数列复习

高三数列复习知识点梳理

数列的有关概念

【考试要求】：理解数列、数列的项、通项、有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列等有关概念。 【解读】：对数列本质的理解非常重要，包括一些特殊数列的形态，如周期数列等，对一些特殊数列的性质研究，经经常作为构造新题心机设计研究性问题的材料。由于数列是一种特殊的函数，因此在研究数列时应该从函数的视角分析、研究数列的性质。在这些概念中特别注意递增数列、递减数列，即在数列

{}n a 中，对任意的正整数n,若n a >+1

n a

，则数列

{}n a 为递增数列；若n a <+1

n a

，则数列{

}n a 为递减数列；注意与函数单调性定义的区别和联系。

【举例说明】： 1. 已知数列

{}

n a 满足：*

--N ∈===n a a a a n n n n ,21434,0,1，则=2009a ________；

=2014a ________；

【解析】：本题考查周期数列等基础知识，属于创新题型。

2. 已知数列的通项公式7

23

,--=n n a n ，试问，数列{}n a 有没有最大想和最小项？如果有请求出最大想和最小项；如果没有请说明理由。

3. 已知数列

{}n a 满足：

??

???+=∈+∈+k n n k n n n a a a a a 2,212,,

1,13，若6a =1，则m 所有可能的取值

为________。

4. xOy 平面上的点列)(,,n n n b a p 均在函数)100(,)10

(

2002<<=a a y x

的图像上，且点n p 、点)0,(n 与点)0,1(+n 构成一个顶角的顶点为n p 的等腰三角形。

（1）求点n p 的纵坐标n b 的表达式

（2）若对每一个自然数21,,.n ++n n n b b b

为边长能够成一个三角形，求a 的取值范围； （3）设)(321*∈=N n b b b b B n n L ，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{}n B 的最大项的项数；

5．设数列{}n a 中，若)(,21*++∈+=N n a a a n n n ，则称数列{}n a 为“凸数列”。

（1）设数列{}n a 为“凸数列”，若2,121-==a a ，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；

（2）在“凸数列”{}n a 中，求证：*+∈-=N n a a n n ,3； （3）设b a a a ==21,，若数列{}n a 为“凸数列”，求数列前2010项和2010S 。

等差数列

【考试要求】 ：掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式。

【解读】 ：对等差数列，首先必须掌握其定义，既能够准确的表达等差树列的概念；通项公式及前n 项和，不仅熟练的掌握公示的应用（正向、逆向），还要掌握公示的推导方法，并能够将这些方法迁移到其他的问题情境之中，解决其他的问题。 【举例说明】 ：

1、 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若729=S ，则=++942a a a ________。

2、 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若355a a =，则

=5

4

S S ________。 3、 数列{}n a 的前n 项和为n S 满足+∈-=z n n a S n n ,32，求 （1） 数列{}n a 的通项公式；

（2） 数列{}n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在请求出一组是

和条件的项；若不存在，请说明理由。

4、 设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足

7,725242322=+=+S a a a a

（1） 求的通项公式n a 和前n 项和n S （2） 试求所有的正整数m,使得

2

1

++m m m a a a 为数列{}n a 中的项。

5、 已知)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若)(42),()(),(,221*∈+N n n a f a f a f n L 成等差数

列。

（1） 求{}n a 的通项公式n a

（2） 令,lg n n n a a c =问是否存在整数a 使得{}n c 是一个单调递增数列，若存在，请求出

a 的范围，若不存在请说明理由。

6、现有),4(2*∈≥N n n n 个正数排成一个n 行n 列的矩阵

??

?

??

??

??=nn n na

n n a a a

a a a a a a A 2

22221

11211，其

中

ik a （n k n i ≤≤≤≤1,1）表示该数阵中位于第i 行第k 列的数，已知该数阵每一行的数

成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且823=a ，2034=a 。 （1）求11a 和

ik a ；

（2）计算行列式22

21

1211

a a a a 和

jk

jm ik im a a a a ；

（3）设1

)2(3)1(21n n n n n a a a a A ++++=-- ，证明：当n 是3的倍数时，

n A n +能被21

整除。

等比数列

【考试要求】 ：掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式。体验用类比的思想方法对等比数列和等差数列进行研究的活动。

【解读】 ：对等数比列，复习时必须与等差数列进行类比，首先必须掌握其定义，既能够准确的表达等比数列的概念；通项公式及前n 项和，特别注意球合适的分类讨论，这是考试中的失分点。不仅熟练的掌握公示的应用（正向、逆向），还要掌握公示的推导方法，并能够将这些方法迁移到其他的问题情境之中，解决其他的问题。 【举例说明】 ：

