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正确发声四点【记住】

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提颧肌: 颧肌用力向上提起时,有口腔前上部展宽、鼻孔少许张大、上唇贴紧牙齿的感觉。这样做,使唇的运动有了依托,可以提高声音的亮度和字音的清晰度

打牙关: 将手放在耳根处,当牙关打开后手指会陷下去。

挺软腭: 想象嘴里有一根竖着的牙签,如果软腭不挺起,便会扎到上腭

松下巴: 想象自己嘴里含了一块冰,整个腮帮子都使不上力了,这时候会很容易体会到下巴放松的感觉。

以上是正确的发声方式以及感觉,并且这四种是同步进行的

初中数学竞赛——圆4.四点共圆

第1讲 四点共圆 典型例题 一. 基础练习 【例1】 如图,P 为ABC △内一点,D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上.已知P 、D 、C 、E 四 点共圆,P 、E 、A 、F 四点共圆,求证:B 、D 、P 、F 四点共圆. 【例2】 如图7-55,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,过B 、C 两点作一圆,AB 、CD 的延长线交该圆于点 E 、 F .求证:A 、D 、E 、F 四点共圆. 【例3】 如图,⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点,P 是BA 延长线上一点,割线PCD 交⊙1O 于C 、D , 割线PEF 交⊙2O 于E 、F ,求证:C 、D 、E 、F 四点共圆. P E C B A D F P F D C B A E

【例4】 如图7-56,在△ABC 中,AD =AE ,BE 与CD 交于点P ,DP =EP ,求证:B 、C 、E 、D 四点共 圆. 【例5】 如图,已知ABC △是⊙O 的内接三角形,⊙O 的直径BD 交AC 于E ,AF BD ⊥于F ,延长 AF 交BC 于G ,求证:2AB BG BC =?. 【例6】 如图7-63,在ABCD □的对角线上,任取一点P ,过点P 作AB 、CD 的公垂线EG ,又作AD 、 BC 的公垂线FM .求证:EF //GM . 【例7】 如图7-66,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,DE ⊥AC ,AF ⊥BD ,点E 、F 是垂足.求证: EF //BC . O G F E C D B A

【例8】 如图7-60,已知△ABC ,AB 、AC 的垂直平分线交AC 、AB 的延长线于点F 、E .求证:E 、F 、 C 、B 四点共圆. 【例9】 如图,已知:60ABD ACD ∠=∠=o , 1 902 ADB BDC ∠=∠-∠o .求证:ABC △是等腰三角形. 二. 综合提高 【例10】 如图7-61,在⊙O 中,AB ∥CD ,点P 是AB 的中点,CP 的延长线交⊙O 于点F ,又点E 为弧 BD 上任一点,连EF 交AB 于点G .求证:P 、G 、E 、D 四点共圆. 【例11】 如图7-62,在△ABC 中,∠BAC 为直角,AB =AC ,BM =MC ,过M 、C 任作一圆,与AC 交于 点E ,BE 与圆交于F 点,求证:AF ⊥BE . C D B A

四点共圆的判定和性质

四点共圆的判定和性质 四点共圆的定义:如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”. 证明四点共圆有下述一些基本方法: 方法1:从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆上,若能证明这一点,即可肯定这四点共圆. 方法2:把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形,若能证明其两顶角为直角,从而即可肯定这四个点共圆. 方法3:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点. 方法4:把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆. 方法5:把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段,若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等,即可肯定这四点共圆;或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段,若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积,即可肯定这四点也共圆. 方法6:证被证共圆的点到某一定点的距离都相等,从而确定它们共圆. 上述六种基本方法中的每一种的根据,就是产生四点共圆的一种原因,因此当要求证四点共圆的问题时,首先就要根据命题的条件,并结合图形的特点,在这六种基本方法中选择一种证法,给予证明. 判定与性质: 圆内接四边形的对角和为180度,并且任何一个外角都等于它的内对角。 如四边形ABCD内接于圆O,延长AB至E,AC、BD交于P,则A+C=180度,B+D=180° ∠ABC=∠ADC(同弧所对的圆周角相等) ∠CBE=∠D(外角等于内对角) △ABP∽△DCP(三个内角对应相等) AP×CP=BP×DP(相交弦定理) AB×CD+AD×CB=AC×BD(托勒密定理) 托勒密定理及证明: 如图,四边形ABCD内接于圆O,那么AB*CD+AD*BC=AC*BD 证明:作∠BAE=∠CAD,交BD于点E ∵∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD ∴△ABE∽△ACD ∴AB:AC=BE:CD ∴AB×CD=AC×BE ∵∠BAC=∠EAD,∠ACB=∠ADE ∴△ABC∽△AED ∴BC:DE=AC:AD ∴BC×AD=AC×DE ∴AB×CD+BC×AD=AC×BE+AC×DE=AC(BE+DE)=AC×BD

