曲率估计及其在曲面检测中的应用
曲面曲率计算方法的比较与分析
研究生专业课程报告 题目：曲面曲率直接计算方法的比较 学院：信息学院 课程名称：三维可视化技术 任课教师：刘晓宁 姓名：朱丽品 学号：201520973 西北大学研究生处制
曲面曲率直接计算方法的比较 1、摘要 曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量.它们作为重要的曲面信息度量指标, 在计算机图形学, 机器人视觉和计算机辅助设计等领域发挥了重要的作用.此文对曲面上主曲率的2种直接估算方法（网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。 关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格 2、引言 传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, 其微分量的计算已经有了较完备的方法.随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、网格曲面和点云曲面正在逐渐成为计算机图形学和几何设计领域的新宠.于是, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。 CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空 间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。点的法向量和曲
率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点的点云几何信息计算方法，该类方法主要是通过直接计算法和最小二乘拟合算法获取点云的局部n 次曲面，然后根据曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而点云的局部曲面表示有两种: 一是基于法向距离的局部曲面表示，二是基于欧几里德距离的局部曲面表示。本节中针对近几年来国际上提出的对三角网格曲面估算离散曲率的直接估算法，从数学思想与表达形式等方面进行系统的归纳与总结. 3、三角网格曲面的曲率的计算及代码实现 为了叙述清楚起见, 引入统一的记号.k 1和k 2表示主曲率,曲面的主曲率即过曲面上某个点具有无穷个曲线，也就存在无穷个曲率（法曲率），其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值k 1，垂直于极大曲率面的曲率为极小值k 2。这两个曲率的属性为主曲率。它们代表着法曲率的极值。主曲率是法曲率的最大值和最小值。 H 表示平均曲率,是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1、K2，那么平均曲率则为：H= (K1 +K 2 ) / 2。 K 表示曲面的高斯曲率, 两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称
proe教程(曲面曲率)
曲面曲率 一、新建qumianqulv文件 1、打开proe； 2、设置工作目录。文件/设置工作目录，在弹出的对话框中右键单击，选择“新建文件夹”，取名为“3位学号+姓名”，单击“确定”。 3、在选择“新建”； 4、在名称中输入“qumianqulv”； 5、取消前的勾。缺省模板可以理解为默认的尺寸单位空间，proe 默认的单位是英寸磅秒（inlbs），而中国用的是公制单位毫米牛秒（mmns）； 6、选择“确定”按钮； 7、在弹出的“新文件选项”对话框中，选择mmns_part_solid。表示以mmns为单位的实体零件文件。 8、选择“确定”，新建文件完成。 二、绘制过程 1、选择“top”视图； 2、选择“”，保持默认的草绘设置，选择“草绘”按钮； 3、选择“样条曲线”工具，捕捉参照绘制如图曲线；（标注角度尺寸要依次选择角的两边和顶点）以鼠标中键结束。
4、修改尺寸。此时所有尺寸为灰色，表示是“弱尺寸”。双击长度尺寸，修改为25。双击高度尺寸，修改为70。曲线的两端均为90度。修改后，尺寸颜色变为亮色，表示是强尺寸。 5、在“菜单栏”选择“插入”，选择“扫描”-“曲面”，在下拉“菜单管理器”中选择“选取轨迹”按鼠标中建选择默认设置。 6、进入截面绘制阶段，选择工具栏命令绘制如图直线，并将角度修改为88 度，高度修改为8 7、选择工具栏结束截面绘制，按鼠标中键确定。
