《2.3.2等比数列前n 项和》导学案(探究)
命题人:徐德鑫、唐海艳、齐国栋 使用时间:2012-9-26
一、 课前新知初探:
(一)学习目标
1、 理解并掌握等比数列的前n 项和的公式及其推导过程,能够应用等比数列的前n 项和公
式解决有关等比数列的实际问题.
2、 熟练掌握等比数列的五个基本量n n s a n d a ,,,,1之间的联系,能够由其中的三个求另外
的两个.
3、 进一步熟悉由数列的前n 项和n s 求通项n a 的方法.
(二)学习重点、难点
重点:等比数列前n 项和公式的推导、特点、应用
难点:公式的推导及灵活应用
(三)自主预习
1、引例
在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印度国王大为赞赏,对他说:
我可以满足你的任何要求.西萨说:请给我棋盘的64个方格上,第一格放1粒小麦,第二格放2粒,第三格放4粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第64格.国王令宫廷数学家计算,结果出来后,国王大吃一惊.为什么呢?
问题1:同学们,你们知道西萨要的是多少粒小麦吗?用式子表示
2、等比数列前n 项和公式
问题2:特例:1,2,22,…,263是什么数列?有何特征?
2631222++++ 应归结为什么数学问题呢?如何求得结果?
设263641222S =++++ (1)
(1)式两边都乘以2得到: (2)
(1)与(2)有什么联系?联立能否解得64S ?如何解?为什么?
思考:为什么乘以2?试着在下边写出过程、结果。
注:这个方法称为乘公比错位相减法 。
班级姓名学号
公式推导:(依据上例,自己完成)
一般的,对于等比数列{}n a,首项1a,公比q,则前n项和n S如何求得?
结论:等比数列前n项和公式:
n
S= ,结合等比数列通项公
式,试用
1,,
n
a q a表示
n
S=
注意:(1)公比为1与公比不为1时公式不同,若公比为字母要注意分类讨论。
(2)等比数列前n项和公式涉及到
1,,,,
n n
a q a n S五个量,已知其中3个,可以求另外的两个。
二课堂互动探究
(一)课堂提问
1、等比数列定义
2、通项公式
3、等比中项
(二)典例剖析
例1 等比数列{}n a的公比
1
,
2
q=
10
1,
a=求前10项的和。
例2 求和9999999999n ++++
个9
变式练习:3
3333333333n ++++
个
例3 某工厂去年1月份的产值为m 元,月平均增长率p (p>0),求这个工厂去年全年产值
的总和。
(三)课堂小结
(1)等比数列前n 项和公式的推导方法、特点、应用
(2)类比,从特殊到一般的思想方法的运用
三.课堂检测:
1、根据下列各题中的条件,求相应的等比数列{}n a 的前n 项和n S :
(1)13,2,6;a q n === (2)1118,,;22
n a q a ==
=
2、(1)求等比数列
11,,1,42
- 从第6项到第10项的和; (2)求等比数列333,,,248 从第3项到第7项的和。
3、计算(1)2(1)(2)()n
a a a n -+-++- ;(2)0.90.990.9990.9999n ++++
.
4、等比数列的首项为-1,前n 项和为n S ,如果
1053132
S S =,求8S .
思考探究:
5、已知数列{}n a 是公比不为-1的等比数列,n S 是其前n 项和,试问 23243,,,,n n n n n n n S S S S S S S --- 成等比数列吗?证明你的结论。
变式练习:在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若5S =10,10S =30,求15S
6、“一尺之锤,日取其半,万事不竭”。你怎样用学过的知识来说明它?