初中数学竞赛:共圆点问题

初中数学竞赛:共圆点问题 同在一个圆上的许多点称为共圆点,或者说这些点共圆.证明这些点共圆常常利用以下一些方法思考: (1)要证明若干点共圆,先设法发现其中以某两点为端点的线段恰为一直径,然后证明其他点对这条线段的视角均为直角. (2)要证明四点共圆,可证明以这点为顶点的四边形的对角互补,或证某两点视另两点所连线段的视角相等. (3)如果两线段AB,CD相交于E点,且AE·EB=CE·ED,则A,B,C,D四点共圆. (4)若相交直线PA,PB上各有一点C,D,且PA·PC=PB·PD,则A,B,C,D四点共圆. (5)若四边形一个外角等于其内对角,则四边形的四顶点共圆. (6)要证明若干点共圆,先证其中四点共圆,然后再证其余点都在此圆上. 共圆点问题不但是几何中的重要问题,而且也是直线形和圆之间度量关系或位置关系相互转化的媒介. 例1 设⊙O1,⊙O2,⊙O3两两外切,Y是⊙O1,⊙O2的切点,R,S分别是⊙O1,⊙O2与⊙O3的切点,连心线O1O2交⊙O1于P,交⊙O2于Q.求证:P,Q,R,S四点共圆.分析如图3-54,连YR,则∠PRY=90°,所以∠PRS为钝角,设法证明∠Q与∠PRS互补,则P,R,S,Q共圆. 证连RY,PR,RS,SQ,并作切线RX,则在四边形PRSQ中, 所以 所以P,Q,R,S四点共圆.

例2 设△ADE内接于圆O,弦BC分别交AD,AE边于F,G, 分析欲证F,D,E,G四点共圆,由于已知条件中交弦较多,因此,用圆幂定理的逆定理,若能证出AF·AD=AG·AE成立,则F,D,E,G必共圆. 径,所以∠FDN=∠FMN=90°, 所以F,D,N,M四点共圆,所以 AD·AF=AN·AM. 同理,AG·AE=AN·AM,所以 AD·AF=AG·AE, 所以F,D,E,G四点共圆. 例3 在锐角△ABC中,BD,CE是它的两条高线,分别过B,C引直线DE的垂线,BF⊥DE于F,CG⊥DE于G,求证:EF=DG(图3-56). 分析由已知,四边形BCGF为直角梯形,FG为一腰,要证EF=DG,易想,若OH为梯形中位线,则OH⊥FG于H,如果证得EH=HD,则FE=DG便是显然的了. 证过BC中点O,作OH⊥DE于H.因为BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,所以

最新整理初三数学数学竞赛平面几何讲座:四点共圆问题.docx

最新整理初三数学教案数学竞赛平面几何讲座:四点 共圆问题 第四讲四点共圆问题 “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现,这类问题一般有两种形式:一是以“四点共圆”作为证题的目的,二是以“四点共圆”作为解题的手段,为解决其他问题铺平道路. 1“四点共圆”作为证题目的 例1.给出锐角△ABC,以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M,N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P,Q.求证:M,N,P,Q四点共圆. 分析:设PQ,MN交于K点,连接AP,AM. 欲证M,N,P,Q四点共圆,须证 MK KN=PK KQ, 即证(MC′-KC′)(MC′+KC′) =(PB′-KB′) (PB′+KB′) 或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2.① 不难证明AP=AM,从而有 AB′2+PB′2=AC′2+MC′2. 故MC′2-PB′2=AB′2-AC′2 =(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2) =KC′2-KB′2.② 由②即得①,命题得证. 例2.A、B、C三点共线,O点在直线外,

O1,O2,O3分别为△OAB,△OBC, △OCA的外心.求证:O,O1,O2, O3四点共圆. 分析:作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OB,O1O3垂直平分OA.观察△OBC及其外接圆,立得∠OO2O1=∠OO2B=∠OCB.观察△OCA及其外接圆,立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA. 由∠OO2O1=∠OO3O1O,O1,O2,O3共圆. 利用对角互补,也可证明O,O1,O2,O3四点共圆,请同学自证. 2以“四点共圆”作为解题手段 这种情况不仅题目多,而且结论变幻莫测,可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等 例3.在梯形ABCD中,AB∥DC,AB>CD,K,M分别在AD,BC上,∠DAM=∠CBK. 求证:∠DMA=∠CKB. 分析:易知A,B,M,K四点共圆.连接KM, 有∠DAB=∠CMK.∵∠DAB+∠ADC =180°, ∴∠CMK+∠KDC=180°. 故C,D,K,M四点共圆∠CMD=∠DKC. 但已证∠AMB=∠BKA, ∴∠DMA=∠CKB. (2)证线垂直 例4.⊙O过△ABC顶点A,C,且与AB,

四点共圆例题及答案

证明四点共圆的基本方法 证明四点共圆有下述一些基本方法: 方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆上,若能证明这一点,即可肯定这四点共圆. 方法2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆.(若能证明其两顶角为直角,即可肯定这四个点共圆,且斜边上两点连线为该圆直径。) 方法3 把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆. 方法4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段,若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等,即可肯定这四点共圆;或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段,若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积,即可肯定这四点也共圆.(根据托勒密定理的逆定理) 方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等,从而确定它们共圆. 上述五种基本方法中的每一种的根据,就是产生四点共圆的一种原因,因此当要求证四点共圆的问题时,首先就要根据命题的条件,并结合图形的特点,在这五种基本方法中选择一种证法,给予证明. 例1 如图,E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点.求证:E、F、G、H 四点共圆. 证明菱形ABCD的对角线AC和 BD相交于点O,连接OE、OF、OG、OH. ∵AC和BD 互相垂直, ∴在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、 Rt△DOA中,E、F、G、H,分别是AB、 BC、CD、DA的中点,

