第五章 第三节 第2课时 系统题型——平面向量的数量积及应用

第2课时 系统题型——平面向量的数量积及应用

一、学前明考情——考什么、怎么考

[真题尝试]

1.[考查数量积的计算](2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( )

A ．4 B.3 C ．2

D ．0

解析：选B a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵|a |＝1，a ·b ＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.

2.[考查向量的夹角](2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA ―→＝????12，32，BC ―→＝????32，12，则∠ABC

＝( )

A ．30° B.45° C ．60°

D ．120°

解析：选A 因为BA ―→＝????12，32，BC ―

→＝????32，12，所以BA ―→·BC ―→＝34＋34＝32.又因为BA ―→·BC ―→＝|BA ―→||BC ―→|cos ∠ABC ＝1×1×cos ∠ABC ＝32，所以cos ∠ABC ＝32.又0°≤

∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.

3.[考查数量积的最值问题](2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→

)的最小值是( )

A ．－2 B.－32

C ．－4

3

D ．－1

解析：选B 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→

＝(－1－x ，－y )，PC ―→＝(1－x ，－y )，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→

)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2??

??y －

322－3

2

，当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB

―→＋PC ―→

)取得最小值，最小值为－32

.

[把握考情] 常规角度

1.平面向量数量积及其性质的应用：主要考查平面向量数量积的计算，以及

利用数量积求向量的模、夹角等．

2.平面向量数量积的应用：主要考查平面向量模或数量积的最值范围问题． 主要以选择、填空题为主，难度中等偏下

创新角度 平面向量的数量积与解析几何、平面几何以及三角函数交汇，主要利用数量积证明垂直或利用数量积转化垂直的条件、求长度等

二、课堂研题型——怎么办、提知能

平面向量数量积及其性质的应用 [典例感悟]

1．(2019·宝鸡金台区质检)在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且AC ＝BC ＝1，点P 是斜边上的一个三等分点，则CP ―→·CB ―→＋CP ―→·CA ―→＝( )

A ．0 B.1 C.9

4

D ．－94

解析：选B 以点C 为坐标原点，分别以CA ―→，CB ―→

的方向为x ，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则C (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，不妨设P ????13，23，所以CP ―→·CB ―→＋CP ―→·CA ―→＝23＋1

3

＝1.故选B. 2．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a ＋3b |等于( ) A.7 B.10 C.13

D ．4

解析：选C 依题意得a ·b ＝1

2，|a ＋3b |＝a 2＋9b 2＋6a·b ＝13，故选C.

3．(2019·江西三校联考)若|a |＝2，|b |＝4，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.4π3

D ．－

2π3

解析：选A ∵(a ＋b )⊥a ，∴(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－4，cos a ，b ＝a ·b | a || b |

＝

－42×4

＝－1

2，∴

a ，

b ＝2π

3

，故选A.

4．(2019·深圳高级中学期中)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )

A ．－4

B.－3

C．－2 D．－1

解析：选B∵(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝m2－n2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B.

[方法技巧]

1．平面向量数量积的2种运算方法

方法运用提示适用题型

定义法当已知向量的模和夹角θ时，可利用定

义法求解，即a·b＝|a|·|b|cos θ

适用于平面图形中的向量数量积的有关

计算问题

坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求

解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b

＝x1x2＋y1y2

适用于已知相应向量的坐标求解数量积

的有关计算问题

2.利用数量积求解长度问题的处理方法

(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a.

(2)|a±b|＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.

(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.

3．向量夹角问题的2个注意点

(1)切记向量夹角的范围是[0，π]．

(2)a与b夹角为锐角?a·b>0且a，b不共线，a与b夹角为钝角?a·b<0且a，b不共线．

4．两向量垂直的应用

两非零向量垂直的充要条件是a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.

平面向量数量积的应用问题

高，综合性强．

考法一平面向量模的最值或范围问题

[例1](1)(2019·衡水中学调研)已知向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝2，(a－c)·(b－2c)＝0，则|b－c|的最小值为()

A.7－3

2 B.

3－1

2

C.

3

2D．

7

2

(2)(2019·长春模拟)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b －c)＝0，则|c|的最大值是()

A．1 B.2

C. 2 D ．

22

[解析] (1)由|a |＝|b |＝a ·b ＝2，知a ，b 的夹角为π

3，

可设a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，c ＝(x ，y )， ∵(a －c )·(b －2c )＝0，

∴(2－x ，－y )·(1－2x ，3－2y )＝0， 即2x 2＋2y 2－5x －3y ＋2＝0.

方程2x 2＋2y 2－5x －3y ＋2＝0表示圆心为

???

?54，34，半径为32的圆，|b －c |＝

(x －1)2＋(y －3)2表示圆2x 2＋2y 2－5x －3y ＋2＝0上的点到点(1，3)的距离，所以|b －c |的最小值为

????54－12＋????34－32－32

＝7－32.

(2)因为|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，

(a －c )·(b －c )＝－c ·(a ＋b )＋|c |2＝－|c ||a ＋b |·cos θ＋|c |2＝0，其中θ为c 与a ＋b 的夹角， 所以|c |＝|a ＋b |cos θ＝2cos θ≤2， 所以|c |的最大值是 2. [答案] (1)A (2)C [方法技巧]

求向量模的最值(范围)的2种方法

代数法 把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解 几何法

弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解

[例2] (1)(2019·南昌调研)如图，在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2，点P 在阴影区域(含边界)中运动，则PA ―→·BD ―→

的取值范围是( )

A.????－1

2，1 B.????－1，1

2 C ．[－1,1]

D ．[－1,0]

(2)(2019·宝鸡模拟)在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N (不与A ，C 重合)为AC 边上的两个动点，且满足|MN ―→ |＝2，则BM ―→·BN ―→

的取值范围为( )

A.????

