当前位置：搜档网 › 高三第一轮复习空间向量初步与法向量的求法

高三第一轮复习空间向量初步与法向量的求法

空间向量初步与法向量的求法

主干知识归纳

1．空间向量的有关概念、定理

(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模．

(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．

(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b记作a∥b.

(4)共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量．

(5)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb.

(6)共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.

(7)空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c.

3．两个向量的数量积

(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)空间向量数量积的运算律

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

4.直线的方向向量和平面的法向量

（1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．

（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．

方法规律总结

1.利用空间向量解决立体几何问题，要选择不共面的三个向量作为基底，也可能通过建立适当的空间直角坐标系来进行向量运算；

2、利用用向量判断位置关系命题真假的方法（1）条件中的线面关系翻译成向量关系（2）确定由条件能否得到结论

（3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假 3.空间法向量的求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n

x y z =，若平面上所选两条直线的方向向

量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，

则可列出方程组：1112220

x y z x y x y z x y z z ++=??++=? 解出,,x y z 的比值即可

【指点迷津】

【类型一】空间向量的线性运算

【例1】：已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于( )

A.627

B.637

C.647

D.657

【解析】存在实数x ，y 使得c ＝xa ＋yb ，即(7，5，λ)＝x(2，－1，3)＋y(－1，4，－2)，由此得方程组

?????7＝2x －y ，5＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，

解得?

????x ＝337

，

y ＝177，λ＝657

答案：D

【例2】：对于空间内任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →

(x ，y ，z ∈R )，则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的( )

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【解析】：当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，有OP →＝2OA →－3OB →＋2OC →，则AP →－AO →＝2OA →－3(AB →－AO →)＋2(AC →－AO →

)，即AP →＝－3AB →＋2AC →

，根据共面向量定理，知P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，有AP →＝mAB →＋nAC →，即OP →－OA →＝m(OB →－OA →)＋n(OC →－OA →)，即OP →＝(1－m －n)OA →＋mOB →＋nOC →

，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不只2，－3，2. 答案：B.

【例3】：如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →

＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→

【解析】 (1)∵P 是C 1D 1的中点， ∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P → ＝a ＋AD →＋1

D 1C 1→

＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋1

2b.

(2)∵N 是BC 的中点，

∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋1

2BC →

＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋1

2c.

(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝1

A 1A →＋AP →

＝－12a ＋(a ＋c ＋12b)＝12a ＋1

2b ＋c ，

又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝1

2BC →＋AA 1→

＝12AD →＋AA 1→＝1

c ＋a ， ∴MP →＋NC 1→

＝(12a ＋12b ＋c)＋(a ＋1

2c)

＝32a ＋12b ＋3

2c.

【类型二】空间向量的简单应用

【例1】：如图7－6－8所示，在45°的二面角α－l －β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．

【解析】由CD →＝CA →＋AB →＋BD →，

cos 〈AC →，BD →

〉＝cos 45°cos 45°＝1

2，

∴〈AC →，BD →

〉＝60°，

∴|CD →|2＝CA →2＋AB →2＋BD →2

＋2(CA →·AB →＋AB →·BD →＋CA →·BD →

)＝3＋2×(0＋1×1×cos 135°＋1×1×cos 120°) ＝2－2，

∴|CD →

|＝2－ 2. 答案：

2－ 2

【例2】：如图所示，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°. (1)求线段AC 1的长；

(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD.

【解析】 (1)设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.

∵AC 1→＝AC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→

＝a ＋b ＋c ， ∴|AC 1→

|＝|a ＋b ＋c|＝＋b ＋

＝|a|2

＋|b|2

＋|c|2

＋＋b·c＋

＝12

＋12

＋22

＋

－1－

＝ 2.

∴线段AC 1的长为 2.

(2)设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ. 则cos θ＝|cos 〈AC 1→，A 1D →

〉|＝|AC 1→·A 1D

→

|AC 1→||A 1D →|

∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，A 1D →＝b －c ，∴AC 1→·A 1D →

＝(a ＋b ＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b 2－c 2＝0＋1＋12－22

＝－2， |A 1D →|＝－2

＝|b|2－2b·c＋|c|2

＝12

－

＋22

＝7.

∴cos θ＝|AC 1→·A 1D →|AC 1→||A 1D →||＝|－22×7|＝14

故异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147

. (3)证明 ∵AA 1→＝c ，BD →

＝b －a ，

∴AA 1→·BD →

＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0. ∴AA 1→⊥BD →

.∴AA 1⊥BD.

【例3】：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且

AE ＝FC 1＝1.

(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；

(2)若点G 在BC 上，BG ＝2

3，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平

面BCC 1B 1.