即E、F、G、H四点共圆. (2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角),则四点共圆. 例2 如图,在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC. 求证:B、E、F、C四点共圆. 证明∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠AED+∠AFD=180°, 即A、E、D、F四点共圆, ∠AEF=∠ADF. 又∵AD⊥BC,∠ADF+∠CDF=90°, ∠CDF+∠FCD=90°, ∠ADF=∠FCD. ∴∠AEF=∠FCD, ∠BEF+∠FCB=180°, 即B、E、F、C四点共圆. (3)若两个三角形有一条公共边,这条边所对的角相等,并且在公共边的同侧,那么这两个三角形有公共的外接圆. 【例1】在圆内接四边形ABCD中,∠A-∠C=12°,且∠A∶∠B=2∶3.求∠A、∠B、∠C、∠D的度数. 解∵四边形ABCD内接于圆,

高二数学讲义四点共圆

高二数学竞赛班二试平面几何讲义 第五讲 四点共圆(一) 班级 姓名 一、知识要点: 1. 判定“四点共圆”的方法: (1)若对角互补,则四点共圆; (2)若线段同一侧的两点对线段的张角相等,则四点共圆; (3)圆的割线定理成立,则四点共圆; (4)圆的相交弦定理成立,则四点共圆; 2. “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现,这类问题一般有两种形式:一是以“四点共圆”作为证题的目的,二是以“四点共圆”作为解题的手段,为解决其他问题铺平道路. 二、例题精析: 例1. 在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AB >CD ,K ,M 分别在AD ,BC 上,∠DAM =∠CBK. 求证:∠DMA =∠CKB. (第二届袓冲之杯初中竞赛) A B C D K M ··

例2.给出锐角△ABC,以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M,N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P,Q.求证:M,N,P,Q 四点共圆. (第19届美国数学奥林匹克) 例3.A、B、C三点共线,O点在直线外,O1,O2,O3分别为△OAB,△OBC, △OCA的外心.求证:O,O1,O2, O3四点共圆. (第27届莫斯科数学奥林匹克) A B C K M N P Q B′ C′ A B C O O O O 1 2 3 ? ?

三、精选习题: 1.⊙O1交⊙O2于A,B两点,射线O1A交⊙O2于C点,射线O2A 交⊙O1于D点.求证:点A是△BCD的内心. 2.△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1,A2;同样得到B1,B2,C1,C2.求证:A1A2=B1B2=C1C2.

中考复习:四点共圆问题

第四讲 四点共圆问题 “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现,这类问题一般有两种形式:一是以“四点共圆”作为证题的目的,二是以“四点共圆”作为解题的手段,为解决其他问题铺平道路. 1 “四点共圆”作为证题目的 例1.给出锐角△ABC ,以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M , N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ,Q .求证:M ,N ,P ,Q 四点共圆. 分析:设PQ ,MN 交于K 点,连接AP ,AM . 欲证M ,N ,P ,Q 四点共圆,须证 MK ·KN =PK ·KQ , 即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) =(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′) 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ① 不难证明 AP =AM ,从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2 =(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2) =KC ′2-KB ′2. ② 由②即得①,命题得证. 例2.A 、B 、C 三点共线,O 点在直线外, O 1,O 2,O 3分别为△OAB ,△OBC , △OCA 的外心.求证:O ,O 1,O 2, O 3四点共圆. 分析:作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ,O 1O 3垂直平分OA .观察△OBC 及其外接圆,立得∠OO 2O 1=2 1∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆,立得∠OO 3O 1=2 1∠OO 3A =∠OCA . 由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1?O ,O 1,O 2,O 3共圆. 利用对角互补,也可证明O ,O 1,O 2,O 3四点共圆,请同学自证. 2 以“四点共圆”作为解题手段 这种情况不仅题目多,而且结论变幻莫测,可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等 例3.在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AB >CD ,K ,M 分别在AD ,BC 上,∠DAM =∠CBK . 求证:∠DMA =∠CKB . 分析:易知A ,B ,M ,K 四点共圆.连接KM , 有∠DAB =∠CMK .∵∠DAB +∠ADC =180°, ∴∠CMK +∠KDC =180°. 故C ,D ,K ,M 四点共圆?∠CMD =∠DKC . A B C K M N P Q B ′C ′A B C O O O O 123??A B C D K M ··

四点共圆问题-(数学竞赛)

