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2012随机过程引言

随机过程

课程介绍

陈建文

华中科技大学电子与信息工程系chenjw@https://www.sodocs.net/doc/e36544307.html, 2012-10-31

随机过程的重要性

本课程所介绍的内容是通信与信息工程领域中各种随机现象的基本数学模型和统计规律性。

没有随机过程的数学基础,从事通信与信息领域的研究是很困难的事情。

什么是随机现象?为何会产生随机现象?什么是其数学模型?什么是其统计规律性? 掌握数学模型和统计规律性有什么作用?……

随机过程介绍

具有确定形式的现象:

(1)匀速运动的物体;

(2)自由落体运动……

随机现象:

(1)抛硬币;

(2)天气预报;

(3)机器的使用寿命……

为何会产生随机现象?

原因是决定现象发生的因素和机制过于复杂,超过了观察者的认识能力,观测者无法根据自己所掌握的资料准确预测现象的发生。

例如:

(1)将硬币抛在桌面上,观测正反面;

(2)天气预报某天是否下雨(预测时间);

(3)统计某一天到达银行营业部的顾客数……

统计规律性:

通过大量重复观察,各种可能结果所呈现的某种规律性。(1)英文文章中,英文字母出现的频率:

空格的使用频率0.2,F的使用频率0.105,以下依次为T,O,A,N,I…

(2)电话用户的通话时间:

对于给定的通话时间,其频率具有稳定性。

信息与通信工程中的随机过程

信号:例如,数字信号可以建模为一个离散时间随机过程;噪声:人为噪声,自然噪声,内部噪声。例如,噪声的概率分布常常被认为是高斯随机过程(信号);

通信业务:例如,从通信网的一个节点看:可以把随时间变化的到达节点的业务总数认为是一个随机过

程;通信网内正在通信的用户数也是一个随机

过程……

随机过程课程主要内容:

1. 随机过程的定义及数字特征

2. 平稳随机过程

3. 泊松过程

4. 马尔可夫链

5. 连续时间马尔可夫链

6. 正态随机过程

7. 平稳过程的谱分析(上)

平稳过程通过线性系统(下)

8. 窄带随机过程

9. 随机信号的计算机模拟

教材与参考书:

《随机过程》(第四版),刘次华编,华中科技大学出版社

《随机信号分析》朱华,黄辉宁等编,北京理工大学出版社

(2008)

《随机过程及其应用》陆大铨编著,清华大学出版社(1986) 《随机信号分析解题指南》李永庆,梅文博编,北京理工大学

出版社(2007)

上课时间:

星期三:(7-8节)9-12,14-19周,东9 B502

星期五:(3-4节)9-12,14-19周,东9 B502

实验时间:

时间:16-17周四上午1-4 节(2012-12-20,27) 地点:南一楼(东)205,208 ,(中)201,206

考试规则 卷面考试成绩占70%; 实验成绩占10%;

平时成绩占20%:

作业完成情况;

课堂小测验;

课堂到课率等……

要珍惜学校学习的机会,努力上进,为成就事业实现理想奠定良好的基础!

美好课堂,携手共建!

最新随机过程考试试题及答案详解1

随机过程考试试题及答案详解 1、(15分)设随机过程C t R t X +?=)(,),0(∞∈t ,C 为常数,R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 (1)求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数; (2)求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 (1)? ∞ -= x dt t f x F )()(,则)(t f 为密度函数; (2))(t X 为),(b a 上的均匀分布,概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ,分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(,2)(b a x E += ,12)()(2a b x D -=; (3)参数为λ的指数分布,概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ,分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ,λ1)(=x E ,21 )(λ=x D ; (4)2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布,概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ, 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ,若1,0==σμ时,其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 (1)因R 为]1,0[上的均匀分布,C 为常数,故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知, )(t X 为],[t C C +上的均匀分布,因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ,一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(;

