，则： 1.f(x,y)在D上有界。 2.存在最大最小值。 3.可应用介值定理。 4.可应用零点定理。 第2节偏导数与全微分 （1）偏导数：z=f(x,y) 对x的偏导数：lim ?x→0f(x+?x,y)?f(x,y) ?x =ef ex =f x′(x,y)=f1′(x,y) 对y的偏导数：lim ?y→0f(x,y+?y)?f(x,y) ?y =ef ey =f y′(x,y)=f2′(x,y) 二阶偏导数：若f x′y′(x,y)和f y′x′(x,y)连续，则f x′y′(x,y)等于f y′x′(x,y)。（2）全微分：z=f(x,y) 若?z=A?x+B?y+o(√?x2+?y2)则z可微。 dz=Adx+Bdy+ o(√?x2+?y2)=ef ex dx+ef ey dy （3）偏导数与全微分的关系 全微分存在?函数连续 全微分存在?ef ex 、ef ey 存在 ef ex 、ef ey 连续?可微 （4）偏导数的计算 直接计算：对不求导的变量当作常量处理（二元一元）。 多元复合函数求导（链式法则） 1.z=f(u,v) u=u(x,y) v=v(x,y) ez ex =ez eu ?eu ex +ez ev ?ev ex ez ey =ez eu ?eu ey +ez ev ?ev ey 画树状图找到求导路径 隐函数的偏导数 左右同时求导 多元隐函数求导公式： ez ex =?F x′ F z′ ez ey =?F y ′ F z′ 第3节多元函数微分学的应用（数二只要求极值、最值问题） （1）二元函数的极值问题（无条件） 极值点：可能是一阶偏导数为零或不存在的点。 判定极值点：当求出某点可能为极值点(x0,y0)，带入A0=e2z ex2、B0=e2z exey 、C0=e2z ey2 。 计算B02?A0C0。当其 小于零： A0>0为极小值点 A0<0为极大值点 大于零： 不是极值点 等于零： 无法判断 （2）条件极值 先构造拉格朗日函数，再求各值的偏导数。 （3）闭区域上的最值 1.先找极值。 2.边界点（条件极值）。 3.比较，选出最大最小值。 第五章重积分 第1节二重积分 （1）几何意义：f(x,y)>0，以D为底，以f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。（2）计算 a)直角坐标系下：?f(x,y)dτ= D ∫dx b a ∫f(x,y)dy φ2(x) φ1(x) 口诀：后积先定限 b)极坐标系下：先积r后积θ ?f(x,y)dτ= D ∫dθ β α ∫f(rcosθ,rsinθ)rdr r2(θ) r1(θ) 坐标系选择： 极坐标系： 1. D：圆（环）、扇（环） 2.f(x,y)：x2+y2、x y 除此之外一般选择直角坐标系。 第六章常微分方程 第1节基本概念 1.常微分方程 含未知函数的导数的方程。 2.阶 未知函数有几阶导，就是几阶的微分方程。 3.解 通解：含有任意常数的个数与阶数相同。 特解：通解中的任意常数确定。 初始条件：y(x0)=y0，y′(x0)=y1，…，y(n?1)(x0)=y n?1 4.线性方程 y和y的各阶导数都是以一次式出现的。 第2节一阶微分方程 1.可分离变量的微分方程： 转化：dy dx =f(x)?g(x)?∫dy g(y) =∫f(x)dx 两边同时积分2.齐次微分方程： 如果dy dx =f(y x )，那么设y x =u，则y=x?u(x) 那么dy dx =u(x)+x du dx 带入原方程 得：u+x?du dx =f(u) ?du f(u)?u = dx x （可分离变量） 3.一阶线性微分方程 通式：y′+P(x)?y=Q(x)，若Q(x)，则称之为一阶线性齐次微分方程。 一阶线性齐次微分方程通解：y=C?e?∫P(x)dx 一阶线性非齐次微分方程通解：y=e?∫P(x)dx(∫Q(x)?e∫P(x)dx dx+C) 第3节高阶微分方程 1.可降阶的高阶微分方程 a)y(n)=f(x) 逐次积分解决。 b)y′′=f(x,y′) 令u(x)= y′,则u′(x)= y′′。代入原式。 c)y′′=f(y,y′) 令y′=p(y),则y′′=p′(y)?p(y)。代入原式。 2.线性微分方程解的结构 通式（二阶为例）：y′′+P(x)y′+Q(x)?y=f(x)若f(x)=0则为齐次。 （1）若y(x)为齐次的解，则ky(x)仍然是它的解。 （2）若y1(x), y2(x)是齐次的解，则k1y1(x)+k1y2(x)仍然是它的解。 （3）接（2）若y1(x), y2(x)线性无关，则k1y1(x)+k1y2(x)是它的通解。 （4）若Y是齐次的通解，y?是非齐次的特解，则y=Y+y?是非齐次的通解。 3.二阶常系数线性微分方程 通式：y′′+Py′+Qy=f(x) 齐次：y′′+Py′+Qy=0 特征方程：r2+pr+q=0 a)?=p2?4q>0，有两个不等实根r1、r2。 则Y=C1e r1x+C2e r2x是齐次方程的通解。 b)?=p2?4q=0，有两个相等实根r。 则Y=C1e rx+C2xe rx=e rx(C1+C2x)是齐次方程的通解。 c)?=p2?4q<0，有两个不等虚根α±iβ。 则Y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)是齐次方程的通解。 非齐次：对应的齐次通解，加上本身特解。 只有两种f(x)能找到特解： a)f(x)= eλx?P n(x)y?=x k?eλx?Q n(x) λ是特征方程的k重根。Qn是和Pn相同形式多项式。 b)f(x)= eλx[P n(x)?Cosωx+P l(x)?sinωx] y?=x k?eλx[Q m(x)?Cosωx+Q m?