【解析】 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(0,3,2)，D 1(3,3,3)，

则BE →＝(3,0,1)，BF →＝(0,3,2)，BD 1→

＝(3,3,3)．所以BD 1→＝BE →＋BF →. 故BD 1→，BE →，BF →

共面．

又它们有公共点B ，所以E ，B ，F ，D 1四点共面． (2)设M(0,0，z 0)，G ????0，2

3，0，

则GM →＝????0，－23，z 0，而BF →

＝(0,3,2)，由题设得

GM →·BF →

＝－2

×3＋z 0·2＝0，

得z 0＝1.故M(0,0,1)，有ME →

＝(3,0,0)．又BB 1→＝(0,0,3)，BC →

＝(0,3,0)，所以ME →·BB 1→＝0，ME →·BC →

＝0，从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC. 又BB 1∩BC＝B ，故ME ⊥平面BCC 1B 1.

【类型三】法向量的求法

【例1】：在三角形ABC 中，A （1，﹣2，﹣1），B （0，﹣3，1），C （2，﹣2，1），若向量与平面ABC 垂直，

且||=

，则的坐标为．

答案：（2，﹣4，﹣1）或（﹣2，4，1）

【例2】：如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=．平

面OCB 1的法向量=（x ，y ，z ）为（） A ．（0，1，1）

B ．（1，﹣1，1）

C ．（0，1，﹣1）

D ．（﹣1，﹣1，1）

【解析】：∵ABCD 是正方形，且AB=，

∴AO=OC=1， ∴

=（1，0，0），

∵A （﹣1，0，0），B （0，1，0）， ∴

=（1，1，0），∴

=（1，1，0），

∵OA=1，AA1=，∴OA1==1，

故=（0，0，1），

故=+=（1，1，1），

∵向量=（x，y，z）是平面OCB1的法向量，

∴?=x=0，

?=x+y+z=0，

故x=0，y=﹣z，

结合选项可知，

当y=1时，z=﹣1，

答案：C．

【例3】：已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为1，D是BC上一点，AD⊥C1D，以A为坐标原点，平面ABC 内AC的垂线，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点D的坐标为，平面ADC1的一个法向量为．

【解析】：在空间直角坐标系A﹣xyz中，A（0，0，0），C（0，1，0），

A1（0，0，1），C1（0，1，1）；

由AD⊥C1D，得出AD⊥侧面BCC1B1，

∴AD⊥BC，D为BC的中点，

∴点D的坐标为（cos60°，sin60°，0），

即（，，0）；

设平面ADC1的一个法向量为=（x，y，z），

则=（0，1，1），=（，，0），

∴，即，

令y=﹣1，得z=1，x=，

∴法向量=（，﹣1，1）．

答案：（，，0），（，﹣1，1）．

【同步训练】

【一级目标】基础巩固组

一、选择题

1．已知空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →

＝( ) A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D.23a ＋23b －12c 【解析】如图所示， MN →＝MA →＋AB →＋BN →

＝13OA →＋(OB →－OA →)＋12BC → ＝OB →－23OA →＋1

2(OC →－OB →

)

＝12OB →－23OA →＋12OC → ＝－23a ＋12b ＋12c.

答案： B

2．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2B ．－143C.145

D ．2

【解析】由题意知a·(a－λb)＝0，即a 2

－λa·b＝0， ∴14－7λ＝0，∴λ＝2. 答案：D 3．有四个命题：

①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面； ②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ； ③若MP →＝xMA →＋yMB →

，则P 、M 、A 、B 共面； ④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →

. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【解析】 ①正确，②中若a 、b 共线，p 与a 不共线，则p ＝xa ＋yb 就不成立；③正确，④中若M 、A 、B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →

不正确，故选B. 答案： B

4．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →

的值为( )

A ．a 2

B.12a 2

C.14a 2

D.34

a 2

【解析】设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →

＝c ，

则|a|＝|b|＝|c|＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b)，AF →

＝1

2c ，

∴AE →·AF →

＝12(a ＋b)·1

＝14(a·c＋b·c)＝14(a 2cos 60°＋a 2

cos 60°)＝14a 2. 答案： C

5．已知点A （0，0，0），B （1，0，1），C （0，1，1），则平面ABC 的一个法向量是（） A ．（1，1，1） B ．（1，1，﹣1） C ．（﹣1，1，1）

D ．（1，﹣1，1）

【解析】：=（1，0，1），=（0，1，1）．设平面ABC 的一个法向量为=（x ，y ，z ）．

则

，

．∴

，令z=1，解得x=﹣1，y=﹣1．

∴=（﹣1．﹣1，1）．∴﹣=（1，1，﹣1）．答案：B ．二、填空题

6．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量AB →、AD →、AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→

|＝3，则|AC 1→

|等于______

【解析】：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ，AC 1→2＝a 2＋b 2＋c 2

＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此|AC 1→

|＝5。答案：5

7．空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值等于________．

【解析】：由题意知AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →

＝8×4×cos 45°－8×6×cos 60°

＝162－24.