最新随机过程考试真题

1、设随机过程C t R t X +?=)(,),0(∞∈t ,C 为常数,R 服从]1,0[区间上的均匀分布。 (1)求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数; (2)求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 2、设{ }∞<<∞-t t W ),(是参数为2 σ的维纳过程,)4,1(~N R 是正态分布随机变量; 且对任意的∞<<∞-t ,)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(,求随机过程 {}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程,平均每小时有180人,即180=λ;且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为: ??? ? ? ??=3.007.08.02.0007.03.0P (1)求两步转移概率矩阵) 2(P 及当初始分布为 0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P 时,经两步转移后处于状态2的概率。 (2)求马尔可夫链的平稳分布。 5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ,转移概率矩阵为: ??? ??? ? ? ? ?=010007.03.0000 0001 00004.06.0003.04 .03.0P

求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程,计算[]()()E N t N t s +。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立,且i N 是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯, 1ij j i p >=∑。令j O =在第j 层离开电梯的人数。 (1)计算()j E O (2)j O 的分布是什么 (3)j O 与k O 的联合分布是什么 8、一质点在1,2,3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一,则在),[h t t +内, 它都以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程,转移概率)(t p j i 及平稳分布。 1有随机过程{ξ(t ),-∞

中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案

(1) 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程,其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({,且是一个周期为T 的函数,即0),()(≥=+τττB T B ,求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解:由定义,有: )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D (2) 试证明:如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程,且0)0(=X ,那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明:我们要证明: n t t t <<<≤? 210,有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有: } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此,我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知,当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时,增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立,由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下,即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知,在11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立,结果成立。 (3) 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值(00=W )的、有平稳增量和独立增量的过程, 且对每个0>t ,),(~2t N W t σμ,问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程,为什么? 解:任取n t t t <<<≤? 210,则有: n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-

随机过程习题答案A

随机过程习题解答(一) 第一讲作业: 1、设随机向量的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布。 (a)分别写出随机变量和的分布密度 (b)试问:与是否独立?说明理由。 解:(a) (b)由于: 因此是服从正态分布的二维随机向量,其协方差矩阵为: 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量,期望和方差分别为和。 (a)试求和的相关系数; (b)与能否不相关?能否有严格线性函数关系?若能,试分别写出条件。 解:(a)利用的独立性,由计算有: (b)当的时候,和线性相关,即 3、设是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数为 ,且是一个周期为T的函数,即,试求方差 函数。 解:由定义,有: 4、考察两个谐波随机信号和,其中:

式中和为正的常数;是内均匀分布的随机变量,是标准正态分布的随机变量。 (a)求的均值、方差和相关函数; (b)若与独立,求与Y的互相关函数。 解:(a) (b) 第二讲作业: P33/2.解: 其中为整数,为脉宽 从而有一维分布密度: P33/3.解:由周期性及三角关系,有: 反函数,因此有一维分布: P35/4. 解:(1) 其中 由题意可知,的联合概率密度为:

利用变换:,及雅克比行列式: 我们有的联合分布密度为: 因此有: 且V和相互独立独立。 (2)典型样本函数是一条正弦曲线。 (3)给定一时刻,由于独立、服从正态分布,因此也服从正态分布,且 所以。 (4)由于: 所以因此 当时, 当时, 由(1)中的结论,有: P36/7.证明: (1) (2) 由协方差函数的定义,有:

P37/10. 解:(1) 当i =j 时;否则 令 ,则有 第三讲作业: P111/7.解: (1)是齐次马氏链。经过次交换后,甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关,和之前的状态和交换次数无关。 (2)由题意,我们有一步转移矩阵: P111/8.解:(1)由马氏链的马氏性,我们有: (2)由齐次马氏链的性质,有: (2)

随机过程历史

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计(论文) 课程名称:应用随机过程 设计题目:随机过程历史 院系:计算机科学与技术学院 班级:计算机4班 设计者:徐立秋 学号: 11S003124 指导教师:田波平 设计时间: 2011-11至2011-12 哈尔滨工业大学