(x)?sinωx] m=max{n,l} λ+iω是特征方程的k重根。 第七章 无穷级数 一、数项级数 （一）数项级数的基本性质 1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0. 2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛） 3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散. 4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变. 5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法 （1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 之间自某项以后成立着关系： 存在常数0>c ，使),2,1( =≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. 推论：设两个正项级数∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1n n v ，且自某项以后有 n n n n v v u u 1 1++≤，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. （3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v ，若 0lim >=∞→l v u n n n ，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小 的内容） 另外，若0=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1 n n u 亦收敛；若∞=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n u 发 散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. 常用度量： ①等比级数： ∑∞ =0 n n q ，当1 ②p -级数： ∑∞ =1 1 n p n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散(1=p 时称调和级数)； ③广义p -级数： () ∑∞ =2ln 1 n p n n ，当1>p 时收敛，当1≤p 时发散. ④交错p -级数： ∑∞ =--1 1 1 )1(n p n n ，当1>p 时绝对收敛，当10≤ ∑∞ =1 n n u ，当1lim 1 <=+∞→r u u n n n 时 级数∑∞ =1n n u 收敛；当1lim 1 >=+∞→r u u n n n 时级数∑∞ =1n n u 发散；当1=r 或1=r 时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数 ∑∞ =1 n n u ，设n n n u r ∞ →=lim ，那么1 ∑∞ =1 n n u 为正项级数，非负的连续函数)(x f 在区间),[+∞a 上单调 下降，且自某项以后成立着关系：n n u u f =)(，则级数∑∞ =1 n n u 与积分? +∞ )(dx x f 同敛散. 2.任意项级数的理论与性质 （1）绝对收敛与条件收敛： ①绝对收敛级数必为收敛级数，反之不然； ②对于级数 ∑∞ =1 n n u ，将它的所有正项保留而将负项换为0，组成一个正项级数 ∑∞ =1 n n v ，其中 2n n n u u v += ；将它的所有负项变号而将正项换为0，也组成一个正项级数 ∑∞ =1 n n w ，其中 2 n n n u u w -= ，那么若级数 ∑∞ =1 n n u 绝对收敛，则级数 ∑∞ =1 n n v 和 ∑∞ =1 n n w 都收敛；若级数 ∑∞ =1 n n u 条件收敛，则级数 ∑∞ =1 n n v 和 ∑∞ =1 n n w 都发散. ③绝对收敛级数的更序级数（将其项重新排列后得到的级数）仍绝对收敛，且其和相同. ④若级数 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 都绝对收敛，它们的和分别为U 和V ，则它们各项之积按照任何方 式排列所构成的级数也绝对收敛，且和为UV .特别地，在上述条件下，它们的柯西乘积 ?? ? ????? ??∑∑∞=∞=11n n n n v u 也绝对收敛，且和也为UV . 注：?? ? ????? ??=∑∑∑∞=∞=∞ =111n n n n n n v u c ，这里121121v u v u v u v u c n n n n n ++++=-- . （2）交错级数的敛散性判断（莱布尼兹判别法）:若交错级数 ∑∞ =--1 1 ) 1(n n n u 满足0lim =∞ →n n u ， 且{}n u 单调减少（即1+≥n n u u ），则 ∑∞ =--1 1 ) 1(n n n u 收敛，其和不超过第一项，且余和的符 号与第一项符号相同，余和的值不超过余和第一项的绝对值. 二、函数项级数 （一）幂级数 1.幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 （1）柯西-阿达马定理：幂级数 ∑∞ =-0 0)(n n n x x a 在R x x <-0内绝对收敛，在R x x >-0内发散，其中R 为幂级数的收敛半径. （2）阿贝尔第一定理：若幂级数 ∑∞ =-0 0)(n n n x x a 在ξ=x 处收敛，则它必在0 0x x x -<-ξ内绝对收敛；又若 ∑∞ =-0 0)(n n n x x a 在ξ=x 处发散，则它必在00x x x ->-ξ也发散. 