∴cos 〈AO →，BC →

〉＝AO →·BC →

|AO →||BC →|＝162－248×5＝22－3

∴OA 与BC 所成角的余弦值为

3－22

. 答案: 3－22

5 8.已知

=（2，3，1），

=（4，5，3），则平面ABC 的单位法向量为．【解析】：设平面ABC 的法向量为=（x ，y ，z ）．

则，令y=z=1，解得x=﹣2．

∴．

∴平面ABC 的单位法向量=

．

故答案为：．

三、解答题

9．已知a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；

(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →

⊥b ？(O 为原点) 【解析】： (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b|＝02

＋

－

＋52

＝5 2.

(2)令AE →＝tAB →(t ∈R)，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →

＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t)，

若OE →⊥b ，则OE →

·b＝0，

所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t ＝9

因此存在点E ，使得OE →

⊥b ，此时E 点的坐标为????－65

，－145，2

10.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点． (1)求BN →

的模；

(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→

〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M.

【解析】：如图，建立空间直角坐标系O —xyz.

(1)依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1)， ∴|BN →|＝

－

＋－

＝ 3.

(2)依题意得A

1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B 1(0,1,2)， ∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，BA 1→·CB 1→

＝3， |BA 1→|＝6，|CB 1→

|＝5，

∴cos 〈BA 1→·CB 1→

〉＝BA 1→·CB 1→

|BA 1→||CB 1→|

＝1

1030.

(3)证明依题意，得C 1(0,0,2)、M ????12，12，2，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M →

＝????12，1

2，0.

∴A 1B →·C 1M →

＝－12＋1

2＋0＝0，

∴A 1B →⊥C 1M →. ∴A 1B ⊥C 1M.

【二级目标】能力提高题组

一、选择题

1、已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z)，若AB →⊥BC →，BP →

＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )

A.337，－15

，4 B.407，－157，4C.407，－2,4 D ．4，40

，－15 【解析】：∵AB →⊥BC →

，

∴AB →·BC →

＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4。又BP ⊥平面ABC ，

∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC →

＝(3,1,4)，

则?

?? －＋5y ＋6＝0，

－

＋y －12＝0，解得???

x ＝

407

，y ＝－15

。

答案：B

2.已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )

A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直

B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直

C ．存在某个位置，使得直线A

D 与直线BC 垂直

D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD”，“AB 与CD”，“AD 与BC”均不垂直【解析】如图，在图(1)中，易知A

E ＝C

F ＝

63，BE ＝EF ＝FD ＝3

. 此处易出现没有求出AE 、EF 、BE 、FD 、FC 的长而导致无法进行判断求解.

在图(2)中，设AE →＝a ，EF →＝b ，FC →

＝c ，则〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝90°，〈a ，c 〉＝θ，

所以AB →·CD →＝－a·c－b 2

＝－23cos θ－13.当cos θ＝－12，即θ＝2π3时，AB →·CD →＝0，故B 正确；AD →＝AE

→

＋ED →＝a ＋2b ，BC →＝BF →＋FC →＝2b ＋c ，所以AD →·BC →

＝a·c＋4b 2

＝23cos θ＋43＝23(cos θ＋2)，故无论θ为

何值AD →·BC →

≠0，故C 不正确．

答案：B 二、填空题

3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →

|为_______

【解析】：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则

A(a,0,0)，C

1(0，a ，a)， N ?

a ，a ，

a 2。设M(x ，y ，z)。

∵点M 在AC 1→上且AM →＝12

MC 1→

，

∴(x －a ，y ，z)＝1

2(－x ，a －y ，a －z)，

∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a

3，得M ????2a 3，a 3，a 3，

∴|MN →|＝????a －23a 2

＋????a －a 32

＋???

?a 2－a 32

＝21

a 。答案：

216

a 三、解答题

4.如图所示，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是?

?32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°。 (1)求向量OD →

的坐标；

(2)设向量AD →和BC →

的夹角为θ，求cos θ的值。

【解析】：(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，

在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，

∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝3。所以DE ＝CD·sin30°＝

， OE ＝OB －BD·cos60°＝1－12＝1

2。

所以D 点坐标为????0，－12，3

2，

即向量OD →的坐标为?

???0，－12，3

2。

(2)依题意知，OA →＝????32，1

2，0，OB →＝(0，－1,0)，OC →＝(0,1,0)。

所以AD →＝OD →－OA →＝????－32，－1，3

2，BC →＝OC →－OB →＝(0,2,0)。

则cos θ＝AD →·BC

→

|AD →||BC →|

＝

????－32×0＋－＋

×0???