8、选择工具栏“基准平面”工具，选择top平面，输入平移距离 为12，选择确定 9、选择工具栏工具，选择DTM1平面，进入草绘绘制，选择 命令，绘制如图曲线，尺寸修改方法同上。
proe常用曲面分析功能详解讲解
proe常用曲面分析功能详解 现在是针对曲面分析单独做的教程 曲面分析应该贯穿在这个曲面外型的设计过程中.而不该最后完成阶段做分析 由于时间关系我单独做个分析简单的教程,将来的教程中我将逐步体现造型过程中贯穿分析的教程 本文重点在简单的阐述下曲面分析的运用,并不过多的阐述曲面的做法,PRT实物来源于SONJ.无嗔等版大,为求对比好坏,我会将质量好的PRT.修改约束成差点的来深入的阐述曲面分析的作用和看法.在这里先谢谢这些版大无私分享,也求得他们的原谅,未经过允许就转载他们的PRT还乱改.我先道歉… 现在这个拉手大家都看见了,这一步是VSS直接扫出来的.现在显示的呢是网格曲面.这个网格曲面和多人认为用处不大.但我想说几点看法,第一看这个面是不是整面,很明显这个面的UV先是连接在一起的,他是个整面.第2看他的UC线的走向，是不是规则在某一方向上，有没有乱，有没有波动。这些是我们 肉眼能看见的，是一个初步的分析，也能帮助大家理解曲面的走向趋势是怎么个事情。至于曲线的分析其他教程中以有很多阐述我就不在追述，至于什么叫曲面G1和G2相信大家也看到很多类似的教程 这个图你就能看见多个曲面的网格在一起时候的显示，说明不是整面。
网格曲面另一个重要作用呢就是观察收敛退化，也就是大家长说的3角面。 收敛退化是我们最不想看到的，但收敛点在那里呢，根据经验呢，比如说我这个，在做边界混合时候 2条直线是一组，曲线是另一组，也就是退化点在2条直线相交的地方，但新手一般看见教程是跟着裁减那里的角，至于为什么是在哪个位置可能不是很清楚，就看下网格曲面吧 剖面分析来说呢相对的要求比较高，原理呢很简单就是所选择的曲面面组和基准面相交的曲线的
第四章曲面的第二基本形式与曲面上的曲率
第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率 §5 曲面上的曲率概念 利用上一节所作的准备，围绕曲面弯曲状况的刻画，本节将引入曲面上的基本的和重要的曲率概念，并简要讨论相关的几何体． 一．主曲率 定义1 曲面 S 上的点 P 处的法曲率关于切方向的两个最值，分别称为曲面 S 在点 P 处的主曲率；使得法曲率达到最值的两个切方向，分别称为曲面 S 在点 P 处的主方向． 注记1 ① Weingarten 变换的特征值和特征方向，分别是曲面的主曲率和主方向． ② 当两个主曲率 κ1(P ) ≠ κ2(P ) 时，曲面在点 P 处有且仅有正交的两组主方向，每一组的单位化向量分别就是Weingarten 变换的单位正交特征向量．而当两个主曲率 κ1(P ) = κ2(P ) 时，曲面在点 P 处的任何非零切向都是主方向，Weingarten 矩阵 ω(P ) = κ1(P )I 2 ，即 Ω(P ) = κ1(P )g (P ) ． 主曲率和主方向的计算，自然归结为Weingarten 变换的特征值和特征方向的计算，也就是Weingarten 矩阵的特征值和特征方向的计算．即： ① 对于主曲率的算法，当易知Weingarten 矩阵 ω 之时，方程为 (4.3) 式，或直接写为 (5.1) |ω - λI 2 | = 0 ； 等价地，当易知系数矩阵 Ω 和 g 之时，其方程可变形为 (5.2) |Ω - λg | = 0 ． ② 对于主方向的算法，各种等价算式为 a = a i r i ≠ 0 为主方向，即非零切方向 a 1:a 2 为主方向 ? ?λ , ?(a 1, a 2)ω = λ(a 1, a 2) , (a 1, a 2) ≠ (0, 0) ? ?λ , ?(a 1, a 2)Ω = λ(a 1, a 2)g , (a 1, a 2) ≠ (0, 0) ? det. ????(a 1, a 2 )Ω (a 1, a 2)g = 0
(八)曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率
