基于向量夹角余弦的加权调和平均组合预测模型的有效性

数学的实践与认识Ｖ０１．３８Ｎｏ．１０

第３８卷第１０期

２００８年５月ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＩＮＰＲＡＣＴＩＣＥＡＮＤＴＨＥＯＲＹＭａｙ，２００８

”基于向量夹角余弦的加权调和平均

组合预测模型的有效性

程玲华１，陈华友２

（１－合肥学院数学与物理系，合肥２３０６０１）

（２．安徽大学数学科学学院。合肥２３００３９）

摘要：加权调和平均组合预测为一种非线性的组合预测方法．提出了基于向量夹角余弦的加权调和平均

组合预测模型，针对该模型定义了优性组合预测、预测方法优超和组合预测冗余度等新的概念；探讨了非劣

性组合预测和优性组合预测存在的充分条件；给出了一个冗余预测方法出现的判定定理．

关键词：组合预测；加权调和平均；向量夹角的余弦；优性组合预测；冗余度

１引言

ＢａｔｅｓＪＭ和ＧｒａｎｇｅｒＣＷＪＥ１］己于１９６９年首次提出组合预测方法的概念．组合预测由于能有效地提高预测精度，因此受到国内外预测工作者的重视［１＿１引．按组合预测与各单项预测的函数关系，它可以分为线性组合预测和非线性组合预测．常见的加权算术平均组合预测为线性组合预测，加权几何平均组合预测和加权调和平均组合预测为非线性组合预测．文献［２３给出了四种基于相关性指标的最优组合预测模型，即关联度最大化组合预测模型，相关系数最大化组合预测模型，夹角余弦最大化组合预测模型，Ｔｈｅｉｌ不等系数最小化组合预测模型．但文献［２］只从实证分析角度说明了基于相关性的组合预测方法也能够取得比较好的组合预测效果．文献［５３建立并研究了基于向量夹角余弦的加权算术平均组合预测模型，在理论上说明基于向量夹角余弦的线性组合预测的有效性．文献［６］建立了加权调和平均的非线性组合预测模型，并给出一种参数估计线性规划的算法．文献Ｅ１２］建立并研究了基于Ｔｈｅｉｌ不等系数的加权调和平均组合预测模型，在理论上说明基于Ｔｈｅｉｌ不等系数的非线性组合预测的有效性．目前有关基于其它相关性指标的加权调和平均最优组合预测模型的研究在现有文献中尚未见报道．为此本文提出了基于向量夹角余弦的加权调和平均组合预测模型，给出新的优性组合预测、预测方法优超、冗余度等概念，研究它的性质，并得出一些有益的结论，从而在理论上说明该模型的有效性．

２基于向量夹角余弦的加权调和平均最优组合预测模型及其概念设某社会经济现象的非负指标序列的观察值为｛乃，ｔ＝１，２，…，Ｎ），设有ｍ种可行的单项预测方法对其进行预测，ｚ。为第ｉ种预测方法第ｔ时刻的预测值，ｚ“＞０，ｉ＝１，２，…，ｍ，ｔ一１，２，…，Ⅳ．设ｚ，，ｚ。，…，厶为ｍ种单项预测在组合预测中的加权系数，它满足归一性

收稿日期；２００７—０４—０７

基金项目：国家自然科学基金资助项目（７０５７１００１）；安徽省自然科学基金资助项目（０７０４１６２４５）；合肥学院自然科学基金资助项目（０７ＫＹ００４ＺＲ）’