1、 设等比数列{}n a 的公比为21

=

q ,前n 项和为n S ，则=4

4a S ________ 2、 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

,33

6

=S S 则=69S S ________

3、 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，对所有的正整数n 都有15+=n n S a 成立，

记)(14*∈-+=

N n a a b n

n

n （1） 求数列{}n b 的通项公式；

（2） 记)(122*-∈-=N n b b c n n n ，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意的正

整数n 都有2

3n <

T （3） 对{}n b 数列的前n 项和n R 。已知正实数λ满足：对任意的正整数n ，

n n λ≤R 恒成立，求λ的最小值

4、 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知,11=a 241+=+n n a S （1） 设,21n n n a a b -=+证明数列{}n b 是等比数列 （2） 求{}n a 的通项公式

5、已知数集1212{,,}(1,2)n n A a a a a a a n =≤<<≥ 具有性质P ；对任意的

,(1)i j i j n ≤≤≤，i j a a 与

j i

a a 两数中至少有一个属于A 。

（1）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由； （2）证明：11a =，且

12111

12;n

n n

a a a a a a a ---+++=+++ （3）证明：当5n =时，12345,,,,a a a a a 成等比数列。

简单的递推数列

【考试要求】 ：从生活实际和数学背景中提出递推数列进行研究，会解决简单的递推数列（即一阶线性递推数列）的有关问题。

【解读】 ：数列应用题的解决是学生学习的难点，根据手册的要求，要求学生能够从生活实际问题中提出递推数列，即能沟通过提议建立数学模型，有一只的条件提炼数列递推关系，拨那个对数列进行研究，但必须控制难度，对递推数列只控制在一阶的线性递推数列。一阶线性的递推关系：数列{}n a 满足c ba a a a n n +==+11,（a,b,c 是常数）是最重要的递推关系，可以看出当b=1时，此数列是等差数列，当c=0)0(≠b 时，此数列是等比数列。解决此类的递推方法是通过代换(令k a b n n +=)化简成等比数列求解。 【举例说明】 ：

1、 若数列{}n a 中，211,3n n a a a ==+（n 是正整数），则数列的通项n a =________。

2、已知数列{}n a 满足，)(23,211*+∈++==N n n a a a n n ,则n a =________

3、从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根

据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少

1

5

.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1

4

。

(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元.写出n a ，n b 的表达式

(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

5、 某企业去年底有资金积累a 万元,根据预测从今年开始以后每一年的的资金积累会

在原有的基础上增长%20，但每年要拿出b 万元作为奖励金奖给职工，企业计划用5年的时间使资金累计翻一番，求b 的最大值。

数列的极限

【考试要求】 ：理解直观描述的数列极限的意义。掌握数列极限的四则运算法则。 【解读】：对数列的极限问题，虽然对极限定义只要做最直观的描述性理解，但必须领会其本质含义，即当n 无限的增大时，n a 无限的接近某个常数A,则

A a

n

=∞

→lim n ,明确极限存在

的唯一性，其次，求数列极限问题主要有这几种类型：

,),0(01

lim lim

n n C C n =>=∞

→∞

→αα

?????=<=∞

→1,01,1lim a a n

n a （当1a >或a=-1时不存在极限）。特

别是对指数型数列极限的讨论，这是学习的难点和考试的失分点，需要特别的强调。

【举例说明】 ： 1、

二项式n

x )31(+ 和n

x )25(+ 的展开式中，各项系数和分别记为n a ，n b ，n 是正整数，则

n n n

n b a b a 432lim

n --∞

→=_______

2、

已知点)0,2

4(),2,0(),2,0(n

C n

B n

A +-，其中n 为正整数，设n S 表示ABC ?外接圆面积,则

=∞

→n

S

lim n _______

3、 计算

=+-++∞

→1

1n 2

323lim

n n n

n _______ 4、 数列{}n a 中，

???????=≤≤≥-10001,11001,22n 22

n n n

n n n

a 则数列{}n a 的极限值为（ ）

A. 等于0

B.等于1 C 等于0或1 D 不存在 5、

将直线)2,(0:,0:32≥∈=-+=-+*n N n n ny x l n y nx l x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则

=∞

→n

S

lim n _______

无穷等比数列各项的和

【考试要求】：会求无穷等比数列各项的和。

【解读】：首先要理解无穷等比数列在公比q 满足1

q

a S S n -=

=∞

→11

n lim ；同时比寻掌握公式的逆向运用（特别是注意0≠q 的隐含条件）,并利用构造无穷等比数列及各项和的公式解决实际问题。 【举例说明】：

1、 设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项和为n S ，若=∞

→n

S

lim n 7，则此时

数列的首项1a 的取值范围是_______

2、 首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和总小于这个数的各项和，则首项

为1a ，公比为q 的一组取值可以是=),(1q a _______

3、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{}n a 是公比为q 的无穷等比

数列,下列{}n a 的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组．(写出所有符合要求的组号)