3.6 曲面的主曲率、高斯曲率、平均曲率 一 主曲率 定义曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在该点的主曲率。 因曲面在一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，故主曲率即曲面在一点处沿曲率线方向的法曲率。 二 欧拉公式 结论：取曲面上的曲率线网为曲纹坐标网，设沿u-线的主曲率为 1κ，沿v-线的主曲率为2κ,曲面上任意方向(d)=du:dv 与曲线的夹角 为θ,则沿（d ）的法曲率n κ满足2212cos sin n κκθκθ=+ . 这个公式叫做欧拉公式。 证明 因为曲纹坐标网是曲率线网，所以F= M =0,所以对曲面上 任意方向(d)=du:dv ,与其对应的法曲率22 22 n Ldu Ndv Edu Gdv κII +== I + . 沿u-线（0v δ=）的法曲率为主曲率1L E κ=,沿v-线（0u δ=）的法曲率为主曲率2N G κ= . 因为(d)=du:dv 与u-线的夹角是θ,所以 cos θ=, 所以2 2 22 cos Edu Edu Gdv θ= +, 2 2 22sin Gdv Edu Gdv θ=+,所以 2222 2212222222 cos sin n Ldu Ndv L Edu N Gdv Edu Gdv E Edu Gdv G Edu Gdv κκθκθ+==+=++++ 三 主曲率的性质 命题6 曲面上（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值。
证明 设12κκ< (如果12κκ>,可以交换坐标u 和v）由欧拉公式知： 22212212cos sin ()cos n κκθκθκκκθ=+=+-,于是2221()cos 0n κκκκθ-=-≥, 所以2n κκ≥,同样可得2121()sin n κκκκθ-=-，所以1n κκ≤,故12n κκκ≤≤, 这就是说，曲率21,κκ分别是法曲率n κ 中的最大值和最小值。 四 主曲率的计算公式 结论 设(d)=du:dv 为曲面S: (,)r r u v = 在 P 点处的主方向，沿主方向的主曲率为N k ，则N k 的计算公式是 0N N N N L E M F M F N G κκκκ--=-- 即22 2()(2)()0N N EG F LG MF NE LN M κκ---++-=。 注：要求主曲率，只需求出两类基本量，然后由这个二次方程解出主曲率N k 即可。 证明 由Rodrigues 定理，N k 为主曲率dn dr λ?= ，即 ()()()N u v N u v N Ldu Mdv Edu Fdv n du n dv r du r dv Mdu Ndv Fdu Gdv κκκ--=-+?+=-+??--=-+? 即()()0 ()()0N N N N L E du M F dv M F du N G dv κκκκ-+-=??-+-=? 有非零解du:dv 0N N N N L E M F M F N G κκκκ--? =-- 即22 2()(2)()0N N EG F LG MF NE LN M κκ---++-= 五 高斯曲率、平均曲率 定义 设12,κκ为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积12κκ 叫做曲面在这一点的高斯曲率，记为K, 即12K κκ=; 它们的平均数称为曲面在这一点的平均曲率，记为 H ，即121 ()2 H κκ=+。 由主曲率的计算公式和韦达定理可知高斯曲率、平均曲率的计算 公式是：高斯曲率2 2 LN M K EG F -=-，平均曲率222()LG MF NE H EG F -+=-。
proe 曲面曲率
分析曲面曲率 模块概述 使用曲面特征设计产品时，曲面间的过渡扮演着重要的角色。曲面边的曲率连续性条件确定这些过渡的平滑程度。 在本模块中，您将学习如何分析曲面的曲率以及如何使用基于双向曲率的图形和着色曲率图形来确定曲面是否具有曲率连续性。此外，您将学习曲率连续曲面的创建方法。 目标 成功完成此模块后，您即可知道如何： ?分析曲面理论。 ?定义曲率和曲率连续性。 ?分析曲线的曲率。 ?分析曲面的曲率。 ?使用截面分析曲率。 ?使用法线分析曲率。 ?使用曲面的着色曲率。 ?使用着色截面曲率。 ?创建曲率连续曲面。