１０期程玲华，等：基于向量夹角余弦的加权调和平均组合预测模型的有效性１０３和非负性，即：

∑ｚｉ＝１，，ｉ≥０，ｉ＝１，２，…，ｍ

Ｉ＝１根据加权调和平均数计算公式，令：

乏一∑ｔ，／∑ｚｌｉ＝１／∑ｚｌｉ，ｆ＝１，２，…，ⅣＪ＝１ｉ２１“ｉ＝１…‘则称五为实际观察值五加权调和平均的组合预测值．将（２）式变为：

（１）

（２）

１而＝曼ｉ＝１＇鱼２７／ｔ，ｔ一－。＇２＇．．?，Ⅳ（３）

令ｘ一［去，芝，…，去］Ｔ，五一［去，麦，…，未］ｒ，ｉ＝?，２，…，ｍ，又＝［石１，夏１，…，击］Ｔ，则Ｘ表示预测对象实际值倒数向量，Ｘｉ表示第ｉ种单项预测方法预测值倒数向量，戈表示组合预测值倒数向量．令

小１，２，…胁．７一一㈨’弋＿、ｌ

根据两个向量夹角的余弦计算公式知：玑为第ｉ种单项预测方法预测值倒数向量置与预测对象实际值倒数向量ｘ的夹角余弦，７为组合预测值倒数向量戈与实际值倒数向量Ｘ的夹角余弦．再令Ｌ＝（厶，，２，…，ｚ。）Ｔ，Ｆ。Ｊ＝ｘＴｘＪ＝∑?熹，Ｆ一（Ｆ。，）。×。，ｉｉ，歹＝１，２，…，ｍ（５）其中Ｌ表示组合预测加权系数列向量，Ｆ廿表示向量Ｘ，与ｘ，的内积，Ｆ称为组合预测信息矩阵．则有耋（毒ｌｉ圭）２＿妻ｔ＝ｌｆ

妻。＝ｌ批ｊ＝１１１１ｄ士－ｉｔ．１。ｊｔ）一薯１私１（耋１去１１ｆ一、ｆ２＾Ｉ，，／ｌ＝ｊ＝＼ｆ一山打山声

一∑∑ｚ。ｚ川Ｆ＝ＬｒＦＬ

（６）把式（３）代入到式（４）的７中并注意式（５）、（６），则倒数向量夹角余弦玩、７可以写成如下形式：玑：彗一２，…ｍ

７：堑壶玑：－兰竺当一，ｉ：１，２，…，ｍ，７：＿垒兰坌堡一√耋㈨厄√砉㈨一

（７）显然组合预测值倒数向量与实际值倒数向量的向量夹角余弦７为各种单项预测方法的加权系数Ｚ，，Ｚｚ，…，厶的函数，记为ｙ（１ｔ，易’．．?，ｚ。）．为了使组合预测值逼近实际值，我们希望Ｘ和Ｘｉ这两个向量之间的夹角愈小愈好．也就是向量夹角余弦愈大愈好，所以７（ｚ。，ｆ：，…，ｆ。）越大表示组合预测方法越有效．当Ｘｔ＝Ｘ时，其向量夹角余弦达到最大值１．然而组合预测误差也是不可避免的．因此基于向量夹角余弦的加权调和平均最优组合预测模型可表示成如下形式，记为模型（１）：

１０４数学的实践与认识３８卷

州，ｖ．

∑ｚｉ∑．ｉ１

ｍａｘ７（ｚ１，１２＇．”，ｚ。）＝＿兰兰尘当竺

√耋㈧一

ｆ∑ｚｉ＝１一

ｓ．ｔ．弋?２１

【Ｚ。≥０，ｉ＝１，２，…，ｍ

，记‰ｉ。＝ｒａｉｎ（７，，ｉ＝１，２，…，朋），‰。＝ｍａｘ｛碾，ｉ＝１，２，…，ｍ），即‰表示ｍ种单项预测值倒数向量与实际值倒数向量的夹角余弦中的最小者，‰。表示ｍ个向量夹角余弦中的最大者，则有如下定义．

定义１设７／（１。，ｚ。，…，ｆ。）为组合预测值倒数向量与实际值倒数向量的夹角余弦，若７／（１。，Ｚ。，…，ｚ。）＜‰。，则称权系数ｌ，，ｚ。，…，ｚ。确定的组合预测模型为劣性组合预测，若‰≤７／（１ｌ，Ｚ：，…，ｚ。）≤‰。，则称之为非劣性组合预测，若７（ｚ。，Ｚ。，…，Ｚ。）＞叩一，则称之为优性组合预测．