?－322

＋－2＋???

?322·02＋22＋02

＝

－210

＝－

105

。

【高考链接】

1. 【2011高考真题上海理5】设54321,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同的点，则使

54321=++++MA MA MA MA MA 成立的点M 的个数为

A ．0

B ．1

C ．5

D ．10

【答案】B

2.【2012高考真题陕西理5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，

12CA CC CB ==，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（）

C. 5

D. 35

【解析】设a CB =||，则a CC CA 2||||1==，),2,0(),0,2,0(),,0,0(),0,0,2(11a a B a C a B a A ，

),2,0(),,2,2(11a a BC a a a -=-=∴，5

|||,cos 111111=

<∴BC AB BC AB ，故选A.

【答案】A.

3.【2012高考真题全国卷理16】三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA 1=CAA 1=60°则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.

【解析】如图设,,,1c AC b AB a AA ===设棱长为1，则

,1AB +=BC -1+=+=，因为底面边长和侧棱长都相

等，且0

1160=∠=∠CAA BAA 所以2

?=?=?

，所以3

，

2)-()(11=+?+=?b c a b a BC AB ，设异面直线的夹角为θ，所

以3

22cos =

θ. 【答案】

空间向量与立体几何知识点

立体几何空间向量知识点总结知识网络：知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法（1）线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．（2）线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．

（3）线面平行用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．（5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题．（6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角（1）求两异面直线所成角利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ，但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???，故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ．（2）求线面角求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．（1）点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．（2）点与面的距离点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．备考建议：

平面向量及空间向量高考数学专题训练

平面向量及空间向量高考数学专题训练（四）一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分） 1．设-=1(a cos α,3), (=b sin )3,α,且a ∥b ，则锐角α为（） A. 6π B. 4π C. 3 π D. 125π 2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =?满足，则点P 的轨迹是（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 3．已知向量值是相互垂直，则与且k b a b a k b a -+-==2),2,0,1(),0,1,1(（） A. 1 B. 51 C. 53 D. 5 7 4．已知b a ,是非零向量且满足的夹角是与则b a b a b a b a ,)2(,)2(⊥-⊥-（） A. 6π B. 3 π C. 32π D. 65π 5．将函数y=sinx 的图像上各点按向量=a （2,3 π ）平移，再将所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（） A.y=sin(2x+ 3π)+2 B.y=sin(2x －3 π )－2 C.y=(321π+x )－2 D.y=sin(321π-x )+2 6．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),||的取值范围是( ) A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25] 7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a 方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为（） A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17) 8．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足 =OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( ) A.01123=-+y x B.5)2()1(2 2 =-+-y x C. 02=-y x D. 052=-+y x 9．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则?的值为（） A.2 m B. 212m C. 4 1 2m D. 432m 10．O 为空间中一定点，动点P 在A,B,C 三点确定的平面内且满足)()(-?-=0,

空间向量与立体几何高考题汇编

1. （2009北京卷）（本小题共14分）如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形， PD _底面ABCD , 点E 在棱PB 上. （I ）求证：平面 AEC _平面PDB ；（H ）当PD = J2AB 且E 为PB 的中点时，求 AE 与平面PDB 所成的角的大小. 解：如图，以D 为原点建立空间直角坐标系 D-xyz , 设 AB 二 a,PD 二h, 则 A a,0,0 ,B a,a,0 ,C 0,a,0 , D 0,0,0 ,P 0,0,h , (I 「AC …a,a,0 齐=0,0,h,DB=a,a,0 , ??? AC 丄 DR AC 丄 DB ??? AC 丄平面 PDB ???平面AEC _平面PDB . （n ）当PD =?』2AB 且E 为PB 的中点时, 设ASBD=O 连接 OE 由（I ）知ACL 平面PDB 于 O, ? / AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ?- AOE =45，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45 ? 2.（2009山东卷）（本小题满分 12分） P 0,0,、、2a Ji i 42 E —a, —a, — a , 匹2 2 丿 ?cos AEO EA 】EO 2 p,

