科斯定理(Coase Theorem)

科斯定理（Coase Theorem）

Robert Cooter

给从未涉及过科斯定理的学生上科斯定理课的教师，都亲身感受了科斯定理所引起的惊叹和佩服，但科斯本人却从未将定理写成文字，而其他人如果试图将科斯定理写成文字，那很有可能是走了样的，或成了同义反复。被称作科斯定理的命题或命题组，源于一系列案例。科斯像法官一样一直拒绝把他初始论文中的论点加以广泛地推广。正如法官的言论一样，对于他论文中的每一个解释，都有另外一种似乎说得通的看法。我不想得出最终结论，但我愿谈谈几种对科斯定理的传统解释，并用科斯的几个例子之一来加以阐明。经过20多年的争论，传统的解释似乎已经穷尽了科斯定理含义。

微观经济学的一个中心思想是，自由交换往往使资源得到最充分的利用，在这种情况下，资源配置被认为是帕累托（Pareto）有效的。除了资源所有权外，法律还规定了其他许多权利，诸如以某种形式使用其土地的权利、免于骚扰权、意外事故要求赔偿权或合同履行权。可以这样认为，科斯概括的关于资源交换的一些论点适用于关于法定权利交换的种种论点。根据这种看法，科斯定理认为，法定权利的最初分配从效率角度上看是无关贤要的，只要这些权利能自由交换。换句话说就是，由法律所规定的法定权利分配不当，会在市场上通过自由交换得到校正。

这种观点认为：保障法律的效率，就是消除对法定权利自由交换的障碍。含糊不清常常损害法定权利，使其难于得到正确估价。此外，法庭也并非总是愿意强制履行法定权利的交易合同。因此，根据“自由交换论”，法律的效力是由明确法定权利并强制履行私人法定权力交换合同而得以保障的。

经济学家们认为，除了交换自由之外，还必须具备一些其他条件，才能使市场有效地配置资源。条件之一是关于交易成本的含糊但不可或缺的概念。狭义上看，交易成本指的是一项交易所需花费的时间和精力。有时这种成本会很高，比如当一项交易涉及处于不同地点的几个交易参与者时。高交易成本会妨碍市场的运行，否则市场是会有效运行的。广义上看，交易成本指的是协商谈判和履行协议所需的各种资源的使用，包括制定谈判策略所需信息的成本，谈判所花的时间，以及防止谈判各方欺骗行为的成本。由于强调了“交易成本论”，科斯定理可以被认为说的是：法定权利的最初分配从效率角度看是无关紧要的，只要交换的交易成本为零。

正如物理学中的无摩擦平面，无成本交易只是一种逻辑推理的结果，在现实生活中是不存在的。注意到这一点后，根据科斯定理的交易成本论所引伸的政策结论是：要利用法律最大程度地降低交易成本，而不是消除这些成本。根据这种思路，而不是首先追求有效地分配法定权利，立法者更倾向于通过促进这种交易而取得效率。旨在通过鼓励人们达成涉及法定权利交换的私人协议而避免诉讼的法律程序是很多的。

“交易成本论”把注意力集中在对法定权利交换的某些障碍上，特别是谈判和履行私人协议的成本。当人们给“交易成本论”下一个相当谨慎的定义时，除了交易成本外，还存在着对私人交易的其他一些障碍。调节理论根据对完全竞争的不同偏差，建立了一种更为精确、详尽的分类方法。比如某垄断者通过提供比竞争数量少的商品，提高这种商品的价格，从而增加利润。因此，垄断是市场机制失灵的一种形式，通常将其同交易成本加以区分。科斯定理强调这种“市场机制失灵论”，因而可以被认为说的是：“法定权利的最初分配从效率角度来看是无关紧要的，只要这些权利能够在完全竞争的市场进行交换。”这种观点认为：保证法律的效率，就是保证有一个法定权利交换的完全竞争市场。完全竞争的条件包括。要存在许多买主和卖主，没有外来影响，市场参与者们有关于价格和质量的充分信息，以及没有交易成本。

科斯提到的一个著名的历史例子可以说明这三种看法。火车烧柴和煤常常溅出火星，引燃农田。每一方都可采取防备措施以减少火灾的损失。要说明这点，农民可以停止在铁轨边种植和堆积农作物，而铁路部门可装置防火星设施或减少火车出车次数。

初看上去，似乎是法律控制了各方采取防备措施的动力，因此，法律决定了火灾引起损失的次数。要知道，禁令是财产法中制止妨害行为发生的传统手段。如果农民有权指挥铁路部门，直到不溅火星才允许铁路通车，那么，火星就几乎不会引起什么火灾损失。反过来，如果铁路部门不受惩罚地营运，那么，就会引起大量的火灾损失。根据科斯定理，这些现象会把人引人歧途，因为虽然法律规定了权利的最初分配，而市场却决定着最终分配。须知，如果农民有权禁止铁路部门运营，那么，他们就可以出售这一权利。具体说就是，铁路部门支付一笔钱给农民，以换取具有法律约束力的承诺一一不禁止铁路运营。反过来说，如果铁路部门有权不受惩罚地溅出火星，那么，它就可以出售这一权利。具体说就是，农民可以支付一笔钱给铁路部门，以换取具有法律约束力的承诺——减少火星的溅出。

无论权利最初分配如何，农民和铁路部门都乐于继续权利交换，只要这种交易有利可图。正如普通商品一样，法定权利交易的好处只有等到每种权利由认为其价值最大的一方得到时才会丧失。所以，如果农民有权免于火星之苦，而有权溅出火星对铁路部门比有权免于火星之苦的农民更加重要的话，那么，农民向铁路部门出售权利会使双方得益。当权利得到有效分配时，那么，交易的潜在好处也就丧失殆尽。因此，当市场正常发挥作用时，法定权利的均衡分配是有效率的。

对科斯定理的这三种说明，对于市场发挥正常作用所需条件的要求程度是不同的。根据“自由交换论”，如果法定权利是明确规定的，并且交换法定权利的合同能够强制履行，则法定权利的均衡分配就是有效率的。在上述例子中，当农民具有禁止妨害行为的权利，或当铁路部门具有不受惩罚地溅出火星的权利时，“自由交换论”的条件显然就得到满足了。因此，根据科斯定理的自由交换论，农民是否有权禁止铁路部门或铁路部门是否有不受惩罚而污染环境的权利，从效率角度来看是无关紧要的。