定义１表明只有组合预测值倒数向量与预测对象实际值倒数向量的夹角余弦大于各单项预测值倒数向量与预测对象实际值倒数向量的夹角余弦中最大者，则该组合预测模型才是优性的．即以向量夹角余弦作为判断准则，优性组合预测一定比“最好”的单项预测方法还要“好”．

定义２若第ｉ种和第七种单项预测方法预测值倒数向量与其它单项预测方法预测值倒数向量以及实际值倒数向量的内积满足如下关系式

ｎ＜％Ｊ－１，２，…，？，蚤去＞蚤壶

则称第ｉ种单项预测方法基于向量夹角的余弦优超第ｋ种单项预测方法．

实际上，由定义２知，凡＜Ｆ“，Ｆ琏＜Ｆ舯由式（５）知，Ｆ“一Ｆ”则有凡＜Ｆ“．因此若第ｉ种单项预测方法优超第ｋ种单项预测方法，则由向量夹角余弦计算式知：琅＞玑．因此就向量夹角的余弦而言，直观上可以认为第ｉ种单项预测方法获得预测值更“接近”于实际值，即第ｉ种单项预测方法要“好于”第奄种单项预测方法．

定义３若某种单项预测方法在组合预测模型最优权系数中为零，则称该单项预测方法为冗余预测方法．即该种单项预测方法增加到组合预测模型中不能增加组合预测向量夹角的余弦值，表明该种单项预测方法只提供冗余信息．

定义４在一个组合预测模型中，设共有川种单项预测方法参与组合预测，若最优解中出现冗余预测方法的个数为ｍ’，则称比例志＝ｍ’／优为组合预测模型的冗余度．显然，０≤志

３基于向量夹角余弦的加权调和平均组合预测的性质；二’

’引理假定ｍ（优＜Ⅳ）种单项预测方法的预测值倒数向量组Ｘ?，Ｘ２＇．．?，Ｘ。是线性无关的，则组合预测信息矩阵Ｆ为正定矩阵．‘?－证明记Ｂ＝（ｘ。，ｘ。，…，ｘ。），其中ｘ。＝［去，麦，…，去］Ｔ，ｉ一１，２，…，ｍ，则

１０期程玲华，等：基于向量夹角余弦的加权调和平均组合预测模型的有效性１０５

ＢＴＢ＝ＸＴｌ

芑；Ｉ（ｘ。，ｘ。，…，ｘ。）：：Ｉ冠．Ｊ怒Ｘ１ｘＩｘｌ霹ｘｌＸｊｘ。ｘｆｘ２

Ｘ：！：Ｘ２所以Ｆ为对称矩阵．记Ｙ一（ｙ。，Ｙ：，…，Ｙ。）Ｔ，若ｙ≠０时，则ＢＹ≠０，否则，存在不全为零的数ｙｌ，Ｙ：，…，％，使得ＢＹ＝０，由分块矩阵乘法知ＢＹ＝ｙ。Ｘｌ＋Ｙ２Ｘ２＋…＋Ｙ。兄，则有Ｙ。Ｘ。＋Ｙ：Ｘ：＋…＋Ｙ。Ｘ。＝０，所以预测值倒数向量组Ｘ，，Ｘ：，…，Ｘ。是线性相关的，此与条件矛盾．。