32，2 B.????32，2 C.????32，2

D ．????32，＋∞

[解析] (1)∵在直角梯形ABCD 中，DA ＝AB ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝ 2.如图所示，过点A 作AO ⊥BD ，垂足为O ， 则PA ―→＝PO ―→＋OA ―→，OA ―→·BD ―→＝0， ∴PA ―→·BD ―→＝(PO ―→＋OA ―→)·BD ―→＝PO ―→·BD ―→. ∴当点P 与点B 重合时，PA ―→·BD ―→取得最大值， 即PA ―→·BD ―→＝PO ―→·BD ―→＝12×2×2＝1；

当点P 与点D 重合时，PA ―→·BD ―→

取得最小值， 即PA ―→·BD ―→＝－12×2×2＝－1.

∴PA ―→·BD ―→的取值范围是[－1,1]．

(2)以等腰直角三角形的直角边BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则B (0,0)，直线AC 的方程为x ＋y ＝2.

设M (a ,2－a )，

则0< a <1，N (a ＋1,1－a )，

∴BM ―→＝(a ,2－a )，BN ―→

＝(a ＋1,1－a )，

∴BM ―→·BN ―→＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2 a 2－2 a ＋2， ∵0

又BM ―→·BN ―→<2，故BM ―→·BN ―→

的取值范围为????32，2. [答案] (1)C (2)C [方法技巧]

数量积的最值或范围问题的2种求解方法 临界分析法 结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围

目标函数法

将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三

角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围

1.[考法一]已知向量a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝3，|c |＝32，则对任意的正实数t ，???

?c ＋ta ＋1

t b 的最小值是( ) A ．2

B.2 2

C ．4

D ．4 2

解析：选D 因为向量a ，b 是两个互相垂直的单位向量，所以a ·b ＝0，又c ·a ＝c ·b ＝3，所以????c ＋ta ＋1t b 2＝c 2＋t 2a 2＋1t 2b 2＋2(t c ·a ＋1t c ·b ＋a ·b )＝t 2＋1t 2＋6t ＋6t ＋18≥32，当且仅当t 2＝1t

2，6t ＝6

t ，即t ＝1时等号成立，故????c ＋ta ＋1t b 的最小值为4 2.故选D. 2.[考法二]在△ABC 中，AB ＝2AC ＝6，BA ―→·BC ―→＝BA ―→

2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当PA ―→2＋PB ―→2＋PC ―→2取得最小值时，AP ―→·BC ―→＝________.

解析：∵BA ―→·BC ―→＝BA ―→2，∴BA ―→·BC ―→－BA ―→

2＝

BA ―→·(BC ―→－BA ―→)＝BA ―→·AC ―→＝0，∴BA ―→⊥AC ―→，即BA ⊥AC .以点A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (6,0)，C (0,3)，设P (x ，y )，则PA ―→2＋PB ―→2＋PC ―→

2＝x 2＋y 2＋(x －6)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＝3x 2－12x ＋3y 2－6y ＋45＝3[(x －2)2＋(y －1)2＋10]，所以当x ＝2，y ＝1时，PA ―→2＋PB ―→2＋PC ―→2取得最小值，此时AP ―→·BC ―→

＝(2,1)·(－6,3)＝－9.

答案：－9

平面向量与其他知识的综合问题

平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具．在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查．

考法一 平面向量与几何的综合问题

[例1] (2019·杭州期末)在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，设AD ―→·BC ―→＝m ，AC ―→·BD ―→＝n .若AB ＝2，EF ＝1，CD ＝3，则( )

A ．2m －n ＝1 B.2m －2n ＝1 C ．m －2n ＝1

D ．2n －2m ＝1

[解析] 由题可得，AC ―→·BD ―→＝(AB ―→＋BC ―→)·(BA ―→＋AD ―→)＝－AB ―→2＋AB ―→·AD ―→－AB ―→·BC ―→

＋AD ―→·BC ―→＝－AB ―→2＋AB ―→·(AD ―→－BC ―→)＋m ＝－AB ―→2＋AB ―→·(AB ―→＋BC ―→＋CD ―→－BC ―→)＋m ＝AB ―→·CD ―→＋m .又因为点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，所以EF ―→＝EA ―→＋AB ―→＋BF ―→，EF

―→

＝ED ―→＋DC ―→＋CF ―→.两式相加得2EF ―→＝AB ―→＋DC ―→，两边同时平方得4＝2＋3＋2AB ―→·DC ―→，所以AB ―→·DC ―→＝－12.则AB ―→·CD ―→＝12，所以AC ―→·BD ―→＝12＋m ，所以n ＝12＋m ，即2n －2m ＝1，

故选D.

[答案] D

[方法技巧] 平面向量与几何综合问题的求解方法 坐标法

把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就

能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决

基向量法

适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量

的方程来进行求解

[例2] (2019·陕西部分学校摸底)在△ABC 中，设A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos A ，sin A )，n ＝(2－sin A ，cos A )，且|m ＋n |＝2.

(1)求角A 的大小；

(2)若b ＝42，c ＝2a ，求△ABC 的面积．

[解] (1)∵m ＋n ＝(2＋cos A －sin A ，cos A ＋sin A )， ∴|m ＋n |＝(2＋cos A －sin A )2＋(cos A ＋sin A )2 ＝

4－4sin ???

?A －π4. ∵|m ＋n |＝2，∴sin ???

?A －π

4＝0， 又0

4＝0，

即A ＝π

4

.

(2)∵c ＝2a ，A ＝π

4，

∴c a ＝sin C sin A

＝2， ∴sin C ＝1，又0

2

.

∴△ABC 为等腰直角三角形，S △ABC ＝1

2×(42)2＝16.

[方法技巧]

平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路

(1)向量平行、垂直与三角函数综合

此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒

等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．

(2)向量的模与三角函数综合

此类题型主要是利用向量模的性质|a |2＝a 2，如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解．此类题型主要表现为两种形式：①利用三角函数与向量的数量积直接联系；②利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合．

[集训冲关]

1.[考法一]在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ―→＝2EC ―→，点F 在边CD 上．若AB ―→·AF ―→

＝3，则AE ―→·BF ―→的值为( )

A ．0 B.83

3 C ．－4

D ．4

解析：选C BE ―→＝2EC ―→ ?|BE ―→ |＝23|BC ―→|＝233.设AB ―→与AF ―→的夹角为α，AB ―→·AF ―→

＝

3?|AF ―→|cos α＝1?|DF ―→

|＝1.以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，AD 为x 轴，AB 为y 轴，则B (0，3)，F (3，1)，E ???