曲面分析理论 您可使用专用工具分析曲面模型，例如连续性、扭曲以及视觉特性。 ?其目标是为了创建高质量的曲面。 ?分析曲面的原因： o预期的平滑度和连续性 o预期的曲率 o无扭曲或扭结 o适合于制造过程 ?常用分析选项： o快速 o已保存 o特征 查看着色曲率
“保存的分析”对话框 剖面分析 曲面分析理论 Pro/ENGINEER 提供了许多不同的工具，以满足不同的建模要求。您可根据自己的目标使用特定工具分析曲面模型，例如连续性、扭曲以及视觉特性。
分析曲面的原因 创建曲面时，目标是创建具有高质量的曲面。请考虑以下分析曲面的原因： ?创建具有预期平滑度和连续性的曲面。可使用分析工具检验相切和曲率连续性。 ?创建具有预期曲率的曲面。可检查是否存在不需要的高曲率区域，这些区域表示曲面有问题。例如，曲面中的扭结会使曲率显示为突然增大，借助Pro/ENGINEER 的分析工具可轻松找出此类扭结。 ?创建无扭曲的曲面。扭结或小曲面片是曲面模型中常见的问题。在创建实体零件或创建制造序列时，它们可能在添加厚度时引起一些问题。 ?创建适合于制造过程的曲面。许多操作(例如创建加工序列) 都会将曲面侧考虑在内。曲面模型中的面组应具有相应的正法向侧。 常用分析选项 使用Pro/ENGINEER 的模型分析工具时有三个选项可用： ?快速(Quick) - 允许计算测量而不保存分析或在模型树中创建特征。关闭对话框后此分析消失。 ?已保存(Saved) - 允许保存测量以备今后使用。关闭对话框后此分析保留。可以为分析指定一个唯一名称，以使以后它对您有意义。 可通过单击“分析”(Analysis) > “保存的分析”(Saved Analysis)来启用、禁用或编辑保存的分析的显示。已保存分析更新为模型几何更改。“保存的分析”对话框如左下图所示。 ?特征(Feature) - 允许将分析作为一种特征保存在模型树中。该分析更新为模型几何更改。 定义曲率 曲面的曲率定义为与1/R 成正比，其中R 为曲面在指定位置的半径。
第二章第十三节曲面上法曲率的最值高斯曲率平均曲率极小曲面
第二章曲面论 第十三节曲面上法曲率的 最大值、最小值、 高斯曲率、平均曲率、极小曲面 根据法曲率的几何意义, 法曲 率完全反映了曲面在一点处沿指定 方向的弯曲程度和弯曲方向, 因此, 理论上曲面在一点处沿任意方向的 弯曲性是完全可以量化. 但实际上 是做不到的, 因为曲面在一点处有 无穷多个切方向. 于是我们自然提 出这样两个问题: 法曲率随方向变 化的变化规律是什么? 法曲率是否 有最大值和最小值? 下面针对这两 个问题展开讨论.得到的结论是: 由Euler 公式给处了曲面上一点沿各个方向, 法曲率的变化规律, 而且法曲率有最大值 和最小值, 它们被称为主曲率, 最后由主 曲率进一步引出Gauss曲率和平均曲率的概念.
一、 法曲率的最大值、最小值 曲面:(,)r r u v ∑=上一点P 沿一方向():d du dv =上的法曲率n k 为 n k II =I 22 22()2()()2()L du Mdudv N dv E du Fdudv G dv ++= ++ ， （1） 我们考虑法曲率n k 的最大值、最小值问题。 设du dv λ=，则有 2 2 22n L M N k E F G λλλλ++=++，
这样一来，所求问题转化为求二次分式的极值问题。 222(2)0n L M N k E F G λλλλ++-++=， 2 ()2()0n n n L k E M k F N k G λλ-+-+-=， 此二次方程有根，当且仅当 2()()()0n n n M k F L k E N k G ----≥， 222()(2)()0 n n EG F k LG MF NE k LN M --+-+--≥。 设12,k k 12()k k ≤是方程 222()(2)()0 n n EG F k LG MF NE k LN M --+-+--=，（2） 的两个根， 则有12n k k k ≤≤， 于是n k 的最大值、最小值分别为 21,k k ，且由方程（2）所解出。 由 韦达定理，便得 2 122LN M k k EG F -=-，
曲面曲率计算方法的比较与分析