P 四点共圆问题 四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具,四点共圆这类问题一般有以下两种形式: (1) 证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆; (2) 通过某四点共圆得到一些重要结论,进而解决问题 下面给出与四点共圆有关的一些基本知识 (1) 若干个点与某定点的距离相等,则这些点在一个圆上; (2) 在若干个点中有两点,其他点对这两点所成线段的视角均为直角,则这些点共圆; (3) 若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角,则这四点共圆; (4) 若点C 、D 在线段AB 的同侧,且ACB ADB ∠=∠,则A B C D 、、、四点共圆; (5) 若线段AB CD 、交于E 点,且AE EB CE ED =g g ,则A B C D 、、、四点共圆; (6) 若相交线段PA PB 、上各有一点C D 、,且PA PC PB PD =g g ,则A B C D 、、、四点共圆。 四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题,而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介。 例1、已知PQRS 是圆内接四边形,0 90PSR ∠=,过点Q 作PR PS 、的垂线,垂足分别为点H K 、求证:HK 平分QS 例2、给定锐角ABC V ,以AB 为直径的圆与边AB 上的高线' CC 及其延长线交于点M N 、,以AC 为直径的圆与AC 上的高线' BB 及其延长线交于点P Q 、。证明:M P N Q 、、、四点共圆。 例3、在等腰ABC V 中,P 为底边BC 上任意一点,过点P 做两腰的平行线分别与AB AC 、交于点 Q R 、,又点'P 是点P 关于直线QR 的对称点。求证:点'P 在ABC V 分析:

最新九年级数学四点共圆例题讲解

精品文档 九年级数学四点共圆例题讲解 知识点、重点、难点 四点共圆是圆的基本内容,它广泛应用于解与圆有关的问题.与圆有关的问题变化多,解法灵活,综合性强,题型广泛,因而历来是数学竞赛的热点内容。 在解题中,如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上,或根据需要作出辅助圆使四点共圆,利用圆的有关性质定理,则会使复杂问题变得简单,从而使问题得到解决。因此,掌握四点共圆的方法很重要。 、、、===OCOB四个点到定点DO 判定四点共圆最基本的方法是圆的定义:如果A的距离相等,即BOAC、、、D四点共圆.,那么ACB OD 由此,我们立即可以得出 1.如果两个直角三角形具有公共斜边,那么这两个直角三角形的四个顶点共圆。 将上述判定推广到一般情况,得: 2.如果四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。 3.如果四边形的外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。 4.如果两个三角形有公共底边,且在公共底边同侧又有相等的顶角,那么这两个三角形的四个顶点共圆。 运用这些判定四点共圆的方法,立即可以推出: 正方形、矩形、等腰梯形的四个顶点共圆。 其实,在与圆有关的定理中,一些定理的逆定理也是成立的,它们为我们提供了另一些证明四点共圆的方法.这就是: 、、、D四点共圆。B =CE·ED,则AC· 1.相交弦定理的逆定理:若两线段AB和CD相交 于E,且AEEB、、、BPD,则APA,且·PB =PC 2.割线定理的逆定理:若相交于点P的两线段PB·PD上各有一点A、C 、D四点共圆。C 3.托勒密定理的逆定理:若四边形ABCD中,AB·CD+BC·DA= AC·BD,则ABCD是圆内接四边形。 另外,证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四点共圆,然后证其余各点均在这个圆上,或者证其中某些点个个共圆,然后判断这些圆实际是同一个圆。 例题精讲 、、、、、、、、、、F四点共圆,上。已知PPDAC1例:如图,P为△ABC内一点,DEEF分别在BCECAAB、、、

九年级数学奥数知识点专题精讲---四点共圆

知识点、重点、难点 四点共圆是圆的基本内容,它广泛应用于解与圆有关的问题.与圆有关的问题变化多,解法灵活,综合性强,题型广泛,因而历来是数学竞赛的热点内容。 在解题中,如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上,或根据需要作出辅助圆使四点共圆,利用圆的有关性质定理,则会使复杂问题变得简单,从而使问题得到解决。因此,掌握四点共圆的方法很重要。 判定四点共圆最基本的方法是圆的定义:如果A、B、C、D四个点到定点O的距离相等,即OA=OB=OC=OD,那么A、B、C、D四点共圆. 由此,我们立即可以得出 1.如果两个直角三角形具有公共斜边,那么这两个直角三角形的四个顶点共圆。 将上述判定推广到一般情况,得: 2.如果四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。 3.如果四边形的外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。 4.如果两个三角形有公共底边,且在公共底边同侧又有相等的顶角,那么这两个三角形的四个顶点共圆。 运用这些判定四点共圆的方法,立即可以推出: 正方形、矩形、等腰梯形的四个顶点共圆。 其实,在与圆有关的定理中,一些定理的逆定理也是成立的,它们为我们提供了另一些证明四点共圆的方法.这就是: 1.相交弦定理的逆定理:若两线段AB和CD相交于E,且AE·EB=CE·ED,则A、B、C、D四点共圆。 2.割线定理的逆定理:若相交于点P的两线段PB、PD上各有一点 A、C,且PA·PB =PC·PD,则A、 B、 C、D四点共圆。 3.托勒密定理的逆定理:若四边形ABCD中,AB·CD+BC·DA= AC·BD,则ABCD是圆内接四边形。 另外,证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四点共圆,然后证其余各点均在这个圆上,或者证其中某些点个个共圆,然后判断这些圆实际是同一个圆。 例题精讲 例1:如图,P为△ABC内一点,D、E、F分别在 BC、CA、AB上。已知P、D、C、E四点共圆,P、E、A、F四点共圆,求证:B、D、P、F四点共圆。 证明连PD、PE、PF.由于P、D、C、F四点共圆,所以∠BDP = ∠PEC.又由于A、E、P、F四点共圆,所以∠PEC =∠AFP.于是∠BDP= ∠AFP,故B、D、P、F四点共圆。 例2:设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直,垂足为E,证明:点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆。 证明以E为相似中心作相似变换,相似比为,此变换把E关于 1 2 AB、BC、CD、DA的对称点变为E在AB、BC、CD、DA上的射影P、Q、R、S(如图).只需证明PQRS是圆内接 四边形。 由于四边形ESAP、EPBQ、EQCR及 ERDS都是圆内接四边形(每个四边形都有一 组对角为直角),由E、P、B、Q共圆有∠ EPQ = ∠EBQ.由E、Q、C、R共圆有∠ERQ=∠ ECQ,于是∠EPQ+∠ERQ= ∠EBQ+∠ ECQ=90°.同理可得∠EPS+∠ERS =90°.从而有∠SPQ+∠QRS =180°,故PQRS是圆内接四边形。 例3:梯形ABCD的两条对角线相交于点K,分别以梯形的两腰为直径各作一圆,点K位于这两个圆之外,证明:由点K向这两个圆所作的切线长度相等。 证明如图,设梯形ABCD的两腰为AB和 CD,并设AC、BD与相应二圆的第二个交点 分别为M、N.由于∠AMB、∠CND是半圆上 的圆周角,所以∠AM B=∠CND = 90°.从 而∠BMC =∠BNC=90°,故B、M、N、C四 点共圆,因此∠MNK=∠ACB.又∠ACB =∠ KAD,所以∠MNK =∠KAD.于是M、N、D、A四点共圆,因此KM·KA = KN·KD.由切割线定理得K向两已知圆所引的切线 相等。 例4:如图,A、B为半圆O上的任意两点,AC、 BD垂直于直径EF,BH⊥OA,求证:DH=AC. 证法一在BD上取一点A',使A'D = AC,则 ACDA'是矩形。连结A'H、AB、OB.由于BD⊥EF 、