对任意的ｙ≠０，二次型ｙＴＦｙ—ｙＴＢ７ＢＹ＝（Ｂｙ）７ＢＹ＞０，所以二次型为正定二次型，

即组合预测信息矩阵Ｆ为正定矩阵．证毕．

该引理表明在预测值倒数向量组Ｘ。，Ｘ：，…，Ｘ。线性无关的条件下，组合预测信息矩阵

Ｆ为正定阵．

定理１假定ｍ（优＜Ⅳ）种单项预测方法的预测值倒数向量组Ｘ，，Ｘ。，…，Ｘ。是线性无

关的，则基于向量夹角余弦的加权调和平均组合预测模型（１）的任一个可行解对应的组合预测至少是非劣性组合预测．

证明设Ｌ＝（Ｚ。，Ｚ。，…，Ｚ。）７为组合预测模型（１）的任一个可行解，则有

ｍ

＞：ｚ。＝１，以≥０，ｉ＝１，２，…，ｍ

（８）

ｊ＝ｌ设ｍ种单项预测方法预测值倒数向量与预测对象实际值倒数向量的向量夹角余弦按大小排序为：７１≥７２≥…≥％，即７１＝ｍａｘ｛７ｉ，ｉ＝１，２，…，ｍ），‰＝ｍｉｎ｛１７ｆ，ｉ＝１，２，．．?，ｍ），所以对任意的玑，均有下式成立巩≥％，ｉ＝１，２，…，ｍ一１

再根据式（７）得

§上＞，７．

鲁ｚ函｝‘１“从而叩＝

√耋㈨厄，ｉ＝１，２，－．．，ｍ－－１

、，僵陌乙凼此

．∑ｌＩｑＦ，、．ＺＪ。ＩＶ‘“＇１＞－－‰蒜

。’因为向量组Ｘ。，Ｘ：，…，Ｘ。是线性无关的，由引理知组合预测信息矩阵Ｆ为正定阵，所以它的任意二阶子式ｌＦＦ∥ｉｉ；：：ｌ＞。，则有Ｆ。＜凡Ｆ“，又ｚｒ≥。，ｉ＝，，２，…，优，所以．ＬＴＦＬ一妻窭∥∥，≤妻耋“，厄厄＝（妻以厄）２（１０）ｌ＝Ｊ；ｌｉ

＝１１ｉ１Ｊ＝１’互１

Ｆ＝胤Ｆ一埘珥辨ＸＸ；ＸⅨⅨ；Ⅸ

ＸＸＸ

１０６数学的实践与认识３８卷

由式（８）、（９）、（１０）得：７≥％，再由定义１得结论成立．证毕．

定理１表明从倒数向量夹角余弦的角度而言，组合预测模型（１）的任一个归一化非负权系数所对应的组合预测均不会比“最差”的单项预测方法还要“差”．

推论简单平均组合预测方法至少是非劣性组合预测．

证明在简单平均组合预测方法中，组合预测权系数ｆ，＝ｆ：＝…＝ｆ。＝去，它们是组合预测模型（１）的一个可行解，由定理１知结论成立．证毕．

以倒数向量夹角余弦作为判断准则，优性组合预测一定比“最好”的单项预测方法还要“好”．因此研究优性组合预测的存在性具有一定的理论意义．

定理２假定ｍ（ｍ＜Ⅳ）种单项预测方法的预测值倒数向量组Ｘ，，Ｘ。，…，Ｘ。是线性无关的，基于向量夹角余弦的加权调和平均组合预测模型（１）的冗余度ｋ＜（优一１）／ｍ，则最优解对应的组合预测一定是优性组合预测．

证明设Ｌ。＝（ｚ？，ｚ≯，…，如）７为模型（１）的最优解，Ｌ＝（ｚ，，ｚ：，…，ｌｍ）Ｔ为其某一个可行解而不是最优解，则有

ｍＩ‘卅

∑ｌｉ＂一１，ｚ广≥０，∑ｚ。＝１，ｚｊ≥０，ｉ＝１，２，…，ｍ（１１）因为组合预测模型（１）的目标函数是求最大值的，故有

ｙ（１ｆ，，；，…，圯）＞７（Ｉ。，，２，…，Ｚ。）（１２）由式（１０）、（１１）知：ＬＶ—ＦＬ妻妻鸲厄厄≤妻妻“，毕，

｜＝１｜。１ｔ＝１｜＝１

。

竺

故有ＬＴＦＬ≤乏：ｚ。Ｆｎ．由于

因此

§，§１

圣１ｚｉ圣ｔ瓦

ｍ１……‘

§，§１

圣１厶善１磊

＝ｆ＝１ｗ｜ｆ

图画。（１３）

因为组合预测模型的冗余度ｋ＜（研一１）／ｍ，所以最优解中至少有两个非０分量，从而（１，０，…，ｏ）Ｔ，（ｏ，１，…，ｏ）Ｔ，…，（ｏ，０，…，１）Ｔ这ｍ个ｍ维单位列向量分别是组合预测模型（１）的可行解而不是最优解，由式（１２）、（１３）知