①1S 与2S ; ②2a 与3S ; ③1a 与n a ; ④q 与n a . 其中n 为大于1的整数, n S 为{}n a 的前n 项和. 4、无穷等比数列{}n a 的前n 项和13

1

-=n n a S ，则数列的{}n a 各项和为

5、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n s 为前n 个圆的面积之和，则lim n →∞

n s =

数列的实际应用问题

【考试要求】：会用数列的只是解决简单的实际问题；通过数列的建立及其应用，具有一定的数学建模能力。

【解读】：数列应用题一种是是同比例增长的问题：包括利息、产量、业绩的增长和下降等，往往构造等比数列模型；另一种是与等量增长有关的问题，往往构造等差数列的模型。通过建立等差数列、等比数列或很简单的递推数列模型解解决实际问题，难度要严格控制，不能超过课本练习题的难度。

【举例说明】：

1、假设某市2011年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?

2、近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．

（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；

（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？

数学归纳法

【考试要求】：知道数学归纳法的基本原理，理解数学归纳法的一般步骤，并学会用于证明与正整数有关的简单命题和整除问题。 【解读】：能够理解数学归纳法的逻辑关系，掌握数学归纳法证明的基本步骤，能够利用数学归纳法证明正整数的恒等式及整除性问题。数学归纳法是证明命题的重要方法，应用非常的广泛，但最近几年高考出现的次数比较少，需要引起高度重视。 【举例说明】：

1、设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k 2成立时，总可推出f(k+1)≥（k+1)2 。那么，下列命题总成立的是（ ）

（A ）若f(1)＜1成立，则f(10)＜100成立 （ B ）若f(2)＜4成立，则f(1)≥1成立 （C ）若f(3)≥9成立，则当k≥1，均有f(k)≥k2成立 （D ）若f(4)≥25成立，则当k≥4，均有f(k)≥k2成立

2、用数学归纳法证明不等式

10

9312111>+++++n n n L 时,第一部左边的值为

3、用数学归纳法证明)(2

2

2223222132*∈+-=++++N n n n n n L ，则当1+=k n 时的

左端应在k n =的左端加上

4、利用数学归纳法证明“对任意的正偶数n, n n b a -能被b a -整除”时,其第二步论证应该写成( )

A.假设n=k 时命题成立,再证n=k+1时命题也成立

B.假设n=2k 时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立

C.假设n=k 时命题成立,再证n=k+2时命题也成立

D.假设n=2k 时命题成立,再证n=2(k+1)时命题也成立

5、某个命题与正整数n 有关,若n=k(k ∈N*)时,该命题成立,那么可推得n=k+1时,该命题也成立.现在已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得( )

A.当n=6时该命题不成立

B.当n=6时该命题成立

C.当n=4时该命题不成立

D.当n=4时该命题成立

归纳-猜想-论证

【考试要求】 ：领会“归纳-猜想-论证”的思想方法。通过“归纳-猜想-论证”的思维过程，具有一定的演绎推理能力和归纳、猜想、论证的能力。 【解读】：所谓领会“归纳-猜想-论证”的思想方法，即如何根据一些特别的情况进行归纳，在此基础上形成猜想，并对猜想的结论进行证明，重点是对数列的通项、算式计算的结果及恒等式的归纳猜想，并能用数学归纳法进行证明。 【举例说明】 ： 1、观察下列等式：

15

35522C C +=-，

159

7399922C C C ++=+，

159131151313131322C C C C +++=-， 1591317

157171717171722C C C C C ++++=+，

………

由以上等式推测到一个一般的结论：

对于*n N ∈，1594141414141n n n n n C C C C +++++++++= ．

2、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：

则第n 个图案中有白色地面砖的块数是

3、 数列{}n a 中，)(,121*∈==N n a n S a n n （1） 求432,,a a a

（2） 猜想并用数学归纳法证明其通项公式)(n f a n =

4、是否存在常数c b a ,,使等式n

c

bn an n n n n n ++=++++23333)()3()2()1(L 对一切非零自

然数n 恒成立，若存在，求出c b a ,,的值，若不存在，说明理由。

数列知识点归纳及

数列知识点归纳及例题分析

《数列》知识点归纳及例题分析 一、数列的概念： 1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系：???≥-==-)2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意：①强调2,1≥=n n 分开，注意下标；②n a 与n S 之间的互化（求通项） 例2：已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2 ,11 ,32n n n S n ，求n a . 3.数列的函数性质： （1）单调性的判定与证明：①定义法；②函数单调性法 （2）最大（小）项问题：①单调性法；②图像法 （3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系） 例3：已知数列}{n a 满足?? ??? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531 =a ，求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处） 等差数列 等比数列 定义 1n n a a d +-=（d 是常数1,2,3n =，…） 1 n n a q a +=（q 是常数，且0≠q ，1,2,3n =，…） 通项 公式 ()11n a a n d =+- ()n m a a n m d =+- 11n n a a q -= 推广：n m n m a a q -= 求和 公式 () 112 n n n S na d -=+=()12n n a a + ()111 (1)1(1)11n n n na q S a q a a q q q q =?? =-?-=≠? --? 中项 公式 2 n k n k a a A -++=（*,,0n k N n k ∈>>） k n k n a a G +-±=（*,,0n k N n k ∈>>）