四点共圆练习题

作业16 1、锐角ABC ?的三条高AD 、BE 、CF 交于H ,在A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 七个点中.能组成四点共圆的组数是( ) A 、4组 B 、5组 C 、6组 D 、7组 2、已知点)02(,A ,)53(,B ,直线l 过点B 与y 轴交于点)0(c ,C ,若 O 、A 、B 、C 四点共圆,则c 的值为( ) A 、 522 B 、5 28 C 、17 D 、无法求出 3.如图, AB 是⊙O 的直径, 弦CD ⊥AB, P 是弧CAD 上一点(不与C 、D 重合) . (1) 求证:∠CPD =∠COB ; (2) 若点P 在劣弧CD 上(不与C 、D 重合), ∠CPD 与∠COB 的数量关系是否发生变化?若不变, 请画图并证明;若变化, 请写出新的关系式并画图证明. 4、如图,在平行四边形ABCD 中,BAD ∠为钝角,且BC AE ⊥,CD AF ⊥. (1)求证:A 、E 、C 、F 四点共圆; (2)设线段BD 与(1 )中的圆交于M 、N .求证:ND BM =. 5、如图所示, I 为ABC ?的内心,求证:BIC ?的外心O 与A 、B 、C 四点共圆. B

B A 6.如图, ⊙O 的内接△ABC 的外角∠AC B 的平分线交⊙O 于E, EF ⊥BD 于F. (1) 探索EO 与AB 的位置关系, 并予以证明; (2) 当△AB C 的形状发生改变时, AC CF BF +的值是否发生改变?若不变, 请求出该值;若改变, 请求出其变化范围. 7.如图,已知AB 是⊙O 的直径,D 是弧AB 上一点,C 是弧AD 的中点,AD 、BC 相交于E ,CF ⊥AB ,F 为垂足,CF 交AD 于G ,求证:CG=EG. 8、如图,已知ABC ?中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ,?=∠60B ,F 在AC 上,且AF AE =. (1)证明:B ,D ,H ,E 四点共圆; (2)证明:CE 平分DEF ∠. B

赣县中学高中数学竞赛平面几何第7七讲圆内接四边形和四点共圆

第七讲和圆有关的角、圆内接四边形与四点共圆 一、知识要点: (一)、和圆有关的角有五种:圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角。 圆周角是这五种角的核心。 1、定理1:圆心角的度数等于它所对的弧的度数,圆周角的度数等于 它所对的弧的度数的一半。 定理2:同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧也相等。 定理3:直径(或半周)所对的圆周角是直角;圆周角是直角,它所对的弦是直径。 定理4:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 2、圆内角:顶点在圆内的角叫做圆内角(圆心角是其特殊情形); 定理5:圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两条弧度数和的一半。 3、圆外角:顶点在圆外,两边与圆相交的角叫做圆外角; 定理6:圆外角的度数等于它所夹得两弧度数的差的绝对值的一半 4、弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做 弦切角。 弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹得弧的圆心角的度数的一 半,弦切角的度数等于它所夹得弧的圆周角的度数。