“交易成本论”所得出的效率结论就不同了。如有许多农民，那么，同他们进行谈判和履行协议的成本很高，当个别的农民坚持多占利益时尤其如此，所以，权利最初分配的低效率可能会长期存在，尽管有达成一些私下协议的机会。另一方面，如果农民很少，铁路部门同他们进行谈判和履行协议的成本会很低，科斯定理预言，在这样的，情况下，法定权利的均衡分配将是有效率的。

再来看看第三个说明。根据“完全竞争论”，如果法定权利交易市场上完全竞争这一条件得到满足，那么，法定权利的均衡分配就将是有效率的。在铁路部门和农民这个例子中，只存在着一条铁路，所以市场的特点是垄断，而不是完全竞争。此外，不具备完全竞争的条件还有其他表现形式。比如农民对火星造成损失的情况可能会比铁路部门了解得多，而铁路部门对减少火星的技术要比农民了解得多。鉴于这些事实，农民和铁路部门之间的法定权利交换将远不是完全竞争条件下的交换，因此，市场可能无法纠正法定权利最初分配中的低效率。

当然从收入分配的角度来看，权利的最初分配一直是举足轻重的。因为，如果效率要求铁路部门不受禁令约束，那么，要给予农民放弃这种禁止的权利以补偿，这会促使铁路部门购买这种权利。这项交易是铁路部门的支出和农民的收入。反过来说，给予铁路部门不受惩罚的权利，将会使其节省了这种购买权利的支出，而剥夺了农民出售这种权利的收入。正如稀有资源一样，稀有的立法权利也是值钱的。

科斯定理是真理还是谬误？在经济学中，一个证明是从一些普遍接受的行为假设派生的。正如我要说明的，以科斯定理的这三条说明中任何一条来确定科斯定理，都会碰到障碍，这些障碍表明，科斯定理有可能是错误的或仅仅是同义反复。

最脆弱的定理形式声称：法定权利在完全竞争的情况下得到有效分配。当阿罗（Arrow）研究了与科斯讨论过的那些外在性相似的外在性时，他表明，效率条件可以被看作是外在性权利交换的一个竞争市场中的均衡条件。但是，正如阿罗以及其他人（斯塔雷特（Starrett））所指出的那样，这种正规声明毫无实际价值，因为就本质来说，种种外在性具有阻碍竞争市场形成的特点。

为说明这一点，我们可以假设，除了持有政府发行的可买卖的允许污染票券持有者之外，污染行为是完全禁止的。每一个持有这种票券的受污染者要阻止污染行为，而每个获得了这种票券的污染者则要利用它去增加污染。显而易见，被污染者个人持有这种票券的社会利益大于他的个人利益，因此他们会大量抛售这种票券。同样地，污染者获得这种票券的社会成本高于其个人成本，因此，他们会大量收购这种票券。个人和社会成本之间的差异本身就是一个外在性。所以，试图通过建立污染票券交易市场来消除外在性，只能产生新的外在性。事实上并不存在科斯讨论过的这种外在性的完全竞争市场，并且，这种市场似乎也不可能通过私人协议而自发地产生。政府可能有办法建立一个虚假的市场，但没有一个市场真正建立起来。

从科斯定理中的完全竞争市场论转到交易成本论，我们观察到，当受影响的只有少数几方时，比如说当相邻的土地所有者就他们其中之一所引起的妨害行为进行谈判时，私下解决可能会是有效率的。如果只涉及少数几方，那么，法定权利价格将由他们谈判决定，而不是他们成了价格的接受者。这样的话就违反了完全竞争的假设，但这种谈判往往获得成功。根据科斯定理的交易成本论，影响少数人的外在性问题会有一些有效的解决方法。

虽然交易成本论作为一种粗估法是准确的，但它并不十分符合实际。它有赖于这样的命题：谈判和履行协议的成本为零时，谈判才能取得有效的结果。在实际中，少数人之间的谈判有时以失败而告终，如工会罢工、劫机者杀死人质、房地产经纪人由于价格上不能达成一

致意见而蚀本和诉之法庭，等等。与通讯和履行协议费用无关的基本障碍，在于谈判策略的性质。就其定义而言，一项谈判具有达成协议可产生利益的特点，但怎样分配利益却无协商一致的办法。自私自利的谈判者在不破坏合作基础的前提下尽全力要求得到尽可能大的利益份额。用经济术语来说就是，理性的谈判者要求获得每一个额外的美元，只要由此而引起的不合作可能性所产生的损失小于一美元。当谈判者过低估计对手的决心，他们就会施加过大的压力，谈判也就无法达成协议，谈判具有内在的不稳定性。

本着这种看法，科斯定理的交易成本论犯了方向性错误，即过于乐观地假设：只要谈判无成本，合作就会诞生。与其背道而驰的“霍布斯（Hobbes）定理”也犯了方向性错误，即过于悲观地假设：分配利益的问题只能通过威胁，而不能通过合作来解决。现实是介于过于乐观和过于悲观之间，因为策略行为在有的情况下导致谈判失败，但不是所有的情况下都是如此。

科斯定理的这一说明对理论和经验研究提出的挑战，是要预计法定权利何时才能通过私下协议进行有效率的分配。为进一步展开辩论，要撇开广义的“交易成本”和“自由交换”这类标签，而代之以实在与详细的对条件的描述，是这些条件使得有关法定权利的谈判得以成功。幸运的是，近年来已出现了一种较令人满意和较切合实际的谈判理论。根据这种理论，谈判在部分情况下可能由于策略原因而失败。但在均衡条件下，没有人对失败发生的频率感到惊奇（主要概念是贝叶斯一纳什（Bayes-Nash）均衡。

在经济学中，“经验主义的验证”就是预测和事实之间的比较。近来有些人试图证明科斯定理，比如确定一些小集团通过谈判达成有效协议所需的条件。对策论的一些新发展连同相关的经验主义研究，使人们有希望最终对这些条件做出科学的阐述。如果具备这些条件，就能通过私下协议纠正法定权利的低效率分配状况。

科斯定理具有什么意义？庇古（Pigou）运用经济学理论来捍卫如下习惯法原则：造成某种损害的一方应受指责，或被要求赔偿损失。根据庇古的论点，习惯法的这种规则通过社会成本内在化来促进经济效益。在有些情况下，他发现习惯法中存在着种种缺口，这就需要补充立法，诸如对污染者征收与污染的社会成本相等的税款。