数列教案

数列教案 【基础概念】 1．数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个 位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2019年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式 就叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 1 4131211 ，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈） ， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ① {}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数 列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替 ()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关

数列知识点归纳及例题分析

《数列》知识点归纳及例题分析 一、数列的概念： 1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系：???≥-==-) 2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意：强调2,1≥=n n 分开，注意下标；n a 与n S 之间的互化（求通 项） 例2：已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2,11 ,32n n n S n ，求n a . 3.数列的函数性质： （1）单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法 （2）最大（小）项问题： 单调性法；图像法 （3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系）

例3：已知数列}{n a 满足????? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531 =a ，求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处）

例题： 例4（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1 a n －1 (n ≥2，n ∈N * )，数列{b n }满足b n ＝1a n －1 (n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 ∵a n ＝2－1 a n －1 (n ≥2，n ∈N * )，b n ＝1 a n －1 . ∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1 a n －1－1 ＝ 1? ?? ??2－1a n －1－1 －1 a n －1－1 ＝a n －1 a n －1－1－1a n －1－1 ＝1. ∴数列{b n }是以－5 2 为首项，1为公差的等差数列．

(完整版)数列的概念教案

数列的概念与简单表示法（第一课时） 教学目标：1、理解数列的概念，了解通项公式的意义和分类 2、能由通项公式求出数列的各项。反之能求出数列的前几项 3、培养学生分析问题的能力及探索规律的能力 教学重点：理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型 教学难点：认识数列是一种特殊函数；发现数列的规律，找出数列可能的通项公式。 教学过程： 一、引入新课 有人说，大自然是懂数学的，不知你注意过没有，树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等等，都遵循着某种数学规律，大家能想到它们涉及了那些数学规律吗？通过本课时的学习，这些问题都会得到解决。 二、新课 学生阅读课本、小组互动完成学案上第一、二部分 小组内推选同学回答问题 （一）、考考你 寻找规律，在空格出填写数字 1．1、21、31、（ ）、51、61、（ ）、8 1 2. 2、-4、（ ）、-8、10、（ ）14 3. （ ）、22、32、42、52、（ ）、72 思考1：以上几组数有什么特征？ 观察、讨论、分析归纳特点：上面的数字都是有规律的。从具体例子引出数列概念，激发学生的兴趣。 （二）、知识探究 1、根据上面几组数归纳出数列的概念 数列是一列数；数列中的数是按一定次序排列的。引领学生由感性认识上升到理性认识，进而明确数列的定义 思考2 数列1、2、3、4……与4、3、2、1……是同一数列吗？ 不是，数列的有序性； 深化定义，加深对数列概念的理解。 试试看： 根据思考2归纳出数列的特点________ 2、数列的项如何表示 数列的一般表示：n a a a ,,,21 ，表示法 n a 练习：请大家举几个生活中数列的例子 3、数列的分类（课本28页观察） ①按项数分有穷数列和无穷数列 ②按项的大小关系分递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 4、常数列：各项均为常数的数列 为等差、等比数列进一步学习作铺垫 5、数列的通项公式 项数：1 2 3 4 5 …… n 1 2 3 4 5 …… n 项： 1 4 9 16 25…… （n 2 ） 2 4 6 8 10…… （2n ） 仔细观察上面两个数列的项与它对应的项数，你能发现它们的关系吗？请写出项数与项之间