?233，3.因此BF ―

→＝(3，－2)，AE ―→·BF ―→＝233×3－2×3

＝2－6＝－4，故选C.

2.[考法二]已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .设平面向量m ＝(cos B ，sin B )，n ＝(cos C ，－sin C )，m 与n 所成的夹角为120°.

(1)求A 的值； (2)若△ABC 的面积S ＝

83

3

，sin C ＝2sin B ，求a 的值． 解：(1)由题知cos 120°＝m·n

|m||n| ＝

cos B cos C －sin B sin C

sin 2B ＋cos 2B ·cos 2C ＋(－sin C )2

＝cos(B ＋C )＝－cos A ＝－12，则cos A ＝1

2.

又0

3

.

(2)由正弦定理和sin C ＝2sin B ，得c ＝2b .

则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝b 2×32＝833，则b 2＝16

3，

解得b ＝

433，c ＝83

3

.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，

得a 2＝

163＋643－2×433×833×12

＝16，则a ＝4. [课时跟踪检测]

[A 级 保分题——准做快做达标]

1．(2019·牡丹江第一高级中学月考)已知圆O 是△ABC 的外接圆，其半径为1，且AB ―→

＋AC ―→＝2AO ―→，AB ＝1，则CA ―→·CB ―→＝( )

A.3

2 B.

3 C. 3

D ．2 3

解析：选B 因为AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→

，所以点O 是BC 的中点，即BC 是圆O 的直径， 又AB ＝1，圆的半径为1，所以∠ACB ＝30°，且AC ＝3， 则CA ―→·CB ―→＝|CA ―→|·|CB ―→|cos ∠ACB ＝3.故选B.

2.(2019·广州综合测试)如图，半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝2π

3，P 是弧AB 上的一点，且满足OP ⊥OB ，M ，N 分别是线段OA ，OB 上的动点，则PM ―→·PN ―→

的最大值为( )

A.2

2

B.32

C ．1

D ． 2

解析：选C ∵扇形OAB 的半径为1，∴|OP ―→ |＝1，∵OP ⊥OB ，∴OP ―→·OB ―→

＝0. ∵∠AOB ＝2π3，∴∠AOP ＝π6，∴PM ―→·PN ―→＝(PO ―→＋OM ―→)·(PO ―→＋ON ―→)＝PO ―→2＋ON ―→·PO

―→＋OM ―→·PO ―→＋OM ―→·ON ―→＝1＋|OM ―→|cos 5π6＋|OM ―→|·|ON ―→|cos 2π3≤1＋0×????－32＋0×????－12＝

1，故选C.

3．(2019·南昌模拟)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(－α)，sin(－α))，那么a ·b ＝0是α＝k π＋π

4

(k ∈Z)的( )

A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选B a ·b ＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α，若a ·b ＝0，则cos 2α＝0，∴2α＝2k π±π2(k ∈Z)，解得α＝k π±π4(k ∈Z)．∴a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z)的必要

不充分条件．故选B.

4.(2019·浙江部分市学校联考)如图，点C 在以AB 为直径的圆上，

其中AB ＝2，过A 向点C 处的切线作垂线，垂足为P ，则AC ―→·PB ―→

的最大值是( )

A ．2 B.1 C ．0

D ．－1

解析：选B 连接BC ，则∠ACB ＝90°.∵AP ⊥PC ，∴AC ―→·PB ―→＝AC ―→·(PC ―→＋CB ―→

)＝AC ―→·PC ―→＝(AP ―→＋PC ―→)·PC ―→＝PC ―→2

.依题意可证Rt △APC ∽Rt △ACB ，∴|PC ―→||CB ―→|＝|AC ―→

||AB ―→|，即

|PC ―→|＝|AC ―→||CB ―→|2.∵|AC ―→|2＋|CB ―→|2＝|AB ―→|2，∴|AC ―→|2＋|CB ―→|2＝4≥2|AC ―→||CB ―→|，即|AC

―→

||CB ―→|≤2，当且仅当|AC ―→|＝|CB ―→|时取等号，∴|PC ―→|≤1，∴AC ―→·PB ―→＝PC ―→2≤1，∴AC ―→·PB ―→的最大值为1，故选B.

5．(2019·四川双流中学月考)已知平面向量PA ―→，PB ―→满足|PA ―→|＝|PB ―→|＝1，PA ―→·PB ―→

＝－12

.若|BC ―→|＝1，则|AC ―→

|的最大值为( ) A.2－1 B.3－1 C.2＋1

D ．3＋1

解析：选D 因为|PA ―→|＝|PB ―→|＝1，PA ―→·PB ―→

＝－12，所以cos ∠APB

＝－12，即∠APB ＝2π

3，由余弦定理可得AB ＝1＋1＋1＝ 3.如图，建

立平面直角坐标系，则A ??

??－32，0，B ???

?32，0，由题设点C (x ，y )在以B

???

?32，0为圆心，

半径为1的圆上运动，结合图形可知，点C (x ，y )运动到点D 时，有|AC |m a x

＝|AD |＝|AB |＋1＝3＋1.故选D.

6．(2019·重庆梁平调研)过点P (－1,1)作圆C ：(x －t )2＋(y －t ＋2)2＝1(t ∈R)的切线，切

点分别为A ，B ，则PA ―→·PB ―→的最小值为( )

A.10

3 B.403 C.214

D ．22－3

解析：选C 观察圆C 的方程可知，圆心C 在直线y ＝x －2上运动，则|PC |≥

|－1－1－2|12＋(－1)2

＝2 2.设∠CPA ＝θ，则PA ―→·PB ―→＝|PA ―→||PB ―→|cos 2θ＝|PA ―→|2(2cos 2θ－1)＝(|PC ―→|2－1)? ?????2×|PA ―→|2|PC ―→|2－1＝(|PC ―→|2－1)·? ????1－2|PC ―→|2＝|PC ―→|2＋2|PC ―→|

2－3，令|PC ―→|2＝x ，设y ＝x ＋2x －3，

则y ＝x ＋2x －3在[8，＋∞)上为增函数，故PA ―→·PB ―→

≥8＋28－3＝214

，故选C.

