学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版)

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第1讲与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译

1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.

2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.

3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析

【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】

⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.

⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的

反向延长线.

⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】

01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：

⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .

⑵中有几对对顶角，几对邻补角？

02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；

当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、

∠AOC ．

⑴求∠EOF 的度数；

⑵写出∠BOE 的余角及补角.

【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，

以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；

【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21

∠BOC ，

∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21

∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180°∴∠EOF ＝21×180°＝90°⑵

∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】

01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，

则∠BOD 的度数是（） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80°

02．（

杭州）已知∠1

＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .

【例３】如图，直线l1、l2相交于点O ，A 、B 分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l1的垂线段.

【解法指导】垂线是一条直线，垂线

段是一条线段.

【变式题组】

01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C

是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（）

A ．4cm

B ． 5cm

C ．不大于4cm

D ．不小于6cm

02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、

N 为位于公路两侧的村庄；

⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶

A B C D E F A B C D E F P

Q R C

E F E A A

C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图）

l 2

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到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.

⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在的路上距离M 村越来越近..在

的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.

【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.

【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．

【变式题组】 01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.

02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ．

⑴求∠AOC 的度数；

⑵试说明OD 与AB 的位置关系.

03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数. 【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直

线所截而得到的，并说出它们的名称：

∠1和∠2：

∠1和∠3：

∠1和∠6：

∠2和∠6： ∠2和∠4：

∠3和∠5： ∠3和∠4：

【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称. 【变式题组】

01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图

中的同旁内角共有（）

A ．4对

B ． 8对

C ．12对

D ．16对

02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内

角.

03．如图，按各组角的位置判断错误的是（） A ．∠1和∠2是同旁内角 B ．∠3和∠4是内错角 C ．∠5和∠6是同旁内角 D ．∠5和∠7是同旁内角

【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由?

⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180° ⑶∠ACD ＝∠BAC

【解法指导】图中有即即有同旁内 角，有“

”即有内错角.

F

B A

O C

D

E

C

D B

A E

O B A C D

O A

B A E

D C

F E

B A D 1 4 2 3 6 5 A

B D

C H

Ｇ E F 7 1 5 6 8 4 1 2 乙

丙 3 2

3 4 5 6

1 2

3 4

甲

1

A B

C 2 3 4 5

6 7 A B

C

D

O

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4 【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行. 【变式题组】 01．如图，推理填空. ⑴∵∠A ＝∠（已知） ∴AC ∥ED （） ⑵∵∠C ＝∠（已知） ∴AC ∥ED （） ⑶∵∠A ＝∠（已知） ∴AB ∥DF （） 02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知） ∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义） 又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴（） 又∵∠1＝∠2（已知） ∴（） ∴AB ∥DE （） 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠

CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ． 04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF

＝∠EFB ，求证：CD ∥EF.

【例７】如图

⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°. 【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵. 证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31° 则12×31°＝372°＞360°

这与一周角等于360°矛盾

所以这12个角中至少有一个角小于31° 【变式题组】 01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于

11°. 02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 .

03．已知n （n ＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn 表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn ＝ .

演练巩固·反馈提高 01．如图，∠EAC ＝∠ADB ＝90°.下列说法正确的是（）

A ．α的余角只有∠

B B ．α的邻补角是∠DAC

C ．∠ACF 是α的余角

D ．α与∠ACF 互补

02．如图，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角为

（）

A ．∠AMF

B ．∠BMF

C ．∠ENC

D ．∠END 03．下列语句中正确的是（）

A B

E F

C A B

C D E A B C D E

F

1 2 A B

C

D E F

l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 图⑴

l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 图⑵

A E

B C F D A B

C D

F E

M

N α 第1题图 第2题图

A B D C

第4题图

4 / 64 A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线 B ．过直线上一点的直线只有一条

C ．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条

D ．垂线段就是点到直线的距离

04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（） ①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B 到AC

的距离⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离⑥AD ＞BD A ．0 B ． 2 C ．4 D ．6

05．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离是（） A ．4cm B ．5cm C ．小于4cm D ．不大于4cm 06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC ＝ .

07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ . 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.（a1与a10不重合） 09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b 的条件的序号是 . 10．在同一平面内两条直线的位置关系有 . 11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？ 12．如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？

13．如图，推理填空：

⑴∵∠A ＝（已知）

∴AC ∥ED （）

⑵∵∠2＝（已知）

∴AC ∥ED （）

⑶∵∠A ＋＝180°（已知）

∴AB ∥FD ．

14．如图，请你填上一个适当的条件使AD ∥BC ．

培优升级·奥赛检测

01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数

是（） A ．1，3 B ．0，1，3 C ．0，2，3 D ．0，1，2，3

02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（）个交点.

A ．35

B ． 40

C ．45

D ．55

04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有 __________________交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性. 06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（）

A ．3

B ．1或3

C ．1或2或3

A B C D

O A B C D E F G H a b c 第6题图 第7题图 第9题图 1

2 3 4 5

6 7 8

1

A

C

D

E

B A

C D

E

1 2 A B C D E F

第14题图 a b