. 研究生专业课程报告 题目：曲面曲率直接计算方法的比较 学院：信息学院 课程名称：三维可视化技术 任课教师：刘晓宁 姓名：朱丽品 学号： 201520973 西北大学研究生处制
曲面曲率直接计算方法的比较 1、摘要 曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量.它们作为重要的曲面信息度量指标, 在计算机图形学, 机器人视觉和计算机辅助设计等领域发挥了重要的作用.此文对曲面上主曲率的2种直接估算方法（网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。 关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格 2、引言 传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, 其微分量的计算已经有了较完备的方法.随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、网格曲面和点云曲面正在逐渐成为计算机图形学和几何设计领域的新宠.于是, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。 CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。点的法向量
和曲率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点的点云几何信息计算方法，该类方法主要是通过直接计算法和最小二乘拟合算法获取点云的局部n 次曲面，然后根据曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而点云的局部曲面表示有两种: 一是基于法向距离的局部曲面表示，二是基于欧几里德距离的局部曲面表示。 本节中针对近几年来国际上提出的对三角网格曲面估算离散曲率的直接估算法，从数学思想与表达形式等方面进行系统的归纳与总结. 3、三角网格曲面的曲率的计算及代码实现 为了叙述清楚起见, 引入统一的记号.k 1和k 2表示主曲率,曲面的主曲率即过曲面上某个点具有无穷个曲线，也就存在无穷个曲率（法曲率），其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值k 1，垂直于极大曲率面的曲率为极小值k 2。这两个曲率的属性为主曲率。它们代表着法曲率的极值。主曲率是法曲率的最大值和最小值。 H 表示平均曲率,是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K 1、K 2，
A级曲面设计规范
XXXXX有限公司 A级曲面设计规范 编制:日期: 校对:日期: 审核:日期: 批准:日期: 20发布 20--实施 XXXXX有限公司发布
一、A级曲面光顺原则 1．所有特征都必须具有可扩展性和可编辑性。 2．所有特征都必须分解成单凸或单凹特征。 3．所有特征面的光顺保证2阶导数以上连续。 4．所有特征线（面）函数必须小于6阶。 5．所有特征间的连接要2阶导数以上连续（曲率连续） 6．所有特征间的连接偏差小于0.0001。 7．一块大面上多特征拼接的，建模默认误差小于0.0001，角度误差小于0.01度。 8．单一特征面的建模默认误差小于0.00001，角度误差小于0.001度 9．造型决定的不同特征形状可不要求曲率连续或相切连续。 10．在不能保证大特征面如上质量情况下，宁可牺牲边界线或缝线或特征连接，特征的连续保证相切连续（角度误差小于0.1度）。 11．不明显的局部特征过渡区（如A柱下端与翼子板过渡区），允许曲率不连续，但要保证相切连续。 12．外观特征筋线倒角R2~R5 仪表板边界相交倒角 R5~R10 13．顶盖、发动机盖、行李箱盖，与侧围做大面相交，然后以交线为中心，依据点云特征，进行曲率或相切连续。 14．大于R10的倒角，要考虑搭桥，保证曲率连续。 15．为获得A级曲面、允许与点云误差±5mm。 16．零件边界线必须光顺。 17．一块大面如果在两头曲率变化太大（相差2倍以上）必须分开特征，然后与主曲面拼接，拼接精度偏差小于0.0001，角度偏差小于0.01度）。 18．不可以用多个特征断面，用扫面（sweep）的方法，但可用单特征面（曲率变化不超过2倍）多个断面扫面。 19．不可用多个边界约束的小面拼接零件。