归纳综合数列知识点归纳

必修 5 第二章 数列 （复习 1） 一 、等差数列知识点 1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起， 那么 这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母 d 表示。用递推公式表 示为 a n a n 1 d ( n 2) 或 a n 1 a n d (n 1)。 2、等差数列的通项公式： a n a 1 (n 1)d ；说明：等差数列 的单调性： 为数列 当 为常数列， 为递减数列。 3、等差中项的概念：定义：如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差 其中 A a ， A ， b 成等差数列 。 4、等差数列的前 n 和的求和公式： 。 5、等差数列的性质： （ 1）在等差数列 a n 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （ 2）在等差数列 a n 中，相隔等距离的项组成的数列是 AP ， 如： a 1 ， a 3 ， a 5 ， a 7 ，??； a 3 ， a 8 ， a 13 ， a 18 ，??； （3）在等差数列 a n 中，对任意 m ， n N ， a n ， d (m n) ； （ 4）在等差数列 a n 中，若 m ， n ， p ， q N 且 m n p q ，则 ； 说明：设数列 { a n } 是等差数列，且公差为 d ， （Ⅰ）若项数为偶数，设共有 2n 项，则① S 奇 S 偶 nd ； ② S 奇 a n ； S 偶 a n 1 （Ⅱ）若项数为奇数，设共有 2n 1项，则① S 偶 S 奇 a n a 中 ；② S 奇 n 。 S 偶 n 1 （ 2） S n 最值的求法：①若已知 S n ，可用二次函数最值的求法（ n N ）；②若已知 a n ，则 S n 最 值时 n 的值（ n a n 0 a n 0 N ）可如下确定 或 a n 1 。 a n 10 变式训练 1， 根据各题的条件，求等差数列 a n 的前 n 项和 S n ， （ 1） a 1 2,d 5, n 10 （ 2） a 12, a n 6,n 12 （ 3） a 10 2, d 5, n 8 2. 在 1 和 15 之间插入 25 个数，使得所得到的的 27 个数成等差数列。求插入的 25 个数的和 ? 6、数列最值 3,等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，已知 S 9 0, S 10 0 ，则此等差数列的前 n 项和中， n 是多少的 （ 1） a 1 0 ， d 0 时， S n 有最大值； a 1 0 ， d 0 时， S n 有最小值； 1 / 6

高中数学数列知识点总结(经典)

数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界 项， 即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由10 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶 奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ，有

数列知识点及常用解题方法归纳总结

数列知识点及常用解题方法归纳总结 一、 等差数列的定义与性质 () 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()前项和n S a a n na n n d n n = +=+ -112 12 {}性质：是等差数列a n （）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232-- （）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则 ；421 21 a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52 a S an bn a b n n n ?=+ 0的二次函数） {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2 项，即： 当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11 000 0><≥≤?? ?+ 当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11000 <>≤≥?? ?+ {}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123 （由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331 ()又·，∴S a a a a 3132 22 33113 = +===

高三复习数列知识点总结

数列专题解析方法 一、数列通项公式的求解 类型一：观察法 例 1: 写出下列数列的一个通项公式 （1）3,5,9,17,33 ，； （2）11,22,33,44, ; 2345 （3）7,77.777.7777. （4）2, 1,10, 17,26, ; 3 7 9 11 （5）3,9,25,65, ; 2 4 8 16 类型二：公式法 (1) a n a1 (n 1)d a m (n m)d 例 2：已知等差数列a n 中，a1 1,a3 3,求a n 的通项公式 n 1 n m (2)a n a1q n1 a m q n m 例 3：已知等比数列a n 中，a2 6,6a1 a3 30, 求a n 的通项公式类型三：利用“ S n ”求解 S1,(n 1) (1) (1) a n n S n S n 1(n 2)

例 4：已知数列a n 的前n项和S n n2 24n(n N* )，求a n 的通项公例 5：已知数列a n 的前n项和为S n，且有a1 3,4S n 6a n a n 1 4S n 1,求a n 的通项公式 例 6：已知数列a n 的前n 项和为S n，且有a1 1,a n 1 2S n 1(n 1), 求a n 的通项公式 例 7：已知正数数列a n 的前n项和为S n ，且对任意的正整数n满足 2 S n a n 1, 求a n 的通项公式 (2)S n S n 1的推广 例 8：设数列a n满足a13a232a33n 1a n n,n N*求a n的通项公 3 式 类型四：累加法 形如a n 1 a n f (n)或a n a n 1 f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n 的函数) (1)若 f (n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和例 9：a n 1 a n 2n 1,a1 2, 求a n 的通项公式 (2)若 f (n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和例 10：a n 1 a n 2n,a1 2, 求a n 的通项公式 (3)若 f (n) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和 例11：a n 1 a n n n 1,a1 1, 求a n 的通项公式 (4)若 f (n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和 例 12：a n 1 a n 21,a1 1, 求a n的通项公式 n 2 2n n 类型五：累乘法 形如an1f(n)或an f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数) a n a n 1

5.1《数列》教案

数列教案 教学目标: 1．了解数列的前n 项和公式，明确前n 项和公式与通项公式的异同。 2．会根据数列的前n 项和公式写出数列的前几项，并能猜想、归纳出数列的通项公式。 3．培养学生推理能力。 教学重点: 根据数列的前n 项和公式写出数列的前几项，及归纳出数列的通项公式。 教学步骤： 一．设置情景： 1．已知数列 {}n a 的通项公式为： 32n a n =+ 则 12345a a a a a ++++= 2．已知数列 {} n a 满足21=a ，123()n n a a n N * +-=∈，则126a a a ++ += 二．探索与研究： 1．数列的前n 项和：给定数列{} n a ，从第一项到第n 项连续的和叫做数列的前n 项和。 记为： n S 注意：前n 项和与n 项和的区别。 2．前n 项和公式 如果一个数列{}n a 的前n 项和n S 与n 的关系可以用一个公式