7.(2019·北京四中期中考试)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝4，BC ＝2，D 是AC 边上一点，且DC ―→＝－34

DA ―→，则BD ―→·AC ―→

＝________.

解析：根据题意得BD ―→·AC ―→＝????37BA ―→＋47 BC ―→·(BC ―→－BA ―→)＝37BA ―→·BC ―→－37×16＋47×4－47BA ―→·BC ―→＝－17BA ―→·BC ―→－32

7＝－17×4×2×cos 120°－327

＝－4. 答案：－4

8．若a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最大值为________． 解析：依题意可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c )＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ???

?θ＋π

4，所以(a －c )·(b －c )的最大值为1＋ 2. 答案：1＋ 2

9．(2018·泰安二模)已知平面向量a ，b 满足|b |＝1，且a 与b －a 的夹角为120°，则|a |的取值范围为________．

解析：在△ABC 中，设AB ―→＝a ，AC ―→

＝b ， 则b －a ＝AC ―→－AB ―→＝BC ―→

，

∵a 与b －a 的夹角为120°，∴∠B ＝60°， 由正弦定理得1

sin 60°＝|a |sin C ，

∴|a |＝sin C sin 60°＝23

3

sin C ，

∵0°

233.

答案：?

???0，

233

10．(2019·河南豫南豫北联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos B ＝

5

13

. (1)若sin A ＝4

5

，求cos C ；

(2)若b ＝4，求AB ―→·BC ―→

的最小值． 解：(1)在△ABC 中，由cos B ＝

513得，sin B ＝1213，∵sin B ＝12

13

>sin A ，∴B >A ，故A 为锐角，∴cos A ＝35，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝33

65

.

(2)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，

16＝a 2＋c 2－1013ac ≥2ac －1013ac ＝16

13ac ，当且仅当a ＝c 时等号成立，∴ac ≤13，

∴AB ―→·BC ―→

＝ac c os(π－B )＝－ac cos B ＝－513ac ≥－5.

故AB ―→·BC ―→的最小值为－5.

11．(2019·太原模拟)已知向量m ＝????3sin x 3，cos x 3，n ＝????cos x 3，cos x

3，f (x )＝m·n . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；

(2)若a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且a ＝2，(2a －b )cos C ＝ c cos B ，f (A )＝3

2

，求c .

解：(1)∵f (x )＝m·n ＝3sin x 3cos x 3＋cos 2x

3

＝

3

2sin 2x 3＋12?

???cos 2x 3＋1＝sin ????2x 3＋π6＋12， ∴函数f (x )的最小正周期为3π，

令－π2＋2k π≤2x 3＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，则－π＋3k π≤x ≤π

2＋3k π，k ∈Z ，

∴函数f (x )的单调递增区间为????－π＋3k π，π

2＋3k π，k ∈Z. (2)∵(2a －b )cos C ＝c cos B,

∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin(B ＋C )＝sin A ， ∵00，∴cos C ＝12，∴C ＝π

3.

∵f (A )＝sin ????2A 3＋π6＋12＝3

2， ∴sin ????2A 3＋π6＝1， ∴

2A 3＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴A ＝π

2

， ∴c ＝a sin C ＝2sin π

3

＝ 3.

[B 级 难度题——适情自主选做]

1．在等腰三角形AOB 中，若|OA ―→|＝|OB ―→|＝5，且|OA ―→＋OB ―→|≥12|AB ―→|，则OA ―→·OB ―→

的

取值范围为( )

A ．[－15,25) B.[－15,15] C ．[0,25)

D ．[0,15]

解析：选A |OA ―→＋OB ―→|≥12|AB ―→|＝12|OB ―→－OA ―→|，所以|OA ―→＋OB ―→|2≥14|OB ―→－OA ―→

|2，

即(OA ―→＋OB ―→)2≥14(OB ―→－OA ―→)2，所以OA ―→2＋2OA ―→·OB ―→＋OB ―→2≥14

(OB ―→2－2OA ―→·OB ―→＋OA

―→

2)，即

52＋2OA ―→·OB ―→＋52≥14

(52－2OA ―→·OB ―→＋52)，则OA ―→·OB ―→≥－15.又OA ―→·OB ―→≤|OA ―→||OB

―→

|＝5×5＝25，当且仅当OA ―→与OB ―→同向时取等号，因此上式等号不成立，所以OA ―→·OB ―→

的取值范围为[－15,25)，故选A.

2．已知a ，b ，e 是同一平面内的三个向量，且|e |＝1，a ⊥b ，a ·e ＝2，b ·e ＝1，当|a －b |取得最小值时，a 与e 夹角的正切值为( )

A.3

3

B.12 C ．1

D ．

22

解析：选D 根据题意，分别以a ，b 为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，设e 与a 的夹角为θ，θ为锐角，则e 与b 的夹角为π

2－θ.∵|e |＝1，a ⊥b ，a ·e ＝2，b ·e ＝1，∴|a |·cos θ

＝2，|b |·cos ????π2－θ＝|b |·sin θ＝1，∴|a |＝2cos θ，|b |＝1sin θ，∴|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4cos 2θ＋1sin 2θ＝????4cos 2θ＋1sin 2θ(sin 2θ＋cos 2

θ)＝5＋4sin 2θcos 2θ＋cos 2θsin 2θ≥5＋24sin 2θcos 2θ·cos 2θ

sin 2θ

＝9，当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ，即t a n θ＝2

2

时等号成立，此时|a －b |取得最小值3，且a 与e 夹角的正切值为

2

2

，故选D. 3．(2019·武汉调研)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA ―→⊥OB ―→，则(OC ―→

－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)的最大值是( )

A ．1＋2 B.1－ 2 C.2－1

D ．1

解析：选A 如图，作出OD ―→，使得OA ―→＋OB ―→＝OD ―→，则(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→

－OB ―→)＝OC ―→2－OA ―→·OC ―→－OB ―→·OC ―→＋OA ―→·OB ―→＝1－(OA ―→＋OB ―→)·OC ―→＝1

－OD ―→·OC ―→，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD ―→·OC ―→取得最小值，最小值为－2，此时(OC ―→－OA ―→)·(OC ―→－OB ―→)取得最大值，最大值为1＋2，故选A.