(二)、圆内接四边形与四点共圆 1、圆内接四边形:在圆内,四边形的四个顶点均在同一个圆上的 四边形叫做圆内接四边形。 性质:(1)、圆内接四边形的对角互补; (2)、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角 (就是和它相邻的内角的对角)。 2、判定四点共圆的方法: ①、到一定点等距离的几个点在同一个圆上; ②、同斜边的直角三角形的各顶点共圆; ③、同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆; ④、如果一个四边形的一组对角互补,那么它的四个顶点共圆; ⑤、如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么它的四个 顶点共圆; ⑥、四边形ABCD 的对角线相交于点P ,若 PA ·PC=PB ·PD,则它的 四个顶点共圆; ⑦、四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线相交于点P,若 PA ·PB=PC ·PD,则它的四个顶点共圆。 说明:上述关于七种判定四点共圆的基本方法的命题的逆命题也使成立的。 二、要点分析: 1、在以圆为框架的有关证明三角形全等、相似等问题,常常要用到和圆有关的角。因此熟练地掌握这些角的概念和性质是解决有关圆的问题中极其重要的一环; 2、圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系,这是因为顺次连接

初中数学竞赛——圆4.四点共圆

初二数学联赛班八年级 第1讲四点共圆 典型例题 一.基础练习 【例1】如图,P为ABC △内一点,D、E、F分别在BC、CA、AB上.已知P、D、C、E四点共圆,P、E、A、F四点共圆,求证:B、D、P、F四点共圆. 【例2】如图7-55,在梯形ABCD中,AD∥BC,过B、C两点作一圆,AB、CD的延长线交该圆于点 E、F.求证:A、D、E、F四点共圆. 【例3】如图,⊙ 1 O、⊙ 2 O相交于A、B两点,P是BA延长线上一点,割线PCD交⊙ 1 O于C、D, 割线PEF交⊙ 2 O于E、F,求证:C、D、E、F四点共圆. P E C B A D F ? 2 O P 1 O ? F D C B A E

初二数学联赛班 八年级 【例4】 如图7-56,在△ABC 中,AD =AE ,BE 与CD 交于点P ,DP =EP ,求证:B 、C 、E 、D 四点共 圆. 【例5】 如图,已知ABC △是⊙O 的内接三角形,⊙O 的直径BD 交AC 于E ,AF BD ⊥于F ,延长 AF 交BC 于G ,求证:2AB BG BC =?. 【例6】 如图7-63,在A B C D □的对角线上,任取一点P ,过点P 作AB 、CD 的公垂线EG ,又作AD 、 BC 的公垂线FM .求证:EF //GM . 【例7】 如图7-66,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,DE ⊥AC ,AF ⊥BD ,点E 、F 是垂足.求证: EF //BC . O ?G F E C D B A

初二数学联赛班八年级 【例8】如图7-60,已知△ABC,AB、AC的垂直平分线交AC、AB的延长线于点F、E.求证:E、F、 C、B四点共圆. 【例9】如图,已知:60 ABD ACD ∠=∠=, 1 90 2 ADB BDC ∠=∠-∠.求证:ABC △是等腰三角形. 二.综合提高 【例10】如图7-61,在⊙O中,AB∥CD,点P是AB的中点,CP的延长线交⊙O于点F,又点E为弧BD上任一点,连EF交AB于点G.求证:P、G、E、D四点共圆. 【例11】如图7-62,在△ABC中,∠BAC为直角,AB=AC,BM=MC,过M、C任作一圆,与AC交于点E,BE与圆交于F点,求证:AF⊥BE. D B A

四点共圆两个判定定理的证明

四点共圆两个判定定理的证明 1,当∠A=∠C=90·时,可以在答题中仅增加两行说明A、B、C、D四点共圆 连BD,设BD的中点为O′ ∵∠A = ∠C =90· ∴AO′ = BO′ = DO′ = CO′ ∴A、B、C、D在以O′为圆心,B O′为半径的圆上。 2,当那两个角不是直角时 一、附:已知∠A + ∠C = 180·,则A、B、C、D 四点共圆 证:设△ABD 的外接圆为⊙O ①假设C 在⊙O 内 则∠C >∠C′ 又因∠A + ∠C′= 180· ∴∠A + ∠C > 180·与已知矛盾 ②假设C 在⊙O 外 则∠C <∠C′ 又因∠A + ∠C′= 180· ∴∠A + ∠C < 180·与已知矛盾 综合以上点C在⊙O上

上述证明可压缩为6行: 证:设△ABD 的外接圆为⊙O 假设C 在⊙O 内或外时 则∠C ≠∠C′ 又因∠A + ∠C′= 180· ∴∠A + ∠C ≠ 180·与已知矛盾,故假设不成立,即点C 在⊙O上∴A、B、C、D四点共圆 二、附:已知∠A = ∠C ,则A、B、C、D 四点共圆 证:设△ABD 的外接圆为⊙O ①假设C 在⊙O 内 则∠C >∠C′ 又因∠A = ∠C′ ∴∠A <∠C 与已知矛盾 ②假设C 在⊙O 外 则∠C <∠C′ 又因∠A = ∠C′ ∴∠A >∠C 与已知矛盾 综合以上点C在⊙O上 上述证明可压缩为6行: 证:设△ABD 的外接圆为⊙O 假设C 在⊙O 内或外时 则∠C ≠∠C′ 又因∠A = ∠C′ ∴∠A ≠∠C 与已知矛盾,故假设不成立,即点C 在⊙O上 ∴A、B、C、D四点共圆

四点共圆(一)