)(n f S n =)(*∈N n 来表示，那么这个公式 )(n f S n =)(*∈N n 就叫做数列{}n a 的前n 项和公式。 3．数列前n 项和公式与数列通项公式的关系： 三．数列前n 项和公式的应用举例： 例1．已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n 22 -=，求数列{}n a 的前五项。 例2．已知数列{}n a 的前n 项和为210n S n n =-，试判断这个数列在n 为何值时，前n 项和最小，并求前n 项和的最小值。 【变式】已知数列{}n a 的前n 项和为211n S n n =-，试判断这个数列在n 为何值时， 前n 项和最小，并求前n 项和的最小值。 例3．已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n 232-=，求数列{}n a 的通项公式n a 。 【变式】已知数列 {}n a 的前n 项和为2 325n S n n =-+，求数列{}n a 的 通项公式 n a 。 例4．已知数列{}n a 的前n 项和为12+=n n S ，求数列{}n a 的通项公式n a 。 说明：关键是正确使用关系式???≥-==-)2()1(1 1 n S S n a a n n n ，并验证1a 是否符合所求出的通 项公式。 例5．数列{}n a 中，01=a ，)(221* +∈+=+N n n n S a n n ，求4a 四．作业： 1．已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 232 +=，求通项公式n a 。 2．已知数列{}n a 的前n 项和228n S n n =++，求通项公式n a 。

高中数列知识点总结

数列知识点总结 第一部分 等差数列 一 定义式： 1n n a a d --= 二 通项公式：n a 1()(1)m a n m d a n d =+-??=+-? 一个数列是等差数列的等价条件：b an a n +=(a ，b 为常数)，即n a 是关于n 的一次函数，因为n Z ∈，所以n a 关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。 三 前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=na =中间项 1(1)2 n n na d -=+ 一个数列是等差数列的另一个充要条件：bn an S n +=2(a ，b 为常数，a ≠0)，即n S 是关于n 的二次函数，因为n Z ∈，所以n S 关于n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。 四 性质结论 1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置， 如：3个数a-d,a,a+d ； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d 2.a 与b 的等差中项2 a b A +=； 在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则 m n p q a a a a +=+；若2m n p +=，则2m n p a a a +=； 3.若等差数列的项数为2() +∈N n n ，则，奇偶nd S S =- 1 +=n n a a S S 偶奇 ； 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1 -=n n S S 偶奇 4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设12,n A a a a =++?+，122n n n B a a a ++=++?+， 21223n n n C a a a ++=++?+，则有C A B +=2； 5.10a >,m n S S =,则前2m n S +(m+n 为偶数)或12 m n S +±(m+n 为奇 数)最大 第二部分 等比数列 一 定义：1 (2,0,0){}n n n n a q n a q a a -=≥≠≠?成等比数列。 二 通项公式：11-=n n q a a ，n m n m a a q -= 数列{a n }是等比数列的一个等价条件是： (1),(0,01n n S a b a b =-≠≠，） 当0q >且0q ≠时，n a 关于n 的图像是指数函数图像的分点表示形式。

(推荐)高中数学数列知识点精华总结

数 列 专 题 ◆ 考点一：求数列的通项公式 1. 由a n 与S n 的关系求通项公式 由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有： ①利用S n －S n －1＝a n (n≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式； 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝? ?? ?? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可 并入n≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示． ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n . 2.由递推关系式求数列的通项公式 由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解． ◆ 累加法：递推关系形如a n ＋1－a n ＝f(n)，常用累加法求通项； ◆ 累乘法：递推关系形如a n ＋1 a n ＝f(n)，常用累乘法求通项； ◆ 构造法：1）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q(p 、q 是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通 项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p(a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列； 2）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n ＋1 转为用迭加法求解． 3） ◆ 倒数变形

3.数列函数性质的应用 数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 函数思想在数列中的应用 (1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决． (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法． （3)数列{a n }的最大(小)项的求法 可以利用不等式组? ?? ?? a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组? ?? ?? a n －1≥a n ， a n ≤a n ＋1，找到 数列的最小项. [例3] 已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2 －5n ＋4，①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． (2)若a n ＝n 2 ＋kn ＋4且对于n ∈N * ，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围． 考点二：等差数列和等比数列 等差数列 等比数列 定义 a n －a n －1＝常数(n≥2) a n a n －1＝常数(n≥2) 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1 (q≠0)