解法二：(1)因为AB=4, BC=CD=2, F 是棱AB 的中点，所以BF=BC=CF ^ BCF 为正三角形，因为ABCD 为等腰梯形，所以/ BAC=Z ABC=60 ,取AF 的中点M, 连接。皿＞则DMLAB,所以DM L CD, 以DM 为x 轴,DC 为y 轴,DDi 为z 轴建立空间直角坐标系， ,则 D( 0,0,0 ) ,A (、.3,-1,0 ) ,F ( ... 3,1,0 ) ,C 向量为；=(x, y,则 4 ^F=0所以 ]n C 。= 0 i EE i i-丄.3 i 0=0,所以 n _ EE i ,所以直线 EEj/ 平面 FCC . 2 2 2 ) FB =(0, 2,0),设平面BFC 的法向量为n =( x, y, z)则]J i n FC =0 .厂 ,取 n=(2,0, J3),则 -、3x i y i 2 Z i —0 2 7 ,由图可知二面角 B-FC 1 -C 2 .7 7 B-FC i -C 的余弦值为+ 3. (2009全国卷H)(本小题满分12分) 如图，直三棱柱 ABC-ABG 中，AB_AC, D 、E 分别为AA ,、 B i C 的中点，DE _平面BCC i (I )证明：AB=AC (II )设二面角A-BD -C 为60°,求B i C 与平面BGD 所成的角的大小。 (I )分析一：连结BE, ： ABC -AQG 为直三棱柱，一 B^C =90 , C (0,2,2 ) ,E (邑 2 i 2。) ,Ei ( ? 3小)， E i ,_1,1),CF =(.3-1,0),CC i =(0,0,2) D E ? A M F F C 、3,I ,2) 设平面CGF (020 ③-八。取 n=(i,§0), z = 0 yi =0 n 2 i 一、3 0 0 .3 =2, |二汀(3)2 =2,|；|「22 0 c ，3)2 -7 所以cos n, n |n||n | 为锐角，所以二面角 D i A i B i

利用空间向量求空间角教案设计

利用空间向量求空间角一、高考考纲要求：能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用．二、命题趋势：在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用；过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力；情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角；难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程（一）空间角公式 1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ，m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ，m

2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a r 为l 的方向向量，n r 为平面α的法向量，θ为 l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式：设1n r ，2n r 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r （需要根据具体情况判断相等或互补），其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . α θ O n r a

（二）典例分析如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=o ，SO ⊥面OABC ，且 1,2OS OC BC OA ====.求：（1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值；（2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值；（3）二面角B AS O --的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ， (2,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)S ，于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r ，(1,1,0)OB =u u u r ，(0,0,1)OS =u u u r ，（1）cos ,5SA OB SA OB SA OB ?== =u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r ，所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为5 . （2）设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r ，则0,0, n AB n SA ??=???=??r u u u r r u u r ，即0,20.x y x z -+=??-=? 取1x =，则1y =，2z =，所以(1,1,2)n =r ， sin cos ,3OS n OS n OS n α?∴=== =u u u r r u u u r r u u u r r . （3）由（2）知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r ，又OC ⊥Q 平面AOS ，OC ∴u u u r 是平面AOS 的法向量，令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r ，则有121212 cos ,n n n n n n ?== =u r u u r u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --O A B C S

空间向量专题讲解

空间向量的概念解析例1、下列说法中正确的是（） A.若｜a ｜=｜b ｜，则a,b 的长度相同，方向相同或相反 B.若向量a 是向量b 的相反向量，则｜a ｜=｜b ｜ C.空间向量的减法满足结合律 D.在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC += 练习 1、给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点相同；③若空间向量a,b 满足｜a ｜=｜b ｜，则a=b ；④若空间向量m,n,p 满足m=n,n=p,则m=p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等，其中正确命题的个数为（） A.4 B.3 C.2 D.1 2、下列四个命题：（1）方向相反的两个向量是相反向量（2）若a,b 满足｜a ｜＞｜b ｜，且a,b 同向，则a ＞b （3）不相等的两个空间向量的模必不相等（4）对于任何向量a,b ，必有｜a+ b ｜≤｜a ｜+｜b ｜其中正确命题的序号为（） A.（1）（2）（3） B.（4） C.（3）（4） D.（1）（4）空间向量的线性运算例1、已知长方体ABCD-A ’B ’C ’D ’,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量（1）AA CB '-（2）AB B C C D '''''++（3） 111222 AD AB A A '+- 练习 1、如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量的共有（） ①1()AB BC CC ++②11111()AA A D DC ++ ③111()AB BB BC ++④11111()AA A B BC ++ A.1个 B.2个 C.3个 D.4 个

专题11.4 空间向量的应用(专题训练卷)(解析版)

专题11.4 空间向量的应用（专题训练卷）一、单选题 1．（2020·江苏如东高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（） A ． 6 B ． 102 C ． 155 D ． 105 【答案】D 【解析】以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1), 1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110 cos ,558 BC AC ∴<>= =?． ∴直线1BC 与平面11BB DD 10 故选：D ． 2．（2020·河北新华石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( )

