全国高中数学联赛模拟试题4附答案

1全国高中数学联赛模拟试题（四）

第一试

一、选择题（每小题6分，共36分）：

1、函数()

a

a

x

x

a

x

f

-

+

-

=

2

2

是奇函数的充要条件是

（A）－1≤a＜0或0＜a≤1 （B）a≤－1或a≥1

（C）a＞0 （D）a＜0

2、已知三点A(－2,1)、B(－3,－2)、C(－1,－3)和动直线l：y＝kx．当点A、

B、C到直线l的距离的平方和最小时，下列结论中，正确的是

（A）点A在直线l上（B）点B在直线l上

（C）点C在直线l上（C）点A、B、C均不在直线l上

3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，过顶点A1

在空间作直线l，使l与直线AC和BC1所成的角

都等于60°．这样的直线l可以做

（A）4条（B）3条

（C）2条（D）1条

4、整数的100

200

C

=

n两位质因数的最大值是

（A）61 （B）67

（C）83 （D）97

5、若正整数a使得函数()ax

x

x

f

y2

13-

+

=

=的最大值也是整数，则这个最大值等于

（A）3 （B）4 （C）7 （D）8

6、在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，

再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9

后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连

续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列

1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1

开始的第2003个数是

（A）3844 （B）3943 （C）3945 （D）4006

二、填空题（每小题9分，共54分）：

1、在复平面上，Rt△ABC的顶点A、B、C分别对应于复数z＋1、2z＋1、(z

＋1)2，A为直角顶点，且|z|＝2．设集合M＝{m|z m∈R，m∈N+}，P＝{x|x

＝

m

2

1

，m∈M}．则集合P所有元素之和等于．

2、函数f(x)＝|sin x|＋sin42x＋|cos x|的最大值与最小值之差等于．

3、关于x 的不等式

()()

074547422222222<-+--++-+-++a a x a a x a a x a x 的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和小于4，则实数a 的取值范围是 ．

4、银行计划将某项资金的40%给项目M 投资一年，其余的60%给项目N ．预

计项目M 有可能获得19%到24%的年利润，N 有可能获得29%到34%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为使银行的年利润不少于给M 、N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回扣率的最小值是 ．

5、已知点(a ,b )在曲线arcsin x ＝arccos y 上运动，且椭圆ax 2＋by 2＝1在圆x 2

＋y 2＝32

的外部（包括二者相切的情形）．那么，arcsin b 的取值范围

是 ．

6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，

球的半径为R ．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan(α＋β)的值是 ．

三、 （20分）

△ABC 的三边长a 、b 、c （a ≤b ≤c ）同时满足下列三个条件

（i ）a 、b 、c 均为整数；

（ii ）a 、b 、c 依次成等比数列；

（iii ）a 与c 中至少有一个等于100．

求出(a ,b ,c )的所有可能的解．

四、 （20分）

在三棱锥D -ABC 中，AD ＝a ，BD ＝b ，AB ＝CD ＝c ，且∠DAB ＋∠BAC ＋∠DAC ＝180°，∠DBA ＋∠ABC ＋∠DBC ＝180°．求异面直线AD 与BC 所成的角．

五、 （20分）

设正系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．证明：

（1） max{a ,b ,c }≥9

4(a ＋b ＋c )； （2） min{a ,b ,c }≤4

1(a ＋b ＋c )．