数列知识点总结及题型归纳

数 列 一、数列的概念 （1 项叫第1项（或首项）第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a （1）(2)2010（2例如：①：1 ，2 ，②：4131211，，，说明： ①{}n a 表示数列，n a 的通项公式； ② 同一个数列的(1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ； （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一 个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 n a 来代替()f n ，其图象是一 . 有穷数列和无穷数、 … … 和n S 与通项n a 的关系： 322 +=n ，求数列}{n a 的通项公式 2项起，每一项与它的d 表示。用递推公式表示为1)。 = (1)n d +-； d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64

2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ） 3.等差数列,12-=n a n 题型三、等差中项的概念： 定义：如果a ，A ，b 2 a b A += a ，A ， b 成等差数列?A （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．（06全国I ）设{}n a A ．120 B ．D ．75 2.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ） A ．1 B.2 C.4 D.8 题型四、等差数列的性质： ()n m a a n m d =+-， 且m n p q +=+，则 n 。 ) 127...a a a +++= （D ）n n n 项和，已知23a =， 611a =，则7S 等于( )

高考文科数列知识点总结(全)

数列知识点 内容4 要求层次 A B C 数列 数列的概念 数列的概念和表示法 √ 等差数列、 等比数列 等差数列的概念 √ 等比数列的概念 √ 等差数列的通项公式与前n 项和公式 √ 等比数列的通项公式与前n 项和公式 √ 二．知识点 (一)数列的该概念和表示法、 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作n a ，在数列第一 个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个 数列的通项公式 说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。 ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点 看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤 立的点 （4）数列分类： ①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列； ②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列 （5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间 的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 （二）等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；

三角数列知识点梳理

三角函数知识点总结 1. 角的概念的推广 (1) 终边相同的角：所有与α角终边相同的角(连同α角在)可以用式子k ?360?α，k ∈Z 来表示。 与α角终边相同的角的集合可记作：{β|β k ?360?α，k ∈Z}或{β|β2k πα，k ∈Z}。 ※ 角的集合表示形式不是唯一的；终边相同的角不一定相同，相同的角一定终边相同。 (2) 象限角：角的顶点与坐标轴原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角为第几象限的角。 象限角 集合表示 象限角 集合表示 第一 象限 ??????∈+<

坐标轴 ? ?????∈=Z k k x x ，π21 2. 弧度制 (1) 1弧度的角：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 (2) 度数与弧度数的换算： ①180? π弧度； ②180 1π = ?弧度； ③1弧度 O ?? ? ??π180。 (3) 有关扇形的一些计算公式： ①R =α； ②R S 2 1 = ； ③221 R S α=； ④C (α2)R ； ⑤)sin (2 1 2αα-=-=?R S S S 扇形 弓。 3. 同角三角函数的基本关系 (1) 商数关系： αα αtg =cos sin ；(2) 平方关系：sin 2αcos 2 α1， 4. 三角函数的诱导公式：“奇变偶不变(2 π 的奇数倍还是偶数倍)，符号看象限(原三角函数名)”。 5. 两角和与差的三角函数公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； β αβ αβαtg tg tg tg tg 1)(±= ± (变形：)1()(βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=±)。 6. 倍角、半角公式 (1) 二倍角公式： sin2α2sin αc os α，c os2αc os 2αsin 2α2c os 2α112sin 2α，α -α = α2 tg 1tg 22tg ； 7. 倍角、半角公式的功能 (1) 并项功能：1±sin2α(sin α±c os α)2 (类比：1c os2α2c os 2α，1c os2α2sin 2α)； (2) 升次功能：c os2αc os 2αsin 2α2c os 2α1 1 2sin 2α； R