A．1 6 B． 1 4 C． 1 6 -D． 1 4 - 【答案】A 【解析】如图，以D为坐标原点，分别以1 ,, DA DC DD所在直线为,, x y z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则()( )()() 1 100,012,121,002 M N O D ，，，，，，，，，∴()() 1 1,1,2,1,2,1 MN OD =-=--．则 1 1 1 1 cos, 6 66 MN OD MN OD MN OD ? === ?．∴异面直线 MN与 1 OD所成角的余弦值为 1 6 ,故选A． 3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（） A 6 B 26 C 15 D 10 【答案】D 【解析】以D点为坐标原点，以DA、DC、1 DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，

高三数学专题复习：空间向量

一、知识梳理【高考考情解读】高考对本节知识的考查以解答题的形式为主：1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明、空间角(主要是线面角和二面角)的计算.2.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题． 1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)(以下相同)． (1)线面平行：l ∥α?a ⊥μ?a ·μ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥μ?a ＝k μ?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. (3)面面平行：α∥β?μ∥v ?μ＝λv ?a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. (4)面面垂直：α⊥β?μ⊥v ?μ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0. 2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同)． (1)线线夹角：设l ，m 的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22 . (2)线面夹角：设直线l 与平面α的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则sin θ＝|a ·μ||a ||μ| ＝|cos 〈a ，μ〉|. (3)面面夹角：设平面α、β的夹角为θ(0≤θ<π)，则|cos θ|＝|μ·v ||μ||v | ＝|cos 〈μ，v 〉|. 提醒求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析． 3．求空间距离直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P 到平面α的距离：d ＝|PM →·n ||n | (其中n 为α的法向量，M 为α内任一点). 二、课前预习 1．平面α的法向量为m ，向量a 、b 是平面α之外的两条不同的直线的方向向量，给出三个论断：①a ⊥m ；②a ⊥b ；③m ∥b .以其中的两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出所有正确的命题______________________． 2.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1， ∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，则cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值为________． 3．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，

用向量法求二面角的平面角教案

第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点

求平面的法向量；求解二面角的平面角的向量法. 教学难点求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈）向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，

空间向量高考题.doc.docx

空间向量高考题 1. 如下图 , 在长方体 ABCD— A1 B1C1 D1中, 已知 AB=4, AD=3, AA1= 2. E、F 分别是线段AB、BC上的点 , 且 EB=FB=1. （Ⅰ）求二面角C— DE—C1的正切值 ; （Ⅱ）求直线 EC1与 FD1所成角的余弦值 . 、如图四棱锥 P—ABCD中底面 ABCD为矩形AB AD , 侧面 PAD为等边 2 .,,, =8,=4三角形 , 并且与底面所成二面角为60°. （Ⅰ）求四棱锥P— ABCD的体积 ;（Ⅱ）证明PA⊥BD. 4、如图，α⊥β，α ∩β＝l ，∈α，∈β，点 A 在直线 l 上的射影为 1 ，点 A B A B 在直线l 上的射影为1，已知＝，1， 1 ＝，求： B AB 2AA=1BB （Ⅰ）直线 AB分别与平面α，β所成的角的大小；（Ⅱ）二面角A1－AB－ B1的大小 .

证∵α⊥β，α∩β=l ， AA1⊥l ， BB1⊥l ，∴AA1⊥β，BB1⊥α ，则∠ BAB1，∠ ABA1分别是 AB与α和β所成的角 . Rt△BB1A 中， BB1=，AB=2，∴ sin∠BAB1=， ∴∠ BAB1=45°. Rt△AA1B 中， AA1=1，AB=2， ∴sin ∠ABA1=，∴∠ ABA1=30°. 故 AB与平面α，β所成的角分别是45°， 30°. ( Ⅱ) 如图，建立坐标系，则A1（ 0， 0， 0）， A（0，0， 1）， B1（0，1，0）， B （，1，0）. 在 AB上取一点 F（x，y，z），则存在 t ∈R，使得=t，即（ x，y，z－1）=t() ，∴点 F 的坐标为 (t ，t ，1－ t). 要使，须=0，即（，t ，1－t ）·（，1，－1）=0， 2t+t－(1 －t)=0 ，解得 t=，∴点 F 的坐标为 () ∴(). 1 ）. ∴ 设 E 为 AB 的中点，则点 E 的坐标为（ 0，又 ∴，∴∠A1FE为所求二面角的平面角.