第二十四讲 四点共圆(一) 【知识要点】 四点共圆的判定方法: 1、若四个点到一定点的距离相等,则这四个点在同一个圆上(即这四点共圆)。 2、若一个四边形的一组对角的和等于180度,则这个四边形的四个顶点共圆。 3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角,则这个四边形的四个顶点共圆。 4、若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两个端点共圆。 5、若AB 、CD 两线段相交于P 点,且PD PC PB PA ?=?,则A 、B 、C 、D 四点共圆。 6、若AB 、CD 两线段延长后相交于P 点,且PD PC PB PA ?=?,则A 、B 、C 、D 四点共圆。 7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积,则四边形的四个顶点共圆。 【典例精讲】 例2、如图,、 、、四点在同一圆上,的延长线与的延长线交于点,且。 (1)证明:AB CD //; (2)延长CD 到F ,延长DC 到G ,使得EG EF =,证明:A 、B 、G 、F 四点共圆. A B

例3、如图,在梯形ABCD 中,BC AD //,点E ,F 分别在边AB ,CD 上,设ED 与AF 相交于点G ,若B ,C ,F ,E 四点共圆,求证:GE DG GF AG ?=?. 例4、已知点)02(,A ,)53(,B ,直线l 过点B 与y 轴交于点)0(c ,C ,若O 、A 、B 、C 四点共圆,则c 的值为( ) A 、522 B 、5 28 C 、17 D 、无法求出

例6、如图,D ,E 分别是AB ,AC 边上的点,且不与顶点重合,已知m AE =,n AC =,AD ,AB 为方程0142 =+-mn x x 的两根. (1)证明:C ,B ,D ,E 四点共圆; (2)若?=∠90A ,4=m ,6=n ,求C ,B ,D ,E 四点所在圆的半径. A B E D 例7、如图,AB 为圆O 的直径,CD 为垂直于AB 的一条弦,垂足为E ,弦BM 与CD 交于点F . (1)证明:A 、E 、F 、M 四点共圆;(2)证明:2 2 AB BM BF AC =?+. A B 例8、如图,在平行四边形ABCD 中,BAD ∠为钝角,且BC AE ⊥,CD AF ⊥. (1)求证:A 、E 、C 、F 四点共圆; (2)设线段BD 与(1)中的圆交于M 、N .求证:ND BM =. D

证明四点共圆方法

四点共圆 证明四点共圆有下述一些基本方法: 方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆上,若能证明这一点,即可肯定这四点共圆. 方法2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等),从而即可肯定这四点共圆.(若能证明其两顶角为直角,即可肯定这四个点共圆,且斜边上两点连线为该圆直径。)(可以说成:若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等,那么这二点和线段二端点四点共圆) 方法3 把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆.(可以说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。那么这四点共圆) 方法4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段,若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等,即可肯定这四点共圆;或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段,若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积,即可肯定这四点也共圆.(根据托勒密定理的逆定理) 方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等,从而确定它们共圆.既连成的四边形三边中垂线有交点,即可肯定这四点共圆. 方法6 同斜边的两个RT三角形的四个顶点共圆,其斜边为圆的直径

判定与性质: 圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。 如四边形ABCD内接于圆O,延长AB和DC交至E,过点E作圆O的切线EF,AC、BD 交于P,则A+C=π,B+D=π, 角DBC=角DAC(同弧所对的圆周角相等)。 角CBE=角ADE(外角等于内对角) △ABP∽△DCP(三个内角对应相等) AP*CP=BP*DP(相交弦定理) 四点共圆的图片 EB*EA=EC*ED(割线定理) EF*EF= EB*EA=EC*ED(切割线定理) (切割线定理,割线定理,相交弦定理统称圆幂定理) AB*CD+AD*CB=AC*BD(托勒密定理Ptolemy)弦切角定理 四点共圆的判定定理:用反证法证明 现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。那么这个四点共圆”证明如下(其它画个证明图如后) 已知:四边形ABCD中,∠A+∠C=180° 求证:四边形ABCD内接于一个圆(A,B,C,D四点共圆) 证明:用反证法 过A,B,D作圆O,假设C不在圆O上,点C在圆外或圆内, 若点C在圆外,设BC交圆O于C’,连结DC’,根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180° , ∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C 这与三角形外角定理矛盾,故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。 ∴C在圆O上,也即A,B,C,D四点共圆。

四点共圆判定

四点共圆判定 证明四点共圆的基本方法: 方法1 从被证共圆的四点中先选出三点作一圆,然后证另一点也在这个圆上,若能证明这一点,即可肯定这四点共圆. 方法2 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等),从而即可肯定这四点共圆.(若能证明其两顶角为直角,即可肯定这四个点共圆,且斜边上两点连线为该圆直径。) 方法3 把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆. 方法4 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段,若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等,即可肯定这四点共圆(相交弦定理的逆定理);或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段,若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积,即可肯定这四点也共圆.(割线定理的逆定理) 方法5 证被证共圆的点到某一定点的距离都相等,从而确定它们共圆.既连成的四边形三边中垂线有交点,即可肯定这四点共圆. 上述五种基本方法中的每一种的根据,就是产生四点共圆的一种原因,因此当要求证四点共圆的问题时,首先就要根据命题的条件,并结合图形的特点,在这五种基本方法中选择一种证法,给予证明. 判定与性质: 圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。