- 等比数列及前n 项和练习题1 一、选择题 1、32+和32-的等比中项是 ( ) A. 1 B. 1- C. 1± D. 2 2、在等比数列{}n a 中,已知30,341515=-=+a a a a ,则3a = ( ) A. 8 B. -8 C. 8± D. 16 3、等比数列{}n a 中,72=S ,916=S ,则4S 等于( ) A. 28 B. 28或21- C. 21- D. 49 ] 5、在等比数列{}n a 中,55,551==S a ,则公比q 等于 ( ) A. 4 B. 2 C. 2- D. 2-或4 6、已知等比数列}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =225a ,2a =1,则1a = A. 21 B. 2 2 C. 2 7、已知数列{n a }为等比数列,n S 是它的前n 项和,若2· a a 31=2a ,且4a 与72a 的等差中项为54 ,则S 5= A .35 B .33 C .31 D .29 8、已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列,则a 2等于 ( ) ^ (A )-4 (B )-6 (C )-8 (D )-10 9、等比数列{}n a 中,===+q a a a a 则,8,63232( ) A .2 B .2 1 C .2或2 1 D .-2或2 1- 10、在等比数列{a n }中,S 4=1,S 8=3,则a 17+a 18+a 19+a 20的值是( ) A 、14 B 、16 C 、18 D 、20 二、填空题: 11、已知在等比数列{}n a 中,各项均为正数,且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a 12、在等比数列{}n a 中,已知,2,1654321-=++=++a a a a a a 则该数列
§3.2等比数列前n项和教学设计 一、教材分析 1、教学内容:《等比数列的前n项和》是高中数学北师大版《必修5》第一章《数列》第3节的内容,教学大纲安排本节内容授课时间为两课时,本节课作为第一课时,重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用. 2、教材分析:《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看,它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.就内容的人文价值来看,等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、证明,这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体. 二、学情分析 1、知识基础:前几节课学生已学习了等差数列求和,等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. 2、认知水平与能力:高二学生初步具有自主探究的能力,能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题,但从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导.不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q=1这一特殊情况,学生也往往容易忽略,尤其是在后面使用的过程中容易出错. 3、任教班级学生特点:我班学生基础知识还行、思维较活跃,应该能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题. 三、目标分析 教学目标 依据教学大纲的教学要求,渗透新课标理念,并结合以上学情分析,我制定了如下教学目标: 1.知识与技能 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程,掌握公式的特点,并在此基础上能简单的应用公式. 2.过程与方法
等比数列及其前n 项和 [考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系. 【知识通关】 1.等比数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用 字母q 表示,定义的数学表达式为a n +1a n =q (n ∈N *,q 为非零常数). (2)等比中项:如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项?a ,G ,b 成等比数列?G 2=ab . 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1q n -1=a m q n -m . (2)前n 项和公式: S n =??? na 1(q = 1),a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q (q ≠1). [常用结论] 1.在等比数列{a n }中,若m +n =p +q =2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *),则a m ·a n =a p ·a q =a 2k . 2.若数列{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),???? ??1a n ,{a 2n },{a n ·b n },???? ??a n b n 仍然是等比数列. 3.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n ,其中当公比为-1时,n 为偶数时除外. 【基础自测】 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)满足a n +1=qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( ) (2)G 为a ,b 的等比中项?G 2=ab .( ) (3)若{a n }为等比数列,b n =a 2n -1+a 2n ,则数列{b n }也是等比数列.( )