《所以７（Ｚｉ，Ｚ≠，…，芘）＞ｍａｘ｛碾，ｉ＝…，圯）＞７（１，０，…，０）≥】７１

…，％）＞７（０，１，…，Ｏ）≥７２

…，Ｚ：）＞７（０，０，…，１）≥叩。

１，２，…，ｍ｝＝‰。再由定义１得结论成立．证毕．

１０期程玲华．等：基于向量夹角余弦的加权调和平均组合预测模型的有效性１０７

定理２表明在ｍ种单项预测方法参与的基于向量夹角余弦的加权调和平均组合预测模型中，最优解里只要至少有两个分量不为０，即至少两个单项预测方法提供有效信息，则最优解所对应的组合预测方法要“好于”单项预测方法中的“最好”者，可见最优组合预测模型确实综合利用了单项预测方法提供的信息．

定理３基于向量夹角余弦的加权调和平均组合预测模型的最优目标函数值是参与组合预测的各单项预测方法总个数优的单调不减函数，即ｊ７（ｚ？，巧，…，圮）≤ｒｉｇ。，Ｚ。，…，Ｚ。，ｚ。＋，）．其中７（ｚｉ，ｚ；，…，幺）表示ｍ个单项预测方法参与的基于向量夹角余弦的加权调和平均组合预测模型对应的最大向量夹角余弦，Ｖ（１。，ｚ：，…，Ｚ。，ｚ。＋，）表示再增加一个单项预测方法共ｍ＋１个单项预测方法对应的最大向量夹角余弦．

证明设Ｌ＋＝（Ｚｆ，ｚ；，…，Ｅ）７为研个单项预测方法参与的组合预测模型（１）的最优解，其最优目标函数值为

÷ｚ？§上台“台．２７ｒＸｉｒ（１４）

其中∑ｌｉ＂＝１，，ｉ。≥ｏ，ｉ一１，２，…，ｍ．

ｉ＝１

同理，设Ｚ＝（Ｚ，，Ｚ。，…，Ｚ。，Ｚ。＋。）７为再增加一个单项预测方法，共优＋１个单项预测方法参与的组合预测模型（１）的最优解，其最优目标函数值为

岩１即Ｎ

１ｔ１＝……‘（１５）

其中Ｅｒａ＋１

２【．厂Ｆ。…ｄ…，ｊ，ｆ＝（Ｆ，ｔ州，，Ｆｚｃ…）＇．”，Ｆ咖＋＂）Ｔ，Ｅｔ州，。ｘ，ｘ州２

Ｎ∑ｔ＝ｌ云ｉ１＝ｉ，ｉ—ｊ，２，…，ｍ＋１，Ｆ胁＋?，表示第ｉ种单项预测方法与第优＋１种单项预测方法预测值倒数向量的内积，Ｆ。＋。表示ｍ＋１个单项预测方法参与的（优十１）阶组合预测信息矩阵．且乏：ｚ。＝１，ｚ。≥０，ｉ＝１，２，…，优＋１，令Ｌ＝（ｚｉ，鬈，…，比，ｏ）Ｔ，显然Ｌ为优＋