空间向量与空间距离

空间向量与空间距离 1.了解点到直线、平面距离的概念． 2.会用空间向量求点到直线、平面距离．空间距离的向量求法 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B →的长度．() 所成向量AB (2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．() (3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条

直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A.534 B.532 C.532 D.132 答案：C 3．已知直线l 过点A (1，－1，2)，和l 垂直的一个向量为n ＝(－3，0，4)，则P (3，5，0)到l 的距离为( ) A ．5 B ．14 C.145 D.45 答案：C 4．已知直线l 与平面α相交于点O ，A ∈l ，B 为线段OA 的中点，若点A 到平面α的距离为10，则点B 到平面α的距离为________．答案：5 探究点一点到直线的距离如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，求点B 到直线A ′C 的距离．

[解] 因为AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，所以A ′(0，0，3)，C (1，2，0)，B (1，0，0)，所以直线A ′C 的方向向量A ′C →＝(1，2，－3)．又BC →＝(0，2，0)，所以BC →在A ′C →上的射影长为|BC →·A ′C →||A ′C →|＝414. 所以点B 到直线A ′C 的距离 d ＝|BC →|2－????????BC →·A ′ C →|A ′C →|2＝ 4－1614 ＝2357. 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的射影长； (4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．

向量法求空间角(高二数学,立体几何)

A B C D P Q 向量法求空间角 1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 2 1==．（1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小． 2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为 2 6．（1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；（2）若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；（3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由． B

3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点. （1）求证:AF//平面BCE; （2）求证:平面BCE⊥平面CDE; （3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小. P-中,PD⊥底面ABCD,且底面4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD ABCD为正方形,G PD =分别为CB PC, ,的中点． = PD F ,2 E AD, , AP平面EFG; （1）求证:// （2）求平面GEF和平面DEF的夹角.

H P G F E D C B 5．如图，在直三棱柱111AB C A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6 π,求锐二面角1A A C B --的大小. 6．如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，2AD PD EA ==，F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．（1）求证：FG 平面PED ；（2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.

利用向量法求空间角经典教案

利用空间向量求空间角目标：会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法；一、复习回顾向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：><=?,cos ||||（2）两向量夹角公式：| |||,cos b a b a >= < 二、知识讲解与典例分析知识点1：两直线所成的角（范围：]2 , 0(π θ∈）（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a′与b′，那么直线a′与b′ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a 、b 的方向向量分别为a 和b ，问题1：当与的夹角不大于90°时，异面直线的角θ与和的夹角的关系？问题 2：与的夹角大于90°时，，异面直线a 、θ与a 和b 的夹角的关系？结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为| ||||,cos |cos n m = ><=θ 例1如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则)2,,0(),0,2 1 ,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A -- ∴ )2,21,23(1a a a AC - =，)2,2 1 ,23(1a a a CB = 即21323,cos 22 111111==>= <11,cos BE DF 与>

高考数学专题：空间向量与立体几何(含解析)

立体几何中的向量方法 1.（2012年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为 a ,且长为a 的 ,则a 的取值范围是（） A ． B ． C ． D ． [解析] 以O 为原点,分别以OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴, 则22cos 4 AO PO AOP R ?∴∠= =,A )0,23 ,21(),22,0,22(R R P R R 42arccos =∠∴AOP , 4 2 arccos ?=∴R P A 2. （2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（） A B C D ． 35 解析:不妨设122CA CC CB ===, 11(2,2,1),(0,2,1) AB C B =-=- , 111111cos ,5 AB C B AB C B AB C B ×<>= =-,直线1BC 与直线1AB 夹角为锐角,选A. 3.（2012年高考（天津理））如图,在四棱锥P ABCD -中,PA 丄平面ABCD ,AC 丄 AD ,AB 丄BC ,0=45ABC ∠,==2PA AD ,=1AC . (Ⅰ)证明PC 丄AD ; (Ⅱ)求二面角A PC D --的正弦值; (Ⅲ)设E 为棱PA 上的点,满足异面直线BE 与CD 所成的角为0 30,求AE 的长. P

【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、异面直线所成的角,直线与平面垂直等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 方法一:（1）以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向，建立空间直角左边系A xyz - 则11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22 D C B P - (0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=?=?⊥ （2）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z = 则0 202200n PC y z y z x y x z n CD ?=-==????????-===???? 取1(1,2,1)z n =?= (2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量 630 cos ,sin ,66 AD n AD n AD n AD n <>= = ?<>= 得：二面角A PC D --的正弦值为 6 （3）设[0,2]AE h =∈；则(0,0,2)AE =，11 (,,),(2,1,0)2 2 BE h CD =-=- cos ,210 10BE CD BE CD h BE CD <>= ? = ?= 即10AE = 方法二:(1)证明,由PA ⊥平面ABCD ,可得PA AD ⊥,又由 ,AD AC PA AC A ⊥?=,故AD ⊥平面 PAC ,又PC ?平面 PAC ,所以PC AD ⊥. (2)解:如图,作AH PC ⊥于点H ,连接DH ,由