推论1：若幂级数 ∑∞ =0 n n n x a 在)0(≠=ξξx 处收敛，则它必在ξ ∑∞ =0 n n n x a 在)0(≠=ξξx 处发散，则它必在ξ>x 时发散. 推论2：若幂级数 ∑∞ =-0 0)(n n n x x a 在ξ=x 处条件收敛，则其收敛半径0x R -=ξ，若又有 0>n a ，则可以确定此幂级数的收敛域. （3）收敛域的求法：令1)() (lim 1<+∞→x a x a n n n 解出收敛区间再单独讨论端点处的敛散性，取并集. 2.幂级数的运算性质 （1）幂级数进行加减运算时，收敛域取交集，满足各项相加；进行乘法运算时，有： ∑∑∑∑∞ ==-∞=∞=?? ? ??=??? ????? ??0000n n n i i n i n n n n n n x b a x b x a ，收敛域仍取交集. （2）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内处处连续，且若幂级数 ∑∞ =-00 )(n n n x x a 在R x x -=0处收敛，则)(x S 在[)R x R x +-00,内连续；又若幂级数∑∞ =-0 0)(n n n x x a 在R x x +=0处收 敛，则)(x S 在(]R x R x +-00,内连续. （3）幂级数的和函数)(x S 在收敛域内可以逐项微分和逐项积分，收敛半径不变. 3.函数的幂级数展开以及幂级数的求和 （1）常用的幂级数展开： ① +++++=n x x n x x e !1!2112∑∞ ==0 !n n n x ，x ∈(-∞, +∞). ②=11x -1+x +x 2+···+x n +··· =∑∞ =0 n n x ，x ∈(-1, 1). 从而，∑∞=-=+0)(11n n x x ，∑∞ =-=+0 22 )1(11n n n x x . ③∑∞ =+++-=++-+-+-=0121253)!12()1()!12()1(!51!31sin n n n n n n x n x x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ④∑∞=-=+-+-+-=02242)!2()1()!2()1(!41!211cos n n n n n n x n x x x x ，x ∈(-∞, +∞). ⑤∑∞ =-+-=++-+-+-=+1 1132)1(11)1(3121)1ln(n n n n n n x x n x x x x ，x ∈(-1, 1]. ⑥ ++--+ +-+ +=+n x n n x x x ! ) 1()1(! 2) 1(1)1(2ααααααα，x ∈(-1, 1). ⑦1 202 123)12()!(4)!2(12!)!2(!)!12(321arcsin +∞=+∑+=++-+++=n n n n x n n n n x n n x x x ，x ∈[-1, 1]. ⑧120 1 23121)1(121) 1(31arctan +∞=++-=++-++-=∑n n n n n x n x n x x x ，x ∈[-1, 1]. （2）常用的求和经验规律： ①级数符号里的部分x 可以提到级数外； ②系数中常数的幂中若含有n ，可以与x 的幂合并，如将n c 和n x 合并为n cx )(； ③对 ∑∞ =0 n n n x a 求导可消去n a 分母因式里的n ,对∑∞ =0 n n n x a 积分可消去n a 分子因式里的 1+n ； ④系数分母含!n 可考虑x e 的展开，含)!2(n 或)!12(+n 等可考虑正余弦函数的展开； ⑤有些和函数满足特定的微分方程，可以考虑通过求导发现这个微分方程并求解. （二）傅里叶级数 1.狄利克雷收敛定理（本定理为套话，不需真正验证，条件在命题人手下必然成立） 若)(x f 以l 2为周期，且在[-l , l ]上满足： ①连续或只有有限个第一类间断点； ②只有有限个极值点； 则)(x f 诱导出的傅里叶级数在[-l , l ]上处处收敛. 2. 傅里叶级数)(x S 与)(x f 的关系： ??? ? ?? ???-++--++=.2) 0()0(2)0()0()()(为边界点，为间断点；，为连续点；，x l f l f x x f x f x x f x S 3.以l 2为周期的函数的傅里叶展开展开： ∑∞=??? ? ??++=10sin cos 2)(~)(n n n l x n b l x n a a x S x f ππ （1）在[-l , l ]上展开：??? ? ? ? ??? ===???---l l n l l n l l dx l x n x f l b dx l x n x f l a dx x f l a ππsin )(1cos )(1)(10； （2）正弦级数与余弦级数： ①奇函数（或在非对称区间上作奇延拓）展开成正弦级数：??? ? ??? ===?l n n dx l x n x f l b a a 00sin )(200π； ②偶函数（或在非对称区间上作偶延拓）展开成余弦级数：??? ? ? ? ??? ===??0cos )(2)(2000n l n l b dx l x n x f l a dx x f l a π； 4.一些在展开时常用的积分： （1） ;0cos ;1)1(sin 010 =+-=?? +π π nxdx n nxdx n （2） 2 sin 1cos ;1sin 202 π π π n n nxdx n nxdx ==?? ；