4．(2019·江西吉安月考)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(cos φ，sin φ)． (1)若|θ－φ|＝π

3

，求|a －b |的值；

(2)若θ＋φ＝π

3，记f (θ)＝a ·b －λ|a ＋b |，θ∈????0，π2，当1≤λ≤2时，求f (θ)的最小值． 解：(1)∵向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(cos φ，sin φ)， ∴a －b ＝(cos θ－cos φ，sin θ－sin φ)， ∴|a －b |2＝(cos θ－cos φ)2＋(sin θ－sin φ)2 ＝2－2cos(θ－φ)．

∵|θ－φ|＝π3，∴θ－φ＝±π

3

，

∴|a －b |2＝2－2cos π

3＝2－1＝1，或2－2cos ????－π3＝2－1＝1， ∴|a －b |＝1.

(2)∵θ＋φ＝π

3

，θ∈????0，π2， ∴a ·b ＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝cos(θ－φ)＝cos ????2θ－π

3， |a ＋b |＝2＋2cos (θ－φ)

＝2????cos ????θ－π6＝2cos ???

?θ－π6， ∴f (θ)＝a ·b －λ|a ＋b | ＝cos ????2θ－π3－2λcos ????θ－π

6 ＝2cos 2????θ－π6－2λcos ????θ－π

6－1. 令t ＝cos ????θ－π6，则t ∈????1

2，1， ∴g (t )＝2t 2－2λt －1 ＝2????t －λ22－λ

2

2

－1. 又1≤λ≤2，12≤λ

2

≤1，

∴当t ＝λ2时，g (t )有最小值－λ2

2

－1，

λ2

∴f(θ)的最小值为－

2－1.

第三节平面向量数量积及应用重点： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 难点： 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 教学过程： 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.学-科网 (3)夹角：cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

平 面 向 量 数 量 积 练 习 题 一.选择题 1.下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), （2）|a ·b |= | a |·| b |, （3）(a ·b )· c = a · (b ·c ), （4）(a +b ) · c = a ·c +b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2.在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-= ,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3． 已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 4.已知||=1,||=2，且(－)与垂直，则与的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5.设||= 4，||= 3，夹角为60°，则|+|等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 6．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 7． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.????79，73 B.????－73，－79 C.????73，79 D.????－79，－73 二.填空题 8.已知e 是单位向量，∥e 且18-=?e a ，则向量a =__________. 9．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 10． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三.解答题 11． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .

第26讲平面向量的数量积及应用 高三新数学第一轮复习教案〔讲座26〕一平面向量的数量积及应 用 一?课标要求： 1?平面向量的数量积 ①通过物理中"功"等实例，明白得平面向量数量积的含义及其物理意义； ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系； ③把握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判定两个平面向量的垂直关系。 2.向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何咨询题、力学咨询题与其他一些实际咨询题的过程，体会向量是一种处理几何咨询题、物理咨询题等的工具，进展运算能力和解决实际咨询题的能力。 二.命题走向 本讲以选择题、填空题考察本章的差不多概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。 平面向量的综合咨询题是”新热点〃题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等咨询题，以解答题为主。 推测07年高考： 〔1〕一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度咨询题；属于中档题目。 〔2〕一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；三?要点精讲 1 .向量的数量积 〔1〕两个非零向量的夹角 非零向量a与a，作OA = a , OB = b，那么/ A O A= B〔0 we

2 〔4〕注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范畴

平面向量的数量积及运算律同步练习 一、选择题： 1. 若｜a ｜＝｜b ｜=１，a ⊥b ，且2a ＋３b 与k a -4b 也互相垂直，则k 的值为( ) A.－６ B.６ C.３ D.－３ 2．若AP 31 = PB ，AB λ=BP ，则λ的值为 ( ) A ．41 B ．43 C ．34 D ．3 4- 3．设a 和b 的长度均为6，夹角为 120?，则-|a b|等于 （ ） A ．36 B ．12 C ．6 D ．36 4．若| |＝2sin15°，| |＝4cos375°、 ， 夹角为30°，则 · 为（ ） A ． 2 3 B ．3 C ．32 D ．21 5．若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 6．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别（ ） A ．0,24 B ．24,4 C ．16，0 D ．4，0 7．已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+ 3| = （ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 8．已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=?=? （ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件 9．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．32π D ．6 5π 10．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 11．设)4 1,cos 1(),cos 1,2(-+=--=θθb a ，且,2 0,||π θ<

06—平面向量的数量积及其应用 突破点(一) 平面向量的数量积 1．向量的夹角；2．平面向量的数量积；3．平面向量数量积的运算律 平面向量数量积的运算 1.利用坐标计算数量积的步骤 第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用； 第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． [典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 C.32 D.52 (2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且 BE ＝23 BC ， DF ＝16 DC ，则 AE · AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得 3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝????－12，1，所以a ·b ＝－1×????－12＋2×1＝52. (2)取 BA ， BC 为一组基底，则 AE ＝ BE － BA ＝23 BC － BA ， AF ＝ AB ＋ BC ＋ CF ＝－ BA ＋ BC ＋512 BA ＝－712 BA ＋ BC ，∴ AE · AF ＝????23 BC － BA ·????－712 BA ＋ BC ＝712| BA |2－2518 BA · BC ＋23| BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918 [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”． 突破点(二) 平面向量数量积的应用 平面向量的垂直问题 1.第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足 AB ＝2a ， AC ＝2a ＋b ，则下列结 论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥ BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 [解析] (1)在△ABC 中，由 BC ＝ AC － AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又 AB ＝2a 且| AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )· BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥ BC ， D 正确，故选D. (2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－6)． ∴(2k －3，－6)·(2,1)＝0，即(2k －3)×2－6＝0.∴k ＝3.[答案] (1)D (2)C [易错提醒] x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是