科斯的论文被认为是对庇古的损害法分析的一种进攻。科斯不同意这种结论：通过损害法或征税，政府的行动一般对实现效率是必需的。科斯定理认为，损害所代表的外在性有时，或可能常常会自我纠正。我认为，市场机制失灵的形式多种多样，无法根据某种相当谨慎的交易成本概念对之加以总结。因此，科斯定理的交易成本论应被看作是谬误或一种同义反复，其实外在性通过扩大交易成本的定义而获得。虽然自发和私下解决种种外在性问题的障碍要比科斯定理所提到的更多，但政府在促进私人达成协议方面的作用（而不是发布命令），符合当代经济学对政府调节作用的理解。

在政府必须采取行动纠正某种损害的情况下，科斯否定了庇方的如下看法：习惯法因果关系概念对确定责任是有用的指南。科斯认为，按习惯法原则判定的某人造成了某种损害，这一事实并不意味着能有效地使其受罚或指责他。在科斯看来，效率问题是由成本与效益相抵的差额来决定的，在这方面，因果关系的作用并非是决定性的。科斯认为，因果关系与跟无数法庭判决相矛盾的法律责任无关，并且它对法律的现实或理论显然没什么影响。

不管科斯理论功过如何，反正他对人们普遍接受的财政观点提出了挑战。在他的论文问世以前，很少有人注意到外在性通过私人协议加以解决的可能性。因此，科斯的主张触及了经济学的一个重大争论的核心。此外，科斯论文的出版可以被看作是后来被称作为“法律和经济学”的这个课题的一次突破。在科斯论文出版以前，经济学分析——相对经济学思想而言——并未应用于习惯法，而在法律院校的教学中，习惯法处于法律理论和方法的中心。科斯以法学家的态度分析财产法案例，但又以微观经济学理论来指导这一分析，他的研究证明，习惯法的经济学分析取得了丰硕成果。虽然他未使用数学这一工具（20年后，使用这一工具成为研究这一课题的特点），但却鼓舞了成为法律经济学分析开拓者的一代学者。

摘自：约翰·伊特韦尔等编，1992，《新帕尔格雷夫经济学大辞典》，经济科学出版社出版发行

科斯定理实际应用存在的问题

科斯定理实际应用存在的问题 摘要：科斯定理由1991年诺贝尔经济学家奖获得者罗纳德·科斯提出，其主要认为在某些条件下，经济的外部性可以通过当事人的谈判而得到纠正。但是根据某些资料及实践经验显示，科斯定理的前提条件在日常生活中未必能够成立，因此科斯定理往往只能在理想状态下才得以实现。下面我们将从四个方面分析科斯定理在实际应用中可能遇到的问题。 一、科斯定理的理解 科斯定理表明：只要确定了产权，那么在处理外部性问题时就可以用市场化的方法来解决，而政府干预就无须出现，这时资源配置也能够达到有效。 但是这必须建立在交易成本和谈判成本都为零或者可以忽略不计的条件之上。这是由于在经济的社会中，利益最大化是所有经济活动的最终目标，若要如科斯定理所说，用市场化的方法解决外部性问题就必须遵循利益最大化的前提条件，即把成本降到最低是交易双方的共同目的和理想。 用这样一个例子来解释：甲和乙在一个不禁烟的场所坐在一起，甲是一名吸烟者，而且正在吸烟，而乙是非吸烟者。乙坐在旁边感到难受，就叫甲不要吸烟。这时乙掏出5块钱请甲不要吸烟，但是甲烟瘾犯了，不吸烟也同样难受，他觉得虽然乙给了5块钱自己，但是5块钱不足以弥补他犯烟瘾不吸烟的难受，于是他不答应。此时乙就说给甲10块钱，然而这次甲看来这10块钱可以弥补其难受的感觉，他就答应了乙不吸烟，在这桩交易中，甲收了乙的10块钱，觉得有利可图，他答应了乙不吸烟；同样的，乙觉得他自己享受新鲜空气舒服的感觉远远比10块钱重要，也是有利可图的，他愿意付出这10块钱。结果自愿交易、自愿谈判使各自的权利得到保障。科斯定理在此例中得到了实现。 二、科斯定理实际运用中存在的问题 （一）产权问题 对于上面的例子，如果双方的谈判能达成协议，交易似乎已成定局，这也让人产生科斯定理似乎能解决很多现实问题的感觉。但却忽略了一些问题，例如产权问题。这里我们想说的是土地的产权问题，产权问题不解决，市场本身就无法给出答案。 用一个例子来分析，假如新发现了一个山洞，这山洞应该归属谁？发现山洞的人？山洞入口处的土地所有者？还是山洞顶上的土地所有者？这些取决于财产法。但涉及到这山洞的用途就与财产法无关了，反而与使用者付出的费用的多寡有关。再如把一片水域分为2部分分给甲乙2个农民，但是鱼群是游动的，那么那些鱼是怎样分呢，这也是和付出的费用多寡有关。就用中国目前实际所存在的农村土地产权来说明一下产权问题解决的困难，虽然农村土地所有权属集体，但是按照科斯的解释，土地是用作耕地，还是用于开发商开发商品房，

动能定理及其应用

动能定理及其应用 1．动能定理 (1)三种表述 ①文字表述：所有外力对物体做的总功等于物体动能的增加量； ②数学表述：W 合＝12m v 2－12 m v 02或W 合＝E k －E k0； ③图象表述：如图6所示，E k －l 图象中的斜率表示合外力． 图6 (2)适用范围 ①既适用于直线运动，也适用于曲线运动； ②既适用于恒力做功，也适用于变力做功； ③力可以是各种性质的力，既可同时作用，也可分阶段作用． 2．解题的基本思路 (1)选取研究对象，明确它的运动过程； (2)分析受力情况和各力的做功情况； (3)明确研究对象在过程的初末状态的动能E k1和E k2； (4)列动能定理的方程W 合＝E k2－E k1及其他必要的解题方程，进行求解． 例1 我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．如图1所示，质量m ＝60 kg 的运动员从长直助滑道AB 的A 处由静止开始以加速度a ＝3.6 m /s 2 匀加速滑下，到达助滑道末端B 时速度v B ＝24 m/s ，A 与B 的竖直高度差H ＝48 m ，为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C 处附近是一段以O 为圆心的圆弧．助滑道末端B 与滑道最低点C 的高度差h ＝5 m ，运动员在B 、C 间运动时阻力做功W ＝－1 530 J ，取g ＝10 m/s 2. 图1 (1)求运动员在AB 段下滑时受到阻力F f 的大小；