ｉ＝１

１个单项预测方法参与的组合预测模型（１）的可行解，则有

７／（１１，如，…，Ｚ。，Ｚ。＋１）≥Ｖ（１ｆ，巧，…，铭，Ｏ）

由式（１５）得：

叩（Ｚｆ，巧，…，艺，０）＝７（Ｚ？，Ｚｆ，…，如）

所以，ｌ（１ｆ，Ｚｆ，…，比）≤ｖ（１，，Ｚ２，…，Ｚ。，，。＋１），即结论成立．证毕．．、

通常认为随着参与组合预测的单项预测方法个数研的增加，组合预测模型（１）的最优解一定是肌的严格单调增加函数，然而定理３证明了当再增加一个单项预测方法时，组合预测模型（１）的最优目标函数值可能不变．这表明组合预测模型（１）可能存在冗余预测方法．下面定理为冗余信息提供了判定．

１０８数学的实践与认识３８卷

定理４在基于向量夹角余弦的调和平均组合预测模型中，若第ｉ种单项预测方法优超第五种单项预测方法，则组合预测模型的冗余度至少为１／ｍ．

证明采用反证法．假设Ｌ’＝（ｚｆ，…，ｚ，，…，，ｆ，…，以）Ｔ为组合预测模型（１）的最优

解且第愚种单项预测方法不为冗余预测方法，即ｚｆ＞ｏ，且∑ｚ，＝１，则与Ｌ。对应的组合

』＝１

预测模型（１）的目标函数值为

ｊ费＝ｌｚ？曼ｔ＝ｌＸ上ｔ＇ＴＪｔ（１６）７ｌ（ｚ；，…，口，…，Ｚｆ，…，如）

构造另外一个向量￡＝Ｌ’＋Ｌ＝（ｚ？，…，Ｚ，＋ｚｆ，…，０，…，ｚ：），其中Ｌ＝（Ｏ，…，Ｚｆ，…，一ｚｆ，…，ｏ）．即Ｌ的第ｉ个分量为ｚｆ，第点个分量为一ｚｆ，其余ｍ一２个分量全为０．显然￡为组合预测模型（１）的可行解，与三对应的组合预测模型（１）的目标函数值为

７１（１７，…，Ｚ，＋Ｚｆ，…，０，…，圯）＝（１７）

又

￡７ＦＬ＝（Ｌ。＋Ｌ）’Ｆ（Ｌ’＋Ｌ）一Ｌ订ＦＬ’＋２ＬＴＦＬ＋＋ＬＴＦＬ

＝Ｌ。ＴＦＬ。＋２１；∑ｚ，（Ｆ。，一Ｆ。Ｊ）＋口２（Ｆ。一Ｆ鼬）（１８）又因为第ｉ种单项预测方法优超第足种单项预测方法，所以由定义２知

凡＜Ｆ¨，ＦｌＪ＜Ｆ幻，Ｊ＝１，２，…，ｍ，Ｊ≠志，

善去＞善壶

注意到假设口＞ｏ，且由式（１８）知￡７Ｆ￡＜Ｌ订ＦＬ’且

蚤．ｚ，白Ｎ瓦１ｗ蚤Ｎ去叫耋壶＞善ｚ，薹壶㈣，所以由式（１６）、（１７）、（１９）得

７（Ｚ？，…，Ｚ，十Ｚｆ，…，０，…，Ｚ：）＞可（Ｚｉ，…，ｆ？，…，Ｚｆ，…，Ｚ：），

而这与Ｌ。＝（ｚｆ，…，ｚ，，…，口，…，如）Ｔ为组合预测模型（１）的最优解矛盾，所以假设不成立．从而第足种单项预测方法一定是冗余预测方法。此即组合预测模型（１）的冗余度至少为１／ｍ．证毕．

参考文献：

［１］ＢａｔｅｓＪＭ，ＧｒａｎｇｅｒＣＷＪ．Ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｆｆｏｒｅｃａｓｔｓ［Ｊ］．ＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＲｅｓｅａｒｃｈＱｕａｒｔｅｒｌｙ，１９６９，２０（４）ｔ４５１—４６８．［２］王应明．基于相关性的组合预测方法研究口］．预测，２００２，２１（２）：５８—６２．