如四边形ABCD内接于圆O,延长AB和DC交至E,过点E作圆O的切线EF,AC、BD交于P,则A+C=π,B+D=π, 角DBC=角DAC(同弧所对的圆周角相等)。 角CBE=角ADE(外角等于内对角) △ABP∽△DCP(三个内角对应相等) AP*CP=BP*DP(相交弦定理) 四点共圆的图片 EB*EA=EC*ED(割线定理) EF*EF= EB*EA=EC*ED(切割线定理) (切割线定理,割线定理,相交弦定理统称圆幂定理) AB*CD+AD*CB=AC*BD(托勒密定理Ptolemy) 弦切角定理 编辑本段 编辑本段 定理 判定定理 方法 1 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆. (可以说成:若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等,那么这二点和线段二端点四点共圆) 方法2 把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一 个外角等于其邻补角的内对角时,即可肯 定这四点共圆. (可以说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。那么

九年级数学四点共圆例题讲解

九年级数学四点共圆例题讲解 知识点、重点、难点 四点共圆是圆的基本内容,它广泛应用于解与圆有关的问题.与圆有关的问题变化多,解法灵活,综合性强, 题型广泛,因而历来是数学竞赛的热点内容。 在解题中,如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上,或根据需要作出辅助圆使四点共圆,利用圆的有关性质定理,则会使复杂问题变得简单,从而使问题得到解决。因此,掌握四点共圆的方法很重要。 判定四点共圆最基本的方法是圆的定义:如果A、B、C、D四个点到定点O的距离相等,即OA=OB=OC=OD,那么A、B、C、D四点共圆. 由此,我们立即可以得出 1.如果两个直角三角形具有公共斜边,那么这两个直角三角形的四个顶点共圆。 将上述判定推广到一般情况,得: 2.如果四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。 3.如果四边形的外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。 4.如果两个三角形有公共底边,且在公共底边同侧又有相等的顶角,那么这两个三角形的四个顶点共圆。 运用这些判定四点共圆的方法,立即可以推出: 正方形、矩形、等腰梯形的四个顶点共圆。 其实,在与圆有关的定理中,一些定理的逆定理也是成立的,它们为我们提供了另一些证明四点共圆的方法.这就是: 1.相交弦定理的逆定理:若两线段AB和CD相交于E,且AE·EB=CE·ED,则A、B、C、D四点共圆。 2.割线定理的逆定理:若相交于点P的两线段PB、PD上各有一点A、C,且PA·PB =PC·PD,则A、B、 C、D四点共圆。 3.托勒密定理的逆定理:若四边形ABCD中,AB·CD+BC·DA= AC·BD,则ABCD是圆内接四边形。 另外,证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四点共圆,然后证其余各点均在这个圆上, 或者证其中某些点个个共圆,然后判断这些圆实际是同一个圆。 例题精讲 例1:如图,P为△ABC内一点,D、E、F分别在BC、CA、AB上。已知P、D、C、E四点共圆,P、E、A、F 四点共圆,求证:B、D、P、F四点共圆。 证明连PD、PE、PF.由于P、D、C、F四点共圆,所以∠BDP = ∠PEC.又由于A、E、P、F四点共圆,所以∠PEC =∠AFP.于是∠BDP= ∠AFP,故B、D、P、F四点共圆。 例2:设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直,垂足为E,证明:点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆。

初中数学竞赛:四点共圆问题

初中数学竞赛:四点共圆问题 “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现,这类问题一般有两种形式:一是以“四点共圆”作为证题的目的,二是以“四点共圆”作为解题的手段,为解决其他问题铺平道路. 1“四点共圆”作为证题目的 例1.给出锐角△ABC ,以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M , N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ,Q .求证:M ,N ,P ,Q 四点共圆. 分析:设PQ ,MN 交于K 点,连接AP ,AM . 欲证M ,N ,P ,Q 四点共圆,须证 MK ·KN =PK ·KQ , 即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) =(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′) 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ① 不难证明 AP =AM ,从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2 =(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2) =KC ′2-KB ′2. ② 由②即得①,命题得证. 例2.A 、B 、C 三点共线,O 点在直线外, O 1,O 2,O 3分别为△OAB ,△OBC , △OCA 的外心.求证:O ,O 1,O 2, O 3四点共圆. 分析:作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ,O 1O 3垂直平分OA .观察△OBC 及其外接圆,立得∠OO 2O 1=2 1 ∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆, 立得∠OO 3O 1=2 1 ∠OO 3A =∠OCA . 由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1?O ,O 1,O 2,O 3共圆. 利用对角互补,也可证明O ,O 1,O 2,O 3四点共圆,请同学自证. 2以“四点共圆”作为解题手段 这种情况不仅题目多,而且结论变幻莫测,可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等 例3.在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AB >CD ,K ,M 分别在AD ,BC 上,∠DAM =∠CBK . 求证:∠DMA =∠CKB . 分析:易知A ,B ,M ,K 四点共圆.连接KM , 有∠DAB =∠CMK .∵∠DAB +∠ADC =180°, ∴∠CMK +∠KDC =180°. 故C ,D ,K ,M 四点共圆?∠CMD =∠DKC . A B C K M N P Q B ′C ′A B C O O O O 1 23 ? ?A B C D K M ··

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