(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C 点所在圆弧的半径R 至少应为多大． 答案 (1)144 N (2)12.5 m 解析 (1)运动员在AB 上做初速度为零的匀加速运动，设AB 的长度为x ，则有v B 2＝2ax ① 由牛顿第二定律有mg H x －F f ＝ma ② 联立①②式，代入数据解得F f ＝144 N ③ (2)设运动员到达C 点时的速度为v C ，在由B 到达C 的过程中，由动能定理得 mgh ＋W ＝12m v C 2－12m v B 2 ④ 设运动员在C 点所受的支持力为F N ，由牛顿第二定律有 F N －mg ＝m v 2 C R ⑤ 由题意和牛顿第三定律知F N ＝6mg ⑥ 联立④⑤⑥式，代入数据解得R ＝12.5 m.

正弦定理应用教案

正弦定理应用教案 【篇一：正弦定理、余弦定理应用举例教案】 第7讲正弦定理、余弦定理应用举例 【考查要点】利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题． 【基础梳理】 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型。如测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、 物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的 角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))． (2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点 的方 (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 3、解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量 与量 之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近 似计算的要求等． 4、解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上 的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐 步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 【例题分析】 一、基础理解 a．．3 m c． m 2

解：如图．答案 b 例4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔 恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船 a．5海里 b．3海里 c．10海里 d．海里 5里)，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．答案 c 0.5 二、测量距离问题 例1、如图所示，为了测量河对岸a，b两点间的距离，在这岸 [分析] 在△bcd中，求出bc，在△abc中，求出ab. 例2、如图，a，b，c，d 都在同一个与水平面垂直的平面内， b、d为两岛上的 试探究图中b、d间距离与另外哪两点间距离相等，然后求b， d的距离． 故cb是△cad底边ad的中垂线，所以bd＝ba. 2＋同理，bd(km)．故b、d km. 2020 三、测量高度问题 [分析] 过点c作ce∥db，延长ba交ce于点e，在△aec中 解得x＝10(33) m．故山高cd为10(33 ) m. 总结：(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．， cd cdx ab解：在△abc中，ab＝5，ac＝9，∠bca＝sin∠acb 9同理，在△abd中，ab＝5，sin∠bad 10 abbd∠adb＝， sin∠bdasin∠bad 22解得bd故bd的长为22 总结：要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理． 点，ad＝10，ac＝14，dc＝6，求ab的长． 解：在△adc中，ad＝10，ac ＝ 14，dc＝6， 【篇二：《正弦定理》教学设计】

公开课教学设计(正余弦定理及其应用)

解三角形教学设计 四川泸县二中吴超 教学目标 1.知识与技能 掌握正、余弦定理，能运用正、余弦定理解三角形，并能够解决与实际问题有关的问题。 2.过程与方法 通过小组讨论，学生展示，熟悉正、余弦定理的应用。 3.情感态度价值观 培养转化与化归的数学思想。 教学重、难点 重点：正、余弦定理的应用 难点: 正、余弦定理的实际问题应用 拟解决的主要问题 这部分的核心内容就是正余弦定理的应用。重点突出三类问题： （1）是围绕利用正、余弦定理解三角形展开的简单应用 （2）是三角函数、三角恒等变换等和解三角形的综合应用 （3）是围绕解三角形在实际问题中的应用展开 教学流程

教学过程 一、知识方法整合 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 = = = 2、三角形面积公式：C S ?AB = = = 3、余弦定理：C ?AB 中2a = 2b = 2c = 4、航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语 5、思想与能力：代数运算能力，分类整合，方程思想、化归与转化思想等 二、典例探究 例1 [2012·四川卷]（小组讨论，熟悉定理公式的应用） 如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE=1，连接EC 、ED 则sin∠CED=_______（尝试多法） 解3：等面积法 解4：观察角的关系，两角和正切公式 解5：向量数量积定义 练1：在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.? ????0，π6 B.??????π6，π C.? ????0，π3 D.???? ??π3，π 解1：由正弦定理a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知bc ≤b 2＋c 2－a 2=2bc cos A ，即1C D E C D E C D =?==1解：中，， 222210EC ED CD EC ED +-∠?∴=cos CED 10∴∠sin CED 021135CD E C E D C ==∠=解：， sin sin CD EC CED EDC =∠∴∠ sin 10CD EDC EC ?∠∴∠=sin CED

科斯定理在生活中的应用

科斯定理在生活中的应用 08保险赵薇 一，科斯定理 科斯定理比较流行的说法是：只要财产权是明确的，并且交易成本为零或者很小，那么，无论在开始时将财产权赋予谁，市场均衡的最终结果都是有效率的，实现资源配置的帕雷托最优。 科斯定理旨在描述资源稀缺性必定引发各种经济竞争和交易费用发生，而明晰界定的产权安排则是节省交易费用从而是决定经济效率的基本制度设定。经济发展水平取决于经济效率优劣，经济效率优劣取决于交易成本高低，交易成本高低则取决于产权是否明晰界定，而产权明晰效应则又取决于政府是否将产权界定给私人。从制度运行的延伸联系来看，政府效能→产权安排→交易成本→经济效率→经济发展，这就是科斯定理所解释和描述的内在逻辑联系。 在现实世界中，科斯定理所要求的前提往往是不存在的。财产权的明确是很困难的，交易成本也不可能为零，有时甚至是比较大的。因此，依靠市场机制矫正外部性（指某个人或某个企业的经济活动对其他人或者其他企业造成了影响，但却没有为此付出代价或得到收益）是有一定困难的。但是，科斯定理毕竟提供了一种通过市场机制解决外部性问题的一种新的思路和方法。 二，科斯定理的应用 红绿灯对交通的改善作用可以用科斯定理来解释。 交通的十字路口是公共资源，通过红绿灯对车辆的交通资源划分符合交易成本为零或者很小的条件，无论开始将资源分配给十字路口车辆的任何一方，都能最终实现资源的有效配置，并且达到帕累托最优。红绿灯解决十字路口的堵塞问题就在于其划分了该公共资源的使用权，使产权明晰。 这也是政府通过效能达到产权安排，通过节省交易成本最终达到经济效益最大化，促进经济发展的一个实际例子。 另一个简单的例子是：国家出台公共场合不准吸烟的规定。 通过这个规定我们可以知道，社会把公共场所空气清洁的权利赋予了不会吸烟的