CATIA中曲面外形分析
曲面外形分析 CATIA 提供了丰富的曲面外形分析功能对曲面进行分析，包括反射线，高亮分析、面上曲率分析、斑马线分析等功能。本文将对上述各项分析功能进行介绍。 1 反射线 反射线（Reflection Line），通过建立一组平行的直线，用这组直线模拟霓虹灯，将光线照射到曲面上，形成一系列的反射线，由此分析曲面的形状。 首先需要选择要进行分析的曲面。接着在【Shape Analysis（外形分析）】工具栏中选择【反射线】功能，弹出【Reflection Lines】对话框。在对话框中，Neons栏目可以设置反射线的密度及数量。在输入栏中设定反射线的数量， 在输入栏中设定反射线的间距。单击对话框中的按钮，可以将指南针移动到曲面上方。如图1所示。 图1 在Eye栏目中列出了反射线的入射角度。屏幕视角，以屏幕垂直的方向将光线投射到曲面上，旋转曲面，可以观察到反射线的变化，如图2所示是两个不同视角的反射线。
图2 指南针方向，以指南针的方向作为入射光线的方向，调整指南针的方向，可以改变反射线，如图3所示。 图3 在反射直线上单击右键，弹出如图4所示的菜单，选择Keep this reflection line 可以将当前所选择的直线在曲面上的所有反射线保留成为曲线，如图5所示。选择Keep all reflection lines可以将所有反射线保留。
图4 图5 2 拐点曲线 拐点曲线（Inflection line），可以江曲面上曲率为0的点连接成曲线。拐点曲线两侧的曲率方向相反。在【Shape modification（外形修改）】工具栏中选择 拐点曲线功能，弹出如图6所示的对话框。首先需要选择要进行分析的曲面，曲面显示的拐点曲线，如图6所示。
【微分几何】自由曲面的高斯曲率计算方法
学校 自由曲面的高斯曲率 计算方法 专业：数学与应用数学 学生姓名： 班级： 完成时间：2016年5月5日
在曲面造型中，曲面在一点附近的形状与在该点曲面的主曲率的乘积即高斯曲率有关，该点与附近点的高斯曲率比较可以反映出该点附近的形状变化。故可以用高斯曲率来表达该点的形状信息，对该点附近的形状质量进行评判。但这一方法中如何计算曲面的高斯曲率成为一个难题。 要求出自由曲面上一点的高斯曲率，可以根据以往的定义求解，这种方法需要求曲面的偏导，计算过程比较复杂，而且算法与曲面的表示方法有关，即Bezier 曲面的高斯曲率与NURBS 曲面的高斯曲率是不相同的。因此针对不同的曲面表示形式，需要编制不同的程序来实现。对NURBS 曲面的各阶偏导是各不相同的，也需要各阶编不同的程序来实现。本文提出一种不经过求偏导的方法求曲面点的高斯曲率，这种方法对各种曲面的高斯曲率计算都是统一的，与NURBS 曲面的阶数无关，适用于各种表达方式的曲面。 1、计算原理 如图1所示，设N 表示曲面S 在一点P 上的单位法矢，切S 且经 过N 的平面与曲面相交成一条曲线，同样，不经过N 但经过P 点的 平面与曲面同样也可以相交成一条曲线。 让每一个法平面与一个方向及单位切矢t 对应，即在曲线P 点，一
个法曲面曲率k n 对应一个位置。这个法曲面曲率随着切的平面绕N 的 旋转而变化。k n 存在最大和最小值，即为P 点的主曲率。令21,k k 代表主曲率，21t t ，代表各自对应的切线方向。 设?为任意曲率切线方向t 与1t 的夹角。Leonhard Euler 得出如下关系式： ??2221sin cos k k k n += (1) 令以主曲率对应切线方向21t t ，为坐标系，则任意曲率切线方向t 对应的法曲面曲率在该坐标系的坐标为： 2/12 /1)(sin ,)(cos n n k y k x ??±=±= 由欧拉公式则有： 12221±=+y k x k (2) 这一公式定义了曲面在P 点的杜潘标线。 如果主曲率同号，那么法曲面曲率在任一方向同号，P 点处曲面整体在切平面的一侧，在这种情况下（1），（2）式表示一个椭圆。如果主曲率不同号，P 点是凸出或凹陷点，在这种情况下（1），（2）式表示一个双曲线。 如果以上坐标轴不是主曲率方向对应的切线方向，则有如下的杜潘标线方程： 1222±=++By Cxy Ax （3） 当知道任一点的杜潘标线则知道了主曲率的大小和方向。计算在某一方向的法曲率，代入（ 3）式，然后旋转一个角度，计算杜潘标线。