最全数列知识点归纳

最全数列知识点归纳 注意：（1）数列与集合的差异；（2）数列中只有很少一部分是等差或者等比数列，只是我们高中阶段仅仅研究与等差、等比相关联的特殊数列而已。 等差（等比）数列定义：从第2项起，每一项与它前一项的差（比）等于同一个常数。 注：常数，即与n 无关的数 等差数列判断方法： （1）1n n n a a d +-=≥（2） （2）112n n n a a a +-+= （3）An+B n a =（4）2n S An Bn =+ 等比数列判断方法： （1） 1(0)n n n a q q a +=≠≥（2） （2）2 11n n n a a a +-?=（3）n-1n 1q kq (0)n n a a a q ==≠或 （4）n k+kq q n S =-（不为0或1） 数列的通项公式研究的是数列的通项n a （代表项）与序号n 之间的函数关系()f n n a =。 类型一：. eg8：若给出一般数列的某几项或无穷项111 11234 --（），，，...； 类型二：.若已知数列就为特殊的等差、等比数列，或者能够转换成等差、等比数列的情况，公式法 类型三：已知数列n S 与n 一个函数关系。递推法 （注意n a 的表示形式，思考是否需要分类表示） 11 , 1, 2n n n a n a s s n -=?=?-≥? 类型四：已知此数列的递推关系（1n n a a +与的关系）()1n n a a f n +=+的形式，求n a 。 累加法 类型五：已知此数列的递推关系（1n n a a +与的关系）为()1n n a a f n +=?的形式，求n a 。 累乘法 类型六：已知此数列的递推关系为1()n n a pa f n p q +=+（、为常数） 等的形式，求n a 。 构造法 1(1) 32;n n a a +=+1(2) 321;n n a a n +=+-1(3) 33;n n n a a +=+1(4) 3321;n n n a a n +=++- 类型七：已知此数列的递推关系为11n n n n ka a pa qa p q ++=+（、为常数） 等的形式，求n a 。 构造法 11111111n n n n n n n n n n n n n n n n ka a pa qa p q ka a pa qa k a a a a a a a a ++++++++=+?=+?=+ 类型八：已知此数列的递推关系为111n n n n n n n pa m ka a pa qa m a ka t ++++=++?=+等的形式，求n a 。 特征方程 {}112200(); (1),,1(2), (3),n n n n a x px m x x kx t px m x x kx t a x x a a x ??-+=?+=+??+-??????-?? 令方程有两根 则是等比数列 方程有两相等根 则是等差数列方程无实数根则是周期数列 类型九：已知此数列的递推关系为1n n n pa a ka m +=+等的形式，求n a 。取倒数法 11111n n n n n n n pa ka m m k a ka m a pa a a p ++++=?=?=++ ()123f n n n a a a a =+++ +=。 若已知数列就为特殊的等差、等比数列，或者能够转换成等差、等比数列的情况，公式法 类型二：. 若出现“等差、等比加减组合型”的通项，分组求和法 类型三：若出现“等差、等比乘除组合型”的通项，错位相减法 类型四：n a =分式可以使用裂项相消：如：111n(n+1)n (n+1)=-= 裂项相消法 类型五：12-1n n a a a a +=+= 可以使用倒序相加： 类型六：既非等差也非等比但正负相间求和可以使用并项法求和。如：1123456(1)n n +-+-+-+ +- 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A +=或 b a A +=2

等比数列教案经典

《等比数列》教学设计（共2课时） 第一课时 1、创设情境，提出问题 （阅读本章引言并打出幻灯片） 情境1：本章引言内容 提出问题：同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？ 引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为： 1，2，,2,2,2432 ……，632 （1） 于是发明者要求的麦粒总数是 情境2：某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r ，若此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，……，还款数额依次满足什么规律？ 10000(1+r),100002)1(r +,100003)1(r +,…… （2） 情境3：将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继续取其一半，……各次取得的木棒长度依次为多少？,8 1,41,21…… （3） 问：你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？观察、归纳、猜想得7)2 1( 2、自主探究，找出规律： 学生对数列（1），（2），（3）分析讨论，发现共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q )0(≠q 表示，即1:(,2,0)n n a a q n N n q -=∈≥≠。 如数列（1），（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，1+r,2 1 点评：等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。 ??????23631+2+2+2++2

(完整版)数列知识点总结及题型归纳总结总结

高三总复习----数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位 置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 1 4131211，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列 实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…

等差数列教学设计及教案

等差数列》教学设计 教材分析 1.教学内容： 本节课是《普通高中课程标准实验教科书?数学5》（人教A 版）第二章《数列》的第二节内容，即《等差数列》第一课时。研究等差数列的定义和通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。 2.教学地位： 本节是第二章的基础，为以后学习等差数列求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容，也是高考重点考察的内容之一，它有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。 3.教学重点难点： 重点：①理解等差数列的概念。 ②探索并掌握等差数列的通项公式的推导过程及应用。难点：理解等差数 列“等差”的特点及通项公式的含义，概括通项公式推导过程中体现出的 数学思想方法。 学情分析 我所教学的学生是我校高二（9）班、（10）班的学生，经过一年的学习，已具有一定的理性分析能力和概括能力。且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程。他们的思维正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展。但也有一部分学生的基础较弱，所以我授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启

发和探究以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。教法和学法分析 1．教法 ⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。 ⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题， 调动学生的积极性。 ⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 2．学法 引导学生首先从三个现实问题（课本页码问题、月均等额还款问题、操场跑道问题）概括出特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；引导学生多角度、多层面认识事物，学会探究。在本节的备课和教学过程中，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题、解决问题，通过恰当的教学方式让学生学会自我调适、自我选择。 教学目标 通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式。能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生理解等差数列是一种函数模型。 等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来