关于高等数学常见中值定理证明及应用

中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

1.1正弦定理(第2课时)正弦定理的应用 学案(含答案)

1.1正弦定理（第2课时）正弦定理的应用学 案（含答案） 第2课时正弦定理的应用学习目标 1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能. 2.理解三角形面积公式及解斜三角形. 3.能用正弦定理解决简单的实际问题知识点一正弦定理的变形公式若ABC的外接圆的半径为R，有 2R.1abcsin_Asin_Bsin_C；2，，；3；4a2RsinA，b2RsinB， c2Rsin C.知识点二边角互化1正弦定理的本质是三角形的边与对角的正弦之间的联系2正弦定理的主要功能是把边化为对角的正弦或者反过来，简称边角互化3使用正弦定理进行边角互化的前提是已知外接圆半径R或能消掉R.知识点三三角形面积公式在ABC 中，内角A，B，C的对边为a，b，c，则ABC的面积SABCabsinCbcsinAcasin B.思考在SABCabsinC中，bsinC的几何意义是什么答案BC边上的高知识点四仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示1仰角和俯角都是视线与铅垂线所成的角2在ABC中，若b22acosB，则 sin2B2sinAcosB3平行四边形ABCD的面积等于ABADsinA4SABCR为

ABC外接圆半径题型一边角互化例1在ABC中，若 sinA2sinBcosC，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状解方法一由正弦定理，得2RR为ABC外接圆半径，sinA，sinB，sinC，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90， 2sinBcosC2sinBcos90B2sin2BsinA1，sin B.0B90，B45，C45，ABC是等腰直角三角形方法二由正弦定理，得2RR为ABC外接圆半径，sinA，sinB，sinC， sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角A180BC，sinA2sinBcosC，sinBCsinBcosCcosBsinC2sinBcosC，sinBC0.又90BC90，BC，ABC 是等腰直角三角形反思感悟1 化边为角转化公式为a2RsinA，b2RsinB，c2RsinCR为ABC外接圆半径2化角为边转化公式为sinA，sinB，sinCR为ABC外接圆半径3当等号两端为边的齐次式或角的正弦齐次式时，2R可以消掉跟踪训练1若将题设中的“sinA2sinBcosC”改为“bsinBcsinC”，其余不变，试解答本题解由正弦定理，设2RR 为ABC外接圆半径，从而得sinA，sinB，sin C.bsinBcsinC，sin2Asin2Bsin2C，bc，222，b2c2， a2b2c2，bc，A 90.ABC为等腰直角三角形题型二三角形面积公式及其应用命题角度1已知边角求面积例2在ABC中，已知B30，AB2，AC

科斯定理对社会成本问题的通俗解答

科斯定理对社会成本问题的通俗解答 《社会成本问题》是一篇不易阅读又必须认真读一读的论文。为了让读者用最少的精力和最快的速度最准确地把握该文的内容，这里以一个《故事新编》的形式将该文的内容归纳如下： 妲己摘了比干的心，要带回宫里当美容食品烧汤吃，比干赶忙告到法院，要求妲己返还心脏并赔偿损失。法官请来了英国的皮古（Pigou，有人译为庇古）和美国的科斯这两位著名经济学家作为陪审员一起讨论如何判决的问题。 法官说：“妲己摘了比干的心，这个问题究竟应该如何处理，法律没有明文规定，这必须由我们根据公理和传统以及判例进行判决。现在，请你们二位充分发表意见。” 皮古说：“这个问题很好办，让妲己归还心脏并赔偿损失，如果她不愿赔偿就强行征税，并把她赶出王宫，叫她回老家。” 科斯说：“且慢！这样解决并不合适，这是一个有待分析的问题。” （这就是《社会成本问题》第一节《有待分析的问题》的内容。）法官接着问：“据你之见，应该如何处理这个问题呢？” 科斯答曰：“妲己摘了比干的心固然是对比干的侵害，但是，如果不让妲己吃比干的心，也会使妲己遭受损害，使妲己营养不良。所以，问题具有相互性，处理这个问题要全面权衡利害关系。” （这就是《社会成本问题》第二节《问题的相互性》的内容。）法官又问：“到底怎样权衡利害呢？到底要不要判决妲己返还心脏并赔偿损失呢？”

科斯答曰：“要想权衡好利害关系，必须先考虑交易成本，即比干和妲己谈判的成本。如果交易成本为零，我们随便怎么判决都没有关系，都可以使产值、利润最大化，损害最小化，资源配置最优化。” 法官大喜，曰：“愿闻其详。” 科斯侃侃道来：“如果交易成本为零，我们判决妲己…负有损害赔偿责任?和判决妲己…不负损害赔偿责任?，经济结果都一样。” “如果判决妲己败诉，妲己就会主动找比干谈判，愿意付给比干一百万美元，请求比干到心脏市场另外购买一个心脏而不要讨回原来的心脏。这时，买一个心脏只要花费五十万美元，所以，比干肯定会觉得很合算，肯定会同意妲己的要求。而妲己吃了比干的心脏以后会变得更漂亮，舞蹈更优美，歌唱更动听，纣王会更加喜欢她并肯定会赏给她两百万美元的奖金。花了一百万美元而赚回两百万美元，所以对妲己来说也很合算。” “如果判决妲己胜诉又会怎么样呢？”科斯继续发言：“如果妲己胜诉，比干就会主动找妲己谈判，愿意付给妲己三百万美元，请求她将心脏还给自己。这时，妲己想到：…我吃了他的心脏至多赚二百万美元，而不吃他的心脏却可以赚三百万美元，嗯，还是把心脏还给他合算?。所以妲己肯定会将心脏还给比干。比干虽然花了三百万美元，但属于破财消灾，只要保住了有七个孔的心脏，就能继续为纣王效劳，就能继续干大事，一年赚回五百万美元不成问题。所以对于比干来说，花三百万美元也很合算。”