［３］陈华友，盛昭翰，刘春林．调和平均的组合预测方法的性质研究［Ｊ］．系统工程学报，２００４?１９（６）。６２０－６２４．

［４］陈华友．基于预测有效度的组合预测模型研究Ｉ－ｊ］．预测．２００１，２０（３）：７２—７３．

［５］陈华友．基于向量夹角余弦的组合预测模型的性质研究［Ｊ］．管理科学学报，２００６，９（２）：１－８．

［６］王应明，罗英．调和平均组合预测中的参数估计技术［Ｊ］．系统工程与电子技术?１９９７?１９（１０）：４５—４９．

１０期程玲华．等：基于向量夹角余弦的加权调和平均组合预测模型的有效性１０９

７８９１０ｌｌ１２

陈华友．侯定丕．基于预测有效度的优性组合预测模型研究［Ｊ］．中国科学技术大学学报，２００２，３２（２）：１７２—１８０．唐小我．组合预测误差信息矩阵研究［Ｊ］．电子科技大学学报，１９９２，２１（４）：４４８—４５４．

王应明．傅国伟．基于不同误差准则和范数的组合预测方法研究［Ｊ］．控制与决策，１９９４，９（１）：２０一２８．

马永开．杨桂元，唐小我．非负权重组合预测的冗余定理［Ｊ］．系统工程理论方法应用，１９９５，４（４）：３３．３９．

马永开，唐小我，杨桂元．非负权重最优组合预测方法的基本理论研究［Ｊ］．运筹与管理，１９９７，６（ｚ）：１－８．

程玲华．基于Ｔｈｅｉｌ不等系数的调和平均组合预测模型研究［Ｊ］．合肥学院学报，２００６，１６（１）ｔ２４—２８．

ＥｆｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆＷｅｉｇｈｔｅｄＨａｒｍｏｎｉｃＭｅａｎｓＣｏｍｂｉｎａｔｉｏｎＦｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ

ＭｅｔｈｏｄＢａｓｅｄｏｎＶｅｃｔｏｒｉａｌＡｎｇｌｅＣｏｓｉｎｅ

ＣＨＥＮＧＬｉｎｇ—ｈｕａｌ。ＣＨＥＮＨｕａ—ｙｏｕ２

（１．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓ，ＨｅｆｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｆｅｉ２３０６０１，Ｃｈｉｎａ）

（２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＳｃｆｅｎｃｅ，ＡｎｈｕｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ．Ｈｅｆｅｉ２３００３９，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｅｉｇｈｔｅｄｈａｒｍｏｎｉｃｍｅａｎｓｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇｉｓａｋｉｎｄｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒ

ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄ．Ｂａｓｅｄｏｎｖｅｃｔｏｒｉａｌａｎｇｌｅｃｏｓｉｎｅ，ａＷｅｉｇｈｔｅｄｈａｒｍｏｎｉｃｍｅａｎｓ

ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇｍｏｄｅｌｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｓｏｍｅｎｅｗｃｏｎｃｅｐｔｓａｒｅｄｅｆｉｎｅｄｆｏｒｔｈｅ

ｍｏｄｅｌ，ｗｈｉｃｈａｒｅｓｕｐｅｒｉｏｒｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ?ｄｏｍｉｎａｎｔｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄ，ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ

ｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇｒｅｄｕｎｄａｎｔｄｅｇｒｅｅｅｔｅ．Ｔｈｅｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｎｏｎｉｎｆｅｒｉｏｒ

ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇａｎｄｓｕｐｅｒｉｏｒｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｉｎｔｈｅｍｅａｎｔｉｍｅ

ｈｏｗｔｏｊｕｄｇｅｒｅｄｕｎｄａｎｔｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄｉｓａｌｓｏｇｉｖｅｎｉｎａｔｈｅｏｒｅｍ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ；ｗｅｉｇｈｔｅｄｈａｒｍｏｎｉｃｍｅａｎｓ；ｖｅｃｔｏｒｉａｌａｎｇｌｅｃｏｓｉｎｅ；

ｓｕｐｅｒｉｏｒｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ；ｒｅｄｕｎｄａｎｔｄｅｇｒｅｅ