随机过程的历史 一随机过程概述 随机过程有一族无限多个随机变量组成的序列,是用来描绘一连串随机事件动态关系的序列。随机过程论与其他数学分支如位势论、微分方程、力学及复变函数论等有密切的联系,是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。随机过程论目前已得到广泛的应用,在诸如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。随机过程的概念很广泛,其研究几乎包括概率论的全部。 在客观世界中有些随机现象表示的是是事物随机变化的过程,不能用随机变量和速记矢量来描绘,需要用一族无限多个随机变量/矢量来描绘,这就是随机过程。 定义:设(Ω,F,P)是一个概率空间,T是一个实数集。{X(t ,w),t∈T, w ∈Ω}(是对应于t和w的函数)即为定义在T和Ω上的二元函数,若此函数对任意固定的t∈T,X(w, t)是任意(Ω,F,P)上的随机变量,则称{X(t ,w),t∈T, w∈Ω} 是随机过程(Stochastic Process)。 在研究随机过程时人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律,从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。 二随机过程发展简史 概率论的起源与博弈问题有关,而随机过程这一学科最早是起源于对物理学的研究,如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究,及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。气体分子运动时,由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度,其运动的过程是随机的。人们希望知道,运动的轨道有什么性质(是否连续、可微的等等)?分子从一点出发能达到某区域的概率有多大?如果有两类分子同时运动,由于扩散而互相渗透,那么扩散是如何进行的,要经过多久其混合才会变得均匀?又如,在一定时间内,放射性物质中有多少原子会分裂或转化?电话交换台将收到多少次呼唤?机器会出现多少次故障?物价如何波动?这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。 1900年,Bachelier首次将布朗运动用于股票价格的描述。

随机过程试题带答案

1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9.更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为 。 10.记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切,当时,t +a 。 二、证明题(本大题共4道小题,每题8分,共32分) P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 1.为it (e -1) e λ。2. 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。3. 1 λ 4. Γ 5. 212t,t,;e,e 33?????? 。 6.(n)n P P =。 7.(n) j i ij i I p (n)p p ∈=?∑。 8.6 18e - 9。()()()()0 t K t H t K t s dM s =+-? 10. a μ 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1

随机过程习题

2.设随机过程X(t)=Acos( t+),-

求(1){}X(t),t (,)∈-∞+∞的样本函数集合;(2)一维分布函数F(x;0),F(x;1)。 解:(1)样本函数集合为{}cos t,t ,t (-,+)π∈∞∞; (2)当t=0时,{}{}1 P X(0)=0P X(0)=12 == , 故0x<01F(x;0)=0x<12x 11???≤??≥??;同理0 x<-11F(x;1)=1x<12x 11 ??? -≤??≥?? 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为α,而今天无雨明天有雨的概率为β;规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态1。设 0.7,0.4αβ==,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。 解:由题设条件,得一步转移概率矩阵为00 011011p p 0.70.3P=p p 0.40.6???? =? ???? ???,于是(2) 0.610.39P PP=0.520.48??=????,四步转移概率矩阵为(4)(2)(2) 0.57490.4251P P P 0.56680.4332??==???? ,从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4) 00P 0.5749=。 4.一质点在1,2,3三个点上作随机游动,1和3是两个反射壁,当质点处于2时,下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵,判断此链是否具有遍历性,若有,求出极限分布。 解:一步转移概率矩阵010111P=333010????? ????? ?? , 111333 (2)271 199911133 3,????==?????? P P (2)ij p 由>0知,此链有遍历性;(),,ππππ123设极限分布=, 1 1

随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为: 试求:在时,求。 解: 当时,= = 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布: 试求的特征函数,并以此求其期望与方差。解:

所以: 2.1 袋中红球,每隔单位时间从袋中有一个白球,两个 任取一球后放回,对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ,其中 是常数,与是 相互独立的随机变量,服从区间上的均匀分布,服从瑞利分布,其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解:(1)