高二数学学案 序号025 高二年级 14班 教师王鸿斌 学生 课 题:等比数列(3)前n 项和 学习目标:1. 等比数列前n 项和公式及错位相减法. 2. 等比数列前n 项和公应用,熟练解决“1,,,,n n a n q a s 知三求二”问题渗透方程思想。 学习重点:等比数列求和及求和公式应用. 学习难点:错位相减法 教学过程: 一.复习回顾 1.等比数列的定义式、递推式、通项式、中项式及其性质 2.等差数列的前n 项和公式及性质 二.新课导学 1. 等比数列的前n 项和公式 设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ,公比为q ≠0, 则22111111n n n n S a a q a q a q a q qS --?=++++??=?? (1)n q S ∴-= 当1q ≠时,n S = ① 或n S = ② 当q =1时,n S = 等比数列的前n 项和公式:11,1,1(1)1n n na q S q a q q ------------=??=≠-?=?-?(或)1,11,11≠?? ???--==q q q a a q na S n n 2. 等比数列的前n 项和性质:等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别是n S ,2n S ,3n S , n S ,2n n S S -,32n n S S - 也成等比数列.(等比数列间隔相等的等长片段和仍为等比数列) 三.典型例题 例1:求3463124222++++++ 的和 练习1: 等比数列中 ①已知1441,64,.a a q S =-=求及 ②已知33139,.22a S a q ==,求及 ③0,2431 ,2791<==q a a ,求其前8项的和。 ④已知1912,,833 n a a q ===,求n 例2:某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年的售价比上一年增加10%,那么从第一年 起,约几年内可使总销售量达到30000台? 四、学习小结: 1.等比数列前n 项和公式及错位相减法 2.熟练解决“1,,,,n n a n q a s 知三求二”问题
高中数学《等比数列的前n项和(第一课时)》教学设计 一.教材分析。 (1教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5,是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思 维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. (3情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。 四.重点,难点分析。 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。 五.教法与学法分析. 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话:还课堂以生命力,还学生以活力。 六.课堂设计
课时教案
一、复习提问 回顾等比数列定义,通项公式 (1)等比数列定义:(, (2)等比数列通项公式: (3)等差数列前n项和公式的推导方法:倒序相加法。二、问题引入: 阅读:课本“国王赏麦的故事”。 问题:如何计算 引出课题:等比数列的前n项和。 三、问题探讨: 问题:如何求等比数列的前n项和公式 回顾:等差数列的前n项和公式的推导方法。 倒序相加法。 等差数列它的前n项和是 根据等差数列的定义 (1) (2) (1)+(2)得:
探究:等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导? 学生讨论分析,得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾:等差数列前n项和公式的推导方法本质。 构造相同项,化繁为简。 探究:等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导? 根据等比数列的定义: 变形: 具体: …… 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式,学生不难发现:由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前n项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。 (1) (2) 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。
当q=1时, 当时, 学生经过讨论还发现了其他的推导方法,让学生课后整合自己的思路,将各自的推导过程展示在班级学习园地,同学们共享探究。 由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形 式: 当时, 四.知识整合: 1.等比数列的前n项和公式: 当q=1时, 当时, 2.公式特征: ⑴等比数列求和时,应考虑与两种情况。 ⑵当时,等比数列前n项和公式有两种形式,分别都 涉及四个量,四个量中“知三求一”。 ⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量, , 五个量中“知三求二”(方程思想)。 3.等比数列前n项和公式推导方法:错位相减法。
等比数列前n 项和的性质导学案 知识目标:掌握等比数列前n 项和的性质,灵活的应用等比数列前n 项和公式的性质解决问题。 方法与过程:通过自主探究的方式,培养学生团队精神,勇于探索的精神。 教学过程: 复习: 1、 等比数列前n 项和公式: (1) (2) 2.数学思想: 课前练习: 1.数列()项和的前n a a a a n 13 2............,,,1- a a A n --11. B a a n --+111 C a a n ---111 D.以上答案都不对。 2.求和()() )(.......212n a a a n -++-+- 新课探究: 探究一: 性质1。数列{}n a 的前n 项和A Aq S n n -=()1,0,0≠≠≠q q A 探究{}n a 是否为等比数 列。 例题1:若等比数列{}n a 的前n 项和,4a S n n +=求a 的值。 变式:若等比数列{}n a 的前n 项和13-=n n S +a 2,求a 的值。 探究二: 我们知道,等差数列有这样的性质: 数列{}n a 是等差数列,则K K K K K S S S S S 232,,--................也成等差数列; 则新的等差数列的首项是K S ,公差为d k 2 。 那么,在等比数列中,也有类似的性质吗? 等比数列前n 项和的性质二: 数列{}n a 是等比数列,则K K K K K S S S S S 232,,--...............是否也构成成等比数列; 则新的等比数列的首项是K S ,公比( ) 例题2 :已知等比数列{}n a 中,前10项和10S =10,前20项和20S =30,求30S 变式训练: 1. 等比数列{}n a 10S =20,20S =80,求30S =?.