平面向量的数量积 【学习目标】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 【要点梳理】 要点一： 平面向量的数量积 1. 平面向量数量积(内积)的定义 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量cos a b θ叫a 与b 的数量积，记作a b ?，即有 ()cos 0a b a b θθπ?=≤≤.并规定0与任何向量的数量积为0. 2.一向量在另一向量方向上的投影：cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 要点诠释： 1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a b ?；今后要学到两个向量的外积a b ?，而a b ?是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. (3)在实数中，若0a ≠，且0a b ?=，则0b =；但是在数量积中，若0a ≠，且0a b ?=，不能推出 0b =.因为其中cos θ有可能为0. 2. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0?时投影为b ；当θ=180?时投影为b -. 要点二：平面向量数量积的几何意义 数量积a b ?表示a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积，这是a b ?的几何意义．图（1）（2）（3）所示分别是两向量,a b 夹角为锐角、钝角、直角时向量b 在向量a 方向上的投影的情形，其中 1||cos OB b θ=，它的意义是，向量b 在向量a 方向上的投影是向量1OB 的数量，即11|| a OB OB a =? ． 事实上，当θ为锐角时，由于cos 0θ>，所以10OB >；当θ为钝角时，由于cos 0θ<，所以10OB <； 当090θ=时，由于cos 0θ=，所以10OB =，此时O 与1B 重合；当0 0θ=时，由于cos 1θ=，所以

2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时） 教材分析： 教材从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质，运算律。向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。 教学目标： 1.掌握平面向量数量积的定义 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 教学重点： 平面向量的数量积定义. 教学难点： 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学方法： 1. 问题引导法 2. 师生共同探究法 教学过程： 一．回顾旧知 向量的数乘运算定义：一般地，实数λ与向量的积是一个向量，记作λ， 它的长度和方向规定如下： （1）= （2）当λ>0时,λ的方向与a 方向相同，当λ<0时, λ的方向与a 方向相反 特别地，当0=λ或=时，=λ 向量的数乘运算律：设a ,b 为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ① λ(μ)=()λμ ② (λ+μ)=μλ+ ③ λ(+)=λλ+ 二．情景创设 问题1. 我们已经学习了向量的加法，减法和数乘，它们的运算结果都是向量，

那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？ 三．学生活动 联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。 问题2. 在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为多少？ W 可由下式计算：W ＝｜F ｜·｜s ｜cos θ，其中θ是F 与s 的夹角. 若把功W 看成是两向量F 和S 的某种运算结果，显然这是一种新的运算，我们引入向量数量积的概念. 四．建构数学 1.向量数量积的定义 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量｜a ｜｜b ｜cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ·b ，即有a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ 说明：（1）向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角决定 （2）θ是a 与b 的夹角；范围是0≤θ≤π，（注意在两向量的夹角定义中，两向量 必须是同起点的.） 当θ＝0时，a 与b 同向；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos0＝｜a ｜｜b ｜ 当θ＝π2 时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos 2 π=0 当θ＝π时，a 与b 反向；a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos π=－｜a ｜｜b ｜ （3）规定· a ＝0；a 2＝a ·a ＝｜a ｜2或｜a （4）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替 2. 向量数量积的运算律 已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： ①a ·b ＝b · a (交换律) ②(λa )· b ＝λ (a ·b )＝a · (λb ) (数乘结合律) ③(a ＋b )·＝a ·＋b · (分配律) ④(a ·b )c ≠a (b · c ) （一般不满足结合律） 五．例题剖析 加深对数量积定义的理解 例1 判断正误，并简要说明理由.

平面向量的数量积 一．选择题 1. 已知 a ( 2,3), b ( 1, 1),则 a ?b 等于 （ ） A.1 B.-1 C.5 D.-5 r r r r r r r r 2．向量 a ， b 满足 a 1, b 4, 且 a b 2 ,则 a 与 b 的夹角为（ ） A ． B ． 4 C ． D ． 2 6 3 r r 60 0 r r ） 3．已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 a 3b （ A ． 7 B ． 10 C ． 13 D ． 4 4 ．若平面向量 与向量 的夹角是 ，且 ，则 ( ) A ． B ． C ． D ． 5. 下面 4 个有关向量的数量积的关系式① 0 ?0 =0 ②（ a ?b ） ?c = a ?（ b ? c ） ③ a ?b = b ?a ④ | a ?b | ≦ a ?b ⑤ | a ?b | | a | ?| b | 其中正确的是（ ） A ． ① ② B 。 ① ③ C 。③ ④ D 。③ ⑤ 6. 已知 | a |=8 ， e 为单位向量，当它们的夹角为 时， a 在 e 方向上的投影为（ ） 3 A ． 4 3B.4 C.4 2 3 D.8+ 2 7. 设 a 、 b 是夹角为 的单位向量，则 2a b 和 3a 2b 的夹角为（ ） A ． B ． C ． D ． 8. 已知 a =(2,3) , b =( 4 ,7) , 则 a 在 b 上的投影值为（ ） A 、 13 B 、 13 C 、 65 D 、 65 5 5 9. 已知 a (1,2), b ( 3,2), ka b 与 a 3b 垂直时 k 值为 （ ） A 、 17 B 、 18 C 、 19 D 、 20

06—平面向量的数量积及其应用 突破点(一) 平面向量的数量积 1．向量的夹角；2平面向量数量积的运算 1.第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用； 第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． [典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 (2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ＝23BC ，DF ＝16 DC ，则AE ·AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题 意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝? ????－12，1，所以a ·b ＝－1×? ?? ??－12＋2×1＝52. (2)取BA ，BC 为一组基底，则AE ＝BE －BA ＝23 BC －BA ，AF ＝AB ＋BC ＋CF ＝－BA ＋BC ＋512BA ＝－712BA ＋BC ，∴AE ·AF ＝? ????23 BC －BA ·? ????－712 BA ＋BC ＝712 |BA |2－2518BA ·BC ＋23|BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918 [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”． 突破点(二) 平面向量数量积的应用 的关系 平面向量的垂直问题 1.第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 [解析] (1)在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2 ＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D. (2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－ 6)．