与无关 (2) , 所以 (3) 只与时间间隔有关,所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量,且,其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求:,.5)(5)(==U D U E .321)方差函数)协方差函数;()均值函数;(( 2.4是其中,设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量,且 数。试求它们的互协方差函 2.5, 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立

为多少? 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立,则1小时内平均有多少学生接受过体检?在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少(设学生非常多,医生不会空闲) 解:令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数,则()N t 为参数为30的poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 30 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ,2λ,当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发;2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来,求(1)1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式;(2)当1N =2N ,1λ=2λ时,计算上述概率。 解: 法一:(1)乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程,令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻,2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= --

(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项:学生必须将答题内容(包括填空题)做在试题答题纸上,做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号,班内序号! 一. 单项选择题和填空题:(每空3分,共30分) 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A (A )若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; (B )若A A B ∈?A,,则B ∈A ; (C )若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; (D )若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间,P 为定义在其上的有限可加测度,则下面正确的是 .c (A )若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-; (B )若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ,则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==; (C )若A B C ∈∈∈F,F,F,,则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++; (D )若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/,1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数,表达式为100 0()k A k f kI ω==∑,其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=,则fdP Ω=? ;

随机过程习题答案

1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程,且它们的均值分别为mx 和my ,它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。(1)求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数;(2)求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案: (1)[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== :独立的性质和利用 (2)[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质:)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数;(2)求输出信号的一维概率密度函数。 答案: (1) 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统,所以输出y(t)的功率谱密度函数为: ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换,就得到输出的自相关函数: ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压:y(t) 电压:x(t) 电流:i(t)

随机过程试题及答案

一.填空题(每空2分,共20分) 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),-

2017 2018期末随机过程试题及答案

《随机过程期末考试卷》 1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布,则X的特征函数为 ___________ 。 2?设随机过程X(t)二Acos(「t+「),-::vt<::其中「为正常数,A和门是相互独立的随机变量,且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布,则X(t)的数学期望为。 3?强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量,且服从均值为_ 的同一指数分布。 4?设「W n ,n 一1是与泊松过程:X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列,则W n服从分布。5?袋中放有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球,取后放回, r 对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3’如果t时取得红球,则这个随机过 e t, 如果t时取得白球 程的状态空间__________ 。 6 ?设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p j),n步转移矩阵P(n)=8(;)),二者之间的关系为。 7?设汉.,n -0?为马氏链,状态空间I,初始概率P i二P(X。二i),绝对概率 P j(n)二P^X n二j?,n步转移概率p j n),三者之间的关系为_____________ 。 8 .设{X(t),t 一0}是泊松过程,且对于任意t2t^ 0则 P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______ t 9?更新方程K t二H t ? .°K t-s dF s解的一般形式为__________________ 。10?记二-EX n,对一切a 一0,当t—一:时,M t+a -M t > ____________ 3.设]X n,n — 0?为马尔科夫链,状态空间为I,则对任意整数n—0,仁I