正弦定理和余弦定理以及其应用教案1

讲义一 正弦定理和余弦定理以及其应用 知识与技能： 掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。 一、知识引入与讲解： Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用： 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C ==2R 例1．（1）、已知?ABC 中，∠A 060= ，a =求sin sin sin a b c A B C ++++ (=2) （2）、已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c （答案：1：2：3） Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用： 例2．（1）、在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A （ =b 060.=A ） （2）、在?ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。 例3．在?ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断?ABC 的类型。 分析：由余弦定理可知 222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+???>+???<+??ABC 是锐角三角形 ? （注意：是锐角A ?ABC 是锐角三角形?） 解：222753>+，即222a b c >+， ∴ABC 是钝角三角形?。 练习： （1）在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断?ABC 的类型。 （2）已知?ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断?ABC 的类型。 （答案：（1）ABC 是钝角三角形?；（2）?ABC 是等腰或直角三角形） 例4．在?ABC 中，060A =，1b =，面积为2，求sin sin sin a b c A B C ++++的值 分析：可利用三角形面积定理111sin sin sin 222 S ab C ac B bc A ===以及正弦定理sin sin a b A B =sin c C ==sin sin sin a b c A B C ++++ 解：由1sin 2 2S bc A ==得2c =，则2222cos a b c bc A =+-=3，即a 从而 sin sin sin a b c A B C ++++2sin a A == 例题5、某人在M 汽车站的北偏西20?的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶。公路的走向是M 站的北偏东40?。开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？

新人教A版版高考数学一轮复习三角函数解三角形正弦定理余弦定理及其应用教学案理解析版

[考纲传真] １．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.２．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． １．正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理 内容错误!＝错误!＝错误!＝２R. a２＝b２＋c２—２bc cos_A； b２＝c２＋a２—２ca cos_B； c２＝a２＋b２—２ab cos_C. 变形 （１）a＝２R sin A，b＝２R sin B，c＝２R sin C； （２）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； （３）错误!＝错误!＝２R. cos A＝错误!； cos B＝错误!； cos C＝错误!. （１）S＝错误!a·h a（h a表示边a上的高）； （２）S＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B＝错误!bc sin A； （３）S＝错误!r（a＋b＋c）（r为内切圆半径）． ３．实际问题中的常用角 （１）仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角（如图１）． （２）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东３0°、北偏西４５°、西偏北60°等． （３）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α（如图２）．（４）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． [常用结论]

１．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B. ２．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B； b＝a cos C＋c cos A； c＝b cos A＋a cos B. ３．内角和公式的变形 （１）sin（A＋B）＝sin C； （２）cos（A＋B）＝—cos C. ４．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形或直角三角形． [基础自测] １．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．（） （２）在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.（） （３）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．（） （４）当b２＋c２—a２＞0时，△ABC为锐角三角形；当b２＋c２—a２＝0时，△ABC为直角三角形；当b ２＋c２—a２＜0时，△ABC为钝角三角形． [答案] （１）×（２）√（３）×（４）× ２．（教材改编）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝错误!，B＝错误!，a＝１，则b＝（） Ａ．２Ｂ．１ Ｃ．错误!Ｄ．错误! D [由错误!＝错误!得b＝错误!＝错误!＝错误!×２＝错误!.] ３．（教材改编）在△ABC中，若a＝１8，b＝２４，A＝４５°，则此三角形有（） Ａ．无解Ｂ．两解 Ｃ．一解Ｄ．解的个数不确定 B [∵b sin A＝２４sin ４５°＝１２错误!， ∴１２错误!＜１8＜２４，即b sin A＜a＜b.

湖南大学研究生应用经济学01年到10年真题

2010年 一1.边际报酬递减规律2.消费者剩余3.科斯定理4.边际储蓄倾向5.市场出清假设6.菲利普斯曲线 二1.用微观经济学原理理论分析我国主要城市房价持续攀升的原因 2.比较分析完全竞争、完全垄断、垄断竞争的长期均衡 3.简述财政政策的乘数效应，并分析为什么会产生乘数效应 4.如果国外市场对我国红酒偏好，用文字说明并画图分析 （1）外汇市场人民币需求会有何变化 （2）外汇市场人民币价值有何变化 （3）我国红酒净出口数量有何变化 三1）.完全竞争市场某厂商的生产函数q=8L1/4K3/4,求 1当劳动价格为3资本价格为9，产量为24时，劳动和资本投入量及总成本 2若劳动价格变为9，上述问题有何变化 3若劳动价格为3资本价格为9，资本数量为10，求短期生产函数 4若资本数量为16，市场价格为5，求劳动需求函数 5若劳动价格为3资本价格为9，求长期生产函数 2）三部门国民经济收入的计算，消费函数为C=100+0.6YD，政府支出250，政府税收100投资50，求1.国民收入和可支配收入2.个人储蓄和政府储蓄3投资乘数KI 4.个人消费 四1.完全竞争市场为什么能实现帕累托最优状态 2.用IS-LM模型分析货币政策的效果 2009年 一名词解释（6*5=30） 1 净出口函数 2 政府转移支付乘数 3 库兹涅茨曲线 4 无差异曲线 5 边际效益 6 纳什均衡 二简答题（12*4=48） 1 简述“挤出效应”的机制及影响因素？ 2 中央银行公开市场业务如何影响利率变动？ 3 简述厂商收益与需求价格弹性间的关系？ 4 为什么说不完全竞争（例如垄断）是导致市场失灵的原因之一？ 三（16*2=32） 1 名义货币供给M=200，价格水平P=1，货币需求L=0.2Y-4R,消费函数C=100+0.75Yd,投资I=140-5R,政府购买G=600, 税收政府T=0.2Y,转移支付TR=100. （1）求IS和LM曲线 （2）求产品市场与货币市场同时均衡时的利率和收入。 （3）政府收支状况。 2 某产品边际成本MC=4+Q/4,，（单位分别是万元，百台）边际收益MR=9-Q/4, （1）求从1万台到5万台时成本和收益如何变化？ （2）产量为多少时利润最大？（已知条件简化后 原题汉字太多，我记不很清楚了。不过只是在MC和MR解释了它们的定义。数字不会错！）四论述题（20*2=40） 1 产品市场和货币市场同时均衡时是否收入达充分就业状态？若经济起初处与充分就业状态，政府想增加消费而减少私人投资，且收入不超过充分就业水平，应当实行什么样的混合政策？并用图论述说明。 2 为什么厂商利润最大化的均衡条件MC=MR，可以写成MFC=MRP? 在完全竞争产品市场