《平面向量数量积》说课稿 一：说教材 平面向量的数量积是两向量之间的乘法，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算。本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法。本节内容也是全章重要内容之一。 二：说学习目标和要求 通过本节的学习，要让学生掌握 （1）：平面向量数量积的坐标表示。 （2）：平面两点间的距离公式。 （3）：向量垂直的坐标表示的充要条件。 以及它们的一些简单应用，以上三点也是本节课的重点，本节课的难点是向量垂直的坐标表示的充要条件以及它的灵活应用。 三：说教法 在教学过程中，我主要采用了以下几种教学方法： （1）启发式教学法 因为本节课重点的坐标表示公式的推导相对比较容易，所以这节课我准备让学生自行推导出两个向量数量积的坐标表示公式，然后引导学生发现几个重要的结论：如模的计算公式，平面两点间的距离公式，向量垂直的坐标表示的充要条件。 （2）讲解式教学法 主要是讲清概念，解除学生在概念理解上的疑惑感；例题讲解时，演示解题过程！ 主要辅助教学的手段（powerpoint） （3）讨论式教学法

主要是通过学生之间的相互交流来加深对较难问题的理解，提高学生的自学能力和发现、分析、解决问题以及创新能力。 四：说学法 学生是课堂的主体，一切教学活动都要围绕学生展开，借以诱发学生的学习兴趣，增强课堂上和学生的交流，从而达到及时发现问题，解决问题的目的。通过精讲多练，充分调动学生自主学习的积极性。如让学生自己动手推导两个向量数量积的坐标公式，引导学生推导4个重要的结论！并在具体的问题中，让学生建立方程的思想，更好的解决问题！ 五：说教学过程 这节课我准备这样进行： 首先提出问题：要算出两个非零向量的数量积，我们需要知道哪些量？ 继续提出问题：假如知道两个非零向量的坐标，是不是可以用这两个向量的坐标来表示这两个向量的数量积呢？ 引导学生自己推导平面向量数量积的坐标表示公式，在此公式基础上还可以引导学生得到以下几个重要结论： （1）模的计算公式 （2）平面两点间的距离公式。 （3）两向量夹角的余弦的坐标表示 （4）两个向量垂直的标表示的充要条件 第二部分是例题讲解，通过例题讲解，使学生更加熟悉公式并会加以应用。 例题1是书上122页例1，此题是直接用平面向量数量积的坐标公式的题，目的是让学生熟悉这个公式，并在此题基础上，求这两个向量的夹角？目的是让学生熟悉两向量夹角的余弦的坐标表示公式例题2是直接证明直线垂直的题，虽然比较简单，但体现了一种重要的证明方法，这种方法要让学生掌握，其实这一例题也是两个向量垂直坐标表示的充要条件的一个应用：即两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。 例题3是在例2的基础上稍微作了一下改变，目的是让学生会应用公式来解决问题，并让学生在这要有建立方程的思想。 再配以练习，让学生能熟练的应用公式，掌握今天所学内容。

龙源期刊网 https://www.sodocs.net/doc/e617838353.html, 求解平面向量数量积的三种方法 作者：谢伟杰 来源：《读写算》2018年第34期 摘要梅州市高一数学质量抽测题第11题是一道关于平面向量数量积的考题，这道考题引起了笔者的注意。此题很好地考察了学生对数量积概念的理解，也能很好地考察学生对求解平面向量数量积的方法是否掌握到位。 关键词平面向量数量积；解法 中图分类号：O241.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018） 34-0211-01 做题中的“少运算”是建立在对基本概念理解的基础之上的，学生只有对相关的概念、性质有深刻的理解，而不是纯粹的记公式或套方法，才能在做题中真正实现“多思考，少运算”。教师在教学中，要帮助学生去认识相关知识点的核心及实质，而不是认为学生只要能记住相关的公式或会套用某类方法解题就行，否则，在具体的问题情境中，学生极容易在公式与计算中迷失，从而找不到解决问题的有效途径。 一、原题呈现 已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则 的值为（） 二、解法展示与对比 解法一：如图1， 解法二：如图2，以点为坐标原点，为轴正方向，建立如图所示的直角坐标系。则，， 解法三：如图3，点在上的投影为点，作點在上的投影，则在是的投影为，由向量数量积的含义可知，易得与相似，所以，又，所以，即 . 故 作为选择题，解法三有明显的优点，即我们只需将在上的投影作出，对图中线段的长度作大致估计，就可迅速判断只有选项才是合理的。笔者认为这样并不是投机取巧，恰恰相 反，在考场上会做这样的思考，并采取此策略的学生，说明该生对数量积的概念有更深刻的理解，并有更好的思维能力。这与高考命题中所提倡的“多思考，少运算”的理念也是一致的。

平面向量的数量积 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ?? ??－79，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于 ( ) A ．－32 B ．－23 C.23 D.32 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与 向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．

考点71 平面向量的数量积运算 1．（13天津T12）在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ?∠=, E 为CD 的中点. 若1AC BE = , 则AB 的长为 . 【测量目标】向量的线性运算，平面向量的数量积运算. 【难易程度】简单 【参考答案】 12 【试题解析】用,AB AD 表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算. 由已知得AC =AD AB + ，12 BE BC CE AD AB =+=- ， ∴AC BE =221122 AD AB AD AB AD AB -+- 211122AB AD AB =+- 2111cos 60122AB AD AB ? =+-= ，（步骤1） ∴1 2 AB = .（步骤2） jxq59 2.（13新课标Ⅰ T13）已知两个单位向量,a b 的夹角为60 ，c ＝t a ＋(1－t )b 若b c ＝0，则t ＝__________. 【测量目标】平面向量的数量积. 【难易程度】容易 【参考答案】2t = 【试题解析】∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b c ＝t a b ＋(1－t )|b |2.（步骤1） 又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60 ，b ⊥c ，∴0＝t |a | |b |cos 60 ＋(1－t )， 0＝ 1 2 t ＋1－t .∴t ＝2.（步骤2） 3.（13江西T12）设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为π 3 ,若123=+a e e ,12=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________. 【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】 52