随机过程参考题

2014-2015随机过程参考题 一.判断题 1.若随机变量的特征函数存在,则可以用它来刻画随机变量的概率分布. ( ) 2.对于独立的随机变量1,,n X X ,都有[]11 n n k k k k E X E X ==??=????∏∏. ( ) 3.若12(,, )n F x x x 是随机向量1=, ,)n X X X (的联合分布函数,则它对每个变量都是 单调不减的. ( ) 4.一个随机过程的有限维分布具有对称性和相容性. ( ) 5.非齐次泊松过程一定具有独立增量性和平稳增量性. ( ) 6.参数为λ的泊松过程第n 次与第1n -次事件发生的时间间隔n X 服从参数为n 和n λ的Γ分布. ( ) 7.复合P o i s s o n 过 程一定是计数过程. ( ) 8.若随机变量X 服从周期为d 的格点分布,则对自然数n 总有{}0P X nd =>.( ) 9.设,i j 是离散时间马氏链的两个互通的状态,则它们的周期相等. ( ) 10.离散时间马尔科夫链的转移矩阵的行和列的和均为1 . ( ) 11.一个随机变量的分布函数和特征函数相互唯一确定. ( ) 12.对独立的随机变量1, ,n X X ,都有[]1 1n n k k k k Var X Var X ==??=????∑∏. ( ) 13.一个随机过程的有限维分布族一定是具有对称性和相容性的分布族。 ( ) 14.若一个随机过程的协方差函数,s t γ()只与时间差t s -有关,则它一定是宽平稳过 程. ( ) 15.参数为λ的泊松过程中,第n 次事件发生的时刻n T 服从参数为λ的指数分布.( ) 16.非齐次泊松过程不具有独立增量性,但具有平稳增量性. ( ) 17.更新过程在有限时间内最多只能发生有限次更新. ( ) 18.更新过程的更新函数()M t 是t 的单调不增函数. ( ) 19.马尔科夫链具有无后效性. ( ) 20.Poisson 过程是更新过程. ( ) 具有对称性和相容性的分布族一定是某个随机过程的有限维分布族。 ( ) 21.若一个随机过程是宽平稳的,则它一定是严平稳的。 ( )

随机过程复习试题及答案

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明:当12n 0t t t t <<< <<时, 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1

随机过程在经济学中的应用

随机过程在经济学的应用 一、随机过程概述 随机过程是由一组无限多个随机变量组成的序列,是用来描绘一连串随机事件动态关系的序列。随机过程论语其他数学分支如位势论、微分方程、力学及复变函数论邓有密切的关系,是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。随机过程论目前已得到广泛的应用,在诸多如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。随机过程的概念很广泛,其研究几乎包括概率论的全部。 在客观世界中有些随机现象表示的是事物随机变化的过程,不能用随机变量和速记矢量来描绘,需要用一族无限多个随见变量来描述,这就是随机过程。 定义:设(Ω,F,P)是一个概率空间,T是一个实数集。{X(t,w),t∈T,w∈Ω}即为定义在T和Ω上的二元函数,若此函数对任意固定的t∈T,X (w,t)是任意(Ω,F,P)上的随机变量,则称{X(t,w),t∈T,w∈Ω}是随机过程(Stochastic Process)。 在研究随机过程是人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律,从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。 二、随机过程发展简史 概率论的起源与博弈问题有关,而随机过程这一学科最早是起源于对物理学的研究,如布吉斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究,及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。气体分子运动是,由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度,其运动的过程是随机的。人们希望知道,运动的轨道有什么性质(能否连续、可微的等等);分子从一点出发能达到某区域的概率有多大;如果有两类分子同时运动,由于扩散而互相渗透,那么扩散是如何进行的,要经过多久其混合才会变得均匀......这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。 1900年,Bachelier首次将布朗运动用与股票价格的描述。随后公式化概率论首先使得随机过程的研究获得了新的起点,他是作为随机变化的偶然量的数学模型,是线代概率论研究的主要论题。 1907年前后,A.A.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量,后人称之为马尔可夫链。这是一种无后效性随机过程,即在当前状态下,过程未来状态与其过去状态无关。 1923年,N.维纳给出了布朗运动的数学定义(后人也称数学上的布朗运动为维纳过程),这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此,随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代,维纳还在时间序列和滤波理论的建立做出了贡献。