科斯定理的案例

科斯定理的案例 我们举一个数字例子（在西方，有关科斯定理的论述，包括科斯本人的文章在内，往往实用简单的数字例子。这里的例子取自波林斯基《法律学和经济学引论》，利特尔和勃朗出版社，波士顿，１９８３年版，第１１－１４页）：假设有一工厂，它的烟囱冒出的烟尘使得５户居住于工厂附近的居民所洗晒的衣服受到损失，每户的损失为７５元，从而５户损失的总额为３７５元。 要想矫正这一受污染之害的状态，又假设只存在两种治理的办法：第一是在工厂的烟囱上安装一个除尘器，其费用为１５０元；第二是给每户提供一个烘干机，使它们不需要去晒衣服，烘干机的费用假设为每户５０元，因此第二种办法的成本总和是２５０元。显然，在这两种解决办法中，第一种是比较节约的，它的成本较低，代表最有效率的解决方案。这种最有效率的解决方案，在西方经济学中被成为帕累托最优状态。关于帕累托最优状态，下面还将加以解释。 按照科斯定理的含义，上述例子中，不论给予工厂以烟囱冒烟的权利，还是给予５户居民晒衣服不受烟囱污染的权利（即上述的财产所有权的分配），只要工厂与５户居民协商时其协商费用为零（即上述的交易费用为零），那末，私有制的市场机制（即私人之间自由进行交易）总是可以得到最有效率的结果（即采用安装除尘器的办法）。

为什么如此？按照科斯等西方学者的解释，如果把排放烟尘的财产所有权给予工厂，即工厂有权排放烟尘，那末，５户居民便会联合起来，共同给工厂义务安装一架除尘器，因为，除尘器的费用低于５架烘干机，更低于晒衣所受到的烟尘之害（３７５元）。如果把晒衣服不受烟尘污染的产权给予５户居民，那末，工厂便会自动地给自己安装除尘器，因为，在居民具有不受污染之害的产权的条件下，工厂有责任解决污染问题，而在两种解决办法中，安装除尘器的费用较低。 因此，科斯定理宣称，在交易费用为零的条件下，只要产权明晰化，不论产权归谁，私有制的市场机制总会找到最有效率的办法，从而达到帕累托最优状态。 当然，科斯定理的结论只有在交易费用为零时才能得到。如果不是如此，结果便会不同。例如，假设在工厂具有排放烟尘产权的条件下，如果５户居民联合在一起共同行动的费用很大，例如为１２５元，那末，为了共同行动给工厂安装除尘器，总支出是２７５元（１２５＋１５０＝２７５）。在这样的情况下，５户居民便会各自去购买一架烘干机，因为，这样做只费２５０元。显然，这不是一个最有效率的结果。关于科斯定理，大致的意思便是如此。科斯本人并没有对该定理加以精确的证明，仅仅使用了类似上述的数字例子加以说明。

动能定理及其应用专题

《动能定理及其应用》专题复习一．基础知识归纳： (一)动能： 1.定义：物体由于______而具有的能. 2.表达式：E k=_________. 3.物理意义：动能是状态量，是_____.(填“矢量”或“标量”) 4.单位：动能的单位是_____. (二)动能定理： 1.内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中的___________. 2.表达式：W=_____________. 3.物理意义：_____________的功是物体动能变化的量度. 4.适用条件： (1)动能定理既适用于直线运动，也适用于______________. (2)既适用于恒力做功，也适用于_________. (3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以_______________. 二．分类例析： (一)动能定理及其应用： 1.若过程有多个分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑．但求功时，必须据不同的情况分别对待求出总功，把各力的功连同正负号一同代入公式． 2.应用动能定理解题的基本思路： (1)选取研究对象，明确它的运动过程；(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况： (3)明确研究对象在过程的初末状态的动能E k1和E k2； (4)列动能定理的方程W合＝E k2－E k1及其他必要的解题方程，进行求解． 例1.小孩玩冰壶游戏，如图所示，将静止于O点的冰壶(视为质点)沿直线OB用水平恒力推到A点放手，此后冰壶沿直线滑行，最后停在B点．已知冰面与冰壶的动摩擦因数为μ，冰壶质量为m，OA＝x，AB＝L.重力加速度为g.求： (1)冰壶在A点的速率v A；(2)冰壶从O点运动到A点的过程中受到小孩施加的水平推力F. 吴涂兵

科斯定理

科斯定理的一种表达方式是：在没有交易成本、财产权规定明确且可实施的情况下，外部性并不导致资源配置失当 这一定义中包含了三个经济学名词：交易成本，财产权，外部性。要理解科斯定理，需要将这三个名词解析清楚。 首先，什么是交易成本。简单而言交易成本是指除价格外影响交易的成本的总称，它起源于所有权的转移。例如，我一晚50，如果有人想要，一般会看我长的帅不帅。。。这个所谓的帅，就是交易成本中的一种。没有交易成本，就是指根本不管我长的怎么样。。。； 其次，财产权在科斯定理中，可以简单理解为所有权，这个比较简单，就不赘言； 最后，什么是外部性。外部性指由于市场活动而给无辜的第三方造成的成本。我们已经学习过，通常政府解决外部性有二：征税，补贴。而科斯定理为了反对政府过多干预经济，而提出了另一种解决问题的可能，我将为大家举例说明： 假设一条河边有两家企业：造纸厂和养鱼场。众所周知造纸厂是重污染企业，对养鱼场的影响可想而知。假定造纸厂在生产过程中对养鱼场生产造成的损失有30元，而（无论是谁）为造纸厂安装净水装置的费用为29元。 1.假设这条河流的所有权归养鱼场拥有，那么解决问题的方法有二：一是造纸厂赔偿养 鱼场30元——而这个行为可以理解为造纸厂向养鱼场购买向河水中排放污水的权力，二是造纸厂自己购买29元的净水装置； 2.假设这条河流的所有权归造纸厂拥有，即其拥有向河水中随意排放污水的权力，咋一 看似乎养鱼场无能为力了，但若养鱼场的经营者是理性的经理人，他一定会与造纸厂方谈判，为其安装29元的净水装置——这个行为可以看做养鱼场向造纸厂购买其不排放污水的权力； 那么我们可以得出结论，无论这条河流的所有权归谁所有，最终的选择都是用29元解决问题，即用（两种方法中）最优方式解决问题。 要实现上面的情况需要符合三个假设： 1.产权明晰，即河流到底归哪方所有是明明确确的； 2.产权可交易。这里的产权是指向河流中污水排放权。若这个权力不能交易，则不会出 现购买净水装置的选项； 3.交易成本为零。若在谈判中，养鱼场要付出哪怕一元的交易成本，其总成本都不会小 于造纸厂排放污水所造成的损失，谈判也就没有必要进行。 综上所述，我们可以从新解释下科斯定理：如果存在产权划分，交易成本较低且参与人数较少的时候，人们可以通过私下谈判来解决外部性问题。