平面向量的数量积(20131119)作业 姓名 成绩 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－1 2 C.12 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.???? 79，73 B.????－73，－79 C.????73，79 D.????－79 ，－7 3 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC → 等于 ( ) A ．－3 2 B ．－23 C.23 D.3 2 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的 夹角为钝角，求实数t 的取值范围．

精品 平面向量的数量积及运算练习题 一、选择题： 1、下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a · (λb), （2）|a ·b|= | a |·| b |, （3）(a ·b)· c= a · (b ·c), （4）(a+b) · c = a ·c+b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a+b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b)和a 垂直,则a 与b 的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5、若2AB BC AB 0?+=,则ΔABC 为 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b, d =λa －b ,若c ⊥d,则实数λ的值为（ ） A ． 74 B ．75 C ．47 D ．5 7 8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是 （ ） ① (a ·b)·c －(c ·a)·b=0 ② | a | －| b |< | a －b | ③ (b ·c)·a －(c ·a)·b 不与c 垂直 ④ (3a+2b) ·(3a －2b)= 9| a | 2－4| b | 2 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 9.（陕西）已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???且12AB AC AB AC ?=, 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10(全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则点O 是ABC △的 .A 三个内角的角平分线的交点 .B 三条边的垂直平分线的交点 .C 三条中线的交点 .D 三条高的交点 11．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )． A ．[－2,2] B ．[－2,3] C ．[－3,2] D ．[－3,3]

平面向量的数量积的求法 一、知识储备 1．向量的夹角 已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角 的范围是：[0，π]． 2．平面向量的数量积 3.平面向量数量积的性质 设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ.(2)a ⊥b ?a ·b ＝0. (3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.特别地，a ·a ＝|a |2或|a |(4)cos θ＝a ·b |a ||b | .(5)|a ·b |≤|a ||b |. 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)；(3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到： (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ?x 1x 2＋y 1y 2＝0. [方法与技巧] 1．计算数量积的五种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义、基向量法、极化公式法，解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用． 2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．

《平面向量的数量积及运算律》 一教材分析 1 教材地位及其作用 本节选自普通高中课程标准实验教科书《数学》必修第4册第二章第5节第一课时，两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的乘法，它区别于数的乘法．这节内容是整个向量部分的重要内容之一，对它的理解与掌握将直接影响向量其他内容的学习，具有承上启下的作用。 2 教学目标 根据课程标准,教材内容，学生认知水平，确定 知识目标：理解并掌握平面向量的数量积、几何意义和运算律。 能力目标：通过对数量积的引入和应用，初步体会知识发生、发展的过程和运用过程，培养学生的科学思维习惯。 情感目标：让学生在类比、观察、探究、发现中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度。 3 教学重点与难点 根据以上对教材、教学目标的分析，确定如下教学重点和难点： 重点：平面向量数量积定义及运算律的理解 难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和对平面向量数量积的应用。 二教法分析 本节课主要采用引导发现法，通过物理情景中功的概念抽象出向量数量

积的定义，再引导学生探究其几何意义和运算律，与讲授法，讨论法，练习法等相结合 三学法分析 本节课在学法上，主要采用类比法，通过物理情景中功的概念来理解向量数量积的物理意义，进而理解其几何意义。再通过实数的运算律类比发现向量数量积的运算律，同时结合例题讲解和练习巩固。 四教学过程分析 1 问题情景 如图所示，一个力F作用于一个物体，使该物体发生了位移S，如何计算这个力所做的功． 设计意图：通过物理实例引出向量数量积的定义，为以后理解向量数量积打下基础。 2 建立模型 （1）引导学生从“功”的模型中得到如下概念： 已知两个非零向量a与b，把数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积（内积），记作a·b＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a与b夹角，｜a｜cos θ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影． 规定0与任一向量的数量积为０． 由上述定义可知，两个向量ａ与ｂ的数量积是一个实数． 说明：向量a与b的夹角θ是指把a，b起点平移到一起所成的夹角，其中0≤θ≤π．当θ＝π/2时，称a和b垂直，记作a⊥b．为方便起

平面向量数量积练习题 .选择题 1?下列各式中正确的是 ( ) (1)(入a) b=X a ()=a - b), (2) |a b |= | a | | -b |, (3) (a b) c= a (b c), (4) (a+b) c = a c+b c A ? (1) (3) B ? (2) (4) C . (1) (4) D ?以上都不对? LUU/ UUV LUU/ UUU 2. 在 A ABC 中若(CA CB)?(CA CB) 0,则 A ABC 为 ( ) A ?正三角形 B ?直角三角形 C ?等腰三角形 D ?无法确定 3. 已知|a|= 6, |b|= 3, a b =- 12,则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A . - 4 B . 4 C .- 2 D . 2 4. 已知|a |=1,|b |= 2， 且(a — b )与a 垂直，则a 与b 的夹角为 ( ) A . 60° B . 30° C . 135° D . 45° 5. 设 4, |b |= 3,夹角为 60°,则 |a + b | 等于( ) A . 37 B . 13 C . .37 D . .13 6 .设 x , y € R ，向量 a = (x,1), b = (1, y), c = (2, — 4)，且 a 丄c , b // c ,则 |a + b|等于( ) A. .5 B. .10 C . 2 , 5 D . 10 7. 已知向量 a = (1,2), b = (2, — 3).若向量 c 满足(c + a) / b , c ± (a + b),贝U c 等于( ) 7 二.填空题 8.已知e 是单位向量，a // e 且a e 18，则向量a = _____________ 9 .已知向量 a , b 夹角为 45 °,且 |a|= 1, |2a — ，贝U |b|= _____ . 10. ____________________________________________________________________________ 已知a = (2, — 1), b =(入3)，若a 与b 的夹角为钝角，贝U 入的取值范围是 ______________________ 三.解答题 11. (10 分)已知 a = (1,2), b = (— 2, n) (n>1), a 与 b 的夹角是 45 ° (1) 求 b ; 7 一 9 - D 7 一 9 7 一 3 G 7 一 9 - 7 一 3? - B