通信原理期末考试试题及答案-(1).doc

通信原理期末考试试题及答案 一、填空题(总分24 ,共 12 小题,每空 1 分) 1、数字通信系统的有效性用传输频带利用率衡量,可靠性用差错率衡量。 2、模拟信号是指信号的参量可连续取值的信号,数字信号是指信号的参量可离 散取值的信号。 3、广义平均随机过程的数学期望、方差与时间无关,自相关函数只与时间间隔有 关。 4、一个均值为零方差为n2的窄带平稳高斯过程,其包络的一维分布服从瑞利分布, 相位的一维分布服从均匀分布。 5 、当无信号时,加性噪声是否存在?是乘性噪声是否存在?否。 6 、信道容量是指:信道传输信息的速率的最大值,香农公式可表示为: C B log 2 (1S ) 。 N 7、设调制信号为 f(t)载波为cos c t,则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为 f (t) cos c t,频域表达式为1 [ F ( c ) F ( c )]。2 8、对最高频率为 f H的调制信号 m (t )分别进行 AM 、DSB 、SSB 调制,相应已调 信号的带宽分别为2f H、2f H、 f H。 9、设系统带宽为W ,则该系统无码间干扰时最高传码率为2W波特。 10 、PSK 是用码元载波的相位来传输信息, DSP 是用前后码元载波的相位差来传 输信息,它可克服PSK 的相位模糊缺点。 11 、在数字通信中,产生误码的因素有两个:一是由传输特性不良引起的码间串 扰,二是传输中叠加的加性噪声。 12 、非均匀量化的对数压缩特性采用折线近似时, A 律对数压缩特性采用13折线 近似,律对数压缩特性采用15折线近似。

二、简答题(总分18 ,共 4 小题) 1 、随参信道传输媒质的特点?( 3 分) 答:对信号的衰耗随时间变化、传输的时延随时间变化、多径传播 2、简述脉冲编码调制的主要过程。(6 分) 抽样是把时间连续、幅值连续的信号变换为时间离散,幅值连续的脉冲信号;量化是 把时间离散、幅值连续的脉冲信号变换为幅值离散、时间离散的多电平脉冲信号;编 码是把幅值、时间均离散的多电平脉冲信号用一组数字序列表示。 3 、简单叙述眼图和系统性能之间的关系?( 6 分) 最佳抽样时刻对应眼睛张开最大时刻;对定时误差的灵敏度有眼图斜边的斜率决定;图的阴影区的垂直高度,表示信号幅度畸变范围;图中央横轴位置对应判决门 限电平;抽样时刻上,上下阴影区的间隔距离之半为噪声容限。 4、简述低通抽样定理。( 3 分) 一个频带限制在( 0,f H)内的时间连续信号m(t) ,如果以T 1 2 f H的时间 间隔对它进行等间隔抽样,则m(t) 将被所得到的抽样值完全确定 2 、设信息序列为 100000000001100001 ,试编为 AMI 码和 HDB 3 码(第一个非零码编 为 +1 ),并画出相应波形。(6 分) 100000000001100001 AMI+10000000000-1+10000-1 HDB3 +1 0 0 0+V-B 0 0-V 0 0+1-1+B 0 0+V-1 +1 0 0 0+1-1 0 0-1 0 0+1-1+1 0 0+1-1 AMI HDB3

2017-2018期末随机过程试题及答案

《随机过程期末考试卷》 1.设随机变量X 服从参数为的泊松分布,则X 的特征函数为 。λ2.设随机过程 其中为正常数,和是相互X(t)=Acos( t+),-t t {(5)6|(3)4}______ P X X ===9.更新方程解的一般形式为 。 ()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?10.记 。 ()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞ -→一一一一一一一t +a 得 分评卷 人 二、证明题(本大题共4道小题,每题8分,共32分) 1.设为三个随机事件,证明条件概率的乘法公式: A,B,C 。 P(BC A )=P(B A )P(C AB)2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设为马尔科夫链,状态空间为,则对任意整数和 {}n X ,n 0≥I n 0,1

随机过程复习题(含答案)

随机过程复习题 一、填空题: 1.对于随机变量序列}{n X 和常数a ,若对于任意0>ε,有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ,则称}{n X 依概率收敛于a 。 2.设}),({0≥t t X 是泊松过程,且对于任意0 12 ≥>t t , ,则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3.已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ,初始分布为),,(4 1 2141, ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ,则167)2(12 =P ,16 1}2,2,1{210= ===X X X P

???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4.强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5.已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R , )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ,若)()()(ττX R t X t X >=+<,以概率1成立,则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ,则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2

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