(完整版)中值定理的应用方法与技巧

中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+') ()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=') 0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得 b a b a +='+') ()(η?ξ? 成立。 证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对

导学设计2 正弦定理的应用

山西大学附中高中数学（必修5）导学设计 编号2 正弦定理的应用 【学习目标】1. 会运用正弦定理解决简单的解三角形问题. 2. 会运用正弦定理在相关问题中进行边角互化. 【学习重点】正弦定理的应用 【学习难点】合理利用正弦定理解决相关问题 【学习过程】 一．导学： 1.一般地，把 叫做三角形的元素， 叫做解三角形. 2. 正弦定理在解三角形中的应用： 利用正弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： （1）已知 ，求 . （2）已知 ，求 . ①若 为锐角，则 ②若 为直角或钝角，则 二．导练： 1. 在ABC ?中，已知 75,3,45=∠==∠C AC A ，则BC 的长为 . 2. 在ABC ?中，已知5,25,45===b c B ，则a = . 3. （1） 在ABC ?中，已知 60,3,3== =A b a ，求B 和c . （2）在ABC ?中，已知 30,326,26===A b a ，求B 和c . 4.（1）已知在ABC ?中，B A C 222sin sin sin +=，则该三角形为（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 （2）在ABC ?中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，c b A 2212cos 2+=，则ABC ?的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形 5．在ABC ?中，若,5522cos ,4,2== =B C a π求ABC ?的面积S .

6. 在ABC ?中，求证：0cos cos cos cos cos cos 2 22222=+-++-++-A C a c C B c b B A b a . 三．目标检测： 1．在ABC ?中，若B A sin sin >，则A 与B 的大小关系为（ ） A ． B A > B ．B A < C ．A B ≥ D ．A 、B 的大小关系不能确定 2．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若 135=A , 30=B ,2=a ,则b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3. 在ABC ?中，3,1= =b a ， 30=A ，则B 等于（ ） A ． 60 B ． 60或 120 C ． 30或 150 D ． 120 4. ABC ?的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,,c b a a A b B A a 3cos sin sin 2=+，则=a b ( ) A. 2 B. 3 C. 22 D. 32 5．在ABC ?中，A 、B 、C 的对边分别为 c b a ,,，记 45,2,===B b x a ，若ABC ?有两解，则x 的取值范围是 . 6. 在ABC ?中，已知A b B a tan tan 22=，则三角形的形状为 . 7．在ABC ?中，A B b a 2,62,3===． (1)求A cos 的值； (2)求c 的值． 8．在ABC ?中，已知内角A π=3 ，边BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．

(完整word版)余弦定理及其应用

余弦定理及其应用 【教学目标】 【知识与技能目标】 (1)了解并掌握余弦定理及其推导过程． (2)会利用余弦定理来求解简单的斜三角形中有关边、角方面的问题． (3)能利用计算器进行简单的计算（反三角）． 【过程与能力目标】 (1)用向量的方法证明余弦定理，不仅可以体现向量的工具性，更能加深对向量知识应用的认识． (2)通过引导、启发、诱导学生发现并且顺利推导出余弦定理的过程，培养学生观察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力． 【情感与态度目标】 通过三角函数、余弦定理、向量数量积等知识间的联系，来体现事物之间的普遍联系与辩证统一． 【教学重点】 余弦定理的证明及应用． 【教学难点】 (1)用向量知识证明余弦定理时的思路分析与探索． (2)余弦定理在解三角形时的应用思路． 【教学过程】 一、引入 问：在R t △ABC 中，若C=090，三边之间满足什么关系？ 答：222b a c += 问：若C ≠090，三边之间是否还满足上述关系？ 答：应该不会有了！ 问：何以见得？ 答：假如b a ,不变，将A 、B 往里压缩，则C ＜090，且222b a c +<； 同理，假如b a ,不变，将A 、B 往外拉伸，则C ＞090，且222b a c +>． 师：非常正确！那么，这样的变化有没有什么规律呢？ 答：规律肯定会有，否则，您就不会拿它来说事了． 问：仔细观察，然后想想，到底会有什么规律呢？ 答：有点象向量的加法或减法，→→→+=a c b 或→→→-=c b a ． A C B a b c A C B a b c

【探求】 设△ABC 的三边长分别为c b a ,,， 由于→→→+=BC AB AC B ac c a b a B ac c BC B B C AB AB b BC BC BC AB AB AB AC BC AB BC AB AC AC cos 2cos 2)180cos(22) ()(2222 220222-+=+-=+-+=∴?+?+?=+?+=?∴→→→→→→→→→→→→→→→→→即即 问：仔细观察这个式子，你能否找出它的内在特点？ 答：能！式子中有三边一角，具体包括如下三个方面： 第一、左边是什么边，右边就是什么角； 第二、左边有什么边，右边就没有什么边； 第三、边是平方和，乘积那里是“减号”． 师：很好！那么，你能否仿照这个形式写出类似的另外两个？ 答：可以！它们是：A bc c b a cos 2222-+=和C abc b a c cos 2222-+=． 【总结】这就是我们今天要讲的余弦定理，现在，让我们来继续研究它的结构特点以及其应用问题． 板书课题 余弦定理及其应用 二、新课 （一）余弦定理的文字表述： 三角形的任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （二）余弦定理的另一种表述形式： bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab c b a C 2cos 2 22-+= （三）归纳 1. 熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等； 2. 每个式子中都有四个量，知道其中的三个就可以求另外的一个； 3. 当夹角为090（即三角形为直角三角形）时即为勾股定理 (特例)． A C B a b c