第8讲立体几何中的向量方法求空间角 (1)

第8讲立体几何中的向量方法(二)——求空间角一、选择题 1.(2016·长沙模拟)在正方体A1B1C1D1－ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为() A.π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0). ∴AC→＝(1，1，0)，B1D →＝(－1，1，－1)， ∵AC→·B1D →＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0， ∴AC→⊥B1D →， ∴AC与B1D所成的角为π2. 答案 D 2.(2017·郑州调研)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为() A. 3 2 B. 3 3 C. 3 5 D. 2 5 解析设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1， 0)，D1(0，0，1)，所以BB1→＝(0，0，1)，AC→＝(－1，1，0)，AD1 →＝(－1，0，1). 令平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC→＝－x＋y＝0，n·AD1 →＝－x＋z ＝0，令x＝1，可得n＝(1，1，1)，

所以sin θ＝|cos 〈n ，BB 1→ 〉|＝13×1＝3 3 . 答案 B 3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12 B.23 C.33 D.22 解析以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A －xyz ，设棱长为1，则A 1(0，0，1)， E ? ????1，0，12，D (0，1，0)， ∴A 1D →＝(0，1，－1)， A 1E →＝? ????1，0，－12，设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，所以有???A 1D →·n 1＝0，A 1E →·n 1＝0，即???y －z ＝0，1－12z ＝0，解得????? y ＝2，z ＝2. ∴n 1＝(1，2，2). ∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)， ∴ cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23. 即所成的锐二面角的余弦值为2 3. 答案 B 4.(2017·西安调研)已知六面体ABC －A 1B 1C 1是各棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，则直线CC 1与平面AB 1D 所成

专题11.4 空间向量的应用(专题训练卷)(原卷版)

专题11.4 空间向量的应用（专题训练卷）一、单选题 1．（2020·江苏如东?高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（） A ． 6 B ． 10 C ． 15 D ． 10 2．（2020·河北新华?石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ． 1 6 B ． 14 C ．16 - D ．14 - 3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（） A 6 B 26 C 15 D 10 4．（2020·黑龙江道里?哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直， 2BC BD == AB 与平面ACD 所成角的正切值为 1 2 ，则点B 到平面ACD 的距离为（） A ． 32 B 23 C 5 D 25 5．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高二月考）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（）

A ． 21 B ． 25 C ． 35 D ． 45 6．（2018·浙江高三其他）如图，在长方体11112222A B C D A B C D -中，12111122A A A B B C ==，A ，B ，C 分别是12A A ，12B B ，12C C 的中点，记直线2D C 与1AD 所成的角为α，平面22A BCD 与平面11ABC D 所成二面角为β，则（） A ．cos cos αβ= B ．sin sin αβ= C ．cos cos t αβ> D ．sin sin αβ< 7．（2020·浙江镇海中学高三三模）在三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 上的点（不包括端点），记直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（） A ．123θθθ<< B ．213θθθ<< C ．321θθθ<< D ．231θθθ<< 8．（2020·浙江衢州?高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D

高考专题之空间向量

高考专题之空间向量 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

空间向量专题 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数 λ，使a ＝λb 。 4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组 (,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示。（3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，

相关主题

 向量法求空间角

空间向量与空间距离

空间向量专题

空间向量高考专题

相关文档

向量法求空间角

用向量法求空间角

向量法求空间角、距离和二面角

利用空间向量求空间角教案设计

第8讲立体几何中的向量方法求空间角 (1)

向量法求空间角(有答案)

向量法求空间的角和距离

用向量法求二面角的平面角教案

8-8立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离

向量法求空间角(高二数学-立体几何)-精选.

向量法求空间角

向量法求空间中的角课件

利用向量法求空间角经典教案

用向量法计算空间角

利用向量法求空间角

用向量法求空间角PPT优秀课件

利用向量法求空间角

空间向量法求空间角图示原理

向量法求空间角(高二数学,立体几何)

向量法求解空间角问题

最新文档

幼儿园小班科学《小动物过冬》PPT课件教案

2021年春新青岛版(五四制)科学四年级下册 20.《露和霜》教学课件

自然教育课件

小学语文优质课火烧云教材分析及课件

(超详)高中语文知识点归纳汇总

高中语文基础知识点总结(5篇)

高中语文基础知识点总结(最新)

高中语文知识点整理总结

高中语文知识点归纳

高中语文基础知识点总结大全

超详细的高中语文知识点归纳

高考语文知识点总结高中

高中语文知识点总结归纳

高中语文知识点整理总结

高中语文知识点归纳

高中语文知识点归纳(大全)

高中语文知识点总结归纳(汇总8篇)

高中语文基础知识点整理

化工厂应急预案

化工消防应急预案(精选8篇)