等比数列及其前n 项和(作业) 例1: 已知等比数列{}n a 中,各项都是正数,且1a ,31 2 a ,22a 成等差数列,则 910 78 a a a a +=+( ) A .1 B .1 C .3+D .3- 【思路分析】 设公比为q ,则0q >,21a a q =,231a a q =, ∵1a ,31 2 a ,22a 成等差数列, ∴3122a a a =+,即21112a q a a q =+, 解得1q =+ 1, ∴22910787878()3a a a a q q a a a a ++===+++. 故选C . 例2: 若等比数列 {} n a 中,25112a a a ++=,58146a a a ++=,那么 2581114a a a a a ++++的值为( ) A .8 B .9 C .242 31 D . 240 41 【思路分析】 设公比为q ,则335814251125112511() a a a q a a a q a a a a a a ++++==++++,即33q =, ∴38553a a q a ==,9145527a a q a ==, 由58146a a a ++=,得5553276a a a ++=,解得56 31 a = , ∴2581114251158145242 ()()31 a a a a a a a a a a a a ++++=+++++-=. 故选C . 例3: 设{}n a 为等比数列,{}n b 为等差数列,且10b =,n n n c a b =+,若数列{} n c
的前三项为1,1,2,则{}n a 的前10项之和是 ( ) A .978 B .557 C .467 D .1 023 【思路分析】 设数列{}n a 的公比为q ,设数列{}n b 的公差为d , ∵10b =,11c =, ∴11a =, 则2a q =,23a q =,2b d =,32b d =, ∵21c =,32c =, ∴2122q d q d +=??+=? ,解得21q d =??=-?, ∴数列{}n a 的前10项之和10110(1) 1 0231a q S q -= =-.故选D . 1. 在等比数列{}n a 中,已知332a = ,前三项和39 2 S =,则公比q =( )
等比数列的前n项和 (第一课时) 一.教材分析。 (1)教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5),是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2)从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1)学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2)教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3)从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1)知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2)过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维
等比数列的前n项和例题详细解法?例题解析 【例1】设等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),前n项和为80,其中 最大的一项为54,又它的前2n项和为6560,求a和q. 解:由S n=80,S2n=6560,故q≠1 ∵a>0,q>1,等比数列为递增数列,故前n项中最大项为an. ∴a n=aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q-1 ⑤ 由⑤,⑥联立方程组解得a=2,q=3 证∵Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1q n-1 S2n=S n+(a1q n+a1q n+1+...+a1q2n-1)
=S n+q n(a1+a1q+...+a1q n-1)=S n+q n S n=S n(1+q n) 类似地,可得S3n=S n(1+q n+q2n) 说明本题直接运用前n项和公式去解,也很容易.上边的解法,灵活地处理了S2n、S3n与S n的关系.介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键,并且变得好,则解法巧. 【例2】一个有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数. 分析设等比数列为{a n},公比为q,取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列,公比为q2,首项分别为a1,a1q. 解设项数为2n(n∈N*),因为a1=1,由已知可得q≠1. 即公比为2,项数为8. 说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时,对公比q要分情况讨论.有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程,可采用两式相除的方法达到降次的目的.
6.3等比数列及其前n 项和 考情分析 高考中主要在选择题、填空题中考查等比数列的定义、基本运算和性质,在解 答题中多与等差数列、函数、不等式等综合考考查 基础知识 1、等比数列的判定:(1)定义法:*1()n n a q q n N a +=∈为非零常数,(2)等比中项法:2*11(0,2)n n n n a a a a n N n -+=≠∈≥且(3)通项公式法:*(,)n n a cq c q n N =∈均为非零常数,(4)1()1n n a S kq k k q =-=≠≠-是常数且q 0且q 1 (5)若{},{}n n a b 均为等比数列,n S 为{}n a 的前n 项和,则1{}(0),{||}{}{()}{}k n n n n n n ka k a ma b a a ≠;;;公比不为1的等比数列由相邻两项的差213243{,,}a a a a a a ---,相邻k 项和232{,,}k k k k k S S S S S --仍是等比;由原等比数列中相隔k 项的项从新组成的数列仍等比 2、等比数列的性质 (1)通项公式:①11n n a a q -=②n m n m a q a -= (2)前n 项和公式:111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? (3)下脚标性质:若m+n=p+q ,则m n p q a a a a = (4)两个常用技巧:若三个数成等比通常设成,,a a aq q ,若四个数成等比通常设成33,,,a a aq aq q q ,方便计算 注意事项